Equação do Primeiro Grau: o que é e como resolver

Uma equação do primeiro grau é uma igualdade que possui o formato ax + b = 0, com a, b ∈ ℝ e a ≠ 0. Resolver uma equação do 1º grau significa encontrar sua raiz, ou seja, obter o único valor numérico que torna a igualdade verdadeira.

Resposta rápida: para resolver uma equação do primeiro grau, siga quatro passos. 1) Reúna os termos com x de um lado da igualdade e os números do outro, trocando o sinal de quem muda de lado. 2) Some ou subtraia os termos semelhantes. 3) Divida os dois lados pelo coeficiente de x. 4) Confira a raiz, substituindo-a na equação original. Dessa forma, em ax + b = 0, a raiz é sempre x = –b/a.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Estamos aqui hoje para falar de um assunto da matemática muitíssimo importante para quem pretende realizar provas de vestibulares, o ENEM, e também alguns concursos públicos. Vamos conhecer a equação do primeiro grau! Entenderemos sua definição, como é possível encontrar sua raiz e, de quebra, também faremos vários exercícios para consolidar o conhecimento no assunto.

Preparados para começar? Então, sem mais rodeios, vamos lá!

O que é uma equação do primeiro grau?

Toda expressão algébrica é composta por números, operações e por certos valores desconhecidos. Estes valores desconhecidos geralmente são representados por letras, tais como x. Quando expressões como essas são inseridas em uma igualdade, temos a formação de uma equação.

O grau de uma expressão algébrica, e portanto de uma equação, é definido pelo maior expoente da incógnita da expressão. Na equação ax + b = 0, a e b são números reais, sendo a diferente de zero, ou seja, eles são os valores numéricos conhecidos da equação. O valor desconhecido, ou a incógnita da expressão, é o x! Como este não possui um expoente visível, significa que ele vale 1.

Agora vocês entenderam por que o valor de a não pode ser igual a zero em uma equação do primeiro grau? Pessoal, caso o a fosse zero, iríamos ter 0 vezes x, ou seja, ficaríamos com zero, e o termo ax acabaria sumindo. Desta forma, nós não teríamos mais uma equação do 1º grau, e sim um valor constante, o b.

Portanto, lembrem sempre! Para que uma equação do 1º grau exista, é necessário que ela esteja na forma ax + b = 0, com o a diferente de 0. Já quanto ao valor de b não há restrição alguma. Ele pode ser qualquer número real.

Entendido? Antes de aprendermos como resolver uma equação do primeiro grau, vamos estudar a localização dos coeficientes a e b em algumas equações. Venham comigo!

Quais são os valores de a e de b na equação do primeiro grau?

O coeficiente a de uma equação do primeiro grau sempre será o valor que está multiplicando x, ou a incógnita da equação. Já o coeficiente b é o chamado termo independente da equação do 1º grau, ou seja, não depende do valor da incógnita, é “sozinho”.

Bom, para quem está achando muito simples diferenciar os valores de a e b, eu confirmo, é só isso mesmo! Contudo, existe um detalhe importante ao qual vocês devem ficar atentos: o sinal do valor numérico! A forma geral da equação do 1º grau não possui sinal negativo. Por isso, se algum sinal como esse aparecer, pertencerá ao seu respectivo coeficiente, olhem só!

3x – 5 = 0 → a = 3 e b = – 5

7 + ¾x = 0 → a = ¾ e b = 7

– 8x – 2 = 0 → a = – 8 e b = – 2

6x = 0 → a = 6 e b = 0

Termos e membros da equação

Antes de seguirmos, vale conhecer alguns nomes que aparecem o tempo todo nos exercícios. A incógnita é o valor desconhecido, geralmente representado por x. Os coeficientes são os números conhecidos que acompanham a incógnita (o a) ou que aparecem sozinhos (o b). Já os termos são as partes da equação separadas pelos sinais de + ou –; em 3x + 5 = 8, por exemplo, os termos são 3x, 5 e 8.

