Domínio de uma Função: como calcular passo a passo

Olá, pessoal! Como vão vocês?

Calcular o domínio de uma função significa, basicamente, obter os valores de x que fazem com que essa função exista!

Isso acontece porque, em determinadas situações, existem as chamadas impossibilidades matemáticas, e é delas que vamos aprender a fugir hoje.

Assim, para atingir esse objetivo, nada melhor do que resolver uma série de exercícios, não é mesmo? Portanto, se vocês são estudantes do ensino médio, ou pretendem realizar as provas do ENEM e dos vestibulares logo mais, não percam a oportunidade de complementar os seus conhecimentos com os 8 exemplos que vamos resolver aqui!

Falando em exemplos, vocês sabiam que na plataforma do Professor Ferretto tem mais de 1000 exercícios do ENEM e de vestibulares resolvidos em vídeo?

Nesses exercícios, procuro sempre trabalhar com foco na interpretação das questões, algo de extrema importância nos dias de hoje. E olha que isso é só uma pequena parte do que a plataforma pode lhes oferecer: são videoaulas, simulados, planos de estudo, estatísticas individuais e muito mais! Visite a Plataforma do Professor Ferretto e saiba como conquistar sua sonhada vaga na universidade.

O que é o domínio de uma função?

Beleza, pessoal? Pois bem, quando falamos de uma função, é muito importante termos em mente 3 componentes essenciais a ela: o seu domínio, ou conjunto de partida, o seu contradomínio, ou conjunto de chegada, e também a própria lei de correspondência dessa função, que relaciona ambos os conjuntos.

Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o domínio (A) e o contradomínio (B).

Geralmente, todos esses componentes são apresentados nos enunciados dos exercícios, ou então nas definições das mais variadas funções. Um exemplo disso é o caso da definição da função afim:

Vejam que a lei de correspondência da função afim é f(x) = ax + b, e que ela é dita como f: ℝ → ℝ. Isso significa que tanto o seu domínio quanto o seu contradomínio são formados pelo conjunto dos números reais.

Agora, o fato é que muitas vezes nos é informada apenas a lei de correspondência de determinada função, mas não a regra que disponibiliza o seu domínio e o seu contradomínio, como essa que acabamos de ver.

Sem essa regra, como poderíamos determinar o domínio das 8 funções abaixo, por exemplo?

Se vocês ainda têm dúvida sobre a diferença entre domínio, contradomínio e imagem, vale a pena conferir primeiro o texto “Domínio, Contradomínio e Imagem”, que explica o conceito com calma. Este artigo aqui parte desse conceito para o lado prático: o passo a passo de como calcular o domínio, com 8 exemplos resolvidos.

→ Domínio, Contradomínio e Imagem: entenda o conceito completo

Quando uma função não existe? As duas restrições que você precisa saber

E aí, alguma ideia? Pessoal, nós começaremos sempre afirmando que o contradomínio de qualquer função real é formado pelo conjunto dos números reais.

Tendo isso em vista, e sabendo que quando os valores do domínio são aplicados na lei de correspondência de uma função eles geram, como resultado, valores presentes no contradomínio dessa mesma função, podemos dizer que os valores do domínio, quando aplicados a uma função real, devem resultar em números reais. É aí que mora o segredo da questão:

Uma função existe quando cada elemento do seu domínio resulta em um único elemento do seu contradomínio.

Pessoal, se a questão de domínio e contradomínio ainda é confusa para vocês, eu peço, não se assustem!

Na prática, devido às condições que adotamos para o contradomínio das funções reais, nós podemos afirmar que o domínio de uma função real é formado por todos os valores reais que podem assumir o lugar de x de tal maneira que essa função exista, ou seja, que ela resulte em valores também reais!

Aí que está, pessoal, nem sempre! Tudo vai depender das características da função, como vocês podem ver nos exemplos abaixo:

Vejam: –4 e 0 são números reais. Só que, devido às características das funções acima, quando esses valores são inseridos no lugar de x, as funções não resultam em um valor real.

