Expressões Numéricas: ordem das operações com exercícios

Em muitas questões, nos deparamos com um conjunto de números ligados por várias operações e sinais gráficos: são as expressões numéricas! Aprenda a ordem das operações e como resolvê-las!

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

As expressões numéricas pertencem à matemática básica, mas são extremamente importantes para todos os assuntos da matemática do ensino médio. Elas são formadas por uma série de números e operações entre eles que também podem envolver alguns sinais gráficos — também chamados de sinais de associação —, tais como os famosos parênteses, colchetes e chaves. Quem conhece a ordem apropriada para resolução destas expressões não se engana na hora de resolver as questões do ENEM e dos vestibulares. Por isso, nós vamos estudar a ordem das operações e a ordem dos sinais aqui no texto, e iremos resolver uma série de exercícios também, para que não restem mais dúvidas sobre o assunto!

Beleza, pessoal? Estão com lápis e papel na mão? Então não deixem de anotar tudo o que vamos estudar a partir de agora. Venham comigo!

Resposta rápida: qual é a ordem para resolver uma expressão numérica?

Primeiro, eliminamos os sinais de associação, sempre de dentro para fora: parênteses ( ), depois colchetes [ ] e, por fim, chaves { }. Dentro de cada um deles — e também fora, quando não há sinais —, seguimos esta prioridade:

1º) potenciação e radiciação;

2º) multiplicação e divisão, da esquerda para a direita;

3º) adição e subtração, da esquerda para a direita.

Portanto, quando duas operações têm a mesma prioridade, resolvemos primeiro a que aparece mais à esquerda.

O que é uma expressão numérica?

Uma expressão numérica é uma sequência de números ligados por operações matemáticas — adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação —, podendo ter sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves) para indicar o que deve ser calculado primeiro. Resolvê-la significa chegar a um único número, que é o seu valor.

Veja dois exemplos bem simples:

3 · (8 + 2) – 4 = 3 · 10 – 4 = 30 – 4 = 26

5 + 3 · 4 = 5 + 12 = 17

No segundo exemplo, repare que a multiplicação foi resolvida antes da adição. Caso contrário, teríamos (5 + 3) · 4 = 32, um resultado diferente — e errado! Dessa forma, fica claro por que precisamos de uma ordem única, combinada por todo mundo.

Atenção: não confunda com expressão algébrica. A expressão numérica só tem números, como 2 + 3 · 5. Já a expressão algébrica também tem letras (variáveis), como 2x + 3 · 5; nesse caso, só chegamos a um valor numérico depois de substituir a letra por um número.

Como resolver uma expressão numérica?

Vamos começar nosso estudo olhando para a figura: nosso amigo está pensando justamente em como resolver [(18 + 3 · 2) ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 3. Calma, que já vamos resolvê-la juntos! Antes, porém, conheçam uma expressão ainda maior, que servirá de exemplo principal do texto de hoje: com vocês, uma expressão numérica!

[√100 – (2⁴ – 8) · 2 – 24] ÷ (2² – 3 + 2) =

Vocês já imaginaram o tamanho da bagunça que aconteceria se cada pessoa pudesse resolver uma expressão como essa do jeito que bem entendesse? Com toda a certeza, teríamos uma série de resultados diferentes para o caso. Por isso, foi estabelecida uma ordem para resolução das expressões numéricas, tanto em relação às operações de radiciação, potenciação, multiplicação, divisão, adição e subtração que podem estar envolvidas, quanto em relação aos sinais gráficos, tais como parênteses, colchetes e chaves, que podem ser utilizados.

Vamos ver juntos como proceder em cada caso? É só seguir comigo!

Passo a passo para resolver qualquer expressão numérica

1. Identifique os sinais de associação. Se houver parênteses, colchetes e chaves, comece pelo par mais interno: os parênteses.
2. Resolva as potências e as raízes que estiverem dentro desse par.
3. Resolva as multiplicações e as divisões, na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.
4. Resolva as adições e as subtrações, também da esquerda para a direita.
5. Elimine o sinal quando sobrar um único número dentro dele e repita o processo com o próximo (colchetes e, depois, chaves) até restar apenas um número.

