O que é Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função

Olá pessoal! Como vão?

Quando falamos de funções, um assunto muito importante dentro da matemática do ensino médio, os termos domínio, contradomínio e imagem costumam aparecer com frequência. Por isso, conhecer os seus conceitos e não confundi-los é imprescindível para quem vai prestar vestibulares e também a prova do Enem — afinal, quanto mais acertos, melhor! No texto de hoje, vamos explicar direitinho como encontrar o domínio, o contradomínio e a imagem das funções que serão apresentadas, e tudo isso junto a exercícios que nos permitem aplicar a teoria de uma maneira simples e prática.

Resposta rápida: domínio é o conjunto de partida de uma função — os valores de x que ela recebe; contradomínio é o conjunto de chegada — onde os resultados podem estar; e imagem é a parte do contradomínio formada apenas pelos valores que a função realmente produz. Por isso, a imagem é sempre um subconjunto do contradomínio.

 

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O Que É Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função

Agora sim, vamos ao que interessa! No texto Noções de Função por Meio de Conjuntos, vimos que, dada a existência de uma função f de A em B, A é conhecido como conjunto de partida, B é conhecido como conjunto de chegada, e f é a própria função que relaciona os elementos desses dois conjuntos. A partir de agora, chamaremos o conjunto A, ou de partida, de domínio da função f, e o conjunto B, ou conjunto de chegada, de contradomínio da função f.

Domínio de uma Função

O domínio (D) de uma função f é, portanto, o conjunto de partida: todos os valores de x que podem ser aplicados nela. Assim, sempre que você vir a notação f: A → B, pode ter certeza de que A é o domínio de f.

Contradomínio de uma Função

Já o contradomínio (CD) é o conjunto de chegada da função — ou seja, o conjunto onde os resultados de f podem estar. Voltando à notação f: A → B, o contradomínio é o conjunto B. Dessa forma, é importante destacar que nem todo elemento do contradomínio precisa, de fato, ser “usado” pela função; ele só precisa estar disponível como destino possível.

Até aí tudo certo, não é mesmo? Mas se A é o domínio, e B é o contradomínio de f, onde está o conjunto imagem? Para entendermos como obtê-lo, vamos revisar mais alguns fatos importantes.

Como Encontrar o Conjunto Imagem de uma Função

Vocês devem se lembrar que, para confirmar se f era mesmo uma função de A em B, aplicávamos todos os valores de x dos elementos do conjunto de partida na função f. Se os resultados dessas operações fossem elementos do conjunto de chegada — ou seja, se cada elemento de A tivesse apenas um único correspondente em B —, então sim, f poderia ser considerada uma função de A em B.

Um exemplo disso está na função representada em forma de diagrama na imagem acima. Todos os elementos do conjunto A, ou seja, x₁, x₂ e x₃, possuem um único elemento correspondente no conjunto B, que são, respectivamente, y₁, y₃ e y₄. y₁ foi obtido quando aplicamos o elemento x₁ na função f. O mesmo ocorreu com y₃ e y₄, obtidos a partir de x₂ e x₃, respectivamente.

É exatamente nesse ponto que precisamos prestar atenção: todos os elementos do contradomínio (ou conjunto B) que são obtidos quando aplicamos os elementos do domínio na função f formam o conjunto imagem de f. Veja se não é justamente isso que a definição de imagem nos diz:

A função f aplicada em x ∈ A resulta em um elemento y ∈ B. Esse elemento y é a imagem de x, quando aplicamos a função f.

A partir da figura acima, percebemos que o conjunto imagem de uma função nem sempre compreende todos os elementos do contradomínio desta função. O conjunto imagem é formado apenas pelos elementos do contradomínio que possuem correspondentes no domínio. É por isso que, nesse exemplo, o elemento y₂ não faz parte da imagem de f: ele não possui nenhum elemento correspondente no domínio da função. Mas fique tranquilo! Para que uma função exista, todos os elementos de A devem necessariamente ter um único elemento correspondente em B — mas o contrário não é verdadeiro, ou seja, nem todos os elementos de B precisam ter correspondentes em A. Os elementos do contradomínio que não possuírem correspondentes no domínio de f simplesmente não farão parte da imagem da função.

Isso abre espaço para mais um detalhe importante: se apenas alguns elementos do contradomínio de uma função formam o conjunto imagem, significa que o conjunto imagem é subconjunto do contradomínio de f. Também podemos dizer que o conjunto imagem está contido no contradomínio.

