ÁREA E VOLUME DA ESFERA

20/12/2019

A esfera é um sólido de revolução formado a partir da rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o seu diâmetro. No cotidiano, é possível pensar na esfera como uma bola, cuja área e volume são definidos em função de seu raio R.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Neste texto, nós vamos aprender a encontrar a área e o volume de um sólido muito conhecido no estudo da geometria espacial: a esfera! A esfera é dita como um sólido de revolução, porque é obtida pela rotação de um plano, nesse caso um semicírculo, em torno do seu eixo. Conhecer essa definição e também as fórmulas da área e do volume da esfera certamente são os primeiros passos para gabaritar as questões do assunto nas provas do ENEM e dos vestibulares!

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1. FÓRMULA DA ÁREA DA ESFERA

aluno mostra no quadro a fórmula A = 4πRˆ2

Dado um ponto O e um segmento de medida R. Chama-se esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância do centro é menor ou igual ao raio.

esfera de centro O e raio R

Dessa forma, é possível definir a área da superfície da esfera como o produto entre 4, o número irracional π e o raio R elevado ao quadrado.

O que pode ajudar a memorizar essa fórmula é a sua semelhança com a fórmula da área do círculo, πR2. Podemos dizer, por exemplo, que a área da superfície esférica de raio R é igual a área de 4 círculos de mesmo raio R.

 

2. FÓRMULA DO VOLUME DA ESFERA

aluno mostra no quadro a fórmula V = (4πRˆ3)/3

O volume da esfera pode ser calculado através do produto entre a fração 4/3, o número irracional π e a medida do raio R da esfera elevada ao cubo.

É claro que para chegar nessa fórmula houve um processo de dedução com base no volume de outros sólidos estudados na geometria espacial. Mas para resolver as questões do ENEM e dos vestibulares, acreditem, não é necessário conhecer essa dedução, apenas a fórmula em si.

Querem ver como é verdade? Então, vamos aos famosos exercícios resolvidos. Sigam comigo!

 

3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE A ESFERA

livro aberto onde está escrito exercício resolvido

 

3.1 Já caiu na UEG!

(UEG) Suponha que haja laranjas no formato de uma esfera com 6cm de diâmetro e que a quantidade de suco que se obtém ao espremer cada laranja é 2/3 de seu volume, sendo o volume dado em litros. Nessas condições, se quiser obter 1 litro de suco de laranja, deve-se espremer no mínimo (use π = 3,14),

a. 13 laranjas.
b. 14 laranjas.
c. 15 laranjas.
d. 16 laranjas.

A primeira frase do enunciado deste exercício nos mostra que a quantidade de suco gerada ao espremer cada laranja tem relação com o volume da laranja, que é uma esfera. Assim, sabendo que o diâmetro da esfera é igual a 6cm, temos implicitamente o conhecimento do raio da esfera, que é 3cm (r = d/2). Essa informação nos permite calcular o volume da laranja em questão:

Substituindo o valor de R por 3 na fórmula V = (4πRˆ3)/3 tem-se V = 36π cmˆ3

Conhecendo o volume de cada laranja, podemos calcular a quantidade de suco gerada:

Suco = 2/3 V resulta em 24π cmˆ3

Agora, observem um detalhe bem importante! Nós encontramos a quantidade de suco gerada por cada laranja em cm3. Contudo, o enunciado deixa claro que o volume é dado em litros. Portanto, antes de seguirmos, é necessário pensar na seguinte conversão:

1l —– 1000 cm3

Depois de realizar a conversão, podemos encontrar o número de laranjas necessário para gerar um litro de suco dividindo a quantidade de suco que deve ser obtida (1l ou 1000 cm3) pela quantidade de suco gerada por cada laranja (24π cm3). Aí, dois caminhos são válidos: obter o volume gerado por cada laranja em litros, ou utilizar como quantidade total o valor 1000 cm3. A fim de fugir dos números decimais e não trabalhar com vírgulas, utilizaremos a segunda opção.

1000 ÷ 24π = 13,26… laranjas

 

Como assim, Ferretto?

Mas que resposta engraçada, não é mesmo? Imagino que seja possível espremer 13 laranjas, mas e as 0,26 restantes? Nesses casos, pessoal, é preciso refletir sobre o contexto da questão. Se o resultado do nosso raciocínio mostrou que são necessárias 13,26… laranjas para gerar 1l ou 1000 cm3 de suco, então é fato que 13 laranjas vão gerar um pouco menos de 1l de suco. Dessa forma, para garantir a quantidade de suco pedida, deve-se espremer 14 laranjas. 

 

3.2 Já caiu na Udesc!

(Udesc) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura.

bola esférica dividida em 24 faixas

Sabendo que o volume da bola é 2304π cm3 então a área da superfície de cada faixa é de:
a. 20π cm2
b. 24π cm2
c. 28π cm2
d. 27π cm2
e. 25π cm2

Que questão interessante, não é mesmo? Vejam que no seu enunciado se fala sobre área e volume da esfera. Perfeito, afinal, estamos estudando essas duas fórmulas no texto de hoje!

Bom, nós conhecemos o volume da bola, que é 2304π cm3. Essa informação nos permite obter o raio da esfera, dessa forma:

Substituindo o valor de V por 2304π na fórmula V = (4πRˆ3)/3 tem-se R = 12 cm

Sabendo que o raio da esfera mede 12 cm, podemos encontrar a área total da superfície da esfera, através da fórmula:

A = 4·π·R2

 A = 4·π·122

A = 576π cm2

Agora que a área total da superfície da bola esférica é conhecida, devemos nos atentar ao detalhe que ela é composta por 24 faixas iguais e que o exercício pede justamente a área de cada faixa. Sem problema algum, afinal, se as 24 faixas são iguais, dividindo a área da superfície total por 24, temos a área de cada faixa.

Afaixa = 576π ÷ 24 = 24π cm2

 

Encerrando com um super bônus … 

Legal, não é, pessoal? Vejam que não há mistério quanto a utilização das fórmulas da área e do volume da esfera. Assim, espero que o texto de hoje tenha sido muito proveitoso para os estudos de vocês!

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