Guardem esta lista, pessoal: ela vale para qualquer expressão numérica, das mais simples às mais longas.

Ordem dos sinais gráficos: parênteses, colchetes e chaves

Resolver uma expressão numérica significa encontrar um único valor numérico que seja equivalente a toda essa expressão. Por isso, mesmo que uma certa expressão numérica seja repleta de parênteses, colchetes e chaves, uma hora ou outra, todos esses sinais gráficos precisam ser eliminados — sempre nesta ordem. Eles são chamados de sinais de associação porque agrupam as operações que devem ser feitas antes das demais:

Ordem	Sinal gráfico	Símbolo
1º	Parênteses	( )
2º	Colchetes	[ ]
3º	Chaves	{ }

 

Mas como isso acontece? Primeiramente, todas as operações que estão no interior dos parênteses devem ser resolvidas, gerando como resultado um único número. Neste momento, os parênteses deixam de aparecer na expressão. Em seguida, as operações que estão no interior dos colchetes são efetuadas, gerando novamente um único número. Aí os colchetes são removidos da expressão, restando apenas as operações que estão no interior das chaves. Quando estas são resolvidas, mais uma vez, chegamos a um único número, e as chaves finalmente podem ser eliminadas.

Parênteses ( )

Os parênteses são o primeiro sinal a ser resolvido em qualquer expressão numérica. Tudo o que estiver dentro deles deve ser calculado primeiro, seguindo a ordem das operações que veremos no próximo tópico, até sobrar um único número.

Colchetes [ ]

Depois que todos os parênteses de uma expressão foram eliminados, é a vez dos colchetes. Eles costumam aparecer “por fora” dos parênteses, e só podem ser resolvidos depois que o conteúdo interno — incluindo eventuais parênteses — já virou um único número.

Chaves { }

As chaves são o último sinal gráfico a ser eliminado, normalmente envolvendo toda a parte restante da expressão. Só entram em jogo depois que parênteses e colchetes já foram resolvidos. E se a expressão tiver ainda mais níveis? A regra continua a mesma: sempre de dentro para fora.

Vamos resolver alguns exemplos simples, apenas com operações de adição e subtração, a fim de que vocês entendam como funciona a ordem de eliminação dos sinais gráficos que acabamos de estudar.

20 + [30 – (11 + 5) + 2]

20 + [30 – 16 + 2] =

20 + 16 = 36

Fácil, não é?! Em seguida, temos mais um exemplo:

3 + {5 – [14 + (15 – 7)] + 8}

3 + {5 – [14 + 8] + 8} =

3 + {5 – 22 + 8} =

3 + (–9) = –6

Sinal de menos antes dos parênteses

Um cuidado importante: quando há um sinal de menos na frente de um parêntese, ele não “some”. Primeiro resolvemos o que está dentro do parêntese e, depois, subtraímos o resultado. Como subtrair um número negativo é o mesmo que somar o seu oposto, o sinal acaba sendo trocado. Veja:

10 – (3 – 5)

10 – (–2) =

10 + 2 = 12

Certo, pessoal? Agora que vocês já sabem como funciona a ordem dos sinais gráficos nas expressões numéricas, vamos conhecer a prioridade em relação às operações envolvidas nessas expressões. Acompanhem comigo! Se quiserem revisar antes como funcionam os números negativos, vale uma passada pelo nosso texto sobre números naturais e inteiros.

Ordem das operações matemáticas

Dentro de cada sinal gráfico, existe ainda uma outra ordem a ser seguida: a das próprias operações matemáticas. Ela vale tanto dentro de parênteses, colchetes e chaves, quanto em uma expressão sem nenhum sinal gráfico. A prioridade é esta:

Ordem	Operação	Se houver mais de uma da mesma prioridade
1º	Potenciação ou radiciação	Se uma não depende da outra, tanto faz; se uma está dentro da outra, de dentro para fora
2º	Multiplicação ou divisão	Sempre da esquerda para a direita
3º	Adição ou subtração	Sempre da esquerda para a direita

 

Primeiro resolvemos potências ou raízes, depois passamos para as multiplicações ou divisões, e só no fim nos preocupamos com as adições ou subtrações. Atenção, porém: o “ou” da tabela não significa que podemos escolher qualquer ordem em todos os casos. Como veremos a seguir, isso só vale para potências e raízes.

