Inequações do 2º Grau

Resposta direta: uma inequação do 2º grau é toda desigualdade que pode ser escrita como ax² + bx + c seguido de >, <, ≥ ou ≤ zero, com a ≠ 0. Para resolvê-la, transformamos a expressão em uma função f(x) = ax² + bx + c e fazemos o estudo do sinal dessa função: o sinal da desigualdade indica se queremos os valores de x que tornam f(x) positiva, negativa, ou igual a zero. Diferente de uma equação, a resposta nunca é um único número — é sempre um conjunto solução.

Olá pessoal, tudo bem por aí? Como acabamos de ver, as inequações do segundo grau podem ser definidas como relações de desigualdade que envolvem expressões matemáticas de grau 2. Embora pareçam assustadoras, a verdade é que essas inequações podem ser resolvidas facilmente, desde que se saiba realizar o estudo do sinal da função quadrática envolvida — e isso nós já aprendemos a fazer aqui no blog! Inclusive, posso provar para vocês que resolver uma inequação do 2º grau é ainda mais simples do que realizar todo o estudo do sinal de uma função em si! Portanto, não há razão para se assustar! Assim, depois de ler esse texto, eu garanto, vocês vão arrasar nas provas do ENEM e dos vestibulares!

Falando em ENEM e vestibulares, vocês sabiam que a plataforma do Professor Ferretto disponibiliza planos de estudo voltados para a prova que vocês pretendem realizar? O objetivo do Ferretto é garantir o real aprendizado do aluno, seja através das videoaulas, dos exercícios resolvidos em vídeo, dos simulados, ou das demais funcionalidades da plataforma — e o melhor, vocês acompanham tudo quando e onde desejarem, já que o curso é 100% online!

O Que São as Inequações do 2º Grau

Já estudamos no texto Inequação do 1º Grau: guia completo com exercícios resolvidos qual é a principal diferença entre uma equação e uma inequação, não é mesmo? Trazendo a ideia para cá, podemos dizer que as equações do 2º grau são relações de igualdade, e ao resolvê-las buscamos os únicos dois valores de x que tornam a sentença verdadeira, ou seja, as raízes da equação:

Equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0

Comparando essa expressão com as que veremos a seguir, não há dúvida de que apenas uma coisa muda: não é o grau da expressão, afinal o termo x² continua ali, mas sim o seu sinal! As inequações do 2º grau são relações de desigualdade, e por isso podem conter os sinais maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤):

Forma da inequação	Leitura
ax² + bx + c > 0	f(x) maior que zero (positiva)
ax² + bx + c < 0	f(x) menor que zero (negativa)
ax² + bx + c ≥ 0	f(x) positiva ou igual a zero
ax² + bx + c ≤ 0	f(x) negativa ou igual a zero

 

Ao resolvê-las, buscamos uma série de valores de x que tornam a sentença verdadeira, e que costumam ser representados em forma de conjunto solução. Até aqui está tudo tranquilo, não é mesmo? Mas fica a pergunta: como obter essa série de valores de x que tornam a sentença verdadeira, ou seja, como é possível resolver uma inequação do segundo grau? A resposta, é claro, tem relação com o estudo do sinal da função quadrática!

Como Resolver uma Inequação do 2º Grau

Por Que Não Podemos Isolar o x

Pessoal, vocês já experimentaram isolar a incógnita x de uma expressão do segundo grau completa (ax² + bx + c)? Não tem como, certo? Mesmo quando as expressões do 2º grau são incompletas, e até seria possível isolar x, se o assunto for inequações, NÃO se deixem levar por essa tentação: isolar x altera a expressão inicial e, portanto, é uma péssima ideia, porque o resultado sai errado. Não façam isso de jeito nenhum!

Depois desse aviso, é melhor partirmos logo para a maneira correta de resolver as inequações do 2º grau. Já que não dá para isolar a incógnita x, o jeito é transformar a expressão do segundo grau em uma função. Feito isso, basta estudar o sinal dessa função, mas agora com foco naquilo que o sinal de desigualdade pede. Ou, dito de outra forma:

Como Interpretar o Sinal da Desigualdade

Em texto, essa tabela funciona como uma cola rápida — e, diferente do padrão de concavidade que costuma aparecer nos concorrentes, ela liga direto o sinal da desigualdade à decisão que você precisa tomar no gráfico (bolinha aberta ou fechada nas raízes):

Sinal da desigualdade	O que queremos de f(x)	As raízes entram na solução?
ax² + bx + c > 0	f(x) positiva	Não (bolinha aberta)
ax² + bx + c ≥ 0	f(x) positiva ou igual a zero	Sim (bolinha fechada)
ax² + bx + c < 0	f(x) negativa	Não (bolinha aberta)
ax² + bx + c ≤ 0	f(x) negativa ou igual a zero	Sim (bolinha fechada)

 

Vocês perceberam que é o sinal de desigualdade que vai mandar em tudo o que faremos para resolver as inequações? Por isso, é nele que devemos prestar bastante atenção! Querem ver como é verdade? Vamos resolver alguns exercícios e tudo ficará mais claro!

