Inequações Exponenciais: como resolver + exercícios

Olá, pessoal! Se você já sabe resolver uma equação exponencial, então está a um passo de dominar as inequações exponenciais. A estrutura é parecida; porém, existe um detalhe que muda tudo: o valor da base. Dependendo dele, o sinal da desigualdade se mantém ou precisa ser invertido.

Por isso, neste guia, reunimos em um único lugar a teoria completa, a regra da base, exemplos resolvidos, os casos com 2º grau no expoente, as inequações simultâneas e exercícios com gabarito. Assim, você não precisa pular entre vários textos para entender o assunto.

Resposta rápida: uma inequação exponencial é uma desigualdade (>, <, ≥ ou ≤) em que a incógnita está no expoente. Para resolvê-la: (1) escreva as potências com a mesma base; (2) cancele as bases e compare os expoentes: se a base for maior que 1, mantenha o sinal; se a base estiver entre 0 e 1, inverta o sinal; (3) resolva a inequação que sobrou nos expoentes (do 1º grau, do 2º grau ou simultânea).

 

Neste guia você vai ver:

• O que é uma inequação exponencial e a diferença para a equação
• A regra da base: quando manter e quando inverter o sinal
• Passo a passo e 7 exemplos resolvidos (1º grau, 2º grau, substituição e simultânea)
• Casos especiais, erros comuns e tabela-resumo
• Exercícios propostos com gabarito comentado, videoaula e perguntas frequentes

O que é uma inequação exponencial?

Uma inequação exponencial é toda inequação que possui a incógnita no expoente. Em outras palavras, trata-se de uma desigualdade entre potências em que o x aparece no expoente. Veja alguns exemplos:

• 2^x+5 > 32
• (1/2)^x−1 ≥ 8^x+3
• (0,1)^3−4x < 0,0001

Para que a função faça sentido, a base precisa ser positiva e diferente de 1, condição explicada em Função Exponencial: definição e condições de existência. Por conseguinte, é essa função que sustenta todas as regras deste texto.

Equação exponencial × inequação exponencial: qual é a diferença?

A diferença está no sinal. Na equação exponencial aparece o sinal de igualdade (=); na inequação, aparece um sinal de desigualdade: <, >, ≤ ou ≥. Consequentemente, a equação costuma ter um ou poucos valores como resposta, enquanto a inequação tem como resposta um intervalo de valores.

	Equação exponencial	Inequação exponencial
Sinal	=	<, >, ≤ ou ≥
Exemplo	2x = 8	2x > 8
Resposta	x = 3 (um valor)	x > 3 (um intervalo)
Cuidado extra	Nenhum	Olhar a base para decidir se o sinal se mantém ou se inverte

 

Vale rever o caminho da equação, pois ele é o ponto de partida. Em 2^x = 8, escrevemos 8 como 2³, cancelamos as bases e igualamos os expoentes; logo, x = 3. Na inequação, o início é idêntico. No entanto, antes de cancelar as bases, precisamos observar o valor delas.

A regra da base: quando manter e quando inverter o sinal

Esse é o coração do assunto. Ao chegar a uma desigualdade de potências de mesma base, cancelamos as bases e comparamos os expoentes. O que acontece com o sinal depende exclusivamente da base a:

 

Valor da base a	Função ax	O que fazer com o sinal	Em símbolos
a > 1	Crescente	Mantém o sinal	ab > ac ⇒ b > c
0 < a < 1	Decrescente	Inverte o sinal	ab > ac ⇒ b < c

 

Para não esquecer, guarde esta frase: se a base for maior que 1, mantenha o sinal; se a base estiver entre 0 e 1, inverta o sinal.

Por que a base maior que 1 mantém o sinal?

Quando a base é maior que 1, a função exponencial é crescente: quanto maior o expoente, maior a potência. Logo, se 2^x > 2³, o x precisa ser maior que 3. Dessa forma, o sinal continua apontando para o mesmo lado.

Por que a base entre 0 e 1 inverte o sinal?

Já quando a base está entre 0 e 1, a função é decrescente: quanto maior o expoente, menor a potência. Observe com números: (1/2)¹ = 0,5; (1/2)² = 0,25; e (1/2)³ = 0,125. O expoente aumentou, porém o resultado diminuiu. Portanto, para que (1/2)^x seja maior que (1/2)⁻³, o x precisa ser menor que −3, e o sinal se inverte.