Nesse caso, diz-se que essas funções não existem para tais valores de x! Por isso, lembrem sempre: não existem resultados reais para radicais de índice par cujo radicando é negativo, e muito menos para divisões por zero!

Em resumo, as duas restrições que comandam este artigo inteiro são:

• Radical de índice par: o radicando nunca pode ser negativo.

• Fração: o denominador nunca pode ser igual a zero.

Como calcular o domínio de uma função: o passo a passo

Assim, nosso trabalho daqui pra frente será analisar uma série de funções, determinando para quais valores de x elas existem, ou seja, resultam em um valor real.

Quando encontrarmos valores de x que não permitem isso, nós os descartaremos do domínio da função.

Por conseguinte, o raciocínio que vamos repetir nos 8 exemplos a seguir pode ser resumido em 4 passos:

1. Verifique se a função tem fração, radical de índice par, ou as duas coisas ao mesmo tempo.

2. Para cada fração, imponha que o denominador seja diferente de zero.

3. Para cada radical de índice par, imponha que o radicando seja maior ou igual a zero (ou maior que zero, quando o radical estiver no denominador).

4. Se houver mais de uma condição, calcule a interseção entre elas: o domínio final é formado apenas pelos valores que satisfazem todas as condições ao mesmo tempo.

Vamos começar? Então, vem comigo aqui!

Exemplo 1: domínio de função polinomial (sem restrição)

Observem que podemos substituir o valor de x dessa função por qualquer valor real, e ela irá resultar em outro valor real também.

Em casos como esse, diz-se que não há restrição alguma quanto ao domínio da função, e por isso ele é formado pelo conjunto dos números reais.

Domínio: D = ℝ — como a função é polinomial, não existe nenhuma restrição, nem fração, nem radical.

Exemplo 2: domínio de função racional (fração no denominador)

Opa! Esse é um caso em que podemos encontrar algum problema! Vejam, nós temos uma função cuja variável encontra-se no denominador de uma fração, mas nós sabemos que o denominador de qualquer fração jamais pode ser zero.

Por isso, o domínio dessa função será formado por todos os valores reais que podem substituir o lugar de x, de forma que o denominador da função seja diferente de zero:

A resolução da inequação acima nos mostra que 2 é o único valor que, quando substitui o lugar de x, faz com que a função não resulte em um valor real, mas sim em um valor indefinido, dado por uma divisão por zero.

Em razão disso, devemos excluir o número 2 do domínio da função f(x), o que é apresentado na sequência, primeiro em forma de propriedade, e em seguida em forma de intervalo, onde o número 2 é apresentado como um conjunto unitário.

Domínio: D = ℝ – {2}, ou D = {x ∈ ℝ / x ≠ 2} — a única restrição é o denominador diferente de zero.

Exemplo 3: domínio de função com raiz de índice par (raiz quadrada)

Hummm, e agora surgiu uma função composta por uma raiz quadrada!

Uma raiz quadrada possui índice 2, que é par, e por isso não pode conter um radicando negativo.

Então, qualquer número que seja maior ou igual a zero pode pertencer ao radicando dessa função:

Assim, podemos concluir que qualquer número real maior ou igual a 3, quando substitui o lugar de x na função, faz com que a mesma resulte em um valor também real.

Isso significa que somente esses valores fazem parte do domínio da função f(x).

Domínio: D = [3, +∞), ou D = {x ∈ ℝ / x ≥ 3} — o radicando precisa ser maior ou igual a zero.

Exemplo 4: domínio de função com raiz de índice ímpar (raiz cúbica)

E agora, que temos uma função composta por uma raiz cúbica, será que muda alguma coisa? É claro que sim!

A raiz cúbica é um radical de índice ímpar, e por isso o valor presente em seu radicando pode ser qualquer número real, incluindo os números negativos.

Nesse caso, qualquer valor real que substitua x fará com que a função resulte em valores também reais. Aí, só podemos concluir que:

Domínio: D = ℝ — como o índice da raiz é ímpar, não existe restrição para o radicando.

Exemplo 5: domínio de função racional com raiz no denominador

Nesta nova função f(x), nós teremos dois possíveis problemas no denominador.

