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Gráfico da Função do 1º Grau
Você sabia que o gráfico de toda função do 1º grau é uma reta? Neste texto, você aprenderá a construir essa reta de duas maneiras bem interessantes. Então não perde tempo e vem comigo aqui!
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Olá, pessoal! Tudo tranquilo?
O gráfico de uma função do primeiro grau, cujo formato é f(x) = ax + b, será sempre uma reta! Aqui no blog, nós já abordamos uma série de aspectos que envolvem essa função, também conhecida como função afim, mas ainda não tínhamos falado sobre a construção da reta em si — ou seja, sobre como desenhar, na prática, o gráfico da função afim. Bom, isso muda agora!
Neste texto, vamos construir alguns gráficos de funções do 1º grau de maneiras muito simples, para que vocês possam usar esse conhecimento e construir o gráfico de qualquer função matemática!
Resumo rápido
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E olhem só que interessante: a função do primeiro grau é bastante utilizada em diversos assuntos práticos, todos ligados a questões que envolvem linearidade e que, portanto, podem ser representados por uma reta. Por isso, a representação gráfica dessas questões pode nos ajudar, e muito, a interpretar determinadas situações, inclusive nos poupando uma série de cálculos. Interpretar, poupar cálculos — essas palavras não lembram nada a vocês?
Pois é, elas representam elementos cruciais quando se pensa em prestar as provas do ENEM e dos vestibulares! Mas quem deseja mandar bem nessas provas certamente já assinou, ou vai assinar, a plataforma do Professor Ferretto, não é mesmo? Só lá tem videoaulas sobre toda a matemática do ensino médio, planos de estudo personalizados, centenas de exercícios do ENEM e de vestibulares com resolução em vídeo, e até monitoria no plano diamante.
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O Que é uma Reta? A Base do Gráfico da Função Afim
Ansiosos para começar? Então vamos lá! Afirmamos, bem no início do texto, que o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta. Mas vocês sabem o que significa exatamente o termo “reta”?
No dicionário, de forma geral, diz-se que uma reta é um “traço que segue uma única direção, sem curvas ou ângulos”. Bom, a imagem acima mostra que é isso mesmo. Mas a verdade é que o comprimento, ou a medida da reta que vemos acima, é apenas uma questão de representação: uma reta é formada por infinitos pontos e, por isso, seu comprimento é dito infinito.
Agora, será mesmo que, para construir uma reta, seria necessário definir todos os seus infinitos pontos? Não, né, pessoal! Primeiro, porque algo infinito teoricamente não tem fim, e assim passaríamos a vida toda tentando construir uma única reta. E, segundo, mas não menos importante, porque a definição geométrica da reta nos diz que “uma reta é o menor caminho entre dois pontos”.
E não é que é verdade mesmo? Vejam, na figura acima, que se obtivermos quaisquer dois pontos de uma reta, ligarmos esses pontos e, na sequência, continuarmos traçando a reta para ambos os lados seguindo a mesma direção, então teremos o comportamento preciso da reta como um todo! Tendo isso em vista, fica muito mais fácil construir o gráfico da função afim.
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Como Construir o Gráfico da Função do 1º Grau (ou Função Afim) em 2 Passos
Bom, para que essa ideia fique bem clara, nada melhor do que colocá-la em prática! É isso que faremos na sequência, de duas maneiras diferentes. Então, pegue um lápis, papel, e vem comigo aqui! Construa o gráfico das seguintes funções:
Método 1: A Tabelinha (Atribuição de Valores) — f(x) = 2x – 1
Já descobrimos que precisamos de apenas dois pontos, ou duas coordenadas do plano cartesiano, para construir uma reta, não é mesmo? Pois bem, para obter esses dois pontos, utilizaremos, nesse primeiro exemplo, a famosa tabelinha. Nela, vamos substituir a variável x da função f(x) = 2x – 1 por dois valores de nossa escolha, a fim de encontrar os seus respectivos valores em y, porque, como vocês sabem, uma função f(x) = ax + b também pode ser escrita na forma y = ax + b (veja o texto completo).
| x | Cálculo: y = 2x – 1 | y | Par ordenado (x, y) |
| –1 | y = 2 · (–1) – 1 = –2 – 1 = –3 | –3 | (–1, –3) |
| 1 | y = 2 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1 | 1 | (1, 1) |
Vejam que atribuímos à variável x os valores –1 e 1, e descobrimos que seus valores em y são, respectivamente, –3 e 1. Agora temos duas coordenadas cartesianas, formadas pelos pares ordenados (–1, –3) e (1, 1), e, a partir delas, podemos encontrar dois pontos no plano cartesiano. Mas é claro que vocês poderiam ter escolhido quaisquer outros valores e obtido quaisquer outros pares ordenados: a reta que construímos abaixo seria exatamente a mesma, independentemente dos pontos utilizados para encontrá-la.
