Função injetora, sobrejetora e bijetora: como identificar

Olá, pessoal! Tudo bem?

Vocês sabiam que as funções matemáticas podem ser classificadas de diversas maneiras? Pois então, aqui no blog, nós já estudamos que existem funções pares e ímpares, e hoje chegou o momento de aprendermos a identificar quando uma função pode ser dita como injetora, sobrejetora ou bijetora.

E o mais legal desse assunto é que essa identificação pode ser feita de 3 formas diferentes: através da característica algébrica da função, da representação do seu domínio e do seu contradomínio em forma de diagrama, e também graficamente! Assim, vocês vão poder escolher, com tranquilidade, a opção que mais lhes agrada para resolver as famosas questões dos vestibulares e do ENEM que envolvem esse conceito.

Como esses três tipos de função aparecem sempre juntos nas provas — e é muito comum a mesma questão pedir para classificar uma função nas três frentes ao mesmo tempo — preparamos este guia completo reunindo tudo o que vocês precisam saber sobre o assunto em um só lugar. Portanto, se joguem nos estudos com a gente!

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Resposta Rápida: O Que É Cada Tipo de Função

Antes de entrarmos em detalhes, segue um resumo rápido para vocês já saírem com a ideia principal na cabeça:

• Função injetora (ou injetiva): elementos diferentes do domínio sempre geram imagens diferentes no contradomínio. Nenhum elemento do contradomínio recebe mais de uma seta.
• Função sobrejetora (ou sobrejetiva): todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Não sobra ninguém sem seta no contradomínio, ou seja, Im(f) = B.
• Função bijetora (ou bijetiva): é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. Cada elemento do contradomínio recebe exatamente uma seta — nem mais, nem menos.

Beleza, pessoal? Então já podemos começar! Abaixo, segue o conceito que vai guiar o nosso texto de hoje.

O Que É uma Função? Revisão Rápida de Domínio e Contradomínio

Antes de classificarmos uma função, precisamos relembrar rapidamente o que significa a seguinte definição de função:

Quando uma função é dita como f de A em B, significa que A é o seu conjunto de partida ou o seu domínio, e que B é o seu conjunto de chegada ou o seu contradomínio. Se vocês ainda tiverem dúvidas sobre esses três conceitos — domínio, contradomínio e imagem —, vale muito a pena revisar o texto Domínio, Contradomínio e Imagem antes de seguir, porque toda a classificação que vamos ver aqui depende diretamente deles.

Assim, com esses conceitos frescos na memória, podemos seguir para o primeiro tipo de função: a injetora.

Função Injetora (Injetiva): Definição e Como Identificar

Uma função f: A ⟶ B é injetora ou injetiva quando elementos diferentes de A são transformados por f em elementos diferentes de B, ou seja, x₁ ≠ x₂ em A ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂) em B.

Calma, vou explicar direitinho o que essa bela frase quer nos dizer. Assim, para que uma função seja injetora, elementos diferentes de seu domínio devem resultar em elementos também diferentes de seu contradomínio.

Como Identificar uma Função Injetora em Forma de Diagrama

Na imagem acima, podemos observar duas funções diferentes, representadas na forma de diagrama. O primeiro detalhe em que devemos reparar é que, de fato, ambas são funções: cada um dos elementos do domínio A está ligado a um único elemento do contradomínio B, e essa é a condição primordial para que uma função exista. Agora, será mesmo que essas duas funções são injetoras?

Na função representada acima, todos os elementos do domínio A são diferentes, e estão ligados a elementos também diferentes do contradomínio B. Isso significa que, quando aplicamos cada elemento do domínio A na função f, as imagens resultantes são diferentes umas das outras. Temos à nossa frente uma função injetora!

Já nesta segunda função, embora todos os elementos do domínio A sejam diferentes, nem todos eles estão ligados a elementos também diferentes do contradomínio B. Vejam que, quando os elementos x₂ e x₃ são aplicados na função f, a mesma imagem y₂ é gerada. Sempre que isso acontecer, a função não poderá ser considerada injetora! (Guardem esta imagem de canto, pois vamos voltar nela daqui a pouco, quando formos falar de função sobrejetora.)

Pessoal, quando uma função é representada na forma de diagrama, fica fácil determinar se ela é injetora ou não. Basta ficar atento à quantidade de setas que apontam para cada elemento do contradomínio dessa função. Uma função é injetora apenas quando uma única seta aponta para cada elemento do seu contradomínio.

