Função Afim: o que é, fórmula e como identificar os coeficientes a e b

Função afim é toda função f: ℝ → ℝ que pode ser escrita na forma f(x) = ax + b, sendo a e b números reais e a ≠ 0. Ela também é conhecida como função polinomial do 1º grau, ou simplesmente função do 1º grau, e o seu gráfico é sempre uma reta. Neste guia completo, vocês encontram a definição, o papel de cada coeficiente, exemplos resolvidos passo a passo, exercícios e um FAQ com as dúvidas mais comuns sobre o assunto.

Olá, pessoal! Se vocês chegaram até aqui pesquisando por função afim, estão no lugar certo, porque este texto reúne tudo o que vocês precisam saber sobre o assunto, do conceito básico até os exercícios que mais caem no ENEM e nos vestibulares. Assim, sempre que bater uma dúvida sobre algum coeficiente ou sobre como montar o gráfico, basta voltar aqui. E se vocês quiserem ir além, a plataforma do Professor Ferretto reúne videoaulas, exercícios resolvidos em vídeo e simulados semanais sobre toda a matemática do ensino médio.

O que é função afim? (definição e fórmula)

Formalmente, dizemos que uma função f: ℝ → ℝ é uma função afim quando existem dois números reais a e b tais que f(x) = ax + b, para todo x pertencente a ℝ. É essa fórmula que vai acompanhar vocês em toda a matéria de funções, portanto, vale a pena memorizá-la bem.

Como toda função também pode ser representada pela letra y, a expressão y = ax + b é apenas outra forma de escrever a mesma função afim.

Domínio e contradomínio. Quando dizemos que f: ℝ → ℝ, estamos afirmando que tanto o domínio, ou conjunto de partida, quanto o contradomínio, ou conjunto de chegada, da função afim são formados pelo conjunto dos números reais. Ou seja, números positivos, negativos, frações, dízimas periódicas e raízes não exatas: todo número real pode fazer parte do domínio e do contradomínio da função afim, sem qualquer restrição.

Por que “função do 1º grau”? A função afim também é chamada de função polinomial do 1º grau porque o grau do polinômio ax + b é dado pelo expoente da variável x. Quando esse expoente não aparece escrito, ele vale 1 — e é justamente esse expoente que define o primeiro grau.

Os coeficientes a e b da função afim

A fórmula f(x) = ax + b é formada pela soma de dois termos: ax, que carrega a variável x, e b, que não possui variável nenhuma. a e b são chamados de coeficientes da função afim, e cada um deles conta uma parte diferente da história dessa função. Por conseguinte, vale a pena comparar os dois lado a lado:

Coeficiente	Também chamado de	O que representa	Pode ser zero?
a	coeficiente angular	acompanha a variável x; depende de x e define a inclinação da reta	Não — a ≠ 0
b	coeficiente linear ou termo independente	não depende de x; é o valor da função quando x = 0	Sim

Coeficiente a (coeficiente angular)

O coeficiente a é dito dependente da variável x porque, à medida que os valores de x mudam, os valores do termo ax também mudam — mesmo que o valor de a em si permaneça sempre o mesmo. Vejam um exemplo com a função f(x) = 6x + 2:

Reparem que o termo 6x assume valores diferentes — 6, 12, 18 e 24 — conforme x varia de 1 a 4, enquanto o termo b = 2 permanece o mesmo em todos os casos. É exatamente esse comportamento que torna a dependente de x, e é por isso, também, que a costuma ser chamado de coeficiente angular: mais adiante vocês vão ver que ele determina se a reta é crescente ou decrescente, e o quanto ela é inclinada. Para se aprofundar nesse cálculo, vale a pena conferir o texto coeficiente angular da função afim, que traz as três formas diferentes de calculá-lo.

Existe ainda uma condição importante: o coeficiente a jamais pode ser zero. Isso porque é o x que dá o grau ao polinômio ax + b; logo, se a valer zero, o termo ax deixa de existir, e restaria apenas a constante b, que sozinha não caracteriza uma função do 1º grau.

Coeficiente b (coeficiente linear ou termo independente)

Já o coeficiente b não tem relação nenhuma com a variável x: seu valor se mantém fixo, não importa qual seja o valor de x. Por isso, b é chamado de termo independente da função afim — ou, no contexto do gráfico, de coeficiente linear.

Diferente de a, o coeficiente b pode, sim, valer zero — vocês confirmam isso já no próximo tópico, ao praticar como identificar a e b em diferentes funções.

Como identificar a e b em uma função afim (exemplos resolvidos)

Na prática, todo valor numérico que acompanha a variável x representa o coeficiente a, e todo valor numérico isolado, sem variável, representa o coeficiente b. Vamos aos exemplos:

1. f(x) = 3x + 1 → a = 3 e b = 1

2. f(x) = 3 − 2x → a = −2 e b = 3

3. f(x) = ⅔x − 5 → a = ⅔ e b = −5

4. f(x) = 5x → a = 5 e b = 0

No exemplo 2, reparem que a ordem dos termos não importa: a continua sendo o valor que acompanha x, e b, o valor isolado — só que, dessa vez, o sinal negativo acompanha o próprio coeficiente a. Já no exemplo 3, o sinal negativo aparece junto de b. E no exemplo 4, como só existe um termo na função, ele precisa necessariamente ser o que contém x — o que dá b = 0, confirmando que, ao contrário de a, o coeficiente b pode sim valer zero.