Potenciação e radiciação

Potências e raízes têm a mesma prioridade entre si e sempre vêm antes de multiplicações, divisões, adições e subtrações. Como cada uma atua sobre o seu próprio número, quando aparecem separadas na expressão — como em 3² + √16 — a ordem entre elas não altera o resultado: 9 + 4 = 13, não importa qual delas calculamos primeiro. Já quando uma está dentro da outra, como em √(2⁴), resolvemos de dentro para fora: 2⁴ = 16 e, depois, √16 = 4.

Dúvida comum: “Professor, você falou ‘potenciação ou radiciação’, ‘multiplicação ou divisão’ e ‘adição ou subtração’. Isso quer dizer que posso resolver qualquer uma delas primeiro?”

Resposta: depende do par! Entre potências e raízes independentes, sim, pois o resultado final é o mesmo. Já entre multiplicação e divisão — e também entre adição e subtração —, não: aqui vale a regra da esquerda para a direita, que vamos ver agora.

Multiplicação e divisão

Depois de resolvidas as potências e raízes, é a vez das multiplicações e divisões. Elas têm a mesma prioridade, logo devemos resolvê-las na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita. Por exemplo:

24 ÷ 4 · 2 = 6 · 2 = 12

Se multiplicássemos primeiro, teríamos 24 ÷ 8 = 3, um resultado errado.

Adição e subtração

Por último, restam apenas as adições e subtrações. Assim como no caso anterior, elas têm a mesma prioridade e seguem da esquerda para a direita. Por exemplo:

10 – 4 + 3 = 6 + 3 = 9

Se somássemos 4 + 3 primeiro, chegaríamos a 10 – 7 = 3, outro resultado errado. Quer um truque para reorganizar a conta? Leve o sinal junto com o número que vem depois dele. Assim, 10 – 4 + 3 = 10 + 3 – 4 = 9, o mesmo resultado.

Entendido? Então, vamos a alguns exemplos:

[(18 + 3 · 2) ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 3

[24 ÷ 8 + 15] ÷ 3 =

[3 + 15] ÷ 3 =

18 ÷ 3 = 6

Vejam que é muito importante prestar bastante atenção nas operações e nos sinais gráficos de cada expressão que resolvemos. Às vezes, em meio a expressões grandes, podemos nos perder no meio de tantos termos, e se não seguirmos a ordem dos sinais gráficos ou não resolvermos as operações de acordo com a prioridade dada a cada uma delas, iremos obter um resultado totalmente diferente do real. Vamos a mais um exemplo para vocês testarem se estão seguindo a ordem direitinho!

3 · {4² – [5 · 2³ + 7 · (9² – 80)]}

3 · {16 – [40 + 7]} =

3 · {16 – 47} =

3 · (–31) = –93

Tranquilo, não é, pessoal? Quem acompanhar comigo mais alguns exemplos resolvidos, vai aprender uma forma de agilizar a resolução de algumas expressões numéricas. Vamos lá!

Exemplos resolvidos passo a passo

Na resolução do último exemplo do item anterior, algumas potências que não estavam entre os parênteses foram resolvidas ainda no primeiro passo. Isso aconteceu porque, dependendo do caso, podemos ir “adiantando” algumas operações sem prejudicar a resolução da expressão como um todo. Nos próximos exercícios resolvidos, se possível, algumas expressões serão resolvidas desta maneira com detalhes. Prestem atenção em todos os passos!

