Fatorial: saiba o que é, como calcular e entenda as equações fatoriais

O fatorial de um número natural n é o produto dos números naturais consecutivos de 1 até n. O fatorial é representado por um ponto de exclamação (!), e costuma ser muito utilizado nas operações da análise combinatória, tais como arranjo, combinação e permutação.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Estamos aqui hoje para falar de um assunto simples, mas de extrema importância, principalmente para a análise combinatória. Se vocês já viram algum número acompanhado de um ponto de exclamação, é porque já conhecem a estrela deste texto: o fatorial! Vamos estudar a definição de fatorial, alguns conceitos importantes sobre o assunto e também as chamadas equações fatoriais, muito cobradas nos vestibulares mais tradicionais do país.

Certo, pessoal? Então, vamos conhecer a definição de fatorial. Vem comigo!

 

O Que é Fatorial? Definição e Fórmula

Seja n um número natural, com n ≥ 2. Define-se o fatorial de n, representado por n!, por meio da relação:

n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1

Então, pessoal, sempre que um ponto de exclamação aparecer ao lado de um número, significa que na verdade esse número é o produto dele mesmo por todos os seus antecessores naturais até o número 1. Vamos ver alguns exemplos para que a ideia fique mais clara:

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

Tomando como exemplo o 6!, reparem que o produto que gera seu valor começa com o próprio 6 e segue com números naturais cada vez uma unidade menores, até chegar em 3 vezes 2 vezes 1, conforme manda a definição.

Tabela do Fatorial: os Valores de 0! a 10!

Assim, para consultar rapidamente, veja a seguir o valor do fatorial de 0 a 10:

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800

Dessa forma, sempre que precisar conferir um valor rapidamente durante os estudos, é só voltar a esta tabela.

Agora, vamos ver se vocês repararam em um detalhe muito interessante que pode nos ajudar a resolver questões que envolvem frações com fatoriais. Sigam comigo!

 

Como Reescrever um Fatorial Maior em Função de um Fatorial Menor

Vejam que quando calculamos o fatorial do número 2, resolvemos o produto 2 x 1. Depois, ao calcularmos o fatorial do número 3, resolvemos o produto 3 x 2 x 1, ou seja, o produto do número 3 pelo produto equivalente ao 2!. Como todos os fatoriais seguem esse mesmo padrão, sempre será possível reescrever fatoriais de números maiores como o produto de alguns valores por fatoriais de números menores.

Querem ver onde essa ideia se aplica? Então, vamos simplificar algumas frações com fatoriais!

 

Exercício Resolvido: Simplificando Frações com Fatorial

Simplifique as seguintes frações:

a) 10!/8! b) 5!/9! c) 12!/(9! · 3!)

Para simplificar as 3 frações listadas acima, vocês poderiam, sem problema algum, escrever o produto completo de todos os fatoriais, realizar as multiplicações solicitadas, e por fim simplificar a fração resultante, caso fosse necessário. Contudo, não há como negar que isso daria um trabalho considerável. Por isso, nós vamos utilizar agora a técnica que acabamos de estudar, acompanhem!

A ideia é sempre observar o fatorial de maior valor que está presente na fração, seja no numerador ou no denominador. Em seguida, basta reescrever esse fatorial na forma de produto de alguns valores pelo fatorial de menor valor da fração. Posteriormente, é só colocar o fatorial comum em evidência, e pronto: temos a simplificação da fração!

10!/8! = 90 5!/9! = 1/3024 12!/(9! · 3!) = 220

Bem tranquilo, não é, pessoal? Sendo assim, podemos partir para algumas notas importantes, fiquem de olho!

 

Por Que 0! = 1 e 1! = 1? Entenda o Fatorial de Zero

Parece lógico que o fatorial do número 1 seja 1, não é? No entanto, por que será que dizem por aí que o fatorial do número 0 também é 1?

Com toda a certeza existem diversas explicações para o caso. Mas uma delas, tem tudo a ver com o padrão que identificamos neste texto. Acompanhem o raciocínio comigo.

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24  →  4! = 4 x 3!

Assim como podemos encontrar o valor de 4! com base no valor de 3!, também podemos fazer o contrário. Isolando o 3! da igualdade acima, temos o valor de 3! com base no valor de 4!.