Além disso, o sinal de igual divide a equação em dois membros: o primeiro membro fica à esquerda da igualdade e o segundo membro, à direita. Na equação 2x + 3 = 7, portanto, o primeiro membro é 2x + 3 e o segundo é 7.

Beleza, pessoal? Agora estamos preparados para aprender a resolver as equações do primeiro grau. Vamos comigo ao próximo item!

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Como resolver uma equação do primeiro grau?

Resolver uma equação nada mais é do que encontrar sua raiz, ou o valor que torna a igualdade verdadeira. E quando se trata de uma equação do primeiro grau, esse processo é extremamente simples.

O primeiro passo consiste em associar os termos semelhantes. Em outras palavras, deve-se unir todos os termos que acompanham a incógnita x e todos os termos que não a acompanham. Aí é só deixar os termos dependentes de x à esquerda da igualdade e os termos independentes de x à direita da igualdade.

No mais, basta realizar as 4 operações básicas, tais como adição, subtração, multiplicação ou divisão. Só não dá para esquecer de trocar o sinal dos termos quando estes estão somando ou subtraindo e mudam de lado da igualdade, ok? Vamos resolver alguns exemplos para que fique mais claro.

Em texto: 8x – 15 = 3x → 8x – 3x = 15 → 5x = 15 → x = 15/5 → x = 3.

Assim, nós podemos dizer que a raiz da equação que acabamos de resolver é 3. Muitas vezes, a solução de uma equação do 1º grau é dada em forma de conjunto solução, conforme vemos abaixo:

S = {3}

E aí, perceberam que a equação 8x – 3x = 15 não estava exatamente no formato ax + b = 0? Bom, se o objetivo de vocês for encontrar a raiz de uma equação do 1º grau, o formato em que ela aparece não irá interferir, acreditem. De outra forma, jamais poderíamos resolver o próximo exemplo, olhem só!

Em texto: 2(3x + 1) – 3(6 – 2x) = 20 → 6x + 2 – 18 + 6x = 20 → 12x – 16 = 20 → 12x = 36 → x = 3.

Portanto: S = {3}

Neste último exemplo, foi necessário utilizar a propriedade distributiva no início da resolução. No próximo item, vamos conhecer uma variação da equação do 1º grau. Para resolvê-la, um outro artifício matemático será muito utilizado. Sigam comigo!

Como resolver uma equação fracionária?

Uma equação fracionária é formada por uma série de frações, em que pelo menos uma delas conta com uma incógnita no denominador. Embora a incógnita apareça no denominador, depois de multiplicarmos todos os termos pelo MMC a equação se transforma em uma equação do primeiro grau. Por isso, podemos resolvê-la da mesma forma, apenas prestando atenção em mais um detalhe bem importante.

Se estamos falando de frações, sabemos que vamos nos deparar com numeradores e denominadores. O numerador de uma fração pode ser qualquer número real. Contudo, o denominador de toda e qualquer fração jamais pode ser zero. Por esse motivo, precisamos prestar muita atenção na solução encontrada para uma equação fracionária.

Entendido? Tendo tudo isso em vista, vamos descobrir com um exemplo como encontrar a raiz de uma equação fracionária. Acompanhem!

O primeiro passo para resolver uma equação fracionária em que os denominadores são diferentes é encontrar um denominador comum, como é feito em qualquer soma ou subtração de frações usual. Por isso, vamos calcular agora o MMC ou o Mínimo Múltiplo Comum entre os denominadores 4, x e 12 da equação exemplo. Se vocês não conhecem o MMC, ou desejam saber tudo sobre essa operação, deem um pulo no texto Mínimo Múltiplo Comum e suas Propriedades.

Conhecendo o MMC, vamos continuar a operação:

Repararam que neste momento os denominadores são todos iguais? Podemos então, sem problema algum, continuar trabalhando apenas com os numeradores:

Em texto: 3/4 + 1/x = 11/12, com x ≠ 0. O MMC de 4, x e 12 é 12x. Assim: 9x/12x + 12/12x = 11x/12x → 9x + 12 = 11x → 11x – 9x = 12 → 2x = 12 → x = 6.

