O que é Função? Definição e notação por meio de conjuntos

Olá, pessoal! Tudo certo?

Antes de tomarmos uma decisão importante, é sempre interessante observarmos o caso sob diversos pontos de vista, não é? Pois bem, existe um jeito de fazer exatamente isso dentro da Matemática, e é por esse motivo que vamos responder, de uma vez por todas, à pergunta que dá título a este texto: afinal, o que é função? A resposta está bem mais perto do que vocês imaginam, porque ela nasce de um assunto que já estudamos antes: os conjuntos.

Compreender direitinho essa ideia ajuda vocês a entender melhor as funções afim, quadrática, modular, exponencial e logarítmica, além de melhorar a interpretação de texto, cada vez mais cobrada nas questões interdisciplinares do ENEM e dos mais diversos vestibulares. Portanto, dominar esse primeiro conceito é o que vai sustentar tudo o que vem depois.

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Chegou a hora de começar! Mas, caso vocês ainda não façam ideia do que é um conjunto e de como representá-lo, não tem problema algum, porque eu tenho a solução: deem uma olhadinha no texto Introdução aos Conjuntos, e aí sim, tudo o que vamos ver a seguir ficará bem mais claro.

O Que É uma Função? A Ideia por Meio de Conjuntos

Bom, vamos então tratar da noção de função por meio de conjuntos. Isso significa que vamos entender como uma função pode se formar a partir de dois conjuntos. Basicamente, temos uma função quando é possível associar cada um dos elementos do conjunto de partida a um único elemento do conjunto de chegada.

No exemplo acima, é possível visualizar dois conjuntos representados na forma de diagrama. Um certo conjunto A é dado como o conjunto de partida, enquanto o outro, o conjunto B, é dado como conjunto de chegada. Se observarmos a figura com atenção, o nosso olhar é conduzido por algumas setas que estão “ligando” cada elemento do conjunto A a um elemento do conjunto B. É exatamente esse tipo de ligação que precisa ocorrer para que o sistema se caracterize como uma função!

Certo, mas por que exatamente os elementos -1, 1 e 2, do conjunto A, estão sendo ligados respectivamente a -2, 2 e 4, do conjunto B? Ou melhor, qual é a relação entre esses elementos? Essa relação é conhecida como lei de correspondência e, observando os cálculos abaixo, já fica mais claro qual foi a lei usada nesse exemplo:

Em símbolos: -1 × 2 = -2; 1 × 2 = 2; 2 × 2 = 4.

Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto A por 2, ou seja, se calcularmos o dobro desses valores, encontramos exatamente os elementos de B! Incrível, não é mesmo? Por isso, dizemos que a lei de correspondência desse exemplo associa cada elemento de A ao seu dobro, em B.

Ficaram craques nisso? Pois é, nem nos conjuntos tudo é perfeito! Nem sempre os conjuntos de partida e de chegada têm o mesmo número de elementos, e nem sempre conseguimos ligar todos os elementos entre si. O fato é que não importa se restarem elementos sem ligação no conjunto de chegada; o que realmente não pode acontecer é sobrar elemento no conjunto de partida. Além disso, para que uma função exista, cada elemento do conjunto de partida deve ter apenas um único elemento correspondente no conjunto de chegada — ou seja, deve sair só uma setinha de cada elemento do conjunto de partida rumo a um elemento do conjunto de chegada.

Conjunto de Partida e Conjunto de Chegada: Domínio e Contradomínio

Assim como usamos aqui os nomes “conjunto de partida” e “conjunto de chegada”, a Matemática também tem nomes formais para esses dois conjuntos: eles são chamados, respectivamente, de domínio e de contradomínio da função. Ou seja, o domínio é o próprio conjunto de partida (A), e o contradomínio é o conjunto de chegada (B).

Além desses dois, existe ainda um terceiro conjunto: a imagem, formada apenas pelos elementos do contradomínio que realmente recebem uma seta. Como esse assunto merece uma explicação completa, com vários exemplos resolvidos, preparamos um texto inteiro só para isso. Dessa forma, se vocês quiserem se aprofundar em domínio, contradomínio e imagem, é só conferir o texto Domínio, Contradomínio e Imagem.