E agora, para que tudo o que acabamos de ver fique bem claro, vamos a alguns exemplos numéricos. Vem comigo!

E aí, o que acharam desta nova função? Se lembrarmos da dica que acabamos de ver, logo percebemos que existem duas setas apontando para um mesmo elemento do contradomínio B. Isso significa que dois elementos do domínio A, 2 e 3, quando aplicados na função f, geram exatamente a mesma imagem, de valor 8. Portanto, essa função não é injetora!

Mas que função mais interessante! Vejam que, nesse caso, temos uma única seta chegando em cada elemento do contradomínio B. Isso significa que cada elemento do domínio A, quando aplicado à função f, gera uma imagem diferente! Portanto, essa função é injetora, ou injetiva.

E para quem ficou pensativo a respeito daquele elemento que restou no contradomínio B da função que acabamos de analisar, é importante lembrar o seguinte: para que uma função f de A em B exista, não devem restar elementos sem ligação no domínio da função. Já no contradomínio, não há problema algum que sobrem elementos sem ligação — e é justamente esse “sobrar” que vai definir, mais adiante, se uma função é ou não sobrejetora. Para saber tudo sobre esse assunto, deem uma olhada no texto Noções de Função por Meio de Conjuntos.

Como Identificar uma Função Injetora Algebricamente

Tudo entendido, pessoal? Vejam que, quando uma função nos é apresentada na sua forma algébrica, e não na forma de diagrama, para averiguar se ela é injetora ou não devemos substituir a variável x por alguns valores numéricos, e verificar se os valores de f(x) resultantes são todos diferentes uns dos outros. Se isso acontecer, a função é injetora, e pronto! Vamos conferir 4 exemplos com as funções a seguir:

f(x) = x + 1, f(x) = x² + 1, f(x) = 3x e f(x) = 2x⁴.

f(x) = x + 1

x	f(x)	y
−2	f(−2) = −2 + 1	−1
−1	f(−1) = −1 + 1	0
0	f(0) = 0 + 1	1
1	f(1) = 1 + 1	2
2	f(2) = 2 + 1	3

 

Observem que substituímos a variável x dessa função por alguns valores positivos e negativos. Como a lei de correspondência da função é dada por f(x) = x + 1, sempre iremos acrescentar uma unidade a cada valor que assume o lugar de x, de forma que toda e qualquer imagem obtida será sempre diferente das demais. Isso significa que essa função é injetora!

f(x) = x² + 1

x	f(x)	y
−2	f(−2) = (−2)² + 1	5
−1	f(−1) = (−1)² + 1	2
0	f(0) = (0)² + 1	1
1	f(1) = (1)² + 1	2
2	f(2) = (2)² + 1	5

 

E aí, encontraram alguma diferença dessa função em relação à anterior? Pois então, quando elevamos qualquer número positivo ou negativo a uma potência par, o resultado será sempre positivo! Por isso, valores diferentes de x, como −2 e 2, e −1 e 1, quando aplicados à função f(x), geram exatamente a mesma imagem. Isso nos mostra que essa função não é injetora!

f(x) = 3x

x	f(x)	y
−2	f(−2) = 3 · (−2)	−6
−1	f(−1) = 3 · (−1)	−3
0	f(0) = 3 · (0)	0
1	f(1) = 3 · (1)	3
2	f(2) = 3 · (2)	6

 

Novamente, quando substituímos a variável x da função por alguns valores positivos e negativos, as imagens obtidas foram sempre diferentes. Segundo a lei de correspondência da função, f(x) = 3x, a imagem de cada elemento do domínio será sempre o triplo do seu valor, de forma que podemos garantir que a função é injetora!

f(x) = 2x⁴

x	f(x)	y
−2	f(−2) = 2 · (−2)⁴	32
−1	f(−1) = 2 · (−1)⁴	2
0	f(0) = 2 · (0)⁴	0
1	f(1) = 2 · (1)⁴	2
2	f(2) = 2 · (2)⁴	32

 

Ops, lá vem uma potência positiva de novo! Nesse caso, quando valores de mesmo módulo mas de sinais contrários substituem o lugar de x, as imagens obtidas são exatamente iguais. Por isso, essa função não é injetora! Mas tomem cuidado para não generalizar: não deixem de realizar a substituição da variável x por alguns valores numéricos para comprovar a existência ou não de uma função injetora, mesmo que vocês já tenham uma ideia prévia do que poderá acontecer.

