Coeficiente Angular: o que é, fórmula e como calcular

O coeficiente angular de uma função do 1º grau está intimamente ligado à inclinação da reta – a forma gráfica da função afim – em relação ao eixo x. Além disso, também podemos entender o coeficiente angular como uma taxa de variação constante, que pode ser positiva ou negativa.

Resumo rápido O coeficiente angular é o número que indica a inclinação de uma reta em relação ao eixo x. Na função afim f(x) = ax + b, ele é o valor de a. Fórmula: a = Δy/Δx = (y2 − y1)/(x2 − x1) = tg α a > 0: reta crescente (ângulo de inclinação agudo); a < 0: reta decrescente (ângulo de inclinação obtuso); a = 0: reta horizontal (função constante); reta vertical: não tem coeficiente angular, pois a tangente de 90º não existe.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje nós vamos falar sobre o coeficiente angular da função afim, que também costuma ser chamada de função polinomial do 1º grau. A função afim é uma das funções mais abordadas no ENEM e nos vestibulares tradicionais, visto que ela representa um comportamento linear, que se aplica a muitos fenômenos do nosso cotidiano. Mas não se preocupem! Depois de ler este texto, vocês entenderão direitinho o que é o coeficiente angular, onde ele se localiza na função afim e claro, como é possível calculá-lo. E, se ainda houver confusão entre função e equação, vale conferir o nosso guia de equação do 1º grau.

Entendido, pessoal? Então, que tal iniciarmos os estudos? Fiquem à vontade para anotar todos os conceitos que vamos aprender daqui pra frente. Venham comigo!

O que é o coeficiente angular da função afim?

A fórmula matemática da função afim possui dois coeficientes, ou seja, dois termos que costumam assumir valores numéricos. O coeficiente angular a é o coeficiente que está junto da variável x, e o coeficiente linear b é o chamado termo independente da função. Neste texto, nós iremos tratar apenas do coeficiente angular da função afim. Portanto, ficaremos de olho no que o valor de a nos traz de informação acerca desta função e da representação gráfica dela.

O gráfico da função afim f: ℝ → ℝ dada por f(x) = ax + b, em que a ≠ 0, é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular ou declividade da reta e está ligado à sua inclinação em relação ao eixo x, o eixo das abscissas.

Observem os dois gráficos acima e fiquem atentos à diferença entre eles. Quando o coeficiente angular de uma função afim é um valor positivo ou maior que zero (a > 0), o gráfico da função é uma reta crescente. Do contrário, ou seja, quando o coeficiente angular é um valor negativo ou menor que zero (a < 0), o gráfico da função é uma reta decrescente.

O ângulo de inclinação da reta de acordo com o valor do coeficiente angular a

Na imagem acima, vemos 3 gráficos de funções do 1º grau diferentes. Reparem na mudança de comportamento das retas de acordo com o valor do coeficiente angular a, quando este é positivo. Quanto mais próximos de zero são os valores de a, mais próximo de 0º é o ângulo de inclinação da reta com relação ao eixo x. Na medida em que os valores do coeficiente a vão aumentando, o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo x vai se aproximando de 90º.

Já quando o valor de a é negativo, ou seja, quando o gráfico da função afim é uma reta decrescente, na medida em que os valores de a são muito negativos, o ângulo de inclinação da reta com o eixo x é muito próximo de 90º. Contudo, na medida em que os valores de a são cada vez menos negativos e se aproximam de zero, o ângulo de inclinação da reta com o eixo x se aproxima de 180º.

Incrível, não é, pessoal? Reparem que em nenhum momento foi apresentado o comportamento do gráfico da função afim para um coeficiente a de valor zero. Isso aconteceu porque, vocês sabem, a não pode ser um valor nulo. Quando a vale zero, tem-se o que chamamos de função constante. O gráfico da função constante é uma reta horizontal, paralela ao eixo x.

Resumo: o sinal de a e o comportamento da reta

Valor de a	Tipo de reta	Ângulo de inclinação α	Exemplo
a > 0	Crescente	Agudo (0º < α < 90º)	f(x) = 2x + 1
a < 0	Decrescente	Obtuso (90º < α < 180º)	f(x) = −2x + 1
a = 0	Horizontal (função constante)	α = 0º	f(x) = 3
Reta vertical	Não é gráfico de função	α = 90º (a não existe)	x = 4

 

Bom, já sabemos como o valor do coeficiente angular influencia no comportamento do gráfico da função afim. Agora chegou o momento de aprendermos a calcular este coeficiente. É isso que faremos no próximo item, mas antes, fica o seguinte conselho: se vocês não entenderam como identificar os coeficientes a e b na função afim, leiam o nosso guia completo de função afim! Este e vários outros aspectos importantes da função do 1º grau são abordados aqui no blog!

