Equações do 2º Grau Incompletas

As equações do 2º grau incompletas, dadas na forma ax² + bx + c = 0, são aquelas em que pelo menos um dos coeficientes, que não aquele que acompanha o termo x², é de valor zero. Quando as equações do 2º grau são incompletas, é possível isolar a incógnita x, o que facilita, e muito, a resolução deste tipo de equação.

Olá, pessoal! Como vão?

Hoje nós vamos estudar as equações do 2º grau incompletas, aquelas que podem ser resolvidas sem o uso da fórmula de Bhaskara ou do método da soma e produto. Basicamente, existem 3 tipos de equações do segundo grau incompletas, cujas raízes possuem um comportamento definido. Assim, quem está se preparando para as provas do ENEM e dos vestibulares não pode perder este texto! Vamos aprender a resolver cada uma dessas equações junto a uma série de exemplos.

Legal, não é mesmo? Então, não esqueçam de anotar todos os conceitos importantes que veremos logo mais. Peguem seus materiais de estudo e sigam comigo!

O que é uma equação do 2º grau incompleta?

O formato das equações do segundo grau é o famoso “ax² + bx + c = 0”, em que a, o coeficiente que acompanha o termo x², jamais pode ser zero. Quando a, b e c são valores reais diferentes de zero, diz-se que a equação do 2º grau formada é completa. Mas quando a é diferente de zero (e deve ser!) e b ou c ou ambos os coeficientes são iguais a zero, dizemos que a equação gerada é incompleta.

ax² = 0 → Quando os coeficientes b e c são iguais a zero

ax² + c = 0 → Quando o coeficiente b é igual a zero

ax² + bx = 0 → Quando o coeficiente c é igual a zero

Você sabe por que o coeficiente a da equação do 2º grau não pode ser igual a zero? Não? Então clique aqui.

Podemos resolver as equações do 2º grau incompletas da mesma forma que resolvemos as equações completas, ou seja, através da fórmula de Bhaskara ou do método da soma e produto. Contudo, existe uma maneira ainda mais simples de resolver esse tipo de equação. Logo mais, vamos entender qual é essa maneira e por que é possível fazer uso dela. Vem comigo!

Resumo: os 3 casos de equação do 2º grau incompleta

Antes de entrarmos em cada caso com calma, vale a pena visualizar o panorama geral. Dessa forma, a tabela abaixo resume o formato, a condição sobre os coeficientes e a natureza das raízes de cada tipo de equação incompleta:

Forma da Equação	Condição	Natureza das Raízes	Exemplo Resolvido
ax² = 0	b = 0 e c = 0	Raízes reais e iguais a zero	5x² = 0 → S = {0}
ax² + c = 0	b = 0	Raízes reais e simétricas (ou nenhuma raiz real, se -c/a < 0)	3x² – 9 = 0 → S = {–√3, √3}
ax² + bx = 0	c = 0	Raízes reais e distintas, sendo uma delas sempre igual a zero	x² + 5x = 0 → S = {–5, 0}

 

Guarde essa tabela: assim que você identificar o caso, o caminho de resolução já estará traçado. Logo abaixo, vamos detalhar o raciocínio por trás de cada um deles.

Por que não é preciso usar Bhaskara nas equações incompletas?

Para entendermos por que é possível fugir da fórmula de Bhaskara e até do método da soma e produto para resolver as equações do 2º grau incompletas, vamos trazer à tona uma outra equação muito importante para a matemática: a equação do 1º grau.

3x – 6 = 0

3x = 6

x = 6/3

x = 2

Reparem no exemplo acima que, para resolver a equação do primeiro grau solicitada, foram utilizadas algumas operações básicas da matemática a fim de isolar a incógnita x. Ora, se as equações do 1º grau podem ser resolvidas assim, que tal utilizar o mesmo método para resolver as equações do 2º grau completas? Experimentem isolar a incógnita x das equações abaixo e tirem suas conclusões!

2x² + 3x – 5 = 0

x² – x – 6 = 0

x² – 8x + 16 = 0

–x² + 2x – 2 = 0

E aí, deu certo? Quando as equações do 2º grau estão em seu formato completo, não é possível isolar a incógnita x utilizando somente as operações básicas da matemática. Por isso, utilizamos a fórmula de Bhaskara ou o método da soma e produto. Contudo, quando as equações do 2º grau são incompletas, é possível isolar a incógnita x facilmente.

Como resolver as equações do 2º grau incompletas

Como foi dito no início do texto, existem 3 tipos de equações do 2º grau incompletas, e as raízes de cada uma delas possuem um comportamento definido. Vamos estudar todos esses comportamentos nos próximos itens. Independentemente do tipo de equação apresentado, a essência das resoluções será sempre isolar a incógnita x. Vem comigo!

