COMO RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES?

13/03/2020

Os sistemas de equações são conjuntos de duas ou mais equações que possuem as mesmas incógnitas, e, portanto, admitem a mesma solução. Os métodos mais utilizados na resolução de sistemas de equações de duas incógnitas são o método da adição e o método da substituição.

 

Olá, pessoal! Como vão?

Estamos aqui hoje para estudar um assunto de extrema importância para a matemática. As equações do primeiro grau são aplicadas em muitas situações do cotidiano, quando é necessário encontrar um valor desconhecido. Contudo, em alguns problemas dois valores numéricos são desconhecidos, sendo obrigatória a resolução de duas equações do primeiro grau simultaneamente. Assim, formam-se os sistemas de duas equações, que vamos aprender a resolver neste texto! 

Muitos alunos relatam ter dificuldade nas equações do 1º grau, porque as questões que cobram o assunto no ENEM e nos vestibulares exigem muita interpretação. Por isso, na plataforma do Professor Ferretto, além das videoaulas de matemática,física, química e biologia, estão disponíveis centenas de questões resolvidas em vídeo, simulados e até monitoria (no plano Diamante) para que os alunos pratiquem bastante o assunto e acabem com todas as dúvidas! Vocês estão estudando para o ENEM e para os vestibulares? Então, sejam alunos do Professor Ferretto! Acessem o site e garantam a melhor preparação em matemática e ciências da natureza!

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Beleza, pessoal? Logo mais, nós vamos aprender a resolver os sistemas de equações de duas incógnitas de duas formas diferentes. Acompanhem comigo o passo a passo de cada método e também os exemplos que vamos solucionar.

 

1. MÉTODO DA ADIÇÃO

sinal de soma ou adição

A essência do método da adição consiste em somar as duas equações do sistema de forma que a soma de uma das incógnitas seja igual a zero. Para que isso seja possível, essa incógnita deve ter, nas duas equações, o mesmo valor em módulo, mas sinais opostos. Vamos resolver um sistema de duas equações seguindo o passo-a-passo do método.

sistema de equações onde a primeira equação é 5x - 3y = 11 e a segunda é x + y = -1

 

1º Passo: Avalie a necessidade de multiplicar por um valor inteiro uma ou as duas equações do sistema a fim de que a soma de uma das incógnitas seja igual a zero.

Reparem no sistema acima, que nem a incógnita x e nem a incógnita y possuem valores iguais em módulo, mas com sinais opostos. Portanto, se somássemos as equações desse jeito, não seria possível eliminar qualquer uma das incógnitas:

somando as equações 5x - 3y = 11 e x + y = -1 temos como resposta 6x - 2y = 10

Assim, para resolvermos este impasse, podemos, por exemplo, multiplicar a segunda equação do sistema por – 5, de forma a eliminar a incógnita x. Outra solução poderia ser multiplicar a segunda equação do sistema por 3, de modo a eliminar a incógnita y. Vamos utilizar aqui essa segunda solução.

multiplica-se a segunda equação do sistema x + y = -1 por 3 resultando em 3x + 3y = - 3

 

2º Passo: Some as duas equações do sistema e encontre o valor numérico da incógnita que não foi eliminada.

somando as equações 5x - 3y = 11 e 3x + 3y = -3 temos como resposta x = 1

Como no caso do exemplo a incógnita y foi eliminada, foi possível encontrar o valor numérico de x. No próximo passo, concluímos a resolução encontrando o valor de y.

 

3º Passo: Substitua o valor numérico encontrado em qualquer uma das equações iniciais de forma a determinar o valor numérico da incógnita que foi eliminada inicialmente.

Aqui, vamos substituir o valor de x na segunda equação inicial, de forma a obter o valor de y.

x + y = – 1

1 + y = – 1

y = – 2

Assim, o conjunto solução do sistema é dado por S = {(1, – 2)}.

Pessoal, é muito importante evidenciarmos aqui, que chegamos a esse resultado efetuando uma série de escolhas. Mas na verdade, vocês poderiam seguir qualquer outro caminho dentro desses mesmos passos. O importante é que o resultado obtido seja o mesmo, entendido?

Bom, para provar que existem vários meios de se chegar a mesma solução, vamos resolver agora o mesmo sistema de equações através do método da substituição. Estudem todos os passos com calma e avaliem qual dos métodos funciona melhor para vocês. Vamos lá!

 

2. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

duas flechas indicando troca ou substituição

Como o próprio nome sugere, a essência do método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir essa mesma incógnita pelo valor algébrico encontrado na outra equação. Vamos ver como isso acontece direitinho acompanhando com atenção os passos seguintes.

sistema de equações onde a primeira equação é 5x - 3y = 11 e a segunda é x + y = -1

 

1º Passo: Em uma das equações, escolha uma das incógnitas para isolar e obtenha o seu valor algébrico.

