Função Par e Função Ímpar: como identificar e exercícios resolvidos

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Quando estudamos as representações gráficas das funções matemáticas, é comum percebermos semelhanças entre elas. Essa semelhança tem nome: paridade. Assim, dependendo do comportamento do gráfico, uma função pode ser classificada como função par ou como função ímpar. Vale lembrar que isso não acontece com todas as funções — muitas delas, inclusive, não são pares nem ímpares. Ainda assim, se uma questão de matemática descrever uma função como par ou ímpar, vocês precisam saber exatamente o que isso significa, afinal, todo acerto em uma prova de vestibular ou do ENEM é muito bem-vindo, não é mesmo?

Por isso, neste texto vocês vão aprender não só o conceito de função par e função ímpar, mas também como identificar cada uma delas rapidamente — pelo gráfico e pela álgebra —, o que caracteriza uma função sem paridade e, ao final, uma lista de exercícios resolvidos para treinar tudo isso.

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Preparados? Então vamos começar entendendo o que caracteriza uma função par.

O que é uma função par?

Observando os gráficos das funções acima, vocês conseguem identificar alguma semelhança evidente? Caso não, aqui vai uma dica: imaginem que vocês estão posicionados exatamente sobre o eixo y, ou eixo das ordenadas, do plano cartesiano, olhando em direção ao sentido positivo do eixo x. O que vocês estariam enxergando em relação ao gráfico da função?

Agora, suponham que vocês continuam posicionados sobre o eixo y, mas olhando para o outro lado, na direção negativa do eixo x. O que se observa agora não é exatamente a mesma coisa que se via ao olhar para o lado oposto?

Pois bem, essa observação nos permite descobrir a característica gráfica de uma função par:

Uma função f é par quando o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Ou seja, quando uma função é par, o eixo y funciona como um verdadeiro espelho: o gráfico que está à direita dele é exatamente igual ao que está à sua esquerda. Agora, prestem atenção em alguns pontos específicos de cada uma das funções de exemplo, porque eles vão ajudar vocês a entender a característica algébrica da função par.

Função	Ponto	Ponto simétrico	Conclusão
f(x) = x²	(2, 4)	(–2, 4)	Mesma imagem (4 = 4) → função par
f(x) = |x|	(1, 1)	(–1, 1)	Mesma imagem (1 = 1) → função par

 

Para quem ainda não conhece essas funções, f(x) = x² é uma função quadrática, enquanto f(x) = |x| é conhecida como função modular. No gráfico da função quadrática, dois pontos específicos foram destacados: (2, 4) e (–2, 4). Reparem que os valores da coordenada x desses dois pontos são simétricos ou opostos, isto é, valores de mesmo módulo, porém de sinais contrários. Mas o que mais chama atenção é que o valor da coordenada y é exatamente igual nos dois pontos. Isso significa que, ao substituir x por valores simétricos em uma função par, obtemos o mesmo valor de y. Em outras palavras, dois valores simétricos do domínio de uma função par possuem exatamente a mesma imagem!

E o mesmo acontece com a função modular: nos dois pontos destacados, a imagem é igual (1), enquanto os respectivos valores de x são simétricos (–1 e 1). Isso ocorre para todo e qualquer valor de x e o seu simétrico, sem exceção, como mostra a tabela abaixo:

Assim, como dito anteriormente, essa análise nos permite compreender a característica algébrica da função par:

Uma função f é par se f(x) = f(–x).

Portanto, quando for preciso verificar se uma função é par pelo método algébrico, basta substituir x por –x e conferir se o resultado é igual ao da função f(x) original.

Como identificar se uma função é par

Vejam como fica na prática, com os exemplos anteriores:

f(x) = x²

f(–x) = (–x)² = x²

Quando um valor negativo é elevado a um expoente par, o resultado é sempre positivo. Por isso, f(–x) resultou em x², que é exatamente o valor de f(x). Logo, f(x) = f(–x), e a condição para que a função seja par foi satisfeita!

Quanto à função modular f(x) = |x|, existe até uma propriedade que garante que, para todo x ∈ ℝ, |x| = |–x|. Por conseguinte, f(x) = f(–x), e fica comprovado algebricamente que essa função também é par:

f(x) = |x| = x

f(–x) = |–x| = –(–x) = x

Não se preocupem tanto com os termos algébricos: também é possível fazer esse teste com valores numéricos, como já fizemos nas tabelas acima. Se vocês substituírem x, em uma função, por dois valores numéricos simétricos, e o resultado for o mesmo, não há como negar que essa função é par!