Como Identificar uma Função Injetora Graficamente

Beleza, pessoal? Então vamos falar um pouco sobre o comportamento das funções injetoras graficamente. Uma função é injetora quando valores diferentes de x resultam em valores também diferentes de y. Mas como é possível identificar essa ideia em gráficos?

Nós precisamos garantir que não existam valores repetidos em y, não é mesmo? Assim, se desenharmos retas horizontais paralelas ao eixo x cortando o gráfico em diversos pontos, e alguma dessas retas cortar o gráfico mais do que uma vez, saberemos que valores de x diferentes, quando aplicados à função que gerou o gráfico, geram a mesma imagem. Aí vocês já sabem que uma função como essa jamais poderá ser injetora. Esse macete é conhecido como teste da reta horizontal.

Teste da reta horizontal: para que uma função seja injetora, qualquer reta horizontal (paralela ao eixo x) só pode cruzar o seu gráfico, no máximo, uma única vez.

Olhem só que interessante: uma das linhas imaginárias que traçamos acima cortou o gráfico em 4 pontos diferentes. Isso significa que 4 valores de x diferentes, quando aplicados à função que o gráfico representa, geram exatamente a mesma imagem, ou o mesmo valor em y. Assim, podemos concluir que esse gráfico não caracteriza uma função injetora.

Já nesse segundo caso, temos um contexto um pouquinho diferente. Traçamos diversas retas paralelas ao eixo x, mas nenhuma delas cortou o gráfico em mais de um ponto. Portanto, esse gráfico com certeza caracteriza uma função injetora!

O gráfico acima representa uma função que já vimos por aqui: a f(x) = 3x. Uma função como essa é conhecida como função do 1º grau, ou [função afim](https://blog.professorferretto.com.br/matematica/funcao-afim/introducao-a-funcao-afim/), e sempre será representada por meio de uma reta. Em casos como esse, não importa quantas linhas horizontais traçarmos: todas elas cruzam o gráfico uma única vez. Por isso podemos dizer mais uma vez que a função f(x) = 3x é sim injetora! (Guardem também este gráfico, porque ele vai nos ajudar a entender função sobrejetora daqui a pouco.)

Enquanto isso, o último gráfico que apresentamos aqui corresponde a uma função do 2º grau, também conhecida como [função quadrática](https://blog.professorferretto.com.br/matematica/funcao-quadratica/introducao-a-funcao-quadratica/), a f(x) = x² + 1, que também já estudamos por aqui. O formato do gráfico acima é conhecido como parábola, e olhem só que interessante: praticamente todas as retas horizontais que traçamos cruzam esse gráfico em dois pontos. Ou seja, não há como negar que a função f(x) = x² + 1 não é, nem de longe, injetiva!

Show de bola! Agora que já sabemos tudo sobre função injetora, vamos avançar para o segundo tipo de classificação: a função sobrejetora.

Função Sobrejetora (Sobrejetiva): Definição e Como Identificar

Uma função f: A ⟶ B é sobrejetora ou sobrejetiva quando todo elemento do contradomínio B é imagem de pelo menos um elemento do domínio A. Em outras palavras, não pode sobrar nenhum elemento no contradomínio sem receber seta. Matematicamente, escrevemos:

f é sobrejetora ⟺ para todo y ∈ B, existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y.

Isso equivale a dizer que o conjunto imagem é igual ao contradomínio: Im(f) = B. Reparem que essa é uma diferença importante em relação à função injetora: ali, o que importava era não repetir elemento no contradomínio; aqui, o que importa é não deixar ninguém de fora.

Como Identificar uma Função Sobrejetora em Forma de Diagrama

Observem o diagrama acima: o domínio A tem 4 elementos (x₁, x₂, x₃, x₄) e o contradomínio B tem apenas 3 elementos (y₁, y₂, y₃). Vejam que y₁ recebe duas setas (de x₁ e de x₂), enquanto y₂ e y₃ recebem uma seta cada. Mesmo assim, reparem que todos os elementos de B — y₁, y₂ e y₃ — receberam pelo menos uma seta. Não sobrou ninguém! Portanto, essa função é sobrejetora, ainda que não seja injetora (afinal, y₁ recebeu duas setas).