Casos particulares da função afim

Alguns valores específicos de a e b dão origem a casos particulares da função afim que aparecem com frequência nas provas. Assim, vale a pena conhecê-los:

• Função linear — quando b = 0, a função assume a forma f(x) = ax (com a ≠ 0). É exatamente o caso do exemplo 4 que acabamos de resolver, f(x) = 5x.
• Função identidade — quando a = 1 e b = 0, a função se resume a f(x) = x, e seu gráfico passa pela origem (0, 0).
• Função constante — quando a = 0, temos f(x) = b. Vale um alerta aqui: tecnicamente, esse caso não é uma função afim, já que a definição exige a ≠ 0 — mas ele costuma ser apresentado junto por completar o quadro das funções polinomiais de grau zero e de grau um.

Gráfico da função afim (resumo)

O gráfico de toda função afim é sempre uma reta, e para traçá-la bastam dois pontos. A inclinação dessa reta depende exclusivamente do coeficiente a: quando a > 0, a reta é crescente; quando a < 0, a reta é decrescente. Já o coeficiente b marca sempre o ponto onde a reta corta o eixo y.

No gráfico acima, as duas retas cortam o eixo y no mesmo ponto (b = 1), mas seguem direções opostas por causa do sinal de a. Para aprender a construir esse gráfico passo a passo — pela tabelinha ou encontrando os pontos em que a reta corta os eixos —, o texto gráfico da função do 1º grau traz o passo a passo completo, com mais exemplos resolvidos.

Como determinar a função afim a partir de dois pontos

E se vocês não souberem os valores de a e b de cara? Não tem problema: basta conhecer o valor da função em dois pontos distintos. Substituindo esses dois pontos na fórmula f(x) = ax + b, forma-se um sistema de duas equações, que pode ser resolvido pelo método da substituição ou pelo método da adição. O texto determinando a função do 1º grau traz esse processo completo, incluindo como resolver os dois tipos de sistema.

Aplicação prática da função afim no dia a dia (exemplo resolvido)

Além da teoria, a função afim aparece direto no cotidiano — sempre que uma situação combina uma condição fixa com uma condição variável. Vamos resolver um exemplo prático juntos?

João pegou um táxi, que cobra R$ 4,50 pela bandeirada e R$ 1,30 por quilômetro rodado. Ao percorrer 25 km, quanto João pagou ao motorista?

Aqui, o valor pago depende principalmente da distância percorrida — por isso, ela é a nossa variável x. Já a bandeirada, R$ 4,50, é cobrada independentemente da distância; logo, ela representa o coeficiente b. O valor por quilômetro rodado, R$ 1,30, multiplica a distância percorrida, e por isso representa o coeficiente a. Dessa forma, a função que representa essa situação é:

f(x) = 1,30·x + 4,50

Para descobrir quanto João pagou ao percorrer 25 km, basta substituir x por 25:

f(25) = 1,30·25 + 4,50 = 32,50 + 4,50 = 37,00

Portanto, João pagou R$ 37,00 ao motorista.

Exercícios de função afim para praticar

Exercício 1

Uma gráfica rápida cobra R$ 25,00 pela arte-final e mais R$ 0,80 por cada cópia impressa. Determine a função f(x) que representa o custo total em função do número de cópias e calcule quanto custa um pedido de 300 cópias.

Resolução: o valor de R$ 25,00 é cobrado independentemente da quantidade de cópias, portanto b = 25. Já o valor por cópia, R$ 0,80, multiplica x, logo a = 0,80. Assim, f(x) = 0,80x + 25. Para 300 cópias: f(300) = 0,80 · 300 + 25 = 240 + 25 = 265. Ou seja, o pedido custa R$ 265,00.

Exercício 2

Uma função afim é tal que f(2) = 7 e f(5) = 16. Determine a lei de formação f(x) e calcule f(10).

Resolução: como a é constante, a = (16 − 7) / (5 − 2) = 9/3 = 3. Substituindo em f(2) = 7: 3·2 + b = 7 → 6 + b = 7 → b = 1. Logo, f(x) = 3x + 1. Assim, f(10) = 3·10 + 1 = 31.

Perguntas frequentes sobre função afim

Qual é a fórmula da função afim?

A fórmula da função afim é f(x) = ax + b, sendo a e b números reais e a ≠ 0.

Qual é a diferença entre coeficiente angular e coeficiente linear?

O coeficiente angular (a) é quem acompanha a variável x e define a inclinação da reta — se ela é crescente ou decrescente. Já o coeficiente linear (b) é o termo independente, e representa o ponto onde a reta corta o eixo y.

Toda função do 1º grau é uma função afim?

Sim. Função afim, função polinomial do 1º grau e função do 1º grau são três nomes para a mesma função, f(x) = ax + b.

Qual é a diferença entre função afim e função linear?

A função linear é um caso particular da função afim em que b = 0, ou seja, f(x) = ax. Toda função linear é uma função afim, mas nem toda função afim é uma função linear.

Como saber se uma função afim é crescente ou decrescente?

Basta observar o sinal do coeficiente a: quando a > 0, a função é crescente; quando a < 0, a função é decrescente.

O coeficiente b pode ser zero na função afim?

Sim. Quando b = 0, a função continua sendo uma função afim — mais especificamente, uma função linear. Já o coeficiente a nunca pode ser zero.

Assista também

Para fixar tudo o que vimos aqui, vale a pena assistir à videoaula no YouTube sobre função afim:

E então, pessoal, ficou tudo claro sobre a função afim? Se ainda restar alguma dúvida sobre gráfico, coeficiente angular ou como determinar a função a partir de dois pontos, os textos linkados ao longo deste guia trazem o aprofundamento completo de cada tópico. Um abração a todos, e ótimos estudos em matemática!

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