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Entendido até aqui? Fiquem tranquilos, porque agora vamos resolver alguns exemplos para deixar a ideia bem mais clara.

Quando uma Relação NÃO É uma Função: Exemplos Comentados

Por isso, antes mesmo de chegar à definição formal, vale a pena entender, na prática, o que faz uma relação deixar de ser uma função. Vamos analisar dois casos.

Exemplo 1 – Quando um Elemento Tem Mais de uma Ligação

Sejam os conjuntos A = {1, 3} e B = {2, 3, 4}: associe cada elemento de A a um valor maior em B.

Observem que a lei de correspondência desse exemplo pede para associar cada elemento de A a um valor maior de B. Isso quer dizer que A é o nosso conjunto de partida, e B, o nosso conjunto de chegada. O que precisamos fazer primeiro é verificar quais elementos do conjunto B são maiores do que cada elemento de A:

• 2, 3 e 4 são valores maiores que 1
• 4 é um valor maior que 3

A partir dessas informações, já podemos traçar as ligações nos diagramas:

Ligações traçadas: 1 → 2, 1 → 3, 1 → 4 e 3 → 4.

Observando as ligações, concluímos que não sobrou nenhum elemento sem ligação no conjunto de partida — até aqui, tudo certo! Só que, apesar de o elemento 3 do conjunto A estar associado a um único elemento de B, o elemento 1 do conjunto A possui três elementos correspondentes no conjunto B. Portanto, esse exemplo não se caracteriza como uma função!

Exemplo 2 – Quando um Elemento do Conjunto de Partida Fica sem Ligação

Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}: associe cada elemento de A ao seu valor igual em B.

Novamente, pela lei de correspondência dessa questão, entendemos que A é o conjunto de partida e B, o de chegada. Só que aqui vamos enfrentar um problema, afinal, precisamos associar cada elemento de A ao seu valor igual em B. Bom, os elementos 1 e 2, do conjunto A, possuem correspondentes em B (1 e 2, respectivamente). Mas e o elemento zero? Observem as ligações realizadas no diagrama:

Ligações traçadas: 1 → 1 e 2 → 2. O elemento 0 não encontra correspondente em B e fica sem ligação.

Pois é: apesar de os demais elementos do conjunto A possuírem um único correspondente em B, como deve ser, o elemento zero ficou sobrando no conjunto de partida, sem ligação alguma — e isso jamais pode acontecer. Por isso, esse exemplo também não caracteriza uma função!

Repararam que eu nem comentei que os elementos 3 e 4, do conjunto B, também ficaram sem ligação? É porque, de fato, sobrar elemento sem ligação no conjunto de chegada não é um fator determinante na formação de uma função!

Certo, pessoal? Agora que já estudamos o que precisa acontecer para formar uma função, vamos ver sua definição e notação, matematicamente falando. Vem comigo!

Definição e Notação de uma Função

Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento x ϵ A a um único elemento y ϵ B.

Definição entendida? Quase, né? Vamos esmiuçar tudo o que foi dito para não restarem dúvidas. Repare que se fala em dois conjuntos A e B, ou seja, devem sempre existir dois conjuntos no sistema: um será o de partida, e o outro, o de chegada. Mas como saber qual é qual? Outro pedacinho da definição explica isso: uma função de A em B. Se a função é de A em B, significa que ela parte de A e vai até B — por isso, A é o conjunto de partida, e B é o conjunto de chegada.

A função é uma regra que indica como associar cada elemento x ϵ A a um único elemento y ϵ B. Isso significa que os elementos do conjunto A, ou de partida, são os valores de x, e que os elementos do conjunto B, ou de chegada, são os valores de y, como mostram os diagramas abaixo:

Assim, temos uma função sendo aplicada aos valores de x, que resulta nos valores de y. Em símbolos, podemos dizer que:

f: A → B, x ↦ y, com x ∈ A e y ∈ B (lê-se: f de A em B).