Viram como é fácil? Basta ligar os dois pontos que encontramos e seguir traçando a reta na mesma direção além deles. Pessoal, o método da tabelinha pode ser utilizado para construir o gráfico de qualquer função matemática; portanto, vocês podem utilizá-lo sempre e, inclusive, devem aproveitar para fazer isso quando se trata da função do 1º grau, afinal, apenas dois pontos conseguem definir o comportamento de uma reta — o que nem sempre acontece nas demais funções.
Agora, é fato que vocês possam estar se perguntando: “vou precisar escolher sempre os valores que atribuo a x? Dependendo da função, isso não é arriscado? Não existe um método diferente em que eu não dependa das minhas próprias escolhas?” Se isso realmente aconteceu com vocês, tenho uma boa notícia: no próximo método, vamos eliminar as escolhas dos pontos utilizados para traçar a reta, trabalhando com os pontos em que a reta corta, ou intersecta, os eixos cartesianos. Acompanhem com atenção!
Método 2: Pontos de Interseção com os Eixos — y = –x + 2
Nós estudamos no texto Plano Cartesiano que, quando os pontos se localizam exatamente sobre o eixo x ou sobre o eixo y, as suas coordenadas possuem uma configuração específica. Qualquer ponto que se localize exatamente sobre o eixo das abscissas, ou eixo x, por exemplo, sempre terá a configuração (x, 0), de forma que o valor de y certamente será zero. Já quando um ponto se localiza exatamente sobre o eixo das ordenadas, ou eixo y, acontece justamente o contrário: esse ponto terá a configuração (0, y), o que significa que o valor de x certamente será zero. Por isso, quando desejarmos obter o ponto em que a reta corta o eixo x, substituiremos o valor de y na função por zero:
y = –x + 2
0 = –x + 2
x = 2
Ponto onde a reta corta o eixo x: (2, 0)
Se vocês repararem no cálculo acima, poderão perceber que, na verdade, quando buscamos o ponto onde o gráfico corta o eixo x, estamos obtendo a raiz da função. Incrível, não é? Mas, se desejarmos obter o ponto em que a reta corta o eixo y, deveremos substituir o valor de x na função por zero:
y = –x + 2
y = –0 + 2
y = 2
Ponto onde a reta corta o eixo y: (0, 2)
Conhecendo esses dois pontos, já estamos prontos para construir a reta que representa a função y = –x + 2. Mas, antes disso, aí vai uma dica muito interessante: no texto Introdução à Função Afim, aprendemos a distinguir os coeficientes a e b da função do primeiro grau. O que ainda não havíamos dito é que o coeficiente b, o famoso termo independente da função afim, representa justamente o ponto onde o gráfico corta o eixo y!
Em y = ax + b, o coeficiente b indica onde a reta corta o eixo y; na nossa função, y = –x + 2, esse valor é 2 — exatamente o ponto (0, 2) que acabamos de calcular.
Depois dessa dica maravilhosa, nada melhor do que traçarmos a tão esperada reta representativa da função y = –x + 2.
Ficou claro, pessoal? Resumindo essa última ideia: é possível construir o gráfico de uma função do primeiro grau apenas conhecendo a raiz dessa função — o ponto em que o gráfico corta o eixo x — e o coeficiente b dessa mesma função — o ponto em que o gráfico corta o eixo y. E pronto! Vocês podem continuar utilizando a tabelinha em conjunto com esse conceito, ou podem utilizar somente a tabelinha; isso fica a critério de vocês. Só não dá para deixar de encontrar pelo menos dois dos pontos que pertencem à reta que vocês desejam representar!
Gráfico da Função do 1º Grau: Crescente ou Decrescente?
Repararam que, nos dois exemplos que acabamos de construir, as retas têm comportamentos opostos? No primeiro exemplo, a reta de f(x) = 2x – 1 sobe da esquerda para a direita; já no segundo, a reta de y = –x + 2 desce. Isso não é coincidência: quem determina esse comportamento é justamente o coeficiente a, também chamado de coeficiente angular. Assim, basta observar o sinal de a para saber, mesmo antes de desenhar o gráfico, se a reta será crescente ou decrescente.
| Coeficiente a | Comportamento da reta | Exemplo deste texto |
| a > 0 | Crescente: conforme x aumenta, y também aumenta | f(x) = 2x – 1 (a = 2) |
| a < 0 | Decrescente: conforme x aumenta, y diminui | y = –x + 2 (a = –1) |
Ou seja, basta olhar o sinal de a para prever, antes mesmo de calcular qualquer ponto, qual será o comportamento geral da reta. Quem quiser se aprofundar nesse coeficiente, incluindo como calcular seu valor a partir de dois pontos quaisquer, pode conferir o texto Coeficiente Angular da Função Afim.
Aplicações Práticas do Gráfico da Função do 1º Grau
E para fecharmos o assunto com chave de ouro: vocês lembram que, no início do texto, falamos sobre a utilização prática do gráfico da função do primeiro grau? Pois então, no vídeo logo abaixo, vocês encontram um exemplo resolvido que envolve questões financeiras, e, nesse tipo de situação, a representação gráfica das funções pode ajudar, e muito, a entendermos o contexto.