Quando os coeficientes b e c são iguais a zero (ax² = 0)

Quando os coeficientes b e c de uma equação do 2º grau são iguais a zero, o coeficiente a pode assumir qualquer valor real diferente de zero. Independentemente deste valor, as duas raízes da equação devem ser reais e iguais a zero. É o que acontece na equação 5x² = 0, olhem só!

5x² = 0

x² = 0/5

x = ± √0

x = 0

Em casos como esse, a solução da equação pode ser representada por um conjunto unitário.

S = {0}

Repare que essa conclusão vale para qualquer valor de a, seja ele positivo, negativo ou fracionário. Veja mais dois exemplos:

–3x² = 0 → x² = 0 → x = 0 → S = {0}

½x² = 0 → x² = 0 → x = 0 → S = {0}

Ou seja, dessa forma, basta o coeficiente a não ser zero que a raiz da equação será sempre x = 0.

Quando o coeficiente b é igual a zero (ax² + c = 0)

Quando apenas o coeficiente b de uma equação do 2º grau é igual a zero, as suas duas raízes são reais, distintas e simétricas. Isso significa que são dois valores iguais em módulo, mas de sinais opostos. Acompanhem a resolução da equação 3x² – 9 = 0.

3x² – 9 = 0

3x² = 9

x² = 9/3

x = ± √3

S = {–√3, √3}

As raízes da equação 3x² – 9 = 0 são iguais em módulo, √3, mas possuem sinais opostos, ou seja, uma delas é negativa e a outra é positiva. De maneira idêntica, vamos resolver a equação x² – 4 = 0 para verificar se o comportamento se repete.

x² – 4 = 0

x² = 4

x = ±√4

x = ±2

S = {–2, 2}

Perfeito! As raízes da equação x² – 4 = 0 são reais, diferentes e simétricas, ou seja, são iguais em módulo, 2, mas possuem sinais opostos. Tendo isso em vista, até poderíamos seguir para o próximo tipo de equação do segundo grau incompleta. Contudo, um caso especial tal como o da equação x² + 25 = 0 necessita da nossa atenção. Fiquem de olho na resolução desta equação.

x² + 25 = 0

x² = –25

x = ±√(–25)

E aí, pessoal, existe ou não existe raiz quadrada de número negativo? No conjunto dos números reais, certamente não! Portanto, algumas equações do 2º grau incompletas de formato “ax² + c = 0” não possuem raízes reais. Nestes casos, a solução da equação pode ser expressa por um conjunto vazio.

S = { }

Tranquilo, não é mesmo? Agora estamos liberados para seguir rumo ao próximo item. Vamos lá!

Quando o coeficiente c é igual a Zzro (ax² + bx = 0)

Quando apenas o coeficiente c de uma equação do 2º grau é igual a zero, as suas duas raízes são reais e distintas. Uma delas é sempre igual a zero, e a outra pode ser qualquer número real diferente de zero.

Para resolver as equações do 2º grau incompletas do tipo ax² + bx = 0, é preciso utilizar um artifício diferente do que foi utilizado nos casos anteriores. Em princípio, devemos realizar a fatoração por fator comum em evidência da expressão “ax² + bx”. Como o produto gerado a partir desta fatoração deve ser igual a zero, em seguida, vamos dar sequência ao cálculo tendo em mente que, para um produto ser igual a zero, basta que um de seus fatores seja igual a zero.

x ∙ y = 0

0 ∙ y = 0

x ∙ 0 = 0

Observem o produto entre os fatores x e y logo acima. Para que o resultado obtido a partir desse produto seja igual a zero, basta que x ou que y sejam iguais a zero.

Ficou claro, pessoal? Antes que qualquer dúvida surja, vamos encontrar as raízes de algumas equações do 2º grau do tipo ax² + bx = 0 aplicando esta técnica. Sigam comigo!

x² + 5x = 0

x² + 5x = 0

x ∙ (x + 5) = 0

x = 0

x + 5 = 0

x = – 5

S = {– 5, 0}

Repare que, logo no início da resolução, o fator comum, x, entre os dois termos da equação, x² e 5x, foi colocado em evidência. Assim, formou-se o produto entre os fatores “x” e “x + 5”. Para que o resultado deste produto fosse igual a zero, ou “x” ou “x + 5” deveriam ser iguais a zero. Igualando os dois fatores a zero, obtemos, imediatamente, uma das raízes da equação, x = 0. Em seguida, manipulando a equação x + 5 = 0, chegamos à segunda raiz, x = – 5.