Entendido? Então, sigam comigo!

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Como calcular o coeficiente angular?

a = Δy/Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tg α

É possível calcular o coeficiente angular da função afim de 3 formas diferentes. Graficamente, aplicando o conceito de taxa de variação, conhecendo dois pontos de uma reta, ou então, o ângulo de inclinação da reta com o eixo x. Vamos estudar cada uma delas logo mais. Vem comigo!

O coeficiente angular como taxa de variação

A taxa de variação de uma função afim nada mais é do que a razão entre a variação no eixo y e a variação correspondente no eixo x. Dessa forma, para calcular o coeficiente angular de uma função afim conhecendo apenas o gráfico desta função, basta seguir os seguintes passos, olhem só!

1º Passo: observe se a reta é crescente ou decrescente

Indiscutivelmente, a reta que vemos acima é crescente. Dessa forma, sabemos que o seu coeficiente angular é um valor positivo (a > 0). Caso a reta deste exemplo fosse decrescente, saberíamos que o seu coeficiente angular seria negativo (a < 0), e assim, seria necessário acrescentar o sinal negativo ao final do cálculo.

2º Passo: escolha quaisquer dois pontos do gráfico

Neste exemplo, escolhemos os pontos (0,1) e (2,5), mas poderíamos ter optado por quaisquer outros dois pontos da reta. Na função do primeiro grau, a taxa de variação é sempre constante, de forma que o coeficiente angular pode ser calculado a partir de qualquer região do gráfico. Agora estamos prontos para seguir até o próximo passo. Vem comigo!

3º Passo: calcule a razão entre a variação em y e a variação em x

Analisando o gráfico, podemos perceber que a variação nos eixos x e y entre os pontos escolhidos é, respectivamente, 2 e 4. Isso porque no eixo x, saímos do ponto zero e chegamos ao ponto 2, ou seja, percorremos 2 unidades. No eixo y saímos do ponto 1 e fomos até o 5, percorrendo 4 unidades.

Em números: Δx = 2 − 0 = 2 e Δy = 5 − 1 = 4. Logo, a = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Dica: se vocês usarem diferenças com sinal (y2 − y1 e x2 − x1), o sinal de a aparece sozinho no resultado. Só é preciso “acrescentar o sinal negativo” ao final, como falamos no 1º passo, quando medimos apenas distâncias, sem sinal.

 

Quem não conseguiu perceber essas variações apenas observando o gráfico, pode utilizar diretamente o próximo método que nos permite encontrar o coeficiente angular a. Acompanhem!

O coeficiente angular quando dois pontos de uma reta são conhecidos

Quando pelo menos dois pontos de uma reta são conhecidos, fica ainda mais fácil determinar o seu coeficiente angular. Basta utilizar a fórmula apresentada no quadro acima! Um dos pontos conhecidos terá coordenadas (x₁, y₁) e o outro terá coordenadas (x₂, y₂).

Com P(0, 1) e Q(2, 5): a = (5 − 1)/(2 − 0) = 4/2 = 2.

Um detalhe importante nesse caso, é que o cálculo do coeficiente angular a pode ser feito de duas formas diferentes. No caso do exemplo, consideramos que o ponto P teria as coordenadas (x₁, y₁) e o ponto Q teria as coordenadas (x₂, y₂). Vamos refazer o cálculo considerando que o ponto Q terá coordenadas (x₁, y₁) e que o ponto P terá as coordenadas (x₂, y₂). Fiquem de olho no resultado desse cálculo:

Refazendo: a = (1 − 5)/(0 − 2) = (−4)/(−2) = 2. Ou seja, o resultado é o mesmo, desde que a ordem seja respeitada no numerador e no denominador.

Legal, não é pessoal? Agora, vamos à última maneira de calcular o coeficiente angular a. Sigam comigo!

O coeficiente angular quando o ângulo de inclinação da reta é conhecido

Até agora, apesar de sabermos que o coeficiente angular a está intimamente ligado ao ângulo que a reta, o gráfico da função afim, forma em relação ao eixo x, pensamos nele apenas como um valor real, não envolvemos os ângulos no assunto. Mas a verdade é que toda vez que escolhemos dois pontos em uma reta, podemos construir ali um triângulo retângulo. As medidas dos catetos deste triângulo retângulo são as variações em y e em x.