Ficou claro por que as funções costumam ser chamadas de f(x) ou de y? Tem tudo a ver com a ideia de conjuntos! Além disso, é importante repararmos que a forma de representar uma função de A em B, com a setinha apontando para B, deixa ainda mais claro que A é o conjunto de partida, e B, o conjunto de chegada.

Exercício Resolvido: Confirmando se f É uma Função de A em B

Que tal aplicarmos tudo isso que aprendemos em um exercício? Vamos lá!

Dados os conjuntos abaixo, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B, sendo x ϵ A e y ϵ B:

A = {-2, 1, 2} e B = {-4, 1, 4}

y = x²

Vamos começar desenhando os diagramas dos conjuntos A e B. De acordo com o enunciado, como buscamos uma função de A em B, A é o conjunto de partida, e B, o conjunto de chegada.

Agora, para determinar se f é de fato uma função de A em B, precisamos aplicar os elementos do conjunto A na nossa lei de correspondência, y = x². Como os valores de x pertencem ao conjunto A e os valores de y pertencem ao conjunto B, vamos substituir x por cada um dos elementos de A. De posse dos resultados, verificamos se o conjunto B possui esses elementos e traçamos as ligações no diagrama.

f(-2) = (-2)² = 4 f(1) = (1)² = 1 f(2) = (2)² = 4

Ligações traçadas: -2 → 4, 1 → 1 e 2 → 4.

Só haverá função aqui se todos os elementos de A tiverem um único elemento correspondente em B. Observando o diagrama, vocês acham que f é uma função de A em B? Poderíamos pensar em duas hipóteses:

1. Está sobrando um elemento no conjunto B, por isso f não é uma função.
2. Dois elementos do conjunto A são correspondentes ao mesmo elemento no conjunto B, portanto f não é uma função.

Será mesmo? Observem que não sobrou nenhum elemento no conjunto A, ou de partida, sem ligação — e é isso que importa; não há problema quando restam elementos apenas no conjunto de chegada. Além disso, apesar de dois elementos de A serem correspondentes ao mesmo elemento de B, sai apenas uma única seta de cada elemento de A.

Assim, só nos resta concluir duas coisas: a primeira é que sim, f é uma função de A em B! E a segunda é que -2 e 2 podem perfeitamente compartilhar a mesma imagem (4) sem que isso quebre regra alguma, porque o que importa é que cada elemento de A tenha apenas uma seta saindo dele — não que os resultados sejam todos diferentes entre si.

Depois da Definição: Conheça os Tipos de Função

Agora que vocês já sabem identificar se uma relação é ou não uma função, é hora de conhecer os principais tipos que aparecem no ENEM e nos vestibulares. Cada um deles merece um texto próprio, então preparamos um resumo rápido, já com o link para quem quiser se aprofundar em cada um:

• Função Par e Função Ímpar: são os tipos que têm simetria no gráfico — uma é espelhada em relação ao eixo y, e a outra, em relação à origem. Veja como identificar cada uma no texto Função Par e Função Ímpar.
• Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora: aqui entra justamente a diferença entre dois elementos de A compartilharem a mesma imagem — como aconteceu no nosso exercício resolvido, que por isso não é injetora — e uma função em que isso não pode acontecer. Entenda a diferença entre os três tipos em Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora.
• Função Afim (ou do 1º grau): o próximo passo depois de entender a noção de função, com fórmula, coeficientes e gráfico, no texto Função Afim: o que é, fórmula e como identificar os coeficientes a e b.
• Função Quadrática (ou do 2º grau): a função em que aparece um x², exatamente como no exercício que acabamos de resolver. Confira Introdução à Função Quadrática.
• Domínio de uma Função: aprenda a calcular o domínio passo a passo quando a função é dada por uma fórmula, e não mais por conjuntos finitos, em Domínio de uma Função: como calcular passo a passo.
• Gráfico de uma Função: veja como representar visualmente tudo o que aprendemos aqui, mas agora no plano cartesiano, no texto Como construir o gráfico de uma função?.