2x² − x = 0

2x² – x = 0

x ∙ (2x – 1) = 0

x = 0

2x – 1 = 0

2x = 1

x = 1/2

S = {0, ½}

4x² − 6x = 0

4x² – 6x = 0

2x ∙ (2x – 3) = 0

2x = 0

x = 0

2x – 3 = 0

2x = 3

x = 3/2

S = {0, 3/2}

Ficou mais claro, pessoal? Tenho certeza de que, assim que vocês resolverem uma série de equações do 2º grau incompletas, esses processos ficarão extremamente simples!

Exercícios Propostos

Agora é a sua vez de praticar! Resolva as equações abaixo e, na sequência, confira o gabarito comentado.

1) 7x² = 0

2) 5x² – 20 = 0

3) 2x² + 8 = 0

4) x² – 7x = 0

5) 6x² – 4x = 0

Gabarito comentado:

1) 7x² = 0 → x² = 0 → x = 0. Como b = c = 0, a equação se encaixa no primeiro caso. S = {0}.

2) 5x² – 20 = 0 → 5x² = 20 → x² = 4 → x = ±2. Como b = 0, a equação se encaixa no segundo caso, com raízes reais e simétricas. S = {–2, 2}.

3) 2x² + 8 = 0 → 2x² = –8 → x² = –4. Como não existe raiz quadrada real de um número negativo, essa equação não possui raízes reais. S = { }.

4) x² – 7x = 0 → x ∙ (x – 7) = 0 → x = 0 ou x = 7. Como c = 0, a equação se encaixa no terceiro caso. S = {0, 7}.

5) 6x² – 4x = 0 → 2x ∙ (3x – 2) = 0 → x = 0 ou x = 2/3. S = {0, 2/3}.

Perguntas Frequentes sobre Equações do 2º Grau Incompletas

O que torna uma equação do 2º grau incompleta?

Uma equação do 2º grau, escrita na forma ax² + bx + c = 0, é considerada incompleta quando pelo menos um dos coeficientes b ou c é igual a zero, desde que o coeficiente a permaneça diferente de zero.

É possível usar a fórmula de Bhaskara em uma equação incompleta?

Sim. A fórmula de Bhaskara funciona para qualquer equação do 2º grau, completa ou incompleta. Porém, nas equações incompletas existem atalhos mais rápidos, como isolar a incógnita x ou colocar o x em evidência, que dispensam o cálculo do discriminante.

Toda equação do 2º grau incompleta possui raízes reais?

Não necessariamente. Quando b = 0 (equação do tipo ax² + c = 0) e o valor de –c/a é negativo, a equação não possui raízes reais, já que não existe raiz quadrada real de um número negativo. Já nos casos ax² = 0 e ax² + bx = 0, sempre há pelo menos uma raiz real, que é o próprio zero.

Qual é a diferença entre uma equação do 2º grau completa e uma incompleta?

Na equação completa, os três coeficientes a, b e c são diferentes de zero. Na incompleta, pelo menos um dos coeficientes b ou c vale zero — o coeficiente a, por definição, nunca pode ser zero.

Como saber rapidamente qual caso de equação incompleta estou resolvendo?

Basta observar quais coeficientes estão ausentes na equação. Se faltam b e c, é o caso ax² = 0. Se falta apenas b, é o caso ax² + c = 0. Se falta apenas c, é o caso ax² + bx = 0. A tabela-resumo apresentada neste texto ajuda a identificar cada caso rapidamente.

Uma equação do 2º grau incompleta pode ter apenas uma raiz?

Sim. No caso ax² = 0, a equação tem uma única raiz real, x = 0 (tecnicamente uma raiz dupla). Já nos outros dois casos, quando existem raízes reais, elas costumam ser duas, exceto quando ambas coincidem.

Enfim, é chegada a hora de encerrarmos o texto! Espero que o assunto de hoje tenha sido proveitoso e que, a partir deste momento, vocês saibam escolher o método mais adequado para resolver cada tipo de equação do segundo grau!

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Caso vocês desejem praticar tudo aquilo que aprenderam até agora, nada melhor do que dar uma olhada no vídeo que está em anexo aqui embaixo. Lá vocês encontram o conteúdo completo sobre as equações do 2º grau! Além disso, quem acompanhar o vídeo vai conferir alguns exercícios resolvidos sobre o assunto, inclusive aqueles que envolvem interpretação. Espero todos lá!

Um abração e até mais!

Continue Estudando

Para aprofundar o assunto e fechar todo o cluster de equação do 2º grau, dê uma olhada também em:

• Fórmula de Bhaskara
• Equação do 2º Grau: Como Resolver, Fórmula de Bhaskara e Exemplos
• Método da Soma e Produto
• Equação do 1º Grau