6 é diferente de zero, certo? Portanto S = {6}.

Condição de existência: o cuidado extra nas equações fracionárias

Vocês viram que o denominador jamais pode ser zero. Por isso, nas equações fracionárias, vale seguir uma regra de ouro: antes de resolver, descubram a condição de existência (C.E.), isto é, os valores de x que zerariam algum denominador e que, portanto, precisam ser excluídos. Vamos a um exemplo completo:

3/x – 1/(2x) = 5/4

• Passo 1 (C.E.): os denominadores são x, 2x e 4. Como x e 2x não podem ser zero, temos x ≠ 0.
• Passo 2 (MMC): o MMC entre x, 2x e 4 é 4x.
• Passo 3: multiplicamos todos os termos por 4x para eliminar as frações: (3/x)·4x – (1/(2x))·4x = (5/4)·4x.
• Passo 4: simplificando, 12 – 2 = 5x. Logo, 10 = 5x e x = 2.
• Passo 5: como 2 é diferente de zero, a solução respeita a C.E. Portanto, S = {2}.

Conferindo: 3/2 – 1/4 = 6/4 – 1/4 = 5/4. Fica ainda uma dica: se, no final, vocês encontrassem x = 0, essa raiz teria de ser descartada, pois violaria a C.E. e a equação ficaria sem solução.

Atenção: nem toda equação com frações é fracionária. Quando a incógnita aparece apenas nos numeradores, como em x/2 + x/3 = 5, não há C.E. para verificar. Basta multiplicar todos os termos pelo MMC (6): 3x + 2x = 30, então 5x = 30 e x = 6.

Entendido, pessoal? Até aqui sempre resolvemos equações que nos eram dadas diretamente. Mas sabemos que na maioria das provas, sejam elas do ENEM ou dos vestibulares, nós precisamos interpretar certas situações que resultam em uma equação do primeiro grau. Infelizmente, é aí que mora o problema, não é mesmo?! Se vocês querem aprender a resolver casos como esse, venham comigo até o próximo item!

Interpretação nas questões de equação do primeiro grau

Exercício 1: mesadas de Carlos e Artur

No final do mês de outubro, os estudantes Carlos e Artur haviam gastado, respectivamente, dois terços e três quintos de suas mesadas. Embora a mesada de Carlos seja menor, ele gastou R$ 8,00 a mais do que Artur. Se a soma dos valores das duas mesadas é R$ 810,00, qual é o valor monetário da diferença entre os valores das duas mesadas?

Analisando as informações que foram dadas, é possível dizer que a mesada de Carlos (C) somada à mesada de Artur (A) resulta em R$ 810,00. Assim, chegamos a nossa primeira equação:

C + A = 810 (eq. 1)

Sabemos também que Carlos gastou R$ 8,00 a mais do que Artur. Desta forma, podemos dizer que o gasto de Carlos menos o gasto de Artur resulta em R$ 8,00. Como Carlos gastou 2/3 e Artur gastou 3/5 da mesada, podemos representar essa diferença entre os gastos na forma de equação da seguinte maneira:

Em texto: (2/3)C – (3/5)A = 8 (eq. 2).

Super dica ninja do Ferretto: como equacionar frações de um valor

Podemos representar matematicamente um contexto em que foi gasta uma fração de um certo valor através do produto dessa fração pelo valor total. Carlos gastou 2/3 de sua mesada, cujo valor total nós determinamos que é C. Artur gastou 3/5 do total de sua mesada, cujo valor determinamos ser A. Por isso, temos na equação acima 2/3 multiplicando C e 3/5 multiplicando A.

Ficou claro, pessoal? Então, vamos resolver o caso! Montamos duas equações e temos 2 incógnitas, A e C. Isso significa que já é possível encontrar a solução do problema. Começaremos isolando a incógnita A da equação 1 e substituindo o valor encontrado na equação 2.