Gráfico é visualização: é informação apresentada de forma simples e de fácil compreensão, capaz de substituir um grande texto ou mesmo uma série de equações. Por isso, é imprescindível que vocês saibam interpretar os gráficos direitinho, já que eles aparecem com frequência nas provas do ENEM, dos vestibulares e mesmo no dia a dia. Hoje, o convite para assistir ao vídeo ficou irrecusável, não é mesmo?
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Exercícios Propostos: Pratique a Construção do Gráfico
Agora é com vocês! Resolvam os exercícios abaixo e confiram o gabarito comentado ao final de cada um.
Exercício 1
Construa o gráfico da função f(x) = –3x + 6 pelo método da tabelinha, escolhendo x = 0 e x = 2. Depois, classifique a reta como crescente ou decrescente.
Gabarito: para x = 0, temos f(0) = –3 · 0 + 6 = 6, logo o ponto é (0, 6). Para x = 2, temos f(2) = –3 · 2 + 6 = 0, logo o ponto é (2, 0). Como a = –3 é negativo, a reta é decrescente.
Exercício 2
Encontre a raiz e o ponto onde a reta corta o eixo y da função y = 3x – 6. Em seguida, classifique-a como crescente ou decrescente.
Gabarito: para a raiz, fazemos y = 0: 0 = 3x – 6, logo x = 2, e o ponto é (2, 0). Para o ponto no eixo y, fazemos x = 0: y = 3 · 0 – 6 = –6, logo o ponto é (0, –6). Como a = 3 é positivo, a reta é crescente.
Exercício 3
A reta que representa uma função do 1º grau passa pelos pontos (2, 0) e (0, –4). Determine a função f(x) = ax + b e classifique-a como crescente ou decrescente.
Gabarito: o ponto (0, –4) já revela o coeficiente b, pois é onde a reta corta o eixo y: b = –4. Já o ponto (2, 0) é a raiz da função, então substituímos na função: 0 = a · 2 + (–4), logo 2a = 4 e a = 2. A função é f(x) = 2x – 4 e, como a = 2 é positivo, a reta é crescente. (Conferência: f(2) = 2 · 2 – 4 = 0 ✓ e f(0) = 2 · 0 – 4 = –4 ✓)
Perguntas Frequentes sobre o Gráfico da Função do 1º Grau
Por que o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta?
Porque, na função f(x) = ax + b, a variável x aparece elevada apenas ao expoente 1, o que faz com que a taxa de variação entre x e y seja sempre constante — e, geometricamente, uma taxa de variação constante é exatamente o que define uma reta.
Quantos pontos são necessários para construir o gráfico de uma função do 1º grau?
Bastam dois pontos distintos, já que, pela geometria, uma reta é o menor caminho entre dois pontos: uma vez que você tem duas coordenadas do plano cartesiano, basta ligá-las e prolongar a reta para os dois lados.
Como saber se o gráfico de uma função do 1º grau é crescente ou decrescente?
Basta observar o sinal do coeficiente a. Se a for positivo (a > 0), a reta é crescente; se a for negativo (a < 0), a reta é decrescente.
Qual é a diferença entre o método da tabelinha e o método dos pontos de interseção?
Na tabelinha, você escolhe livremente dois valores para x e calcula os respectivos valores de y. Já no método dos pontos de interseção, você usa sempre os mesmos dois pontos — onde a reta corta o eixo x (a raiz) e onde ela corta o eixo y (o coeficiente b) —, o que elimina a necessidade de escolher valores arbitrários.
O que o coeficiente b representa no gráfico da função do 1º grau?
O coeficiente b é o termo independente da função e representa exatamente o ponto em que a reta corta o eixo y, ou seja, o par ordenado (0, b).
Gráfico da função do 1º grau é a mesma coisa que gráfico da função afim?
Sim! Função do 1º grau e função afim são dois nomes para a mesma função, do tipo f(x) = ax + b. Por isso, “gráfico da função do 1º grau” e “gráfico da função afim” se referem exatamente ao mesmo conteúdo.
Continue Aprendendo: Veja Também
- Introdução à Função Afim — para revisar os coeficientes a e b e conhecer o restante do cluster.
- Como Determinar a Função do 1º Grau Conhecendo Dois Pontos — o caminho inverso: descobrir a função a partir do gráfico.
- Coeficiente Angular da Função Afim — aprofunde-se no coeficiente que define a inclinação da reta.
- Como Construir o Gráfico de uma Função — o método da tabelinha aplicado a outros tipos de função.
- Plano Cartesiano — revise pontos, quadrantes e coordenadas.
- Equação do Primeiro Grau — relembre como encontrar a raiz de uma função do 1º grau.
Bom, infelizmente o texto termina por aqui! Um abração e uma ótima semana de estudos a todos!
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