Exemplo 1

– 8 + { – 5 + [ (8 – 12) + (13 + 12) ] – 10 } =

– 8 + { – 5 + [ – 4 + 25 ] – 10 } =

– 8 + { – 5 + 21 – 10 } =

– 8 + 6 = – 2

Exemplo 2

{ [ (8 · 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) · 3 ] · 2 – (19 – 7) ÷ 6 } · 2 + 12 =

{ [ (32 + 3) ÷ 7 + (3 + 3) · 3 ] · 2 – 12 ÷ 6 } · 2 + 12 =

{ [ 35 ÷ 7 + 6 · 3 ] · 2 – 2 } · 2 + 12 =

{ [ 5 + 18 ] · 2 – 2 } · 2 + 12 =

{ 23 · 2 – 2 } · 2 + 12 =

{ 46 – 2 } · 2 + 12 =

44 · 2 + 12 =

88 + 12 = 100

Exemplo 3

Não podíamos finalizar o texto sem resolver a expressão numérica que nos serviu como exemplo em várias ocasiões, não é mesmo? Vem comigo!

[ √100 – (2⁴ – 8) · 2 – 24 ] ÷ (2² – 3 + 2) =

[ 10 – (16 – 8) · 2 – 24 ] ÷ (4 – 3 + 2) =

[ 10 – 8 · 2 – 24 ] ÷ 3 =

[ 10 – 16 – 24 ] ÷ 3 =

– 30 ÷ 3 = – 10

Regra de sinais e potências de base negativa nas expressões numéricas

Muitos erros em expressões numéricas não vêm da ordem das operações, mas dos sinais. Por isso, vale reforçar a regra de sinais da multiplicação e da divisão, que é a mesma para as duas:

Sinais dos números	Resultado	Exemplo
Iguais (+ e + ou – e –)	Positivo	(–4) · (–3) = 12
Diferentes (+ e – ou – e +)	Negativo	(–12) ÷ 4 = –3

Potência com base negativa: (–3)² e –3² não são iguais

Outro cuidado muito comum envolve as potências. Quando o número negativo está entre parênteses, o expoente atinge o número inteiro, com o sinal: (–3)² = (–3) · (–3) = 9. Já quando não há parênteses, o expoente atinge somente o 3, e o sinal de menos fica de fora: –3² = –(3 · 3) = –9. Logo, parênteses fazem toda a diferença!

Expressões numéricas com frações

As frações também aparecem nas expressões numéricas, e a ordem das operações continua exatamente a mesma. Veja um exemplo:

1/2 + 3/4 · 2/3

1/2 + 6/12 =

1/2 + 1/2 = 1

Primeiro resolvemos a multiplicação: 3/4 · 2/3 = 6/12, que simplificada vale 1/2. Só depois fizemos a adição, e 1/2 + 1/2 resultou em 1. Se precisarem relembrar como simplificar, confiram nosso texto sobre frações equivalentes e simplificação e também o de tipos de frações. Os critérios de divisibilidade também ajudam bastante a simplificar com agilidade.

Erros comuns ao resolver expressões numéricas

Como vimos, a ordem das operações é uma convenção, e quem a ignora acaba chegando a resultados diferentes do correto. Assim, reunimos na tabela abaixo os erros que mais aparecem e a forma certa de resolver cada um:

Situação	Erro comum	Jeito certo
5 + 3 · 4	Somar antes: 8 · 4 = 32	Multiplicar antes: 5 + 12 = 17
24 ÷ 4 · 2	Multiplicar antes: 24 ÷ 8 = 3	Da esquerda para a direita: 6 · 2 = 12
10 – 4 + 3	Somar antes: 10 – 7 = 3	Da esquerda para a direita: 6 + 3 = 9
(–3)2 e –32	Achar que os dois valem 9	(–3)2 = 9, mas –32 = –9
10 – (3 – 5)	Ignorar o sinal: 10 – 3 – 5 = 2	Resolver dentro antes: 10 – (–2) = 12
( ), [ ] e { } juntos	Resolver chaves ou colchetes antes dos parênteses	Sempre de dentro para fora: ( ), depois [ ], depois { }

 

Dessa forma, antes de calcular qualquer coisa, pare, olhe a expressão inteira e identifique o que deve ser resolvido primeiro.

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Exercícios de expressões numéricas para praticar

Chegou a hora de praticar! Resolva as expressões abaixo sozinho e só depois confira a resolução passo a passo. Tente aplicar a ordem dos sinais gráficos e das operações que vimos ao longo do texto.