Reparem que ao substituirmos o valor de A na segunda equação, precisamos aplicar a propriedade distributiva e organizar os termos. Agora, como estamos trabalhando com frações, não poderíamos escapar do cálculo do MMC, não fosse o seguinte detalhe: os denominadores das frações são números primos! Assim, efetuando a multiplicação entre 3 e 5, chegamos ao denominador comum, 15.

Em texto: de C + A = 810, temos A = 810 – C. Substituindo na eq. 2: 2C/3 – 3(810 – C)/5 = 8 → 2C/3 + 3C/5 – 486 = 8 → (10C + 9C – 7.290)/15 = 120/15 → 19C = 7.410 → C = 390.

Agora que descobrimos o valor da mesada de Carlos, podemos descobrir a de Artur voltando a qualquer uma das equações. Para facilitar nosso trabalho, voltaremos à equação 1:

A = 810 – 390

A = 420

Incrível, não é? Mas calma que ainda não chegamos ao resultado final. A questão quer saber o valor monetário da diferença entre os valores das duas mesadas, logo:

420 – 390 = 30

Assim, a diferença entre os valores das mesadas de Carlos e Artur é de R$ 30,00.

Exercício 2: capacidade do tanque de combustível

Colocando-se 24 litros de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do marcador, que indicava 1/4 do tanque, passou a indicar 5/8. Determine a capacidade do tanque de combustível da caminhonete.

Novamente, para equacionarmos a situação apresentada no problema, precisamos utilizar a dica ninja que foi dada neste texto. Podemos representar matematicamente um contexto em que se fala de uma fração de um certo valor através do produto dessa fração pelo valor total. Ora, se considerarmos que a capacidade total do tanque é de x litros, antes de colocar os 24 litros descritos no enunciado, o tanque possuía ¼ dos x litros totais. Depois que os 24 litros foram adicionados, o tanque ainda não encheu, mas ficou com 5/8 da capacidade total, que é x. Deste modo, em forma de equação, podemos dizer que:

Em texto: x/4 + 24 = 5x/8 → (2x + 192)/8 = 5x/8 → 2x + 192 = 5x → 192 = 3x → x = 64. Logo, a capacidade do tanque é de 64 litros.

Exercício 3: qual plano de celular é mais vantajoso?

Uma loja oferece dois planos de celular. O Plano A custa R$ 30,00 fixos por mês mais R$ 0,50 por minuto de ligação. O Plano B custa R$ 20,00 fixos por mês mais R$ 0,80 por minuto. A partir de quantos minutos de ligação o Plano A se torna mais vantajoso que o Plano B?

Chamando de x o número de minutos, os dois planos custam o mesmo valor quando 30 + 0,50x = 20 + 0,80x. Assim, vamos encontrar esse ponto de equilíbrio:

• Subtraindo 20 dos dois lados: 10 + 0,50x = 0,80x
• Subtraindo 0,50x dos dois lados: 10 = 0,30x
• Dividindo por 0,30: x = 33,33…

Portanto, os planos custariam o mesmo valor com cerca de 33,33 minutos. Como o tempo de ligação é contado em minutos inteiros, vamos conferir: com 33 minutos, o Plano A custa R$ 46,50 e o Plano B, R$ 46,40; com 34 minutos, o Plano A custa R$ 47,00 e o Plano B, R$ 47,20. Logo, a partir de 34 minutos, o Plano A passa a ser mais vantajoso.

Exercício 4: duas torneiras enchendo a mesma caixa d’água

Uma caixa d’água tem capacidade para 1.500 litros. A torneira A enche a caixa em 5 horas e a torneira B enche a mesma caixa em 3 horas. Em quanto tempo as duas torneiras, juntas, enchem a caixa?