Primeiro, o denominador de qualquer fração jamais pode ser zero, e é claro que isso continua válido por aqui.

Segundo, é que nesse caso em especial o denominador é composto por uma raiz quadrada, cujo índice é par!

Tendo isso em vista, é possível afirmarmos que o radicando dessa raiz não pode ser, de forma alguma, um valor igual a zero ou negativo!

Assim, qualquer valor maior que –4, sem incluir o próprio –4, pode substituir o lugar de x, e então a função sempre resultará em valores reais!

Domínio: D = (–4, +∞), ou D = {x ∈ ℝ / x > –4} — como a raiz está no denominador, o radicando precisa ser maior que zero (não apenas maior ou igual).

Exemplo 6: domínio de função com raízes no numerador e no denominador

Pois bem, até então nós encaramos algumas situações bem simples de estudo do domínio de uma função real. Contudo, é chegada a hora em que deveremos tomar decisões um pouquinho mais exigentes.

Vamos estudar agora o domínio de funções em que duas sentenças precisam ser válidas ao mesmo tempo.

Quando isso acontece, é necessário realizar a interseção dessas duas sentenças, e o resultado será formado por valores que atendem a ambas as partes.

Querem ver como funciona? Então continuem comigo!

Vejam só, nesta função, tanto numerador quanto denominador são compostos por radicais de índice 2, um índice par.

Por consequência, é claro, ambos os radicandos não podem ser formados por números negativos. Agora, um detalhe não pode ser esquecido: o denominador de qualquer fração jamais pode ser zero!

Então, por mais que para o numerador da função seja suficiente um valor maior ou igual a zero, para o denominador apenas um valor positivo pode ser válido:

Valores maiores do que 2 satisfazem a sentença do denominador, embora somente valores menores ou iguais a 5 satisfaçam a sentença do numerador. Então, quais valores de x satisfazem ambas as sentenças?

É o que nós veremos aqui através da interseção dessas duas análises:

Ora, nesse caso, apenas valores de x que se situam entre 2 e 5, incluindo o número 5, fazem com que a função como um todo resulte em valores reais.

Assim, podemos definir o domínio de f(x) das duas maneiras apresentadas abaixo:

Domínio: D = (2, 5], ou D = {x ∈ ℝ / 2 < x ≤ 5} — resultado da interseção entre x ≤ 5 (numerador) e x > 2 (denominador).

Se vocês não entenderam as resoluções das inequações deste exemplo, vale a pena dar uma olhada no texto “Introdução à Inequação do 1º Grau” — lá vocês descobrem por que multiplicamos a primeira inequação por –1.

→ Introdução à Inequação do 1º Grau

Exemplo 7: domínio de função com soma de radicais

Apesar desta função não ser formada por uma fração, é fato que ela possui uma soma de dois radicais, cujo índice é novamente par. Isso significa que, em ambos os casos, o radicando deve ser um valor positivo ou igual a zero.

Por isso, vamos resolver essas duas sentenças e, em seguida, realizar a interseção entre elas, a fim de encontrar uma solução que satisfaça toda a função:

A interseção dessas sentenças é importante, porque mostra que nem sempre os valores de x que ficam entre as mesmas são aqueles que satisfazem toda a função.

Nesse caso, apenas valores maiores ou iguais a ½ fazem com que a função como um todo resulte em valores reais. Então, é claro que o domínio de f(x) só pode ser formado por esses valores:

Domínio: D = [½, +∞), ou D = {x ∈ ℝ / x ≥ ½} — resultado da interseção entre x ≥ –2 e x ≥ ½.

Exemplo 8: domínio de função racional com denominador do 2º grau incompleto

O nosso último exemplo também é um caso bem curioso. Apesar de possuirmos funções diferentes no numerador e no denominador da fração, o que poderia nos levar a uma interseção, é fato que no numerador qualquer valor que assuma o lugar de x faz com que a função resulte em valores reais.

Por isso, precisamos apenas avaliar o denominador da função, porque este sim, jamais pode ser zero!

Pessoal, para quem não conhece, nós acabamos de analisar uma expressão do 2º grau incompleta.