Passo a Passo para Resolver uma Inequação do 2º Grau

Assim, antes dos exemplos, aqui vai o roteiro completo que vamos seguir em cada um deles:

1. Escrever a expressão como uma função: Deixe o lado direito igual a zero e chame o lado esquerdo de f(x) = ax² + bx + c.

2. Identificar os coeficientes a, b e c: O valor de a já revela a concavidade da parábola: para cima se a > 0, para baixo se a < 0.

3. Calcular o discriminante (Δ) e, se houver, as raízes: Use Δ = b² − 4ac. Se Δ ≥ 0, encontre as raízes pela fórmula de Bhaskara ou pelo método da soma e produto.

4. Esboçar o gráfico e aplicar o sinal pedido: Com a concavidade e as raízes em mãos, desenhe a parábola e leia, na tabela acima, se você quer a região positiva, negativa, e se as raízes entram ou não na solução.

Exemplos Resolvidos de Inequação do 2º Grau

Resolva as seguintes inequações:

Exemplo 1 — x² – 2x – 8 < 0

Observem que, para resolver essa inequação, nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão x² – 2x – 8 menor do que zero. Por isso, vamos transformar essa expressão em uma função f(x), e estudar seu sinal a fim de determinar para quais valores de x a função é negativa!

f(x) = x² – 2x – 8 a = 1 b = –2 c = –8

Reparem no valor numérico do coeficiente a: ele é positivo. Isso nos mostra que a concavidade da parábola formada será voltada para cima! Agora vamos ao cálculo do discriminante da função:

Δ = b² – 4ac = (–2)² – 4∙1∙(–8) = 4 + 32 = 36 → Δ > 0

Quando o discriminante de uma função do 2º grau resulta em um valor maior que zero, significa que a função possui duas raízes reais e distintas (x₁ ≠ x₂), e que sua parábola cortará o eixo x em dois pontos diferentes! Vamos calcular os valores numéricos dessas raízes através da fórmula de Bhaskara:

x = (–b ± √Δ) / 2a = (2 ± 6) / 2 → x₁ = 8/2 = 4 x₂ = –4/2 = –2

Observando o esboço do gráfico de f(x), vocês têm ideia de que valores de x vão entrar na solução da inequação? Lembrem: nós estamos estudando o sinal de f(x) para determinar para quais valores de x a função é negativa, por causa do sinal menor (<) presente na inequação. Assim, é fato que os únicos valores de x que nos interessam são aqueles que se situam entre –2 e 4, sem incluir o –2 e o 4 (bolinha aberta), porque essa é a única região em que a função é negativa, já que seu gráfico se encontra abaixo do eixo x!

Assim, para quaisquer valores reais de x entre –2 e 4, a função f(x) será negativa, ou menor que zero. Em forma de conjunto solução, temos:

S = {x ∈ ℝ | –2 < x < 4}

Confira: substituindo x = 0 (dentro do intervalo), f(0) = 0 – 0 – 8 = –8 < 0 ✓. Já x = 5 (fora do intervalo) dá f(5) = 25 – 10 – 8 = 7, que não é negativo — como esperado, já que 5 não pertence à solução.

Se vocês ficaram perdidos nesta primeira resolução, vale a pena revisitar o texto Estudo do Sinal de uma Função Quadrática (link no fim do texto), que explica a teoria e a prática com calma — por isso, aqui, seguimos de forma mais direta.

Exemplo 2 — –x² + 9 ≥ 0

Para resolver essa inequação, vejam que nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão –x² + 9 maior ou igual a zero. Vamos, então, transformá-la em uma função f(x) e estudar seu sinal a fim de determinar para quais valores de x a função é positiva ou igual a zero!

f(x) = –x² + 9 a = –1 b = 0 c = 9

Nesse caso, o valor numérico do coeficiente a é negativo, e portanto a concavidade da parábola formada será voltada para baixo! Mas há um detalhe curioso: o coeficiente b desta função vale zero! Como já vimos no texto Equações do 2º Grau Incompletas, expressões do segundo grau com coeficiente b igual a zero costumam ter duas raízes distintas, de mesmo módulo mas de sinais opostos — e calcular seus valores é simples, basta igualar a expressão a zero e isolar a incógnita x, já que aqui ainda estamos lidando com uma equação, não com a inequação original:

–x² + 9 = 0 → x² = 9 → x = ±3 → x₁ = –3 x₂ = 3

Conhecer as características de uma função do 2º grau incompleta nos permite esboçar seu gráfico pulando o cálculo do discriminante e da fórmula de Bhaskara, já que as raízes foram encontradas de outra maneira — mas isso não nos permite pular o estudo do sinal da função! No cálculo acima nós igualamos a expressão a zero, mas lembrem: não é possível isolar a incógnita x quando o sinal presente é de desigualdade!