Seja t o tempo, em horas, que as duas torneiras levam juntas. A torneira A enche 1/5 da caixa por hora e a torneira B, 1/3. Juntas, elas enchem 1/t da caixa por hora. Dessa forma, chegamos a uma equação fracionária:

1/5 + 1/3 = 1/t

• C.E.: t ≠ 0. O MMC entre 5, 3 e t é 15t.
• Multiplicando todos os termos por 15t: 3t + 5t = 15
• Somando: 8t = 15, logo t = 15/8 = 1,875 hora

Como 0,875 hora corresponde a 52,5 minutos, as duas torneiras juntas enchem a caixa em 1 hora e 52,5 minutos (ou 1 h 52 min 30 s). Repare, ainda, que os 1.500 litros não foram necessários para chegar à resposta: o que importa é a fração da caixa preenchida por hora.

Exercício 5: o tempo da luz verde do semáforo

(Problema inspirado na questão 171 do Enem 2013, caderno azul, com os dados adaptados.) Em um semáforo, a luz amarela permanece acesa por 5 segundos e a luz verde permanece acesa 10 segundos a mais que a luz vermelha. Se o ciclo completo (verde, amarelo e vermelho) dura 85 segundos, quanto tempo a luz verde permanece acesa?

Seja v o tempo, em segundos, da luz vermelha. Então a luz verde fica acesa por v + 10 segundos e a amarela, por 5 segundos. Como o ciclo total é de 85 segundos:

• v + (v + 10) + 5 = 85
• 2v + 15 = 85, logo 2v = 70 e v = 35

Portanto, a luz vermelha fica acesa por 35 segundos e a luz verde, por v + 10 = 45 segundos. Conferindo: 35 + 45 + 5 = 85.

Na questão original do Enem, a luz verde ficava acesa por 2/3 do tempo da luz vermelha, e pedia-se a equação que relacionava o tempo X da luz verde ao tempo Y do ciclo. Como a luz vermelha dura 3X/2, temos Y = X + 5 + 3X/2 e, daí, 5X – 2Y + 10 = 0.

Erros comuns ao resolver equações do primeiro grau

Conhecer os erros mais frequentes é a melhor forma de evitá-los. Assim, confiram a tabela abaixo antes de resolver os exercícios propostos:

Erro comum	Como aparece	Como evitar
Erro de sinal ao “passar” termos	Em x + 3 = 5, escrever x = 5 + 3 = 8	Lembrem que “passar trocando o sinal” é um atalho para somar ou subtrair o mesmo número nos dois membros. Subtraindo 3 dos dois lados: x = 5 – 3 = 2.
Esquecer de multiplicar todos os termos pelo MMC	Em x/2 + 3 = 7, multiplicar só a fração: x + 3 = 7	Multipliquem cada termo, inclusive os inteiros: 2·(x/2) + 2·3 = 2·7, ou seja, x + 6 = 14 e x = 8.
Ignorar a condição de existência	Aceitar como raiz um valor que zera algum denominador	Determinem a C.E. antes de resolver e descartem a raiz que a violar.
Confundir equação com função do 1º grau	Tratar 2x – 4 = 0 e y = 2x – 4 como a mesma coisa	A equação tem um único valor de x (aqui, x = 2); a função relaciona x e y e tem uma reta como gráfico.
Não verificar a resposta	Entregar a raiz sem conferir	Substituam na equação original. Em 2x + 5 = 13, testando x = 4: 2·4 + 5 = 13. Confere!
Erro na distributiva com sinal negativo	Escrever –(2x + 3) = –2x + 3	O sinal de menos multiplica todos os termos do parêntese: –(2x + 3) = –2x – 3.

Como a equação do primeiro grau aparece no Enem e nos vestibulares?

