Raízes da Função Quadrática

As raízes da função quadrática são 2 valores numéricos que quando substituem o lugar de x na função, tornam o valor desta função igual a zero ƒ(x) = 0. Dependendo do valor do discriminante (∆), uma função quadrática pode ter duas raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais ou então, duas raízes complexas.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Se vocês vieram até aqui hoje, é porque desejam saber tudo sobre as raízes da função do 2º grau, certo? Então, sejam bem-vindos a este texto! Vamos estudar aqui o que são as raízes da função quadrática, como podemos calculá-las, e claro, qual é o comportamento delas de acordo com o valor do discriminante da função. Pode não parecer, mas esse conhecimento é muito importante para a matemática e pode garantir uma série de acertos nas provas do ENEM e dos vestibulares.

Beleza, pessoal? Dado o recado, é hora de iniciarmos os estudos! Vamos começar entendendo direitinho o que são as raízes da função quadrática. Vem comigo!

 

1. O QUE SÃO AS RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA?

Como foi dito logo no início do texto, as raízes ou zeros da função quadrática são 2 valores numéricos que quando substituem o lugar de x na função, tornam o valor desta função igual a zero ƒ(x) = 0. A função quadrática é a famosa função polinomial do 2º grau, ou seja, é formada por um polinômio de grau 2. Por isso, toda função quadrática sempre possuíra exatamente duas raízes.

Graficamente, as raízes da função do segundo grau são os pontos em que a parábola – a forma gráfica da função quadrática – corta o eixo x, ou o eixo das abscissas. Para fazer referência a essas raízes, costumamos usar símbolos tais como x’ e x” ou x₁ e x₂.

O gráfico acima apresenta um dos comportamentos mais esperados da função do 2º grau, quando a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos. Contudo, nem sempre isso vai acontecer, pessoal! Tudo vai depender da quantidade de raízes reais que a função quadrática possuir. Vamos comigo até o próximo item estudar melhor essa ideia!

 

2. QUANTIDADE DE RAÍZES REAIS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

No item anterior, nós descobrimos que toda função do 2º grau possui sempre 2 raízes. No entanto, nem sempre essas 2 raízes serão números reais. A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando Δ = b² – 4ac, chamado de discriminante. Ao se deparar com uma função quadrática, realizando o cálculo do discriminante ou delta desta função, vocês poderão se deparar com 3 possibilidades. Confiram cada uma delas comigo na sequência!

Tabela-resumo: Δ × quantidade de raízes reais da função quadrática

Valor do discriminante (Δ)	Quantidade de raízes reais	Natureza das raízes	O que acontece no gráfico
Δ > 0	2	Reais e distintas (x’ ≠ x”)	A parábola corta o eixo x em dois pontos diferentes
Δ = 0	2 (iguais) — 1 raiz dupla	Reais e iguais (x’ = x”)	A parábola toca o eixo x em um único ponto
Δ < 0	0	Não há raízes reais (raízes complexas)	A parábola não toca o eixo x em nenhum ponto

 

2.1 Se ∆ > 0  → há duas raízes reais e distintas

Quando o discriminante (∆) de uma função quadrática é um valor positivo, as duas raízes desta função são reais e diferentes. Por isso, graficamente, a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos (x’, 0) e (x”, 0).

 

2.2 Se ∆ = 0 → há duas raízes reais e iguais (raiz ou zero duplo)

Quando o discriminante (∆) de uma função quadrática é igual a zero, as duas raízes desta função são reais e iguais. Por isso, graficamente, a parábola toca o eixo x em um único ponto (x’, 0) ou (x”, 0), já que x’ = x”.

 

2.3 Se ∆ < 0 → não há raiz real (duas raízes complexas)

Quando o discriminante (∆) de uma função quadrática é um valor negativo, nenhuma das duas raízes desta função é um número real. Por isso, graficamente, a parábola não determina nenhum ponto no eixo dos x.

Aqui é importante lembrar que o fato de algumas funções não possuírem raízes reais não significa que elas não possuem nenhuma raiz. Ainda assim, estas funções possuem duas raízes! Contudo, essas raízes pertencem ao conjunto dos números complexos, um tema que não vamos aprofundar neste texto.