Ora, se as medidas dos catetos oposto e adjacente ao ângulo de inclinação da reta são conhecidas, é claro que podemos encontrar o ângulo α através da razão trigonométrica tangente (que nos livros aparece como tg e nas calculadoras como tan).

E aí, qual é o coeficiente angular da reta acima? Muito simples, basta descobrirmos quanto vale a tangente do ângulo de 45º.

a = tan (45º) = 1

Conforme essa ideia, vamos voltar nossa atenção à reta que utilizamos para calcular o coeficiente angular a diversas vezes neste texto. Qual será o valor do ângulo de inclinação α, sabendo que o coeficiente angular que encontramos é igual a 2? Neste caso, basta aplicarmos a tangente inversa ao coeficiente angular.

α = tan⁻¹(a)

α = tan⁻¹(2) = 63,43º

Atenção quando a reta é decrescente: nesse caso, a calculadora devolve um ângulo negativo para tan−1(a). Como o ângulo de inclinação é medido a partir do eixo x, no sentido anti-horário, entre 0º e 180º, basta somar 180º ao resultado. Por exemplo, para a = −1, temos tan−1(−1) = −45º; portanto, α = 180º − 45º = 135º.

Erros comuns ao calcular o coeficiente angular

Antes de seguirmos, vale ficar atento a alguns deslizes que aparecem bastante nas provas:

• Inverter a fração: o correto é Δy ÷ Δx, ou seja, y em cima e x embaixo.
• Misturar a ordem dos pontos: se o numerador começa por y₂ − y₁, o denominador precisa ser x₂ − x₁, e não x₁ − x₂.
• Errar o sinal: trocar o sinal de a transforma uma reta crescente em decrescente. Logo, confiram sempre o resultado com o gráfico.
• Usar tan⁻¹(a) em reta decrescente sem ajustar: lembrem-se de somar 180º ao ângulo negativo.
• Confundir a com b: o coeficiente angular é a inclinação; o coeficiente linear é o ponto onde a reta corta o eixo y.

Coeficiente angular na geometria analítica: a letra m

Até aqui, estudamos o coeficiente angular dentro da função afim. Entretanto, esse mesmo número aparece na geometria analítica, onde estudamos retas no plano cartesiano (se precisarem rever como localizar pontos, leiam as noções básicas de plano cartesiano). Nesse caso, a conta é exatamente a mesma; muda apenas a notação. Assim, em vez de f(x) = ax + b, escrevemos a equação reduzida da reta como y = mx + n, em que m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. Dessa forma, m = a e n = b: as letras mudam, mas o significado é o mesmo.

Reta horizontal e reta vertical: os casos especiais

Duas retas merecem atenção especial. A reta horizontal tem todos os pontos com a mesma ordenada; logo, Δy = 0 e o coeficiente angular vale 0. Ela é justamente o gráfico da função constante.

Já a reta vertical, de equação x = k, tem todos os pontos com a mesma abscissa; assim, Δx = 0 e a divisão Δy/Δx não existe. Por conseguinte, a reta vertical não tem coeficiente angular. O ângulo confirma o resultado: ela forma 90º com o eixo x, e a tangente de 90º não existe. Além disso, uma reta vertical não é gráfico de função, pois um mesmo valor de x estaria associado a infinitos valores de y.

Como achar o coeficiente angular pela equação geral da reta

Quando a reta aparece na forma geral, ax + by + c = 0, basta isolar y. Assim, by = −ax − c e, portanto, y = (−a/b)·x − c/b. Dessa forma, o coeficiente angular é m = −a/b (com b ≠ 0) e o coeficiente linear é n = −c/b. Atenção: nessa equação, a, b e c são apenas os coeficientes da equação geral; eles não são o coeficiente angular e o coeficiente linear.

Exemplo: qual é o coeficiente angular da reta 4x + 2y − 8 = 0? Isolando y: 2y = −4x + 8, logo y = −2x + 4. Portanto, m = −2 (ou, direto pela fórmula, m = −4/2 = −2) e n = 4.

Coeficiente angular de retas paralelas e perpendiculares

• Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular: m₁ = m₂.
• Retas perpendiculares (não verticais) têm coeficientes angulares cujo produto vale −1: m₁ · m₂ = −1. Ou seja, um é o inverso do outro, com o sinal trocado.

