Números Primos e Compostos

 

Resposta rápida: número primo é todo número natural maior que 1 que tem exatamente dois divisores — 1 e ele mesmo (como 2, 3, 5 e 7). Número composto é o número natural que tem mais de dois divisores (como 4, 6, 8 e 9). Já o 0 e o 1 não se encaixam em nenhuma das duas categorias. A seguir você confere a lista completa de primos até 100, o Crivo de Eratóstenes e o passo a passo para descobrir se qualquer número é primo ou composto.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Estamos aqui novamente para abordar mais um assunto muito importante para a matemática básica: os números primos e compostos! A verdade é que qualquer número natural diferente de zero e um pode ser definido como número primo ou como número composto, e cabe a nós descobrir como isso se dá através de um método bem interessante, que utiliza os famosos critérios de divisibilidade que já estudamos por aqui.

Afinal, vocês não vão querer se deparar, lá nas provas do ENEM e dos vestibulares, com uma questão sobre números primos ou compostos sem ter o devido conhecimento sobre eles, não é mesmo? Então não dá para perder o texto de hoje!

Mas se, além da matemática básica, alguns tópicos de toda a matemática do ensino médio também forem um problema pra vocês, não dá para perder a oportunidade de conhecer a plataforma do Professor Ferretto! O curso de matemática do Professor Ferretto é um curso online com foco na melhor preparação para o ENEM e os tradicionais vestibulares do país.

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O Que São os Números Naturais

Como foi dito logo acima, qualquer número natural diferente de zero e um pode ser definido como número primo ou como número composto. Mas vocês lembram quais números pertencem ao conjunto dos números naturais? Pois então, o conjunto dos números naturais (ℕ) é formado por:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …}

 

Agora que já relembramos os números naturais, nada mais justo do que entendermos quais deles são primos e quais são compostos. Como vocês vão perceber a seguir, nenhum número natural pode ser primo e composto ao mesmo tempo.

O Que É um Número Primo?

Um número natural primo é aquele que possui somente dois divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo. Veja alguns exemplos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, …

Observem a sequência acima: todos esses números são primos porque só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos, sem deixar resto. Agora, o fato mais interessante é que, de todos esses números — e também de todos aqueles que seguem infinitamente, representados pelas reticências (…) —, somente um deles é par: o número 2!

Portanto, o número dois é o único número primo que é par. Os demais números primos são todos ímpares.

Se vocês compararem essa sequência com o conjunto dos números naturais por completo, verão que, além dos números pares, também estão faltando alguns números ímpares. Ou seja, ser um número ímpar não significa necessariamente ser primo também. A definição de número composto vai deixar isso mais claro.

O Que É um Número Composto?

Um número natural composto é aquele que possui mais de dois divisores naturais distintos. Veja alguns exemplos:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, …

A sequência acima mostra uma série de números compostos. Qualquer um desses números pode ser dividido por 1 e por ele mesmo, mas também por outros divisores — e é justamente esse detalhe que não faz deles números primos. Um exemplo disso é o número 21:

21 → divisores: 1, 3, 7 e 21

 

O 21 é divisível por 3 e por 7, além de ser divisível por 1 e pelo próprio 21. Logo, como tem mais de dois divisores, ele é composto. O mesmo acontece com todos os números pares dessa sequência. Um exemplo é o número 12:

12 → divisores: 1, 2, 3, 4, 6 e 12

 

O 12 pode ser dividido por 2, 3, 4 e 6, além de 1 e ele mesmo. Assim, qualquer número par que não seja o 2 será sempre considerado composto.

Por Que o 0 e o 1 Não São Primos Nem Compostos

Agora que vocês já sabem o que é um número primo e o que é um número composto, fica bem mais fácil entender por que os números zero e um não se encaixam em nenhuma dessas duas definições. Observem as operações abaixo:

Divisão por 1	Divisão por eles mesmos
0 ÷ 1 = 0	0 ÷ 0 = indeterminado
1 ÷ 1 = 1	1 ÷ 1 = 1

 

O primeiro ponto a observar é que tanto o zero quanto o um não possuem mais do que dois divisores distintos — o que já os exclui da definição de número composto. O segundo ponto é que, apesar de não haver problema na divisão de zero e um por 1 (afinal, o número 1 é considerado o divisor universal, capaz de dividir qualquer número real), a divisão de zero e um por eles mesmos gera dois conflitos que os impedem de se adequar à definição de número primo:

• A divisão de zero por zero é considerada uma indeterminação matemática, portanto não é válida para o caso;
• A divisão de um por um representa a mesma operação que a divisão de um por ele mesmo — ou seja, só existe um divisor, e não dois distintos.