O que é uma função ímpar?

Se vocês entenderam a ideia anterior, provavelmente já chegaram perto do que caracteriza graficamente uma função ímpar. Mas atenção: dessa vez, não vai adiantar se posicionar sobre o eixo y para enxergar a simetria. Vejam o que é preciso fazer neste caso:

Exatamente! Agora, quem se torna um espelho para os gráficos é a origem do plano cartesiano. Isso nos permite concluir que:

Uma função f é ímpar quando o seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Função	Ponto	Ponto simétrico	Conclusão
f(x) = x	(5, 5)	(–5, –5)	Imagens opostas (5 e –5) → função ímpar
f(x) = x³	(2, 8)	(–2, –8)	Imagens opostas (8 e –8) → função ímpar

Para quem ainda não conhece as funções acima, f(x) = x é uma função do 1º grau, também chamada de função identidade. Já f(x) = x³ é conhecida como função cúbica. No gráfico da função identidade, os dois pontos destacados foram (5, 5) e (–5, –5). Reparem que os valores da coordenada x desses pontos também são simétricos, ou seja, possuem o mesmo módulo, porém sinais contrários. Mas o que surpreende aqui é que os valores da coordenada y de cada ponto também são simétricos entre si! Isso significa que, ao substituir x por valores simétricos em uma função ímpar, obtemos valores de y também simétricos, ou opostos.

Na função cúbica não poderia ser diferente: nos pontos destacados, tanto os valores do domínio (–2 e 2) quanto os respectivos valores da imagem de f(x) = x³, isto é, –8 e 8, são opostos entre si. Isso ocorre para todo e qualquer valor de x e o seu simétrico, sem exceção, como mostra a tabela a seguir:

Dessa forma, já dá para imaginar qual é a característica algébrica da função ímpar:

Uma função f é ímpar se f(–x) = –f(x).

Como identificar se uma função é ímpar

Pode parecer mais complicado comprovar algebricamente que uma função é ímpar, mas, na prática, quase nada muda: vocês continuam substituindo x por –x, só que agora o resultado precisa ser igual em módulo, porém de sinal contrário ao de f(x). Vejam como fica com os exemplos anteriores:

f(x) = x

f(–x) = –x

f(x) = x³

f(–x) = (–x)³ = –x³

Quando um valor negativo é elevado a um expoente ímpar, o resultado permanece negativo. Por isso, nos dois casos, f(–x) resultou exatamente no oposto de f(x). Logo, f(–x) = –f(x), e a condição para que a função seja ímpar foi satisfeita!

Atenção: confira também o domínio A paridade só vale quando o domínio da função é simétrico em relação a zero — ou seja, se um valor x pertence ao domínio, o seu oposto –x também precisa pertencer. Esse é um detalhe que costuma passar despercebido e derruba muita gente em prova: antes de testar f(–x), vale a pena garantir que o domínio permite essa substituição.

Função nem par nem ímpar (função sem paridade)

Nem toda função é par ou ímpar — aliás, a maioria das funções que vocês vão encontrar por aí não tem paridade alguma. Isso acontece quando uma função não satisfaz nenhuma das duas condições que acabamos de estudar. Um bom exemplo é a função:

f(x) = 2x – 1

Para comprovar algebricamente que essa função não é par nem ímpar, basta substituir x por –x. O resultado não pode ser igual à função original — o que caracterizaria uma função par — e também não pode ser igual em módulo, mas de sinal contrário, o que caracterizaria uma função ímpar. Vejamos o que acontece:

f(x) = 2x – 1

f(–x) = 2·(–x) – 1 = –2x – 1

Ora, –2x – 1 ≠ 2x – 1, então essa função não pode ser par. Da mesma forma, –(–2x – 1) = 2x + 1 ≠ 2x – 1, portanto a condição de função ímpar também não é satisfeita.

x	f(x) = 2x – 1	f(–x) = 2(–x) – 1	f(x) = f(–x)?	f(–x) = –f(x)?
1	1	–3	Não (1 ≠ –3)	Não (–3 ≠ –1)
2	3	–5	Não (3 ≠ –5)	Não (–5 ≠ –3)

 

E aí, os valores da tabela mostram alguma simetria? Nem f(x) = f(–x), nem f(–x) = –f(x) — não há simetria nenhuma! Por isso, f(x) = 2x – 1 não é, comprovadamente, nem uma função par, nem uma função ímpar — ou seja, é uma função sem paridade.