Exemplo: a reta r: y = 2x + 1 tem m = 2. Qualquer reta paralela a r também tem m = 2, como y = 2x − 3. Já uma reta perpendicular a r tem m = −1/2, pois 2 · (−1/2) = −1. A única exceção é o par horizontal–vertical, que também é perpendicular, mas a vertical não tem coeficiente angular.

Coeficiente angular × coeficiente linear: qual é a diferença?

O coeficiente angular (a) indica a inclinação da reta, enquanto o coeficiente linear (b) indica o ponto onde essa reta corta o eixo y. Juntos, os dois coeficientes definem completamente uma função afim.

Como vocês já viram ao longo deste texto, na função afim f(x) = ax + b esses dois valores aparecem lado a lado, mas cada um conta uma parte diferente da história do gráfico. Vamos comparar os dois rapidinho, pessoal?

Coeficiente	Símbolo	O que representa	Como aparece no gráfico
Angular	a (ou m)	A inclinação da reta em relação ao eixo x	Define se a reta é crescente, decrescente ou constante
Linear	b (ou n)	O valor de y quando x = 0	É o ponto onde a reta corta o eixo y — coordenada (0, b)

 

Na prática, o coeficiente angular responde “para que lado a reta está indo?”, e o coeficiente linear responde “por onde ela começa, no eixo y?”. Peguem a função f(x) = 3x − 2, por exemplo: o coeficiente angular é a = 3 (reta crescente e bem inclinada) e o coeficiente linear é b = −2 (a reta corta o eixo y no ponto (0, −2)).

Essa dupla costuma aparecer junta nas provas do ENEM e dos vestibulares, principalmente quando a questão pede pra encontrar a lei de uma função afim a partir do gráfico ou de dois pontos: primeiro vocês descobrem o coeficiente angular a e, depois, usam um dos pontos pra encontrar o coeficiente linear b. Quer ver esse passo a passo completo? Leiam Como Determinar a Função do 1º Grau Conhecendo Dois Pontos e, para aprender a desenhar a reta, o artigo Gráfico da Função do 1º Grau. Ali embaixo tem um vídeo completo que também explica direitinho o coeficiente linear, não deixem de conferir!

Como o coeficiente angular aparece no Enem e nos vestibulares

Nas provas, quase nunca aparece a pergunta “qual é o coeficiente angular?”. Em vez disso, o enunciado pede uma taxa: quanto por hora, quanto por quilômetro, quanto por ano. Dessa forma, sempre que o gráfico for uma reta, o coeficiente angular é essa taxa de variação, e a sua unidade é a razão entre a unidade de y e a unidade de x. Veja alguns casos típicos:

• Volume (L) × tempo (h): o coeficiente angular é a vazão, em litros por hora. Se for negativo, o reservatório está esvaziando.
• Preço (R$) × distância (km): o coeficiente angular é o preço por quilômetro rodado.
• Valor de um bem (R$) × tempo (anos): um coeficiente angular negativo representa a desvalorização por ano.

Logo, as duas questões a seguir são exatamente esse tipo de situação. Observem como o cálculo de a resolve cada uma delas.

Exercícios do Enem e de vestibulares resolvidos em vídeo

Exercício 1 (Enem 2016)

1) (ENEM) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba. Mas, nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.

Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora?

a) 1 000

b) 1 250

c) 1 500

d) 2 000

e) 2 500

Resolução em texto: o coeficiente angular de cada trecho do gráfico é a vazão (variação do volume ÷ variação do tempo). No primeiro trecho, de A(0; 6 000) até B(1; 5 000): a = (5 000 − 6 000)/(1 − 0) = −1 000 L/h. Logo, a primeira bomba esvazia 1 000 L por hora. No segundo trecho, de B(1; 5 000) até C(3; 0): a = (0 − 5 000)/(3 − 1) = −2 500 L/h. Como nesse trecho as duas bombas trabalham juntas, a vazão da segunda bomba é 2 500 − 1 000 = 1 500 L/h. Gabarito: alternativa c).

Exercício 2 (UERJ)

2) (UERJ) Os veículos para transporte de passageiros em determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de veículo. Nos gráficos está representada a desvalorização de quatro desses veículos ao longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica.

Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi:

a) I

b) II

c) III

d) IV

Resolução em texto: a desvalorização por ano é o módulo do coeficiente angular de cada reta. Veículo I: (75 − 25)/5 = 10; veículo II: (60 − 10)/4 = 12,5; veículo III: (50 − 14)/6 = 6; veículo IV: (36 − 16)/4 = 5 (valores em milhares de reais por ano). Portanto, o maior valor é o do veículo II. Gabarito: alternativa b).