Nesse passo, pessoal, vocês poderiam isolar qualquer incógnita em qualquer uma das equações. Contudo, pode ser mais interessante escolher a equação e a incógnita mais fácil de isolar dentro do conjunto. Quando as incógnitas estão acompanhadas do número 1, fica mais simples de realizarmos todo o cálculo, já que o valor algébrico obtido não será formado por uma fração.

isolando x na equação 5x - 3y = 11 temos x = (11+3y)/5 e isolando x na equação x + y = -1 temos x = - 1 - y

Observem no sistema que poderíamos isolar a incógnita x de duas maneiras diferentes. Se fizermos isso na primeira equação, teremos como resultado um valor algébrico fracionário. Com toda a certeza poderíamos seguir para o próximo passo e utilizar esse valor. Contudo, ao isolar a incógnita x na segunda equação, encontramos um valor algébrico muito mais simples que o outro. Por isso, vamos seguir a resolução do sistema tomando como base o valor algébrico de x igual a “– 1 – y”.

 

2º Passo: Substitua o valor algébrico obtido na outra equação e encontre o valor numérico da primeira incógnita.

passo 2 da resolução do sistema por substituição em que o x da equação 5x - 3y = 11 é substituído por - 1 - y gerando como resultado o valor de y = - 2

Como isolamos a incógnita x da segunda equação no passo anterior, substituímos o seu valor algébrico na primeira equação. Isso nos possibilitou encontrar o valor numérico de y. Como base nesse valor, podemos seguir para o próximo passo.

 

3º Passo: Substitua o valor numérico encontrado em qualquer uma das equações iniciais para determinar o valor numérico da segunda incógnita.

Aqui, pessoal, vocês podem substituir o valor numérico de y na primeira equação “5x – 3y = 11”,  ou mesmo na segunda equação “x + y = – 1”. Para ficar ainda mais simples, vamos substituir o valor de y na equação que montamos ao isolar a incógnita x.

x = – 1 – y

x = – 1 – (– 2)

x = 1

Assim, o conjunto solução do sistema é dado por S = {(1, – 2)}.

Legal, não é, pessoal? Utilizamos dois métodos diferentes, mas, chegamos ao mesmo resultado final. Por isso, vocês podem optar pelo método que acharem mais conveniente. Vamos resolver agora mais alguns sistemas de equações de duas incógnitas para que vocês tenham ainda mais afinidade com o tema. Vem comigo!

 

3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE DUAS INCÓGNITAS RESOLVIDOS

livro aberto onde está escrito exercício resolvido

Antes de encerrarmos o texto, vamos resolver dois sistemas de equações utilizando o método da substituição e o método da adição. Pode ser que as decisões tomadas aqui não sejam o caminho utilizado por vocês, contudo, lembrem sempre que o mais importante é chegar no mesmo conjunto solução no final.

 

Sistema 1

sistema de equações onde a primeira equação é 3x + 4y = 13 e a segunda é x - 2y = 1

 

Método da substituição

sistema de equações 2 resolvido pelo método da substituição cujo conjunto solução é S = {(3,1)}

Assim, o conjunto solução do sistema é dado por S = {(3, 1)}.

 

Método da adição

sistema de equações 2 resolvido pelo método da adição cujo conjunto solução é S = {(3,1)}

Da mesma forma, o conjunto solução do sistema é dado por S = {(3, 1)}.

 

Sistema 2

sistema de equações onde a primeira equação é 3x - 2y = -14 e a segunda é 2x + 3y = 8

 

Método da substituição

sistema de equações 3 resolvido pelo método da substituição cujo conjunto solução é S = {(-2,4)}

Assim, o conjunto solução do sistema é dado por S = {(– 2, 4)}. Reparem, pessoal, que nesse caso não ficou evidente nenhuma maneira mais simples de isolar a incógnita x ou a incógnita y no início da resolução do sistema. Então, optou-se por seguir o caminho que vocês acabaram de conferir. Vamos analisar agora, a resolução do mesmo sistema pelo método da adição. Vem comigo!

 

Método da adição

sistema de equações 3 resolvido pelo método da adição cujo conjunto solução é S = {(-2,4)}

Novamente, temos como conjunto solução S = {(– 2, 4)}. Vejam que nesse caso, nenhuma das incógnitas do sistema tinha coeficientes múltiplos nas duas equações (3 não é múltiplo de 2). Por isso, para que a soma de uma das incógnitas fosse igual a zero, foi necessário multiplicar as duas equações por fatores inteiros. Vocês podem usar esse tipo de artifício sempre que precisarem, pessoal!

Entendido? Apesar de parecer um pouco confuso no começo, tenho certeza de que o principal problema da resolução de sistemas de equações não são os métodos da adição e da substituição, mas sim, a interpretação do contexto das questões. Por isso, no vídeo abaixo, preparei para vocês alguns exercícios que envolvem os sistemas de equações em meio a contextos que exigem interpretação. Tenho certeza que essas resoluções terão muito a contribuir para o aprendizado de vocês, então, não deixem de assistir o vídeo!

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Um abraço a todos, pessoal! Vejo vocês no próximo post!