Esse exemplo já entrega uma sacada importante: uma função pode ser sobrejetora sem ser injetora, e vice-versa. São classificações independentes uma da outra.

Aliás, lembram daquele diagrama que vimos lá atrás, quando estudamos função não injetora? Vamos rever:

Além de não ser injetora (porque x₂ e x₃ apontam para o mesmo y₂), essa função também não é sobrejetora, já que y₃ ficou sem receber nenhuma seta. Ou seja, essa função falha nos dois critérios ao mesmo tempo — um ótimo exemplo de como as duas classificações, apesar de parecidas, avaliam coisas diferentes no diagrama: a injetora olha se alguém recebeu seta demais; a sobrejetora olha se alguém ficou sem seta nenhuma.

Como Identificar uma Função Sobrejetora Algebricamente

Na forma algébrica, o segredo para identificar uma função sobrejetora é comparar o conjunto imagem com o contradomínio declarado da função. Vamos analisar dois exemplos:

f: R → R, f(x) = x + 1

Como o domínio e o contradomínio dessa função são os números reais, e sabemos que uma reta (função afim, com coeficiente angular diferente de zero) percorre todos os valores possíveis de y, do menos infinito ao mais infinito, então, para qualquer y real, sempre existe um x real tal que f(x) = y (basta isolar x = y − 1). Logo, Im(f) = R = contradomínio, e essa função é sobrejetora.

f: R → R, f(x) = x²

Já aqui, sabemos que todo número real elevado ao quadrado é sempre maior ou igual a zero. Isso significa que nenhum número negativo pertence ao conjunto imagem dessa função. Portanto, Im(f) = [0, +∞) é diferente do contradomínio declarado, que é R. Logo, essa função não é sobrejetora — pois sobram, no contradomínio, todos os números negativos, que nunca serão alcançados.

Reparem em algo fundamental: se, para essa mesma lei de formação f(x) = x², a gente redefinisse o contradomínio para ser apenas os números reais não negativos (ou seja, f: R → [0, +∞)), a função passaria a ser sobrejetora! Isso nos leva à dica mais importante deste texto — falamos mais sobre ela na seção “Por que o contradomínio importa?”, logo abaixo.

Como Identificar uma Função Sobrejetora Graficamente

Já vimos que, para a função injetora, o macete gráfico é o teste da reta horizontal aplicado ao eixo x (nenhuma reta horizontal pode cruzar o gráfico mais de uma vez). Para a função sobrejetora, o raciocínio se volta para o eixo y: precisamos garantir que toda altura possível do contradomínio seja, de fato, atingida pelo gráfico.

Voltando ao gráfico de f(x) = 3x que já usamos para explicar a função injetora:

Essa reta se estende infinitamente para cima e para baixo, cruzando qualquer altura possível do eixo y. Logo, além de injetora, essa função também é sobrejetora quando o contradomínio é R — e por isso, aliás, ela é bijetora, como veremos já, já.

Já o gráfico da parábola f(x) = x² + 1 que vimos também:

Repare que o gráfico nunca desce abaixo de y = 1 (o vértice da parábola). Ou seja, nenhuma reta horizontal traçada abaixo de y = 1 vai cruzar o gráfico em ponto algum. Isso confirma que, se o contradomínio declarado for R, essa função não é sobrejetora — sobra todo o intervalo (−∞, 1) sem ser atingido.

Vejam mais um exemplo, agora com uma função nova, que também vai nos ajudar a reforçar que uma função pode ser sobrejetora sem ser injetora: a função módulo, f(x) = |x|.

Considerando f: R → [0, +∞), definida por f(x) = |x|, observem que:

• Não é injetora: valores opostos de x, como −1 e 1, geram a mesma imagem (nesse caso, y = 1). Reparem nas retas horizontais vermelhas: cada uma delas cruza o gráfico em 2 pontos diferentes.
• É sobrejetora (nesse contradomínio [0, +∞)): toda altura y maior ou igual a zero é atingida por pelo menos um valor de x. Não sobra nenhuma altura possível sem ser alcançada.

Ou seja, essa função é sobrejetora, mas não é injetora — o exemplo perfeito para fixar que as duas classificações são, de fato, independentes.

Por Que o Contradomínio Importa?