Pessoal, essas possibilidades ficam muito mais claras quando aprendemos a calcular as raízes da função quadrática. Venham comigo até o próximo item para estudarmos o assunto!

 

3. COMO CALCULAR AS RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA?

x = (–b ± √Δ) / 2a

Versão em texto da fórmula de Bhaskara, para leitura por leitores de tela e mecanismos de busca.

Em essência, o cálculo das raízes de qualquer função matemática consiste primeiramente em igualar determinada função a zero. Em seguida, por meio de manipulações matemáticas, deve-se isolar a incógnita ali envolvida para encontrar o seu valor numérico. É justamente esse o passo a passo que seguimos para encontrar a raiz de uma função afim, por exemplo. Contudo, quando se fala em função do 2º grau, a não ser que esta seja incompleta, essa não é a forma mais indicada para resolver a situação.

Para calcular as raízes de uma função quadrática, vocês devem utilizar a fórmula de Bhaskara! Basta identificar os coeficientes a, b e c, substituir esses valores na fórmula, e com alguns cálculos simples, chega-se as duas raízes da função.

x = (–b ± √Δ) / 2a, sendo Δ = b² – 4ac

Agora, observem a imagem acima com atenção. Vejam que o valor do discriminante (∆) é na verdade o mesmo valor que está dentro da raiz quadrada da fórmula de Bhaskara. Isso explica todas as nossas dúvidas sobre as consequências dos valores que obtemos ao calcular o discriminante de uma função:

• Quando ∆ > 0, o valor resultante da raiz quadrada é real e positivo, o que possibilita determinar duas raízes com valores diferentes:

x’ = (–b + √Δ) / 2a e x” = (–b – √Δ) / 2a

• Quando ∆ = 0, o valor resultante da raiz quadrada também é zero, o que possibilita eliminar a raiz quadrada da fórmula. Desta maneira, não há como obter dois valores diferentes para as raízes, que podem ser calculadas assim:

x’ = x” = –b / 2a

• Quando ∆ < 0, chega-se a uma raiz quadrada de número negativo, que não pode ser resolvida no conjunto dos números reais. Desta forma, não existem raízes reais, por isso não é necessário calculá-las (pelo menos não no nível médio).

Ficou claro, pessoal? Antes de partirmos para a prática, acompanhem a seguinte dica com atenção.

 

3.1 Dica ninja do Ferretto sobre o cálculo das raízes da função quadrática

A fórmula de Bhaskara é o método mais infalível para o cálculo das raízes da função quadrática. Contudo, em alguns casos, pode ser mais rápido utilizar o chamado método da soma e produto. Se vocês quiserem saber como esse método funciona ou acompanhar alguns exemplos resolvidos sobre o assunto, vejam aqui no artigo exclusivo Método da soma e produto. Lembrando que aqui no blog vocês encontram muito conteúdo de qualidade.

4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE AS RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

1. Determine, se existirem, os zeros das funções abaixo:

a. f(x) = x² – 2x + 1
b. f(x) = x² – x – 2
c. f(x) = 2x² + 3x + 4

O que este exercício está nos propondo, pessoal, é encontrar as duas raízes de cada uma das funções, se elas existirem. Isso porque como estudamos neste texto, em alguns casos, as raízes da função quadrática podem ser imaginárias, ou seja, podem não existir no conjunto dos números reais.

Pois bem, sem dúvida alguma uma solução para o caso seria determinar os coeficientes a, b e c de cada uma das funções apresentadas, e aplica-los diretamente a fórmula de Bhaskara, de forma a definir de uma vez as raízes desejadas.

Contudo, é importante lembrar que o cálculo do discriminante da função quadrática nos permite conhecer o comportamento das raízes antes mesmo de conhecer os seus valores das numéricos. Se o discriminante for igual a zero (∆ = 0), podemos encontrar as raízes de forma mais simplificada, e se o discriminante for negativo (∆ < 0), sabemos que as raízes não existem dentro do conjunto dos números reais, e assim, nem precisamos envolver a fórmula de Bhaskara no assunto!

