Resposta rápida Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r, chamada razão. De acordo com o sinal de r, a PA é classificada em crescente (r > 0), decrescente (r < 0) ou constante (r = 0). As duas fórmulas mais usadas são o termo geral, an = a1 + (n − 1)·r, e a soma dos termos, Sn = (a1 + an)·n / 2.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje vamos falar sobre a sequência numérica mais simples e mais conhecida dentro da matemática do ensino médio: a progressão aritmética, que costumamos chamar carinhosamente de PA. Mas não pensem que qualquer sequência numérica pode ser chamada assim: toda PA possui uma relação constante entre os seus termos, e quem acompanhar o texto até o fim vai conhecê-la em detalhes.

Neste guia completo, reunimos tudo o que você precisa saber sobre progressão aritmética: definição, classificação em crescente, decrescente ou constante, fórmulas do termo geral e da soma dos termos, interpolação de meios, notações especiais e exercícios resolvidos. Assim, você não precisa procurar em vários lugares: começando pelos conceitos introdutórios logo abaixo, encontra aqui também o caminho para os artigos completos de cada fórmula. Peguem seus materiais de estudo e vem comigo!

O Que É uma Progressão Aritmética?

Como foi dito logo no início do texto, uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do anterior com uma constante r dada. Para que a ideia fique mais clara, vamos analisar a seguinte sequência:

(4, 7, 10, 13, 16, 19, …)

Observem que a sequência acima é formada pelos números 4, 7, 10, 13, 16, 19, e por outros que seguem rumo ao mais infinito. Esses números são os chamados termos da progressão. Pela ordem em que são apresentados é que definimos qual é o primeiro termo (a₁), o segundo termo (a₂), o terceiro termo (a₃) e assim sucessivamente.

Mas o mais importante de tudo é repararmos que existe uma relação constante do a₁ para o a₂, do a₂ para o a₃, do a₃ para o a₄, e assim por diante, infinitamente. Podemos dizer que cada termo, a partir de a₂, é obtido pela soma do anterior com um número fixo. Sendo assim: qual é o número que somado a 4 resulta em 7? E o que somado a 7 resulta em 10? Ou ainda, o que somado a 10 resulta em 13? Sempre 3!

Incrível, não é mesmo? Esse número fixo, que somado a cada termo antecedente dá origem ao termo sucessor da sequência — e que no nosso exemplo vale 3 —, não é ninguém menos do que a razão da progressão aritmética (r)!

Qual É a Fórmula da Razão de uma PA?

Sob um segundo ponto de vista, também podemos dizer que uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do penúltimo, é igual à diferença entre seu sucessor e uma constante r dada. Por isso, se descontarmos de qualquer um dos termos do nosso exemplo (com exceção do a₁) o valor 3, encontraremos seu termo antecessor.

Essa ideia nos permite definir uma fórmula para a razão r da PA. Olhem só!

Parece que fomos um pouco modestos ao afirmar que existiria apenas uma fórmula para a razão da PA. O fato é que podemos obter r descontando de qualquer termo da progressão (sempre com exceção do a₁) o seu termo antecedente. Podemos usar os valores do primeiro e do segundo termo, do quarto e do quinto, e até do vigésimo quarto e do vigésimo quinto — desde que a razão se mantenha constante ao longo de toda a sequência. De forma geral, a fórmula da razão pode ser escrita como:

r = a_n+1 − a_n, para todo n natural maior ou igual a 1.

Entendido? Então vamos a alguns exemplos para que não restem dúvidas!

Exemplos Resolvidos: Como Identificar uma PA

Dadas as sequências abaixo, vamos verificar, passo a passo, se são ou não progressões aritméticas.

a) (1, 3, 5, 7, 9, …)

Vocês devem estar curiosos para saber por que cada sequência é descrita entre parênteses: eles indicam que os termos seguem uma ordem específica. Bom, parece mesmo haver uma relação constante entre os valores dessa sequência. Mas, para termos certeza de que se trata de uma PA, vamos calcular sua razão r.

r = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃

r = 3 − 1 = 5 − 3 = 7 − 5

r = 2 = 2 = 2 ⟹ r = 2

Fizemos vários cálculos para determinar a razão r da sequência e chegamos sempre ao mesmo resultado: 2. Por esse motivo, não há dúvidas de que se trata de uma PA! Vejamos agora como as próximas sequências se comportam.

b) (2, 4, 8, 16, 32, …)

À primeira vista, parece que também existe uma relação constante entre os termos. Para confirmar, vamos calcular a razão r:

r = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃

4 − 2 = 8 − 4 = 16 − 8 ⟹ 2 ≠ 4 ≠ 8

Opa! Apesar da aparência, os termos dessa sequência não se relacionam como em uma progressão aritmética — a diferença entre eles não é constante. Trata-se, na verdade, de uma progressão geométrica (PG), em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão fixa, e não somado a ela. Se você quiser entender esse outro tipo de sequência em detalhes, confira nosso guia completo sobre Progressão Geométrica.

Quando a Razão da PA Não É Positiva

Até aqui, vimos razões positivas. Mas, assim como qualquer número real, a razão de uma PA também pode ser negativa ou até igual a zero — e é exatamente isso que os próximos dois exemplos mostram.

c) (0, −2, −4, −6, −8, …)

Embora essa sequência seja formada por números negativos, também é possível observar uma relação constante entre seus termos. Vamos calcular a razão r:

r = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃

r = −2 − 0 = −4 − (−2) = −6 − (−4)

r = −2 = −2 = −2 ⟹ r = −2

A partir desse cálculo, concluímos que a sequência (0, −2, −4, −6, −8, …) é uma PA de razão igual a −2.

d) (3, 3, 3, 3, 3, 3, …)

E aí, o que acharam dessa sequência? Parece estranho que uma PA seja formada por números repetidos, não é mesmo? Mas, antes de tirarmos conclusões precipitadas, vamos seguir o procedimento e calcular a razão r:

r = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃

r = 3 − 3 = 3 − 3 = 3 − 3 ⟹ r = 0

Como todos os cálculos da razão resultaram no mesmo valor, podemos afirmar que a sequência (3, 3, 3, 3, 3, 3, …) é, sim, uma progressão aritmética — de razão igual a 0.

Dentro dos exemplos que resolvemos, 3 das 4 sequências apresentadas formavam uma PA, e cada uma delas tinha uma razão diferente: positiva, negativa ou igual a zero. Parece um detalhe pequeno, mas, como veremos a seguir, é exatamente o valor da razão que determina a classificação de cada progressão aritmética dentro de 3 categorias. Vem comigo!

Classificação de uma Progressão Aritmética

Classificar uma PA é simples: basta observar o valor da razão r e o comportamento da sequência ao longo dos termos. Olhem só!

PA Crescente

Uma PA é crescente quando sua razão é positiva, ou seja, quando r > 0. Dessa forma, cada termo seguinte é sempre maior que o anterior — os valores da sequência estão sempre aumentando.

(6, 10, 14, 18, …)

A sequência acima é uma PA crescente. Se ficarmos atentos ao valor dos termos, veremos que eles estão sempre crescendo, já que a razão da progressão é positiva: r = 4.

PA Decrescente

Uma PA é decrescente quando sua razão é negativa, ou seja, r < 0. Assim, cada termo seguinte é sempre menor que o anterior — os valores da sequência estão sempre diminuindo.

(13, 8, 3, −2, −7, …)

A sequência acima é uma PA decrescente, pois sua razão é negativa: r = −5. Reparando com atenção nos termos, é possível perceber que os valores estão diminuindo, decrescendo.

PA Constante

Uma PA é constante (ou estacionária) quando sua razão é nula, ou seja, r = 0. Nesse caso, todos os termos da sequência são iguais — não se alteram.

(5, 5, 5, 5, …)

A sequência (5, 5, 5, 5, …) é uma PA constante. Seus termos nunca se alteram e, portanto, sua razão r é igual a zero.