Isso mostra que tanto o zero quanto o um não têm dois divisores naturais distintos, mas somente um: o próprio 1.

Lista de Números Primos até 100

Resposta rápida: existem 25 números primos entre 1 e 100 — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

 

Para facilitar a consulta e a revisão — principalmente na hora de resolver exercícios do ENEM e dos vestibulares —, reunimos todos os números de 1 a 100 na tabela abaixo, com os números primos destacados. É justamente essa tabela que resulta da aplicação do Crivo de Eratóstenes, o método que vamos aprender logo na sequência.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

 

Números em destaque = primos. Número em cinza (1) = nem primo, nem composto.

Observem que, entre 1 e 1.000, existem 168 números primos — mas, à medida que os números crescem, os primos vão se tornando cada vez mais “raros” dentro do conjunto dos naturais.

Crivo de Eratóstenes: Como Encontrar os Números Primos

Vocês repararam que a tabela acima destaca só os números primos até 100? Pois esse resultado tem nome: Crivo de Eratóstenes. Criado pelo matemático grego Eratóstenes de Cirene (276 a.C. – 194 a.C.), bibliotecário-chefe da Biblioteca de Alexandria, esse método é, até hoje, uma das formas mais simples e didáticas de encontrar todos os números primos até um determinado limite.

O funcionamento do crivo é bem direto. Basta seguir os passos abaixo:

Passo a Passo do Crivo de Eratóstenes

1. Escrevam todos os números naturais de 2 até o limite desejado (no nosso caso, 100);

2. Risquem o número 1, que já sabemos não ser primo nem composto;

3. Mantenham o 2 (ele é primo) e risquem todos os seus múltiplos: 4, 6, 8, 10…;

4. Mantenham o próximo número não riscado — o 3 — e risquem todos os seus múltiplos: 6, 9, 12…;

5. Repitam o processo com o próximo número não riscado (o 5, depois o 7), e assim sucessivamente;

6. Parem quando o próximo número da lista for maior do que a raiz quadrada do limite escolhido.

Por que parar na raiz quadrada? Porque, se um número não tiver nenhum divisor primo menor ou igual à sua raiz quadrada, ele certamente também não terá divisor maior — logo, já podemos garantir que ele é primo, sem precisar continuar riscando. Como a raiz quadrada de 100 é 10, basta riscar os múltiplos de 2, 3, 5 e 7 (os únicos números primos menores ou iguais a 10) para obter, ao final, todos os primos até 100 — exatamente a tabela que vocês viram na seção anterior!

Depois de estudarmos todas essas definições, chegou a hora de descobrir como determinar, na prática, se um número natural qualquer — e não só os que já estão até 100 — é primo ou composto.

Como Descobrir se um Número é Primo ou Composto

Como qualquer número natural maior ou igual a dois não pode ser, ao mesmo tempo, primo e composto, a ideia consiste basicamente em definir se o número desejado é primo. Se ele não for primo, será composto, e pronto! Mas vocês sabem como determinar se um número natural é primo? Então aí vai a regra:

Um número natural é primo quando as divisões sucessivas por números primos resultam em resto diferente de zero até que o divisor (d) seja maior ou igual ao quociente (q).

Realizar divisões sucessivas por números primos significa dividir o número desejado por 2, 3, 5, 7, 11, 13 e pelos demais primos seguintes, até obter uma divisão em que o resto seja diferente de zero e o divisor seja maior ou igual ao quociente. Quando isso acontecer, teremos certeza de que o número é primo. Porém, se alguma dessas divisões gerar resto igual a zero, significa que o número tem pelo menos outro divisor além de 1 e dele mesmo — o que o torna composto.

Vamos entender a ideia com dois exemplos: primeiro, da forma mais simples e didática possível; depois, usando os critérios de divisibilidade para agilizar o processo.

Exemplo 1 — 143 é um Número Primo?