Domínio × Contradomínio × Imagem: Tabela Comparativa

Como esses três conceitos aparecem sempre juntos, é comum confundi-los à primeira vista. Por isso, a tabela abaixo resume, lado a lado, o que cada um representa, sua notação e onde ele aparece na representação gráfica de uma função:

Conceito	O que é	Notação	Onde aparece no gráfico
Domínio (D)	Conjunto de partida: reúne todos os valores de x que são aplicados na função f	D = A	Eixo x (abscissas)
Contradomínio (CD)	Conjunto de chegada: reúne todos os valores onde os resultados de f podem estar	CD = B	Eixo y (ordenadas) — todos os valores possíveis
Imagem (Im)	Subconjunto do contradomínio formado apenas pelos valores de y que a função realmente produz	Im(f) ⊂ CD	Eixo y (ordenadas) — só os pontos realmente atingidos

 

Repare que domínio e contradomínio são escolhas feitas logo na definição da função — por isso, fazem parte da “receita” de f: A → B. Já a imagem é uma consequência: ela depende da regra (fórmula) da função e, por conseguinte, só pode ser calculada depois de aplicarmos essa regra a cada elemento do domínio.

A Imagem é Sempre um Subconjunto do Contradomínio

E aí, ficou claro? Vamos revisar rapidamente os conceitos que vimos até aqui:

• Todos os elementos do conjunto A, ou conjunto de partida, formam o domínio (D) da função f.
• Todos os elementos do conjunto B, ou conjunto de chegada, formam o contradomínio (CD) da função f.
• O conjunto imagem de f é formado por todos os elementos do contradomínio que possuem elementos correspondentes no domínio de f.

Neste momento já estamos preparados para resolver alguns exercícios sobre o assunto. Então, vem comigo!

Exercícios Resolvidos de Domínio, Contradomínio e Imagem

Exercício 1 — Domínio e Contradomínio Finitos

Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, o conjunto B = {2, 3, 4, 5}, e a função f: A → B definida por f(x) = x + 1, encontre o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem de f.

O fato de a função f ser definida como f: A → B nos mostra que A é o conjunto de partida e que B é o conjunto de chegada. Assim, já podemos definir o domínio e o contradomínio de f:

D = A → D = {1, 2, 3}

CD = B → CD = {2, 3, 4, 5}

Para obtermos o conjunto imagem, precisamos aplicar todos os elementos do domínio na função f, que, como diz o enunciado, é definida por f(x) = x + 1. Assim, fazemos a substituição do valor de x pelos elementos 1, 2 e 3. Acompanhe os cálculos:

f(1) = 1 + 1 = 2 f(2) = 2 + 1 = 3 f(3) = 3 + 1 = 4

Repare que a imagem do elemento 1 do domínio de f é o elemento 2 do contradomínio de f. Já os elementos 2 e 3 do domínio de f possuem como imagem, respectivamente, os elementos 3 e 4 do contradomínio de f. Isso nos mostra que o conjunto imagem de f é formado pelos elementos 2, 3 e 4.

Im(f) = {2, 3, 4}

Em forma de diagrama, podemos representar os conjuntos da seguinte maneira:

Analisando o diagrama acima, percebemos com mais clareza que o elemento 5, do contradomínio, não corresponde a elemento algum do domínio de f. Por isso, como já vimos, o elemento 5 não faz parte do conjunto imagem de f — embora f continue sendo uma função de A em B, porque todos os elementos de A possuem elementos correspondentes em B.

Exercício 2 — Domínio Finito e Contradomínio nos Números Reais

Como pudemos perceber no exemplo acima, geralmente as funções são definidas por fórmulas matemáticas. Muitas vezes, o domínio e o contradomínio de uma função não são conjuntos finitos, podendo ser conjuntos numéricos, como o conjunto dos números reais ou dos números naturais e inteiros. O próximo exemplo mostra um contexto assim; veja como resolvê-lo:

Dada uma função f: A → ℝ, tal que f(x) = 5x – 4, e A = {-2, 0, 3}, determine o conjunto imagem.

Como o enunciado informa que f é uma função que parte de A e vai até o conjunto dos números reais (f: A → ℝ), concluímos que o domínio de f é o conjunto A, e que o contradomínio de f é o conjunto dos números reais.