Por isso, vamos encontrar o discriminante de cada uma das funções apresentadas, e então, de acordo com o resultado obtido, iremos ou não em busca do valor numérico das raízes. Vem comigo!

 

f(x) = x² – 2x + 1

a = 1    b = – 2    c = 1

∆ = b² – 4∙a∙c

∆ = (– 2)² – 4∙1∙1

∆ = 4 – 4

∆ = 0

Sendo assim, sabemos que esta função possui duas raízes reais e iguais. Isso nos permite calcular as raízes de forma simplificada, olhem só!

x’ = x” = –(–2) / (2·1) = 1

 

f(x) = x² – x – 2

a = 1    b = – 1    c = – 2

∆ = b² – 4∙a∙c

∆ = (– 1)² – 4∙1∙(– 2)

∆ = 1 + 8

∆ = 9

Legal, temos um discriminante positivo! Esse é um sinal de que teremos duas raízes reais e diferentes. Vamos calculá-las!

x’ = (1 + 3) / 2 = 2 e x” = (1 – 3) / 2 = –1

 

f(x) = 2x² + 3x + 4

a = 2    b = 3    c = 4

∆ = b² – 4∙a∙c

∆ = 3² – 4 ∙ 2 ∙ 4

∆ = 9 – 32

∆ = – 23

Ora, ora, e não é que temos aí um discriminante negativo? Pois então, isso significa que essa função não possui raízes reais. Ao longo da jornada de estudos, vocês vão começar a perceber alguns padrões nos coeficientes das funções quadráticas. Aí, só de observar essas funções, já vai dar pra ter uma ideia se elas possuem raízes reais ou não.

E aí, gostaram da abordagem deste texto? Saber identificar o comportamento das raízes através do discriminante ajuda muito na hora de resolver problemas relacionados a função quadrática e também ao analisar e montar gráficos desse tipo de função.

Agora que vocês já sabem calcular e classificar as raízes da função quadrática, o próximo passo natural é entender o vértice da parábola e o estudo do sinal da função quadrática, já que os dois assuntos partem exatamente do valor do discriminante que vocês acabaram de aprender a calcular aqui.

Perguntas Frequentes sobre as Raízes da Função Quadrática

Toda função quadrática tem duas raízes?

Sim. Como toda função quadrática é formada por um polinômio de grau 2, ela sempre possui exatamente duas raízes. Porém, essas raízes nem sempre são números reais: quando o discriminante é negativo (Δ < 0), as duas raízes existem apenas no conjunto dos números complexos.

É possível uma função quadrática ter apenas uma raiz real?

Na prática, quando Δ = 0, a função possui duas raízes reais e iguais (x’ = x”), também chamada de raiz dupla. Por isso, alguns materiais descrevem esse caso como “uma raiz real”, enquanto outros preferem “duas raízes reais e iguais” — as duas formas descrevem exatamente a mesma situação.

O que significa quando o discriminante é negativo?

Significa que a função não possui raízes reais, ou seja, o gráfico da parábola não toca o eixo x em nenhum ponto. As duas raízes existem, mas pertencem ao conjunto dos números complexos, assunto que costuma ser aprofundado mais adiante nos estudos.

Qual é a diferença entre raiz e zero da função quadrática?

Nenhuma: “raiz” e “zero” da função são sinônimos. Os dois termos indicam os valores de x que tornam f(x) igual a zero, ou seja, os pontos em que a parábola corta o eixo x.

Dá para saber quantas raízes reais uma função tem sem aplicar a fórmula de Bhaskara inteira?

Dá sim. Basta calcular o discriminante (Δ = b² – 4ac): o sinal de Δ já revela a quantidade e a natureza das raízes, então, dependendo do que se deseja saber, muitas vezes nem é preciso concluir o cálculo da fórmula de Bhaskara.

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Espero ter contribuído para os estudos de vocês! Logo abaixo, deixo um vídeo no qual vocês conferem uma abordagem complementar sobre as raízes da função quadrática, e de quebra, resolvem mais uma série de exercícios sobre o assunto. Aguardo todos vocês por lá!

Antes de ir, assista o vídeo do Professor Ferretto no YouTube sobre função quadrática.