Para fixar de vez os três tipos, veja o resumo comparativo abaixo:

Tipo de PA	Condição da razão	Exemplo
Crescente	r > 0	(6, 10, 14, 18, …), com r = 4
Decrescente	r < 0	(13, 8, 3, −2, −7, …), com r = −5
Constante	r = 0	(5, 5, 5, 5, …), com r = 0

Fórmulas da PA: Termo Geral, Soma, Interpolação e Notações Especiais

Tudo o que vimos até aqui é a base da progressão aritmética. Mas, assim que você domina a definição e a classificação, o próximo passo natural é aprender a calcular qualquer termo da sequência, somar vários termos de uma vez e reconhecer notações especiais que aparecem bastante em prova. Resumimos cada um desses tópicos abaixo, com link direto para o artigo completo, com dedução da fórmula, mais exemplos e exercícios.

Termo Geral de uma PA

Quando você já conhece o primeiro termo e a razão de uma PA, consegue descobrir qualquer termo da sequência sem precisar escrevê-la toda, usando a fórmula do termo geral:

a_n = a₁ + (n − 1)·r

Por exemplo, na PA (5, 8, 11, …), o 12º termo é a₁₂ = 5 + 11·3 = 38. Quer entender a dedução completa da fórmula, a versão que usa um termo qualquer a_k como referência, e resolver mais exercícios? Confira o artigo completo: Termo Geral de uma Progressão Aritmética.

Soma dos Termos de uma PA

E se você precisar somar, por exemplo, os 100 primeiros termos de uma PA sem escrever a conta toda? Foi justamente esse tipo de desafio que o matemático Carl Friedrich Gauss resolveu ainda criança, percebendo que bastava somar os extremos da sequência e multiplicar pela metade da quantidade de termos:

S_n = (a₁ + a_n)·n / 2

Assim, somar os 6 primeiros termos da PA (2, 6, 10, 14, 18, 22), de razão 4, resulta em S₆ = (2 + 22)·6/2 = 72. Veja a demonstração completa, a história de Gauss e mais exemplos no artigo: Soma dos Termos de uma PA.

Interpolação de Meios Aritméticos

Às vezes, você já conhece os dois extremos de uma PA e precisa descobrir os termos que ficam entre eles, mantendo a mesma razão. Esse processo é chamado de interpolação de meios aritméticos e costuma aparecer em questões de vestibular. Entenda o passo a passo completo em: Interpolação de Meios Aritméticos.

Notações Especiais de uma PA

Em alguns exercícios, é mais prático representar os termos de uma PA de forma simétrica em torno de um valor central — por exemplo, (x − r, x, x + r) para três termos. Essas notações facilitam bastante a resolução de problemas e ganham um artigo só delas: Notações Especiais de uma Progressão Aritmética.

Onde a Progressão Aritmética Aparece no Dia a Dia

A progressão aritmética vai muito além dos exercícios de sala de aula. Ela aparece, por exemplo, em juros simples, nos quais o valor pago cresce sempre pela mesma quantia a cada período — tema que exploramos com mais detalhes no artigo sobre Juros Simples e sua Relação com Função Afim e Progressão Aritmética.

A PA também está presente na disposição de fileiras de um teatro ou estádio, quando cada fileira tem um número fixo de poltronas a mais que a anterior. Imagine, por exemplo, que a primeira fileira de um auditório tenha 20 poltronas e que cada fileira seguinte tenha sempre 3 poltronas a mais. Logo, o número de poltronas por fileira forma a PA (20, 23, 26, …), de razão r = 3. Portanto, na 10ª fileira haverá a₁₀ = 20 + 9·3 = 47 poltronas e, ao todo, as dez primeiras fileiras terão S₁₀ = (20 + 47)·10/2 = 335 lugares.

Exercícios Propostos sobre Progressão Aritmética

Agora que já vimos a teoria, é hora de praticar. Tentem resolver os exercícios abaixo antes de conferir o gabarito comentado!

Exercício 1

Classifique cada uma das PAs abaixo em crescente, decrescente ou constante, indicando o valor da razão r:

• a) (12, 15, 18, 21, …)
• b) (50, 42, 34, 26, …)
• c) (−7, −7, −7, −7, …)

Exercício 2

Em uma academia, o aluno caminha 15 minutos no primeiro dia de treino e, a cada dia seguinte, aumenta o tempo sempre na mesma quantidade: 20 minutos no segundo dia, 25 no terceiro, e assim por diante. Essa sequência de tempos forma uma PA? Se sim, qual é a razão e como ela se classifica?