D = A → D = {-2, 0, 3}

CD = ℝ

Para encontrarmos o conjunto imagem pedido, basta substituirmos os elementos do conjunto A no lugar de x, na função f(x) = 5x – 4:

f(-2) = 5·(-2) – 4 = -14 f(0) = 5·0 – 4 = -4 f(3) = 5·3 – 4 = 11

Assim, podemos afirmar que -14 é a imagem de -2, da mesma forma que -4 e 11 são as imagens de 0 e 3, respectivamente. Como -14, -4 e 11 são números reais, eles formam o conjunto imagem de f e, portanto, também pertencem ao contradomínio de f — confirmando, mais uma vez, que o conjunto imagem de uma função é sempre subconjunto do contradomínio dessa mesma função.

Im(f) = {-14, -4, 11}

Exercício 3 — Função Definida por Mais de uma Sentença

Determine f(7), f(2) e f(√30), de tal forma que f: ℝ → ℝ seja definida como:

f(x) = 2x + 3, se x ≤ 5 f(x) = x², se x > 5

Exercícios que envolvem sentenças são sempre interessantes! Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Como se fala em f(7), f(2) e f(√30), devemos procurar pelas imagens dos elementos 7, 2 e √30, que pertencem ao domínio da função f, formado por todos os números reais.

Contudo, diferente do que vimos até então, nesse caso a função f é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor que x irá assumir: como f(x) = 2x + 3, ou como f(x) = x². Portanto, nosso trabalho agora é analisar cada elemento cuja imagem buscamos e verificar se ele é maior, menor ou igual a 5. Em cada caso, usaremos a função apropriada.

7 > 5, então: f(7) = x² = 7² = 49

2 < 5, então: f(2) = 2x + 3 = 2·(2) + 3 = 7

A dúvida aqui é como saber se o número irracional √30 é maior ou menor que 5. Sempre que isso acontecer, lembre-se da raiz quadrada exata mais próxima. Por exemplo, o número mais próximo de 30 que possui raiz quadrada exata é o 25. Como a raiz quadrada de 25 é 5, e 30 é maior que 25, então a raiz quadrada de 30 também é maior que 5. Assim, já sabemos qual função deve ser utilizada:

√30 > 5, então: f(√30) = (√30)² = |30| = 30

Domínio, Contradomínio e Imagem no Plano Cartesiano

Até aqui, representamos as funções por diagramas de flechas — uma forma prática de visualizar domínio, contradomínio e imagem quando os conjuntos são pequenos e finitos. Porém, também é possível, e muito útil principalmente quando os conjuntos são infinitos, como o dos números reais, representar esses mesmos conceitos no plano cartesiano.

Retomando o Exercício 1, em que f(x) = x + 1, com A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, podemos marcar cada par (x, f(x)) como um ponto do gráfico:

Repare que:

• O domínio aparece no eixo x (horizontal): os pontos 1, 2 e 3, que são exatamente os elementos de A.
• O contradomínio inteiro estaria disponível no eixo y (vertical) — nesse caso, os valores 2, 3, 4 e 5.
• A imagem, porém, aparece apenas nos pontos de y que realmente foram atingidos pela função: 2, 3 e 4. O valor 5 pertence ao contradomínio, mas, como vimos, não corresponde a nenhum elemento do domínio — por isso não existe um ponto do gráfico na altura y = 5.

Assim, no plano cartesiano dá para “ver” com clareza por que a imagem é sempre um subconjunto do contradomínio: ela é formada só pelos pontos que a função de fato desenha.

Exercícios Propostos

Agora que você já entendeu a teoria e acompanhou os exemplos resolvidos, que tal praticar? Resolva os exercícios abaixo e confira o gabarito comentado logo em seguida.

1) Seja A = {0, 1, 2, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 9, 17}, e a função f: A → B definida por f(x) = x² + 1. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem de f.

2) Dada a função f: A → ℝ, tal que f(x) = -2x + 1, e A = {-3, -1, 2, 5}, determine o conjunto imagem de f.

3) Determine f(-1), f(2) e f(4), de tal forma que f: ℝ → ℝ seja definida como f(x) = 3x – 1, se x < 2, e f(x) = x² – x, se x ≥ 2.