Vamos dividir 143, sucessivamente, pelos números primos, até que o divisor seja maior ou igual ao quociente:

Divisão	Quociente	Resto	d ≥ q?	Conclusão
143 ÷ 2	71	1	Não (2 < 71)	resto ≠ 0 — segue para o próximo primo
143 ÷ 3	47	2	Não (3 < 47)	resto ≠ 0 — segue para o próximo primo
143 ÷ 5	28	3	Não (5 < 28)	resto ≠ 0 — segue para o próximo primo
143 ÷ 7	20	3	Não (7 < 20)	resto ≠ 0 — segue para o próximo primo
143 ÷ 11	13	0	—	resto = 0 → 143 é composto!

 

Pois é! Acabamos de descobrir que 143 é um número composto, afinal ele é divisível por 1, por ele mesmo e, pelo menos, por 11 também (143 = 11 × 13).

Vocês repararam que não há como fugir desses cálculos quando o objetivo é estabelecer se um número é primo ou não? De prático, esse método realmente não tem nada. Mas, para a alegria de vocês, existe sim uma forma de acelerar o processo: basta conhecer os critérios de divisibilidade.

Os critérios de divisibilidade são pequenas regras que utilizamos para determinar se um número inteiro qualquer é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e assim por diante. Se utilizarmos essas regras, conseguimos definir, sem realizar cálculo algum, quando o resto de uma divisão por 2, 3, 5, 7 ou 11 será diferente de zero ou não. Querem ver como funciona? Então vamos a mais um exemplo!

Exemplo 2 — 223 é um Número Primo?

O primeiro passo para estabelecer se 223 é primo seria dividi-lo por 2. Mas, segundo os critérios de divisibilidade, apenas os números pares são divisíveis por 2. Assim, sendo 223 um número ímpar, é fato que essa divisão gerará resto diferente de zero — e por isso já podemos pular para o próximo passo!

Em seguida, viria a divisão por 3. Só que um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos resulta em um número divisível por 3. Vamos conferir:

2 + 2 + 3 = 7

 

Sete não é divisível por 3. Portanto, a divisão de 223 por 3 também gera resto diferente de zero.

Depois, faríamos a divisão por 5. Mas um número só é divisível por 5 quando seu último algarismo é 0 ou 5. Como 223 termina em 3, ele jamais será divisível por 5.

Agora sim, seguiríamos para a divisão por 7 — e essa realmente vamos fazer, já que quem leu o texto Critérios de Divisibilidade sabe que usar o critério de divisibilidade por 7 costuma ser quase mais demorado do que a própria divisão.

Divisão	Quociente	Resto	d ≥ q?	Conclusão
223 ÷ 7	31	6	Não (7 < 31)	resto ≠ 0 — segue para o próximo primo
223 ÷ 11*	—	—	—	soma alternada +2 − 2 + 3 = 3, não é múltiplo de 11 → resto ≠ 0
223 ÷ 13	17	2	Não (13 < 17)	resto ≠ 0 — segue para o próximo primo
223 ÷ 17	13	2	Sim (17 ≥ 13)	resto ≠ 0 e d ≥ q → 223 é primo!

*Neste passo, usamos o critério de divisibilidade por 11 (soma alternada dos algarismos) em vez de fazer a divisão direta.

Eba! A divisão de 223 por 17 gerou resto diferente de zero e um divisor maior que o quociente! Acabamos de determinar, com toda a certeza, que 223 é um número primo!

Fácil, não é mesmo? Só um pouquinho demorado. Mas tenho certeza de que, à medida que vocês forem resolvendo uma série de exemplos e memorizando direitinho os principais critérios de divisibilidade, tudo ficará mais rápido e claro!

Por Que os Números Primos Importam?

Além de caírem com frequência no ENEM e nos vestibulares, os números primos têm um papel central na matemática — e também fora dela. Foi o matemático grego Euclides quem provou, ainda na Antiguidade, que a quantidade de números primos é infinita: por maior que seja um número primo, sempre existirá outro, ainda maior.

Além disso, todo número composto pode ser escrito como um produto único de números primos — o que é conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética. É justamente essa decomposição em fatores primos que usamos, por exemplo, para calcular o MDC (Máximo Divisor Comum) e o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre dois números, ou para descobrir a quantidade de divisores de um número.