Em casos como esse, para simplificar a solução, nós costumamos colocar os termos comuns em evidência e trabalhar com o seguinte conceito: para que o produto entre dois termos seja diferente de zero, nenhum desses dois termos pode ser nulo, ou igual a zero.

Para saber mais sobre o assunto, não deixem de ler o texto Equações do 2º Grau Incompletas!

Domínio: D = ℝ – {0, 1} — sabendo que qualquer valor real que não seja zero ou 1 pode ser substituído por x nessa última função de forma que ela resulte em valores reais, nós já podemos encerrar os exemplos!

Resumo: domínio de cada tipo de função

Para consulta rápida, aqui vai um resumo com os 8 casos que estudamos neste artigo:

Tipo de função	Exemplo	Condição para existir	Domínio
Polinomial (sem restrição)	f(x) = 2x + 1	Nenhuma restrição	D = ℝ
Racional (fração)	f(x) = 1/(x – 2)	Denominador ≠ 0	D = ℝ – {2}
Radical de índice par	f(x) = √(x – 3)	Radicando ≥ 0	D = [3, +∞)
Radical de índice ímpar	f(x) = ∛(x – 1)	Nenhuma restrição	D = ℝ
Fração com raiz no denominador	f(x) = 2/√(x + 4)	Radicando > 0	D = (–4, +∞)
Fração com raízes no numerador e no denominador	f(x) = √(5–x)/√(x–2)	Interseção das 2 condições	D = (2, 5]
Soma de radicais	f(x) = √(x+2) + √(2x–1)	Interseção das 2 condições	D = [½, +∞)
Racional com denominador do 2º grau incompleto	f(x) = (3x+1)/(x²–x)	Denominador ≠ 0	D = ℝ – {0, 1}

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Domínio de uma função: perguntas frequentes

Qual é a diferença entre domínio, contradomínio e imagem de uma função?

O domínio é o conjunto de valores de x que podem ser aplicados à função; o contradomínio é o conjunto de chegada, que contém, entre outros, os valores resultantes da função; e a imagem é, especificamente, o subconjunto do contradomínio formado pelos valores que realmente foram obtidos a partir do domínio.

Para entender essa diferença com calma, vale a pena conferir o texto Domínio, Contradomínio e Imagem.

Toda função tem domínio igual ao conjunto dos números reais?

Não. Funções polinomiais, como a função afim, e funções com raiz de índice ímpar, por exemplo, realmente têm domínio igual a ℝ.

Já funções racionais e funções com raiz de índice par costumam ter restrições, como vimos nos exemplos 2, 3, 5, 6 e 7 deste artigo.

Como calcular o domínio quando a função tem fração e raiz ao mesmo tempo?

Nesse caso, é preciso resolver as duas condições separadamente — denominador diferente de zero e radicando maior ou igual a zero, ou maior que zero, se a raiz estiver no denominador — e, em seguida, calcular a interseção entre os dois resultados.

Foi exatamente esse o raciocínio aplicado nos exemplos 5, 6 e 7 deste artigo.

Qual é o domínio de uma função com raiz cúbica?

Como o índice da raiz cúbica é ímpar, o radicando pode assumir qualquer valor real, positivo, negativo ou zero.

Por isso, o domínio de uma função com raiz cúbica costuma ser igual ao conjunto dos números reais, salvo se houver outra restrição na expressão, como uma fração.

Por que a divisão por zero não é permitida?

Porque a divisão por zero é uma indefinição matemática — não existe um número real que, multiplicado por zero, resulte em um valor diferente de zero.

Em razão disso, sempre que uma função apresenta uma fração, o denominador precisa ser diferente de zero para que ela exista.

Videoaula: domínio de funções reais na prática

É claro que em anexo fica aquele vídeo que complementa tudo o que vimos aqui.

Não deixem de dar uma olhada nele, caso os conceitos de interseção, intervalos ou qualquer outro fato relacionado ao assunto tenham soado um pouco confusos!

Espero que tenham gostado do assunto, e que tudo o que vimos aqui contribua muito para o desenvolvimento do raciocínio de vocês. Um abraço, pessoal, e até o próximo texto!