E agora, quais serão os valores de x que vão entrar na solução da inequação? Lembrem: estamos estudando o sinal de f(x) para determinar para quais valores de x a função é positiva ou igual a zero, porque havia o sinal maior ou igual (≥) na inequação. Portanto, os valores de x que nos interessam são aqueles entre –3 e 3, já que nessa região o gráfico se encontra acima do eixo x. Mas não podemos esquecer de incluir os próprios valores –3 e 3 na solução (bolinha fechada), porque nesses pontos o gráfico corta o eixo x, o que faz com que f(x) seja igual a zero! Quando os sinais maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤) estão presentes na inequação, as raízes sempre fazem parte da solução!

 

S = {x ∈ ℝ | –3 ≤ x ≤ 3}

Exemplo 3 — 2x² – 2x + 5 > 0

Para resolver a inequação deste item, nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão 2x² – 2x + 5 maior do que zero. Vamos transformá-la em uma função f(x) e estudar seu sinal a fim de determinar para quais valores de x a função é positiva!

f(x) = 2x² – 2x + 5 a = 2 b = –2 c = 5

O coeficiente a desta função é positivo, portanto teremos mais um caso em que a concavidade da parábola será voltada para cima! Agora, olhem só o que acontece no cálculo do discriminante:

Δ = b² – 4ac = (–2)² – 4∙2∙5 = 4 – 40 = –36 → Δ < 0

Mas que beleza! O discriminante resultou em um valor negativo! Isso significa que a função possui duas raízes complexas (x₁ e x₂ ∉ ℝ), e que sua parábola não irá nem mesmo tocar o eixo x! Se não temos raízes reais, não existem motivos para calcularmos seus valores, não é mesmo? Assim, partiremos logo para o esboço do gráfico da função f(x).

Observem que, para qualquer valor real de x, a função é positiva, já que sua parábola se localiza completamente acima do eixo x. E nós demos sorte: estamos procurando justamente os valores de x que tornam a função positiva ou maior que zero! Isso nos permite concluir que qualquer número real faz parte da solução desta inequação.

S = ℝ

Exemplo 4 — –x² + 6x – 9 > 0

Neste último item, também deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão –x² + 6x – 9 maior do que zero. Novamente, vamos transformá-la em uma função f(x) e estudar seu sinal a fim de determinar para quais valores de x a função é positiva!

f(x) = –x² + 6x – 9 a = –1 b = 6 c = –9

Sendo o coeficiente a da função um valor negativo, é fato que a concavidade da parábola formada será voltada para baixo! Hora de partirmos para o próximo passo, o cálculo do discriminante:

Δ = b² – 4ac = 6² – 4∙(–1)∙(–9) = 36 – 36 = 0

Quando o discriminante de uma função do 2º grau resulta em um valor igual a zero, significa que a função possui duas raízes reais e iguais (x₁ = x₂). Graficamente, a parábola tocará o eixo x em um único ponto! Vamos calcular esse valor através da fórmula de Bhaskara:

x = –b / 2a = –6 / (–2) = 3 → x₁ = x₂ = 3

Vejam só que interessante: pelo esboço do gráfico de f(x), percebemos que existem valores de x que tornam a função negativa, e também um único valor de x que torna a função igual a zero — a sua raiz, claro. Agora, onde estão os valores de x que estamos procurando, ou seja, aqueles que tornam a função positiva, já que o sinal presente nesta inequação era o sinal maior (>)? Pois é, não demos sorte dessa vez! Não há nem mesmo um único valor de x que torne a sentença verdadeira. Essa situação só pode ser representada pelo conjunto vazio.

S = { } = ∅

Confira: testando o próprio x = 3 (a raiz), f(3) = –9 + 18 – 9 = 0, que não é maior que zero. Testando qualquer outro valor, como x = 0, f(0) = –9, também não é maior que zero — confirmando que realmente não existe x que satisfaça a inequação.

Não se assustem, pessoal: isso pode acontecer mesmo! E fatos inesperados como esse tornam as inequações do 2º grau ainda mais interessantes.

Inequação do 2º Grau × Inequação Simultânea do 2º Grau: Qual a Diferença

As inequações que resolvemos até aqui têm um único sinal de desigualdade, e por isso pedem apenas um estudo do sinal. Mas há questões — sobretudo no Enem e nos vestibulares — que combinam duas inequações do 2º grau ao mesmo tempo, ou mesmo uma única inequação com dois sinais de desigualdade, como –8 ≤ x² – 2x – 8 ≤ 0. Esse formato é chamado de inequação simultânea do 2º grau, e a lógica muda um pouco: depois de resolver cada inequação separadamente (exatamente como fizemos aqui), a solução final é a intersecção entre as duas soluções encontradas, e não cada uma isolada.