Uma dica importante — e que costuma derrubar muitos alunos em prova — é que a classificação de uma função não depende só da sua lei de formação (a “fórmula”), mas também de quais são exatamente o domínio e o contradomínio declarados. A mesma lei de formação pode gerar uma função sobrejetora ou não sobrejetora, dependendo de como o contradomínio é definido.

Vimos isso com f(x) = x²: ela não é sobrejetora quando o contradomínio é R, mas passa a ser sobrejetora quando o contradomínio é redefinido para [0, +∞). Por isso, sempre que uma questão pedir para classificar uma função, fiquem atentos: não vale olhar só para a fórmula, é preciso conferir com muito cuidado quem são A e B na notação f: A ⟶ B.

Função Bijetora (Bijetiva): Injetora e Sobrejetora ao Mesmo Tempo

Chegamos ao terceiro e último tipo! Uma função f: A ⟶ B é bijetora ou bijetiva quando ela é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Ou seja, para que uma função seja bijetora, ela precisa passar nos dois testes que vimos até aqui:

• Elementos diferentes do domínio geram imagens diferentes (injetora);
• Todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio (sobrejetora).

Quando isso acontece, cada elemento de A está ligado a exatamente um elemento de B, e cada elemento de B está ligado a exatamente um elemento de A — nem mais, nem menos. É por isso que, dessa forma, a função bijetora também é chamada de correspondência biunívoca (um a um, dos dois lados).

Como Identificar uma Função Bijetora em Forma de Diagrama

Reparem que, nesse diagrama, o domínio A = {x₁, x₂, x₃, x₄} e o contradomínio B = {y₁, y₂, y₃, y₄} têm a mesma quantidade de elementos. Cada xᵢ está ligado a um único yᵢ, sem repetições e sem sobras dos dois lados. Portanto, essa é uma função bijetora.

Aliás, essa é uma boa dica prática: quando o domínio e o contradomínio de uma função entre conjuntos finitos têm quantidades diferentes de elementos, ela já não pode ser bijetora. Se n(A) > n(B), a função não pode ser injetora (sempre vai sobrar algum elemento repetido em B). Se n(A) < n(B), ela não pode ser sobrejetora (sempre vai sobrar elemento sem seta em B). Só quando n(A) = n(B) é que a função tem chance de ser bijetora — mas atenção, ter a mesma quantidade de elementos é uma condição necessária, não suficiente: ainda é preciso conferir se, de fato, não há repetição nem sobra.

Como Identificar uma Função Bijetora Algebricamente e Graficamente

Na prática, para confirmar que uma função é bijetora, basta aplicar as duas verificações que já aprendemos, uma depois da outra:

• Verifique se é injetora (substituindo valores ou aplicando o teste da reta horizontal no eixo x);
• Verifique se é sobrejetora (comparando a imagem com o contradomínio, ou aplicando o mesmo teste no eixo y).

Se a resposta for “sim” para as duas, a função é bijetora. Foi exatamente o que vimos com f: R → R, f(x) = 3x: o gráfico é uma reta que cruza qualquer horizontal uma única vez (injetora) e se estende por todos os valores possíveis de y (sobrejetora). Logo, f(x) = 3x, com domínio e contradomínio em R, é bijetora.

Por Que a Função Bijetora É Tão Especial? A Função Inversa

Existe um motivo muito prático para prestarmos atenção especial nas funções bijetoras: somente uma função bijetora admite função inversa. Isso faz todo sentido quando paramos para pensar: para “desfazer o caminho” de B de volta para A, cada elemento de B precisa corresponder a exatamente um elemento de A — ou seja, precisamos exatamente das condições de não haver repetição (injetora) e não haver sobra (sobrejetora) ao mesmo tempo. Esse é um assunto e tanto, que merece um texto só para ele por aqui no blog em breve!

Tabela Comparativa: Injetora × Sobrejetora × Bijetora

Para fechar com chave de ouro, montamos uma tabela-resumo comparando os três tipos de função. Guardem essa tabela para revisar antes da prova!