3! = 4!/4

Seguindo a mesma lógica para 2!, 1! e 0!, olhem só onde vamos parar!

0! = 1!/1 = 1

Entendido? Então vamos a um último detalhe imprescindível para o estudo dos fatorais. Vem comigo!

 

Existe Fatorial de Número Negativo?

Conforme pode ser visto na imagem acima, não existe fatorial de número negativo. Contudo, é necessário termos em mente a seguinte diferença:

(– 4)! ≠ – 4!

Quando parênteses envolvem um número negativo do qual pede-se para extrair o fatorial, considera-se que a intenção é mesmo extrair o fatorial do número negativo. Dessa forma, sem dúvida alguma, o caso não tem solução. Contudo, quando não há a presença dos parênteses, considera-se que o fatorial é extraído apenas do número em si, sem considerar o sinal. Olhem só como funciona!

(– 4)! = ∄

– 4! = – (4 x 3 x 2 x 1) = – 24

Incrível, não é? Antes de seguirmos para as equações fatoriais, porém, vale reunir as propriedades mais importantes do fatorial em um só lugar.

Propriedades do Fatorial

Propriedade	O Que Significa	Exemplo
n! = n · (n − 1)!	Permite reescrever um fatorial maior em função de um fatorial menor	5! = 5 · 4!
0! = 1! = 1	Convenção que mantém as fórmulas de análise combinatória funcionando mesmo sem elementos para agrupar	—
Fatorial só existe para números naturais	Não há fatorial de número negativo (nem, nesta definição, de número não inteiro)	(− 4)! não existe
(a + b)! ≠ a! + b!	O fatorial não é distributivo em relação à soma	3! + 4! ≠ 7! (30 ≠ 5040)
(a · b)! ≠ a! · b!	Nem em relação à multiplicação	2! · 3! ≠ 6! (12 ≠ 720)

 

Com essas propriedades organizadas, portanto, já podemos avançar com tranquilidade para as equações fatoriais — conteúdo muito cobrado nos vestibulares mais tradicionais do país.

Equação Fatorial: Como Resolver

Toda equação que envolve fatoriais, é conhecida como equação fatorial. Não parece, mas resolver equações como essas é simples, desde que se elimine, de alguma forma, os fatoriais existentes na igualdade. Para fazer isso, vamos usufruir de uma ideia semelhante a que utilizamos para simplificar as frações com fatoriais, vejam só!

 

Exemplo 1: Equação Fatorial do EsPCEx

(EsPCEx-2015) A solução da equação abaixo é um número natural:

3! · (x − 1)! / [4 · (x − 3)!] = [182 · (x − 2)! − x!] / [2 · (x − 2)!]

a. Maior que nove.
b. Ímpar.
c. Cubo perfeito.
d. Divisível por cinco.
e. Múltiplo de três.

Do lado esquerdo da igualdade, temos os seguintes fatoriais: (x – 1)! e (x – 3)!. Se fôssemos resolvê-los tal qual manda a definição, poderíamos dizer, por exemplo, que:

(x – 1)! = (x – 1) ∙ (x – 2) ∙ (x – 3) ∙ (x – 4) ∙ (x – 5)!

(x – 3)! = (x – 3) ∙ (x – 4) ∙ (x – 5) ∙ (x – 6) ∙ (x – 7)!

Reparem que a cada novo fator do produto é descontada 1 unidade do fator anterior, iniciando pelo valor original. Também poderíamos reescrever dessa forma os fatoriais do lado direito da igualdade.

x! = x ∙ (x – 1) ∙ (x – 2) ∙ (x – 3) ∙ (x – 4) ∙ (x – 5)!

(x – 2)! = (x – 2) ∙ (x – 3) ∙ (x – 4) ∙ (x – 5) ∙ (x – 6)!

Assim, podemos concluir que é possível reescrever o fatorial (x – 1)! em função do fatorial (x – 3)!, da mesma forma que é possível reescrever o fatorial x! em função do fatorial (x – 2)!. Fiquem de olho no que isso vai dar!

Após reescrevermos alguns fatoriais em função de outros, foi possível colocá-los em evidência, e em seguida, eliminá-los da equação. Agora é só uma questão de manipulação algébrica, vejam só!