Exercício 3

Os números (x − 2, 2x + 1, 5x) formam, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão aritmética. Determine o valor de x, escreva a PA correspondente e classifique-a quanto à razão.

Gabarito Comentado

Exercício 1

• r = 15 − 12 = 3 > 0 ⟹ crescente
• r = 42 − 50 = −8 < 0 ⟹ decrescente
• r = −7 − (−7) = 0 ⟹ constante

Exercício 2

Sim. Os tempos (15, 20, 25, 30, 35, …) formam uma PA de razão r = 5, pois cada termo é 5 minutos maior que o anterior. Como r > 0, a PA é crescente.

Exercício 3

Em uma PA, o termo do meio é igual à média aritmética dos vizinhos, ou seja, 2·(2x + 1) = (x − 2) + 5x. Resolvendo: 4x + 2 = 6x − 2 ⟹ 4 = 2x ⟹ x = 2. Substituindo, os termos ficam (0, 5, 10), com razão r = 5. Como r > 0, a PA é crescente.

Perguntas Frequentes sobre Progressão Aritmética

O que é uma progressão aritmética (PA)?

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r, chamada razão da PA. Por exemplo, na sequência (4, 7, 10, 13, …), cada termo é obtido somando 3 ao anterior.

Como classificar uma PA em crescente, decrescente ou constante?

Basta observar o sinal da razão r. Se r > 0, a PA é crescente; se r < 0, é decrescente; e se r = 0, é constante, pois todos os termos permanecem iguais.

Qual é a fórmula do termo geral de uma PA?

É a_n = a₁ + (n − 1)·r, em que a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo desejado. Veja a dedução completa no artigo sobre Termo Geral de uma PA.

Como calcular a soma dos termos de uma PA?

Usa-se a fórmula S_n = (a₁ + a_n)·n / 2, o mesmo método que Gauss usou para somar rapidamente os 100 primeiros números naturais. Confira exemplos no artigo sobre Soma dos Termos de uma PA.

Qual é a diferença entre progressão aritmética e progressão geométrica?

Na PA, cada termo é obtido somando uma razão constante r ao termo anterior. Na PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Saiba mais em Progressão Geométrica (PG).

Uma PA pode ter razão negativa ou igual a zero?

Sim. Quando r < 0, a PA é decrescente; quando r = 0, é constante — ambos os casos são progressões aritméticas válidas, desde que a diferença entre termos consecutivos seja sempre a mesma.

Videoaula sobre Progressão Aritmética

Para revisar tudo o que vimos aqui de um jeito rápido e visual, assista à videoaula abaixo, em que o Professor Ferretto resolve exemplos de progressão aritmética passo a passo:

https://www.youtube.com/embed/TC2HcZV3mGo

Se preferir, acompanhe também dicas rápidas no Instagram do Professor Ferretto (@professorferretto) e as videoaulas completas no canal do YouTube.

Interessante, não é, pessoal? A verdade é que tudo o que vimos aqui é apenas uma pequena parte de todo o conhecimento que envolve as progressões aritméticas. Por isso, não deixem de explorar os artigos completos linkados ao longo do texto!

Gostou deste conteúdo? Então aproveite para turbinar seus estudos com os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto!

Quer saber exatamente quais assuntos mais caem no Enem dentro da Matemática? O Enem’s Anatomy é uma análise gratuita de incidência que mostra onde focar os seus estudos.

Deseja ter uma preparação completa em matemática e ciências da natureza? Então conheça os planos e cursos da Plataforma do Professor Ferretto e venha com a gente garantir a sua vaga no ensino superior!

Leia Também: Outros Posts do Cluster de Progressão Aritmética

• Termo Geral de uma Progressão Aritmética
• Soma dos Termos de uma PA
• Interpolação de Meios Aritméticos
• Notações Especiais de uma Progressão Aritmética (PA)
• Progressão Geométrica (PG): definição e classificação

E eu fico por aqui! Bons estudos a todos vocês! Nos vemos em breve.