Critério	Injetora	Sobrejetora	Bijetora
Definição	Elementos diferentes de A geram imagens diferentes em B	Todo elemento de B é imagem de algum elemento de A	É injetora e sobrejetora ao mesmo tempo
Notação	x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)	∀y ∈ B, ∃x ∈ A | f(x) = y	As duas condições anteriores juntas
No diagrama	Nenhum elemento de B recebe 2 setas ou mais	Nenhum elemento de B fica sem seta	Cada elemento de B recebe exatamente 1 seta
Teste gráfico	Toda reta horizontal cruza o gráfico no máximo 1 vez	Toda reta horizontal, dentro do contradomínio, cruza o gráfico ao menos 1 vez	Toda reta horizontal cruza o gráfico exatamente 1 vez
Conjuntos finitos	Exige n(A) ≤ n(B)	Exige n(A) ≥ n(B)	Exige n(A) = n(B)
Exemplo típico	f: N→N, f(x) = x + 5 (injetora, mas não sobrejetora)	f: R→[0,+∞), f(x) = |x| (sobrejetora, mas não injetora)	f: R→R, f(x) = 3x (injetora e sobrejetora)

Exercícios Resolvidos

Exercício 1 (Enem 2017 — PPL)

No primeiro ano do Ensino Médio de uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha na festa junina. Neste ano, há 12 meninas e 13 meninos na turma, e para a quadrilha foram formados 12 pares distintos, compostos por uma menina e um menino. Considere que as meninas sejam os elementos que compõem o conjunto A e os meninos, o conjunto B, de modo que os pares formados representem uma função f de A em B.

Com base nessas informações, a classificação do tipo de função que está presente nessa relação é:

a) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está associado um menino diferente pertencente ao conjunto B.

b) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente ao conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B, sobrando um menino sem formar par.

c) f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B, para envolver a totalidade de alunos da turma.

d) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A.

e) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme par com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino ficará sem par.

Resolução: Como foram formados 12 pares distintos, cada uma das 12 meninas (conjunto A) está ligada a um menino diferente (conjunto B) — ou seja, nenhum menino se repete em dois pares. Isso já garante que f é injetora. Como o conjunto B tem 13 meninos e apenas 12 formaram par, sobra 1 menino sem ligação nenhuma no contradomínio. Logo, f não é sobrejetora (e, por consequência, também não é bijetora). Alternativa correta: A.

Exercício 2 (algébrico)

Classifique a função f: R → R, definida por f(x) = 2x − 1, quanto à injetividade, sobrejetividade e bijetividade.

Resolução: Para verificar se é injetora, tomamos x₁ ≠ x₂ e conferimos se f(x₁) ≠ f(x₂). Como f(x₁) = f(x₂) ⟹ 2x₁ − 1 = 2x₂ − 1 ⟹ x₁ = x₂, concluímos, pela contrapositiva, que x₁ ≠ x₂ sempre gera f(x₁) ≠ f(x₂). Logo, f é injetora. Para verificar se é sobrejetora, tomamos um y qualquer em R e isolamos x: y = 2x − 1 ⟹ x = (y + 1) / 2, que é sempre um número real. Portanto, para todo y ∈ R existe x ∈ R tal que f(x) = y, o que garante que f é sobrejetora. Como f é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, f é bijetora.

Exercício 3 (diagrama)

Observe novamente o diagrama que usamos para explicar função sobrejetora, com A = {x₁, x₂, x₃, x₄} e B = {y₁, y₂, y₃}, em que x₁ e x₂ apontam para y₁, x₃ aponta para y₂ e x₄ aponta para y₃. Essa função é injetora? É sobrejetora? É bijetora?

Resolução: Não é injetora, pois x₁ e x₂, que são elementos diferentes do domínio, têm a mesma imagem y₁. É sobrejetora, pois todos os elementos do contradomínio (y₁, y₂ e y₃) recebem pelo menos uma seta. Como não é injetora, não pode ser bijetora, mesmo sendo sobrejetora.

Exercício 4 (gráfico)

Considere a função f: R → [0, +∞), definida por f(x) = |x|. Classifique-a quanto à injetividade e à sobrejetividade.

Resolução: Não é injetora, pois valores opostos de x (como −2 e 2) geram a mesma imagem (nesse caso, y = 2) — o teste da reta horizontal confirma isso, já que qualquer reta traçada em y > 0 cruza o gráfico em 2 pontos. É sobrejetora nesse contradomínio [0, +∞), pois toda altura y ≥ 0 é atingida por algum valor de x (basta tomar x = y ou x = −y). Como não é injetora, não é bijetora.