Curiosidade A soma de duas funções pares é sempre par, e o produto de duas funções ímpares resulta em uma função par. Além disso, existe uma única função que é par e ímpar ao mesmo tempo: a função nula, f(x) = 0, já que ela satisfaz as duas condições simultaneamente.

Resumo: função par x função ímpar

Antes de partir para os exercícios, vale a pena fixar as duas condições lado a lado:

Característica	Função par	Função ímpar
Condição algébrica	f(x) = f(–x)	f(–x) = –f(x)
Simetria gráfica	Eixo y (eixo das ordenadas)	Origem do plano cartesiano (0, 0)
Exemplos comuns	f(x) = x², f(x) = |x|, cos(x), funções com expoentes pares	f(x) = x, f(x) = x³, sen(x), tan(x), funções com expoentes ímpares

Exercícios resolvidos sobre função par e função ímpar

Agora que vocês já sabem identificar a paridade de uma função, chegou a hora de treinar. Resolvam mentalmente antes de conferir a resolução!

Exercício 1

Classifique a função f(x) = 3x⁴ – 2x² + 5 em par, ímpar ou sem paridade.

Resolução:

f(–x) = 3(–x)⁴ – 2(–x)² + 5 = 3x⁴ – 2x² + 5

Como todos os expoentes de x são pares, o sinal negativo desaparece em cada termo. Logo, f(–x) = f(x), então a função é par.

Exercício 2

Classifique a função f(x) = 2x³ – 7x em par, ímpar ou sem paridade.

Resolução:

f(–x) = 2(–x)³ – 7(–x) = –2x³ + 7x

–f(x) = –(2x³ – 7x) = –2x³ + 7x

Como f(–x) = –f(x), a função é ímpar.

Exercício 3

Classifique a função f(x) = x² + 3x – 1 em par, ímpar ou sem paridade.

Resolução:

f(–x) = (–x)² + 3(–x) – 1 = x² – 3x – 1

Comparando: f(–x) = x² – 3x – 1 é diferente de f(x) = x² + 3x – 1, então a função não é par. E –f(x) = –x² – 3x + 1 também é diferente de f(–x), então a função não é ímpar. Trata-se, portanto, de uma função sem paridade.

Exercício 4 (múltipla escolha, estilo vestibular)

Qual das funções abaixo é ímpar?

a) f(x) = x² + 1 b) f(x) = |x| c) f(x) = x³ – x d) f(x) = 4 e) f(x) = x² – x

Resolução:

As alternativas a, b e d são funções pares (o sinal de x não altera o resultado), e a alternativa e não é par nem ímpar. Já em c), f(–x) = (–x)³ – (–x) = –x³ + x = –(x³ – x) = –f(x). Portanto, a alternativa correta é a letra c.

Perguntas frequentes sobre função par e função ímpar

Toda função é par ou ímpar?

Não. Na verdade, a maioria das funções não tem paridade — não são pares nem ímpares. Só recebem essa classificação as funções que satisfazem exatamente uma das duas condições algébricas vistas neste texto.

Qual é a diferença entre função par e função ímpar?

A função par tem gráfico simétrico em relação ao eixo y e satisfaz f(x) = f(–x). A função ímpar tem gráfico simétrico em relação à origem do plano cartesiano e satisfaz f(–x) = –f(x).

A função f(x) = 0 é par ou ímpar?

É par e ímpar ao mesmo tempo — o único caso em que isso acontece, já que ela satisfaz as duas condições simultaneamente.

Como verificar rapidamente se uma função é par ou ímpar?

Basta substituir x por –x na lei da função e comparar o resultado com f(x): se forem iguais, a função é par; se forem opostos, é ímpar; se não for nenhum dos dois casos, a função não tem paridade. Lembrem-se de confirmar antes que o domínio da função é simétrico em relação a zero.

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Além disso, pessoal, no vídeo abaixo tem muito mais exemplos de funções para vocês comprovarem, junto comigo, se são pares, ímpares ou sem paridade — não deixem de conferir! E por hoje é só, mas espero que, a partir de agora, vocês consigam identificar funções pares e ímpares com muito mais facilidade e confiança para a prova.

Um abraço e ótimos estudos!