Ou seja: este texto ensina a ferramenta de base — resolver uma inequação do 2º grau — e o texto Inequações Simultâneas do 2º Grau ensina o passo extra da intersecção, com um exemplo completo. A recomendação é dominar bem este texto antes de avançar para o das simultâneas.

Exercícios Propostos (com Gabarito)

Chegou a hora de praticar sozinhos! Resolvam as inequações abaixo do mesmo jeito que fizemos nos exemplos — e confiram o gabarito comentado logo depois de cada uma.

1. x² – x – 6 > 0

Gabarito: a = 1, b = –1, c = –6 → Δ = 1 + 24 = 25 → x₁ = –2, x₂ = 3. Concavidade para cima (a > 0), e o sinal pedido é positivo, ou seja, fora do intervalo das raízes.

S = {x ∈ ℝ | x < –2 ou x > 3}

2. –x² + 5x – 6 ≥ 0

Gabarito: a = –1, b = 5, c = –6 → Δ = 25 – 24 = 1 → x₁ = 2, x₂ = 3. Concavidade para baixo (a < 0), sinal pedido positivo ou igual a zero — região entre as raízes, incluindo-as.

S = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 3}

3. 3x² – 2x + 1 ≤ 0

Gabarito: a = 3, b = –2, c = 1 → Δ = 4 – 12 = –8 < 0. Sem raízes reais e concavidade para cima (a > 0): a função é sempre positiva, nunca negativa ou igual a zero.

S = { } = ∅

Videoaula: Revise as Inequações do 2º Grau

Se vocês preferem revisar o conteúdo em vídeo, o vídeo abaixo complementa o texto com mais alguns exercícios resolvidos. Além do YouTube, vocês também encontram dicas rápidas no perfil do Professor Ferretto no Instagram e no canal do YouTube.

O que é uma inequação do 2º grau?

É toda desigualdade que pode ser escrita como ax² + bx + c seguido de >, <, ≥ ou ≤ zero, com a ≠ 0. Ao contrário da equação do 2º grau, que busca valores exatos de x, a inequação busca um conjunto de valores — um intervalo, uma união de intervalos, todos os reais, ou até o conjunto vazio.

Como resolver uma inequação do 2º grau sem isolar o x?

Transformando a expressão em uma função f(x) = ax² + bx + c e fazendo o estudo do sinal dessa função: encontre a concavidade (sinal de a), calcule o discriminante e, se houver, as raízes, esboce o gráfico e identifique a região que o sinal da desigualdade está pedindo.

Qual a diferença entre resolver uma equação e uma inequação do 2º grau?

Na equação (ax² + bx + c = 0), buscamos os valores exatos de x que zeram a expressão — no máximo duas raízes. Na inequação, buscamos todos os valores de x que tornam a expressão positiva, negativa, ou igual a zero, conforme o sinal pedido — a resposta é sempre um conjunto solução, não um número isolado.

O sinal da desigualdade muda a forma de resolver a inequação?

O método é sempre o mesmo (transformar em função e estudar o sinal), mas o sinal da desigualdade decide qual região do gráfico interessa: se é > ou <, as raízes ficam de fora da solução (bolinha aberta); se é ≥ ou ≤, as raízes entram na solução (bolinha fechada).

Uma inequação do 2º grau pode não ter solução, ou ter como solução todos os números reais?

Sim, as duas coisas podem acontecer. Quando o discriminante é negativo, a função nunca toca o eixo x: ela é sempre positiva (se a > 0) ou sempre negativa (se a < 0) — dependendo do sinal pedido pela inequação, a solução pode ser todo o conjunto dos números reais (ℝ) ou o conjunto vazio (∅), como vimos nos Exemplos 3 e 4.

Qual a diferença entre inequação do 2º grau e inequação simultânea do 2º grau?

A inequação do 2º grau (este texto) tem um único sinal de desigualdade e pede um só estudo do sinal. Já a inequação simultânea combina duas inequações do 2º grau ao mesmo tempo, e a solução final é a intersecção entre as duas soluções encontradas — o passo a passo completo está em Inequações Simultâneas do 2º Grau.

Continue Estudando (Leia Também)

• Função Quadrática: o que é, fórmula, gráfico e exemplos
• Estudo do Sinal de uma Função Quadrática
• Inequações Simultâneas do 2º Grau
• Equações do 2º Grau Incompletas
• Equação do 2º Grau e a Fórmula de Bhaskara
• Números Irracionais e Reais
• Introdução aos Conjuntos
• Inequação do 1º Grau: guia completo com exercícios resolvidos 

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