Exercício 1: 15 + (20 – 8) ÷ 4

Resolução: 15 + 12 ÷ 4 = 15 + 3 = 18

Exercício 2: [36 ÷ (4 + 2)] – 3

Resolução: [36 ÷ 6] – 3 = 6 – 3 = 3

Exercício 3: √81 + 3² – (10 – 6)

Resolução: 9 + 9 – 4 = 14

Exercício 4: [(14 – 2) ÷ 3 + 5] · 2

Resolução: [12 ÷ 3 + 5] · 2 = [4 + 5] · 2 = 9 · 2 = 18

Exercício 5: 2 · {30 – [(5 + 3)² ÷ 4 – 7]}

Resolução: 2 · {30 – [64 ÷ 4 – 7]} = 2 · {30 – [16 – 7]} = 2 · {30 – 9} = 2 · 21 = 42

Exercício 6: 48 ÷ 6 · 2 – 5

Resolução: como divisão e multiplicação têm a mesma prioridade, seguimos da esquerda para a direita: 8 · 2 – 5 = 16 – 5 = 11

Exercício 7: (–3)² – 3² + 2 · (–4)

Resolução: 9 – 9 + 2 · (–4) = 9 – 9 + (–8) = 0 – 8 = –8

Exercício 8: 15 – (4 – 9) + 3 · (–2)

Resolução: 15 – (–5) + (–6) = 15 + 5 – 6 = 20 – 6 = 14

Exercício 9: (2/3 – 1/6) · 4

Resolução: (4/6 – 1/6) · 4 = 3/6 · 4 = 1/2 · 4 = 4/2 = 2

Exercício 10: Mariana comprou 3 cadernos de R$ 12 cada e 2 canetas de R$ 4 cada. Ela pagou com uma nota de R$ 50. Qual expressão numérica representa o troco e quanto ela recebeu?

Resolução: 50 – (3 · 12 + 2 · 4) = 50 – (36 + 8) = 50 – 44 = 6. Portanto, o troco foi de R$ 6,00.

Gabarito rápido:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
18	3	14	18	42	11	–8	14	2	R$ 6

Videoaula: expressões numéricas com o Professor Ferretto

Quem quiser revisar todos os cálculos que resolvemos, pode assistir ao vídeo abaixo. A abordagem do vídeo complementa todos os conhecimentos que vimos aqui.

Matemática Básica – Aula 5 – Expressões numéricas

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Perguntas frequentes sobre expressões numéricas

Qual é a ordem para resolver uma expressão numérica?

Primeiro eliminamos os sinais de associação, de dentro para fora: parênteses, colchetes e chaves. Dentro de cada um, resolvemos potências e raízes, depois multiplicações e divisões e, por fim, adições e subtrações. Operações de mesma prioridade (× e ÷, ou + e –) seguem da esquerda para a direita.

Multiplicação ou divisão: qual vem primeiro?

Nenhuma tem prioridade sobre a outra. Resolvemos a que aparecer primeiro, da esquerda para a direita. Em 24 ÷ 4 · 2, dividimos antes (6) e, depois, multiplicamos (12).

A soma sempre vem antes da subtração?

Não. Adição e subtração têm a mesma prioridade, logo seguem da esquerda para a direita. Em 10 – 4 + 3, subtraímos primeiro e obtemos 9; se somássemos antes, chegaríamos ao resultado errado, 3.

Qual é a ordem entre parênteses, colchetes e chaves?

Primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e, por último, as chaves { }, sempre de dentro para fora.

Posso resolver potências e raízes em qualquer ordem?

Quando uma não depende da outra, sim, pois o resultado é o mesmo. Quando uma está dentro da outra, como em √(2⁴), resolvemos de dentro para fora.

Qual é a diferença entre expressão numérica e expressão algébrica?

A expressão numérica só tem números e operações, e resulta em um único valor. A expressão algébrica também possui letras (variáveis), e o seu valor depende do número colocado no lugar delas.

Agora que vocês já estão craques nas expressões numéricas, podemos encerrar este texto! Espero que ele tenha sido muito proveitoso para os seus estudos em matemática! Portanto, continuem praticando e voltem à lista de exercícios sempre que precisarem.

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Um abração e ótimos estudos! Até o próximo texto!