Exercícios propostos sobre coeficiente angular (com gabarito)

Agora é a vez de vocês! Tentem resolver antes de olhar o gabarito comentado logo abaixo.

1) Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(−2, 3) e B(4, −9).

2) Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta de equação 5x − 2y + 10 = 0.

3) (a) Uma reta forma 60º com o eixo x. Qual é o seu coeficiente angular? (b) Uma reta tem coeficiente angular −1. Qual é o seu ângulo de inclinação, entre 0º e 180º?

4) A reta r passa pelos pontos (0, 1) e (3, 3). Qual é o coeficiente angular de uma reta s perpendicular a r?

5) O preço de uma corrida de táxi é função afim da distância percorrida: R$ 17,00 para 3 km e R$ 41,00 para 9 km. Qual é o coeficiente angular dessa função e o que ele representa? Quanto custa uma corrida de 15 km?

Gabarito comentado

1) a = (−9 − 3)/(4 − (−2)) = −12/6 = −2.

2) Isolando y: 2y = 5x + 10, logo y = (5/2)x + 5. Portanto, m = 5/2 = 2,5 e n = 5. (Pela fórmula, m = −a/b = −5/(−2) = 5/2.)

3) (a) a = tg 60º = √3 ≈ 1,73. (b) tan⁻¹(−1) = −45º; somando 180º, temos α = 135º.

4) m_r = (3 − 1)/(3 − 0) = 2/3. Como m_r · m_s = −1, temos m_s = −3/2.

5) a = (41 − 17)/(9 − 3) = 24/6 = 4: o preço aumenta R$ 4,00 a cada quilômetro rodado. Como f(3) = 17, temos 17 = 4 · 3 + b, logo b = 5 (valor fixo, a bandeirada). Assim, f(x) = 4x + 5 e f(15) = 4 · 15 + 5 = R$ 65,00.

Perguntas frequentes sobre coeficiente angular

O que é coeficiente angular?

O coeficiente angular é o número que indica a inclinação de uma reta em relação ao eixo x. Na função afim f(x) = ax + b, ele é o valor de a. Também é chamado de declividade da reta e representa a taxa de variação de y em relação a x.

Qual é a fórmula do coeficiente angular?

Quando conhecemos dois pontos da reta, o coeficiente angular é a = Δy/Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Quando conhecemos o ângulo de inclinação α, a fórmula é a = tg α.

O coeficiente angular pode ser negativo ou zero?

Sim. Se a é negativo, a reta é decrescente; se a é zero, a reta é horizontal e a função é constante. Na função afim, porém, exige-se a ≠ 0.

Qual é a diferença entre coeficiente angular e coeficiente linear?

O coeficiente angular (a, ou m na geometria analítica) indica a inclinação da reta. Já o coeficiente linear (b, ou n) é o valor de y quando x = 0, ou seja, o ponto (0, b) em que a reta corta o eixo y.

Uma reta vertical tem coeficiente angular?

Não. Em uma reta vertical, todos os pontos têm o mesmo x, logo Δx = 0 e a divisão Δy/Δx não existe. Pelo ângulo, o resultado é o mesmo: a reta forma 90º com o eixo x e a tangente de 90º não existe.

Coeficiente angular, declividade e inclinação são a mesma coisa?

Coeficiente angular e declividade são nomes do mesmo número. Já a inclinação pode se referir ao ângulo α que a reta forma com o eixo x; o coeficiente angular é a tangente desse ângulo (a = tg α).

E aí, o que acharam deste texto, pessoal? Espero que ele tenha sido proveitoso para a preparação de vocês rumo às provas do ENEM e dos vestibulares!

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Videoaula: coeficiente angular e coeficiente linear

E agora, para fecharmos o assunto com chave de ouro, deixo um vídeo que aborda o coeficiente angular. Nele, vocês também conferem tudo sobre o coeficiente linear da função afim. Assistam este vídeo e eu garanto: não restará mais nenhuma dúvida sobre a construção da função do primeiro grau!

Para mais videoaulas, acompanhem o canal do Professor Ferretto no YouTube e o Instagram @professorferretto.

Um abraço! Vejo vocês no próximo post!

Leia também

• Função Afim: o que é, fórmula e como identificar os coeficientes a e b
• Gráfico da Função do 1º Grau
• Como Determinar a Função do 1º Grau Conhecendo Dois Pontos
• Noções básicas de plano cartesiano