Na prática, os números primos também são a base da criptografia moderna: sistemas de segurança que protegem senhas, compras online e transações bancárias dependem do fato de ser extremamente difícil descobrir os fatores primos de números muito grandes. Ou seja, aquele conteúdo que parece “só teoria” está, na verdade, por trás da segurança dos dados de vocês todos os dias!

Exercícios sobre Números Primos e Compostos

Agora que vocês já sabem tudo sobre números primos e compostos, que tal colocar esse conhecimento em prática? Resolvam os exercícios a seguir e confiram, logo abaixo, a resolução comentada de cada um.

Exercício 1. (FUVEST 2021 — 1ª fase) Um quadrinho aborda o tema dos números primos. Sobre eles, é correto afirmar:

• a) Todos os números primos são ímpares.
• b) Existem, no máximo, 7 trilhões de números primos.
• c) Todo número da forma 2n + 1, com n natural, é primo.
• d) Entre 24 e 36, existem somente 2 números primos.
• e) O número 143 é um número primo.

Resolução: a) Falsa — o 2 é primo e é par. b) Falsa — existem infinitos números primos. c) Falsa — por exemplo, para n = 4 temos 2×4+1 = 9, que não é primo. d) Verdadeira — entre 24 e 36 existem apenas dois primos: 29 e 31. e) Falsa — como vimos no Exemplo 1, 143 = 11 × 13 é composto.

Gabarito: alternativa D.

Exercício 2. Classifiquem os números 51, 91 e 97 em primos ou compostos, usando os critérios de divisibilidade.

Resolução: 51 → a soma dos algarismos é 5 + 1 = 6, divisível por 3. Logo, 51 = 3 × 17 é composto. 91 → não é par, não é divisível por 3 nem por 5, mas 91 ÷ 7 = 13, resto 0. Logo, 91 = 7 × 13 é composto (repare que 91 “parece” primo à primeira vista — por isso é um número clássico de pegadinha em prova!). 97 → não é divisível por 2, 3, 5 nem 7 (97 ÷ 7 = 13, resto 6); dividindo por 11, temos 97 ÷ 11 = 8, resto 9, e agora o divisor (11) já é maior que o quociente (8) — logo, 97 é primo.

Gabarito: 51 e 91 são compostos; 97 é primo.

Exercício 3. Usando a tabela de primos até 100 (ou o Crivo de Eratóstenes), quantos números primos existem entre 100 e 150?

Resolução: aplicando o mesmo método do crivo ao intervalo de 100 a 150, restam 10 números: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139 e 149.

Gabarito: 10 números primos.

Gabarito resumido: 1) D; 2) 51 e 91 compostos, 97 primo; 3) 10 números primos (101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139 e 149).

Perguntas Frequentes sobre Números Primos e Compostos

Qual é o menor número primo?

O menor número primo é o 2. Ele também é o único número primo que é par — todos os demais são ímpares.

O número 1 é primo?

Não. O número 1 tem apenas um divisor (ele mesmo), e a definição de número primo exige exatamente dois divisores distintos. Por isso, o 1 não é primo nem composto.

Quantos números primos existem até 100?

Existem 25 números primos entre 1 e 100. Você confere a lista completa na tabela deste texto, obtida pelo Crivo de Eratóstenes.

Existe um maior número primo?

Não. Euclides provou, ainda na Antiguidade, que o conjunto dos números primos é infinito: por maior que seja um número primo conhecido, sempre é possível encontrar outro ainda maior.

Para que servem os números primos na vida real?

Além de serem a base de toda a teoria dos números, os primos são fundamentais para a criptografia — a tecnologia que protege senhas, compras online e dados bancários na internet.

Qual a diferença entre número primo e número composto?

O número primo tem exatamente dois divisores naturais (1 e ele mesmo); o número composto tem mais de dois divisores. O 0 e o 1 não se encaixam em nenhuma das duas categorias.

Leia Também

• Critérios de Divisibilidade
• Como Determinar a Quantidade de Divisores de um Número

Já vou avisando que o vídeo que está em anexo está imperdível hoje! Nele vocês encontram uma abordagem complementar a tudo que estudamos por aqui, e ainda a resolução de um exercício que envolve números primos e alguns conceitos fascinantes da aritmética!

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Um abração! Bons estudos a todos!

 

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