Dessa forma, vocês constroem uma base sólida antes de avançar para cada um desses assuntos.

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Exercícios Propostos (com Gabarito)

Chegou a hora de praticar sozinhos! Resolvam os três exercícios abaixo e, depois, confiram o gabarito comentado.

1. A = {-3, -1, 0, 2} e B = {0, 1, 4}. Associe cada elemento de A ao seu quadrado em B, ou seja, y = x². f é uma função de A em B?
2. A = {1, 4, 9} e B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3}. Associe cada elemento de A às suas raízes quadradas em B, considerando o valor positivo e o negativo. f é uma função de A em B?
3. A = {1, 4, 9} e B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} — os mesmos conjuntos do exercício anterior. Agora associe cada elemento de A apenas à sua raiz quadrada positiva em B. f é uma função de A em B?

Gabarito Comentado

1. f(-3) = (-3)² = 9, que não pertence a B = {0, 1, 4}. Logo, o elemento -3 fica sem correspondente, e f NÃO é uma função de A em B.

2. O elemento 1 de A corresponde a -1 e a 1 em B — dois elementos ao mesmo tempo. O mesmo ocorre com 4 (-2 e 2) e com 9 (-3 e 3). Como cada elemento de A tem dois correspondentes, f NÃO é uma função de A em B.

3. Agora, 1 → 1, 4 → 2 e 9 → 3: cada elemento de A com apenas um único correspondente em B. Portanto, f É uma função de A em B, com domínio D = {1, 4, 9}, contradomínio CD = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} e imagem Im(f) = {1, 2, 3}.

Repararam que os exercícios 2 e 3 usam exatamente os mesmos conjuntos A e B? A única coisa que muda é a lei de correspondência — e isso já é suficiente para transformar uma relação que não é função em uma que é! Fica aqui uma boa lição: uma função não depende só dos conjuntos envolvidos, depende também da regra escolhida para ligá-los.

Perguntas Frequentes sobre Função

O que é uma função em Matemática?

É uma regra que associa cada elemento de um conjunto A (o conjunto de partida) a um único elemento de um conjunto B (o conjunto de chegada). Se algum elemento de A ficar sem correspondente, ou tiver mais de um, a relação deixa de ser uma função.

Qual é a notação usada para representar uma função?

Usamos f: A → B, que se lê “f de A em B”. Também escrevemos y = f(x), em que x é o elemento do conjunto de partida e y, o elemento correspondente no conjunto de chegada.

Qual é a diferença entre domínio, contradomínio e imagem?

O domínio é o conjunto de partida (A); o contradomínio é o conjunto de chegada (B); e a imagem é o subconjunto do contradomínio formado apenas pelos elementos que realmente recebem uma seta. Veja o passo a passo completo, com exercícios, no texto Domínio, Contradomínio e Imagem.

Um elemento do conjunto de chegada pode ficar sem ligação?

Pode, sim! O que nunca pode acontecer é sobrar elemento sem ligação no conjunto de partida. Já no conjunto de chegada, é perfeitamente normal existirem elementos que não são imagem de ninguém.

Dois elementos do conjunto de partida podem ter a mesma imagem?

Podem. A definição de função exige apenas que cada elemento de A tenha uma única seta saindo dele — nada impede que duas setas diferentes cheguem ao mesmo elemento de B.

Toda relação entre dois conjuntos é uma função?

Não. Uma relação só é considerada função quando cumpre duas condições ao mesmo tempo: todos os elementos do conjunto de partida têm correspondente no conjunto de chegada, e nenhum deles tem mais de um correspondente.

Assista à Videoaula

Pessoal, espero mesmo que vocês tenham gostado de tudo que aprendemos hoje, e que isso ajude bastante nos seus estudos! Para fixar ainda mais o conteúdo, deem uma olhada na videoaula que deixo logo abaixo — lá tem outros exercícios resolvidos, e quanto mais exemplos, melhor!

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Um abração a todos vocês! Até breve!