Nas provas, a equação do 1º grau costuma aparecer como ferramenta para resolver problemas contextualizados, mais do que em comandos diretos como “resolva a equação”. Dessa forma, o grande desafio é traduzir o enunciado para a linguagem matemática e montar a equação corretamente. Veja alguns contextos em que ela entra em cena:

• Matemática financeira: juros simples, descontos e divisão de lucros;
• Geometria: cálculo de perímetros, áreas e ângulos, como na Geometria Plana;
• Razão e proporção: regra de três, escalas e densidade;
• Funções: raízes e pontos de intersecção, como vemos na Função Afim;
• Física e Química: equações de movimento, concentração de soluções e leis dos gases (veja também os textos de Física);
• Estatística: médias, moda e mediana em problemas contextualizados.

O Enem, em particular, valoriza a interpretação e a capacidade de modelar situações-problema. Por isso, dominar a equação do primeiro grau não é apenas saber resolver: é saber quando e como usá-la.

Segundo a análise de incidência do ENEM’s Anatomy, que mapeia os assuntos mais cobrados desde 2014, a Matemática Básica está entre os conteúdos de maior frequência nas provas. Assim, investir tempo nesse tema tende a render pontos.

Exercícios propostos de equação do primeiro grau

Agora é a vez de vocês! Resolvam as questões a seguir no caderno e, só depois, confiram o gabarito comentado. Como vimos, o segredo está em organizar os termos, isolar o x e, por fim, conferir a resposta.

Questão 1. Resolva a equação 5x – 7 = 2x + 11.

Questão 2. Resolva a equação 3(2x – 1) – 2(x + 4) = 5.

Questão 3. Resolva a equação fracionária 3/x + 1/4 = 1/2 e escreva o conjunto solução.

Questão 4. Ana tem o dobro da idade de Bruno. Daqui a 6 anos, a soma das idades dos dois será 51 anos. Qual é a idade atual de cada um?

Questão 5. Marina gastou 2/5 do salário com aluguel e 1/4 do salário com alimentação. Sobraram R$ 1.260,00. Qual é o salário de Marina?

Questão 6. Resolva cada equação e classifique-a em “uma única solução”, “sem solução” ou “infinitas soluções”: a) 2x + 3 = 2x + 5; b) 4(x + 1) = 4x + 4; c) 3x – 6 = 0.

Gabarito comentado

Questão 1. Reunindo os termos: 5x – 2x = 11 + 7, logo 3x = 18 e x = 6. Conferindo: 5·6 – 7 = 23 e 2·6 + 11 = 23. Resposta: x = 6.

Questão 2. Aplicando a propriedade distributiva: 6x – 3 – 2x – 8 = 5, ou seja, 4x – 11 = 5. Assim, 4x = 16 e x = 4. Conferindo: 3·(2·4 – 1) – 2·(4 + 4) = 21 – 16 = 5. Resposta: x = 4.

Questão 3. Primeiro, a condição de existência: x ≠ 0. O MMC de x, 4 e 2 é 4x. Multiplicando todos os termos por 4x, obtemos 12 + x = 2x e, portanto, x = 12. Como 12 é diferente de zero, a solução é válida. Conferindo: 3/12 + 1/4 = 1/4 + 1/4 = 1/2. Resposta: S = {12}.

Questão 4. Seja x a idade de Bruno; logo, Ana tem 2x. Daqui a 6 anos, as idades serão x + 6 e 2x + 6, e a soma é 51: (x + 6) + (2x + 6) = 51, ou seja, 3x + 12 = 51. Assim, 3x = 39 e x = 13. Resposta: Bruno tem 13 anos e Ana tem 26. Conferindo: 19 + 32 = 51.

Questão 5. Seja s o salário. O que sobrou é o salário menos o que foi gasto: s – 2s/5 – s/4 = 1.260. Como o MMC de 5 e 4 é 20, multiplicamos tudo por 20: 20s – 8s – 5s = 25.200, logo 7s = 25.200 e s = 3.600. Resposta: R$ 3.600,00. Conferindo: 2/5 de 3.600 são 1.440 e 1/4 são 900; 3.600 – 1.440 – 900 = 1.260.