Exercícios Propostos (com Gabarito Comentado)

1. Classifique a função f: R → R, definida por f(x) = x³, quanto à injetividade, sobrejetividade e bijetividade.

2. Considere f: N → N, definida por f(x) = x + 5. Essa função é sobrejetora? Justifique.

3. Dados A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6}, verifique se a função f: A → B, definida por f(x) = 2x, é bijetora.

4. A função f: R → R, definida por f(x) = x² − 4, é injetora? É sobrejetora? Justifique sua resposta.

Gabarito Comentado

1. f(x) = x³ é estritamente crescente em toda a reta real (para x₁ < x₂, temos sempre x₁³ < x₂³), portanto é injetora. Além disso, como x³ assume valores cada vez maiores conforme x cresce e valores cada vez menores conforme x diminui, sem nenhum “salto”, ela percorre todo o conjunto R. Logo, também é sobrejetora — e, por consequência, é bijetora.

2. Não é sobrejetora. O conjunto imagem dessa função é Im(f) = {5, 6, 7, 8, …}, pois o menor valor de x em N é 0, o que gera f(0) = 5. Dessa forma, os elementos {0, 1, 2, 3, 4} do contradomínio N nunca são atingidos, e sobram sem receber seta.

3. f(1) = 2, f(2) = 4 e f(3) = 6. Como os três elementos do domínio geram imagens distintas, a função é injetora; e como o conjunto imagem {2, 4, 6} é exatamente igual ao contradomínio B, a função também é sobrejetora. Logo, é bijetora.

4. Não é injetora: f(2) = 0 e f(−2) = 0, ou seja, dois elementos diferentes do domínio (2 e −2) geram a mesma imagem. Não é sobrejetora (considerando contradomínio R): como x² é sempre maior ou igual a zero, temos x² − 4 ≥ −4 para qualquer x real; logo, a imagem é o intervalo [−4, +∞), que não cobre todo o R — sobram os valores menores que −4.

Perguntas Frequentes

Qual a diferença entre função injetora e função sobrejetora?

Na função injetora, nenhum elemento do contradomínio pode receber mais de uma seta (elementos diferentes do domínio sempre geram imagens diferentes). Já na função sobrejetora, nenhum elemento do contradomínio pode ficar sem receber seta nenhuma (todo elemento do contradomínio precisa ser imagem de algo). São critérios independentes: uma função pode ter só uma dessas características, as duas, ou nenhuma.

Toda função bijetora é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo?

Sim. Por definição, uma função só é chamada de bijetora quando é injetora e sobrejetora simultaneamente. Se faltar uma das duas condições, ela não pode ser classificada como bijetora.

Como saber se uma função é sobrejetora observando o gráfico?

É preciso verificar se toda altura possível do contradomínio, no eixo y, é atingida pelo gráfico. Se existir algum valor de y no contradomínio que o gráfico nunca alcança, a função não é sobrejetora.

A função f(x) = x² é injetora?

Não. Como (−2)² = 2² = 4, por exemplo, dois elementos diferentes do domínio (−2 e 2) geram a mesma imagem, o que já é suficiente para que ela não seja injetora, considerando o domínio nos números reais.

Uma função pode não ser nem injetora, nem sobrejetora?

Pode sim! Basta ela ter, ao mesmo tempo, algum elemento do contradomínio recebendo mais de uma seta (falha de injetividade) e algum outro elemento do contradomínio sem receber seta nenhuma (falha de sobrejetividade). Vimos um exemplo assim quando reaproveitamos o diagrama da função não injetora na seção de função sobrejetora.

O que é o teste da reta horizontal?

É um macete gráfico para verificar se uma função é injetora: basta traçar retas horizontais (paralelas ao eixo x) sobre o gráfico. Se alguma delas cruzar o gráfico mais de uma vez, a função não é injetora. Se toda reta horizontal cruzar o gráfico no máximo uma vez, a função é injetora.

Assista à Videoaula

Gostaram desse macete? Tenho certeza que, aliando todos os conhecimentos que vimos hoje e treinando bastante, logo logo vai ficar extremamente óbvio para vocês quando uma função é injetora, sobrejetora ou bijetora. Em anexo, fica um vídeo com a explicação completa sobre função injetora, que complementa tudo o que vimos por aqui. Não custa nada dar uma olhadinha nele, não é?

▶ Assistir no YouTube: youtube.com/embed/OMvGmAB96do

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Um abração! Nos vemos em breve!