Gabarito comentado

1) D = {0, 1, 2, 4}; CD = {1, 2, 3, 5, 9, 17}. Calculando: f(0) = 0² + 1 = 1; f(1) = 1² + 1 = 2; f(2) = 2² + 1 = 5; f(4) = 4² + 1 = 17. Logo, Im(f) = {1, 2, 5, 17}.

2) D = {-3, -1, 2, 5}. Calculando: f(-3) = -2·(-3) + 1 = 7; f(-1) = -2·(-1) + 1 = 3; f(2) = -2·2 + 1 = -3; f(5) = -2·5 + 1 = -9. Logo, Im(f) = {-9, -3, 3, 7}.

3) Como -1 < 2, usamos f(x) = 3x – 1: f(-1) = 3·(-1) – 1 = -4. Como 2 ≥ 2 e 4 ≥ 2, usamos f(x) = x² – x nos dois casos: f(2) = 2² – 2 = 2 e f(4) = 4² – 4 = 12.

Vídeoaula sobre Domínio, Contradomínio e Imagem

É com essa dica que fechamos a teoria de hoje! Para fixar ainda mais o conteúdo, vale a pena assistir à videoaula sobre domínio, contradomínio e imagem, na qual são resolvidos mais alguns exercícios sobre o assunto — cada um com sua particularidade, o que ajuda bastante a desenvolver o raciocínio matemático.

Também é possível acompanhar mais dicas e novidades no Instagram e no canal do YouTube do Professor Ferretto.

Perguntas Frequentes

Qual é a diferença entre domínio, contradomínio e imagem?

Domínio é o conjunto de partida da função — os valores de x que podem ser aplicados nela. Contradomínio é o conjunto de chegada — onde os resultados podem estar. Imagem é a parte do contradomínio formada apenas pelos valores que a função realmente produz.

O domínio de uma função pode ser igual ao contradomínio?

Sim, é possível. Domínio e contradomínio são apenas os conjuntos de partida e de chegada escolhidos na definição da função — nada impede que sejam o mesmo conjunto, como em f: ℝ → ℝ. O que muda, de fato, é a imagem, que depende da regra da função.

A imagem de uma função pode ser igual ao contradomínio?

Sim. Isso acontece quando todo elemento do contradomínio possui pelo menos um correspondente no domínio — nesse caso, a função é chamada de sobrejetora, e Im(f) = CD.

Quando o domínio não é informado no enunciado, como descubro quais valores de x posso usar?

Quando o enunciado não informa o domínio, ele é considerado como o maior subconjunto dos números reais para o qual a expressão da função faz sentido. Esse processo é chamado de estudo do domínio, e evita, por exemplo, divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos.

Um mesmo valor de y pode ser imagem de mais de um valor de x?

Sim. Dois elementos diferentes do domínio podem ter a mesma imagem — por exemplo, em f(x) = x², os valores -2 e 2 têm a mesma imagem, 4. O que não pode acontecer é o contrário: um mesmo x não pode ter duas imagens diferentes, pois isso descumpriria a definição de função.

Domínio é o mesmo que conjunto de partida?

Sim, são sinônimos: o conjunto de partida de uma função é sempre chamado de domínio. Já o conjunto de chegada é o contradomínio, que pode ou não coincidir totalmente com a imagem.

Resumo e Leia Também

Espero que você tenha entendido, com clareza, como definir o domínio, o contradomínio e a imagem de qualquer função. O segredo é sempre lembrar que domínio e contradomínio fazem parte da definição da função, enquanto a imagem é uma consequência da regra aplicada — e, por isso, é sempre um subconjunto do contradomínio.

Para continuar estudando o cluster de funções, confira também:

• Noções de Função por Meio de Conjuntos
• Domínio de uma Função: como calcular passo a passo (Estudo do Domínio das Funções Reais)
• Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora: como identificar
• Função Par e Função Ímpar: como identificar e exercícios resolvidos
• Como Construir o Gráfico de uma Função?
• Plano Cartesiano: o que é, eixos, quadrantes e exercícios resolvidos

E lembre-se: para treinar tudo isso com exercícios comentados em vídeo, conheça a plataforma do Professor Ferretto, faça sua inscrição gratuita nos Cursos de Matemática, Física e Química para turbinar seus estudos ou baixe o ENEM’s Anatomy para saber exatamente o que mais cai em cada disciplina do Enem.

Um abração e até mais!