Questão 6. a) 2x + 3 = 2x + 5 leva a 2x – 2x = 5 – 3, isto é, 0 = 2. Como a igualdade é falsa, a equação não tem solução (S = ∅). b) 4(x + 1) = 4x + 4 leva a 4x + 4 = 4x + 4, isto é, 0 = 0. Como a igualdade é sempre verdadeira, qualquer número real serve e a equação tem infinitas soluções. c) 3x = 6, logo x = 2: uma única solução, S = {2}.

Reparem que, nos itens a e b, o x desaparece. Dessa forma, o coeficiente de x vira zero depois de simplificado e, por isso, essas equações só parecem ser do primeiro grau. Esse é exatamente o motivo pelo qual a ≠ 0 é uma condição tão importante.

Resumo da equação do primeiro grau

Para fixar tudo o que estudamos, reunimos as ideias principais na tabela abaixo. Assim, vocês podem usá-la como consulta rápida antes de resolver qualquer exercício.

Item	O que lembrar
Forma geral	ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0
Grau	É o maior expoente da incógnita; na equação do 1º grau, é sempre 1
Incógnita	O valor desconhecido, geralmente representado por x
Coeficiente a	Número que multiplica x; leva o sinal que está na sua frente
Coeficiente b	Termo independente; pode ser qualquer número real, inclusive 0
Raiz (solução)	Valor de x que torna a igualdade verdadeira; em ax + b = 0, vale x = –b/a
Conjunto solução	Indica a raiz entre chaves, como em S = {3}
Regra prática	O termo que muda de lado troca de sinal, pois, na verdade, somamos ou subtraímos o mesmo valor nos dois lados
Equação fracionária	Defina a condição de existência (denominadores diferentes de zero), multiplique todos os termos pelo MMC e descarte a raiz que violar a C.E.
Verificação	Substitua a raiz na equação original e compare os dois lados
Casos especiais	Se o x desaparecer: igualdade falsa (como 3 = 5) significa sem solução (S = ∅); igualdade verdadeira (como 0 = 0) significa infinitas soluções

De onde vem x = –b/a?

Partindo de ax + b = 0, subtraímos b dos dois lados e obtemos ax = –b. Como a é diferente de zero, podemos dividir os dois lados por a. Logo, x = –b/a. Assim, nos exemplos de coeficientes que vimos no início do texto, as raízes ficam:

Equação	a	b	Raiz (x = –b/a)
3x – 5 = 0	3	–5	5/3
7 + ¾x = 0	¾	7	–28/3
–8x – 2 = 0	–8	–2	–1/4
6x = 0	6	0	0

 

Repare que, em 6x = 0, a raiz é 0. Isso é uma solução perfeitamente válida, ou seja, S = {0}, e não significa “sem solução”.

Perguntas frequentes sobre equação do primeiro grau

O que é uma equação do primeiro grau?

É uma igualdade que pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a e b reais e a ≠ 0. Ela tem esse nome porque a incógnita x aparece com expoente 1. Resolvê-la significa encontrar a raiz, ou seja, o único valor de x que torna a igualdade verdadeira.

Como resolver uma equação do primeiro grau passo a passo?

Primeiro, reúna os termos com x de um lado e os números do outro, trocando o sinal de quem muda de posição. Depois, efetue as somas e subtrações e, por fim, divida os dois lados pelo coeficiente de x. Assim, em 8x – 15 = 3x, chegamos a 5x = 15 e, portanto, x = 3.

O que significa “passar para o outro lado trocando o sinal”?

É um atalho para somar ou subtrair o mesmo número nos dois membros da equação. Por exemplo, em x + 3 = 5, subtraímos 3 dos dois lados e obtemos x = 5 – 3. Entender isso evita erros de sinal em equações mais longas.

Por que o coeficiente a não pode ser zero?

Porque, se a fosse zero, o termo ax desapareceria e sobraria apenas o número b. Dessa forma, deixaríamos de ter uma incógnita para descobrir e a equação não seria mais do 1º grau. Logo, a precisa ser sempre diferente de zero.