 

Quando uma Equação Fatorial Resulta em uma Equação do 2º Grau

Assim, chegamos a uma equação do 2º grau! Resolvendo esta equação, seja pela Fórmula de Bhaskara, ou pelo método da soma e produto, encontramos as seguintes raízes:

x’= 8 e x” = – 5,5

– 5,5 não é um número natural, e sim um número inteiro. Por isso, o número natural que representa a solução da equação é o 8, um cubo perfeito.

E aí, que tal resolvermos mais uma equação fatorial? Vamos lá!

 

Exemplo 2: Equação Fatorial do PUC-RJ

(PUC-RJ – Adaptada) Dada a equação abaixo, obtenha o valor de n.

n! / [(n + 2)! + (n + 1)!] = 1/48

E agora, como iniciar esta resolução? Pessoal, o segredo sempre será reescrever os maiores fatoriais da equação em função do menor deles, de tal forma que seja possível colocar esse fatorial menor em evidência. Observem como essa ideia pode ser aplicada na equação acima.

(n + 2)! = (n + 2) ∙ (n + 1) ∙ n!

(n + 1)! = (n + 1) ∙ n!

Aplicando a fórmula de Bhaskara ou o método da soma e produto na equação acima, chegamos as seguintes raízes:

n’ = 5 e n” = –9

Já que não existe fatorial de número negativo, podemos concluir que o valor de n é 5.

E aí, o que acharam dessas equações? De fato, elas parecem assustadoras num primeiro momento, mas conhecendo a definição de fatorial direitinho, dá para resolvê-las rapidamente e garantir aquele acerto no vestibular, acreditem!

Exercícios Propostos sobre Fatorial

Agora que você já entendeu a teoria, que tal praticar? Resolva os exercícios a seguir e, por conseguinte, confira o gabarito comentado ao final.

1. Calcule o valor de 8!/6!.

2. Simplifique a expressão (n + 1)!/n!, sendo n um número natural.

3. Resolva a equação fatorial (x + 1)! = 6 · x!, sabendo que x é um número natural.

4. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) a afirmação: 3! + 4! = 7!.

Gabarito

1. 56 (pois 8!/6! = 8 · 7 · 6!/6! = 8 · 7)

2. n + 1 (pois (n + 1)!/n! = (n + 1) · n!/n!)

3. x = 5 (pois (x + 1)! = (x + 1) · x!; logo, (x + 1) · x! = 6 · x! implica x + 1 = 6)

4. Falsa (3! + 4! = 6 + 24 = 30, enquanto 7! = 5040; logo, 3! + 4! ≠ 7!)

Perguntas Frequentes sobre Fatorial

Para fechar, reunimos as dúvidas mais comuns sobre fatorial:

O que é fatorial de um número?

O fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de n por todos os seus antecessores naturais até chegar a 1. Por exemplo, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Por que 0! e 1! são iguais a 1?

Porque, ao aplicarmos a relação n! = n · (n − 1)! para valores decrescentes de n, chegamos exatamente a esse resultado, como mostramos na seção “Por Que 0! = 1 e 1! = 1?” mais acima. Além disso, essa convenção garante que fórmulas como as de combinação e arranjo continuem funcionando mesmo quando não sobra nenhum elemento para agrupar.

Existe fatorial de número negativo?

Não. A definição de fatorial vale apenas para números naturais (0, 1, 2, 3…). Por isso, expressões como (− 4)! não têm solução dentro da matemática do ensino médio.

Existe fatorial de número decimal?

Dentro do conteúdo cobrado no ensino médio e nos vestibulares, não: o fatorial é definido apenas para números naturais. Fica como curiosidade que a matemática avançada estende essa ideia por meio da função gama, mas esse tema não costuma ser cobrado em provas de Enem e vestibular.

Como simplificar uma fração com fatoriais?

O caminho mais rápido é reescrever o fatorial maior da fração como um produto que termine no fatorial menor (por exemplo, 8! = 8 · 7 · 6!) e, na sequência, cancelar o fatorial comum entre numerador e denominador, como fizemos no exercício resolvido acima.

Videoaula sobre Fatorial

 

Certo, pessoal? Sendo assim, é chegada a hora de encerrarmos este texto! Espero que o conteúdo apresentado aqui tenha sido bastante proveitoso, e que os ajude a encarar os demais conceitos da análise combinatória com tranquilidade.

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Um abraço e até mais!