O que é a raiz de uma equação do primeiro grau e como conferir se está certa?

A raiz é o valor de x que torna a igualdade verdadeira. Para conferir, substitua esse valor na equação original e calcule os dois lados separadamente. Se os resultados forem iguais, a raiz está correta. Por exemplo, em 8x – 15 = 3x, o valor x = 3 resulta em 9 nos dois lados.

Uma equação do primeiro grau pode não ter solução ou ter infinitas soluções?

Sim, quando o x desaparece durante a simplificação. Se sobrar uma igualdade falsa, como 3 = 5, a equação não tem solução. Se sobrar uma igualdade sempre verdadeira, como 0 = 0, qualquer número real serve e há infinitas soluções. Nesses casos, o coeficiente de x, depois de simplificado, é igual a zero.

Qual a diferença entre equação e função do primeiro grau?

A equação ax + b = 0 tem um único valor de x como solução. Já a função f(x) = ax + b relaciona x e y e tem uma reta como gráfico; a raiz da equação é o ponto em que essa reta cruza o eixo x. Para aprofundar, leia Função Afim: o que é, fórmula e como identificar os coeficientes a e b.

O que é uma equação do primeiro grau com duas incógnitas?

É uma equação como x + y = 10, em que aparecem duas letras, ambas com expoente 1. Sozinha, ela admite infinitas soluções; por isso, normalmente a combinamos com outra equação, formando um sistema. Para ver como resolver, leia o nosso texto sobre como resolver sistemas de equações.

Qual a diferença entre equação do primeiro grau e equação do segundo grau?

Na equação do 1º grau, o maior expoente de x é 1 e existe exatamente uma raiz (ax + b = 0). Já na equação do 2º grau, o maior expoente é 2 (ax² + bx + c = 0), e podem existir duas, uma ou nenhuma raiz real. Para resolvê-la, usamos Bhaskara ou soma e produto; veja o texto sobre equação do 2º grau.

A equação do primeiro grau cai no Enem?

Costuma cair, sim, mas quase sempre dentro de problemas contextualizados, como finanças, geometria, proporção e física, e não como um comando direto. Logo, além de saber resolver, é preciso treinar a montagem da equação a partir do enunciado.

Onde posso praticar mais equações do primeiro grau de graça?

O Professor Ferretto oferece o Curso Gratuito de Matemática Básica, com videoaulas, exercícios e materiais de apoio, e o conteúdo inclui as equações do 1º grau. Para conhecer o programa completo, confira o artigo sobre o curso gratuito de matemática básica do Professor Ferretto.

Continue aprendendo

Para seguir no assunto, vale conferir também:

• Função Afim: o que é, fórmula e como identificar os coeficientes a e b
• Inequação do 1º Grau: guia completo com exercícios resolvidos
• Como resolver sistemas de equações
• Equação do 2º grau: como resolver, fórmula de Bhaskara e exemplos
• Regra de Três Simples: entenda o que é e como calcular com exemplos
• Matemática básica para o Enem e vestibulares: curso gratuito e completo do Professor Ferretto

Assim, finalizamos o texto de hoje! Espero que depois de termos visto todos esses conceitos, as equações do primeiro grau não sejam mais um mistério para vocês! Também estou deixando um vídeo em anexo, logo abaixo. Quem assistir, resolverá comigo diversas outras equações para praticar bastante o assunto!

Ahh… e se você curtiu este texto, aproveite para conhecer os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto, incluindo o de Matemática Básica, e turbine seus estudos.

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E se você quer saber quais assuntos mais caem na prova, conheça também o ENEM’s Anatomy, a ferramenta de análise de incidência do Professor Ferretto.

Um abração, sucesso e até o próximo texto!

Videoaula: resolvendo equações do primeiro grau

Prefere aprender assistindo? Então acompanhe a videoaula logo abaixo e, para não perder nenhuma novidade, siga o Professor Ferretto no YouTube e no Instagram.