Veja a regra no gráfico

No gráfico a seguir, a reta y = 8 corta as duas curvas. À esquerda, 2^x cresce e fica acima de 8 quando x > 3. À direita, (1/2)^x decresce e fica acima de 8 quando x < −3. Assim, o gráfico confirma o que a regra diz. Se quiser se aprofundar, veja o Gráfico da Função Exponencial: guia completo.

Quais valores a base pode assumir?

Como a base precisa ser positiva e diferente de 1, só existem dois cenários úteis: 0 < a < 1 ou a > 1. A reta real abaixo mostra exemplos de cada um. Se a base fosse 1, o resultado seria sempre 1 e não haveria o que comparar; por isso o número 1 fica de fora.

Como resolver uma inequação exponencial: passo a passo

Independentemente do tipo de inequação, o roteiro é o mesmo. Siga as etapas na ordem:

1. Identifique o tipo. Há um sinal de desigualdade e a incógnita está no expoente? Então é uma inequação exponencial.
2. Iguale as bases. Reescreva as potências com a mesma base, usando fatoração e as propriedades da potenciação.
3. Olhe para a base. Ela é maior que 1 ou está entre 0 e 1?
4. Compare os expoentes. Cancele as bases; mantenha o sinal se a > 1 e inverta se 0 < a < 1.
5. Resolva a inequação dos expoentes. Ela pode ser do 1º grau, do 2º grau ou simultânea.
6. Escreva a solução e confira. Represente na reta real ou em forma de conjunto e teste um valor.

Propriedades da potenciação que mais ajudam

Na etapa 2, as propriedades da potenciação fazem o trabalho pesado. Dessa forma, vale ter esta tabela por perto:

	Fórmula		Fórmula
P1	am · an = am+n	P5	(a/b)n = an / bn
P2	am / an = am−n	P6	a−n = 1 / an (a ≠ 0)
P3	(am)n = am·n	P7	(a/b)−n = (b/a)n
P4	(a · b)n = an · bn	P8	am/n = n√(am)

 

Se ainda precisar de reforço, a videoaula no final do texto traz dicas sobre as propriedades da potenciação.

Exemplos resolvidos de inequações exponenciais

Chegou a hora de praticar. Nos quatro primeiros exemplos, a inequação termina em uma conta de 1º grau; depois, avançamos para o 2º grau, para a substituição e para as simultâneas.

Exemplo 1: 2^x+5 > 32 (base maior que 1)

Passo 1 — Iguale as bases. Fatorando, 32 = 2⁵. Logo, a inequação fica 2^x+5 > 2⁵.

 

Passo 2 — Observe a base. A base 2 é maior que 1; portanto, mantemos o sinal: x + 5 > 5.

Passo 3 — Resolva. x > 5 − 5, ou seja, x > 0.

Solução: S = {x ∈ ℝ | x > 0}

Conferindo: com x = 1, temos 2⁶ = 64, que é maior que 32 (serve). Com x = −1, temos 2⁴ = 16, que não é maior que 32 (não serve).

Exemplo 2: (1/2)^x−1 ≥ 8^x+3 (fração e potência de potência)

Passo 1 — Iguale as bases. Pela P6, 1/2 = 2⁻¹; além disso, 8 = 2³. Assim: (2⁻¹)^x−1 ≥ (2³)^x+3.

Passo 2 — Potência de potência (P3). 2^−x+1 ≥ 2^3x+9.

Passo 3 — Compare os expoentes. A base 2 é maior que 1, então mantemos o sinal: −x + 1 ≥ 3x + 9.

Passo 4 — Resolva. −x − 3x ≥ 9 − 1, ou seja, −4x ≥ 8. Ao multiplicar por −1, o sinal se inverte: 4x ≤ −8, portanto x ≤ −2.

Solução: S = {x ∈ ℝ | x ≤ −2}

Atenção: essa última inversão não tem relação com a base. Ela vem da regra da inequação do 1º grau ao multiplicar por −1. Por isso, analise cada inversão separadamente.

Exemplo 3: (³√3)^x ≤ 1/9 (raiz como expoente fracionário)

Passo 1 — Iguale as bases. Pela P8, ³√3 = 3^1/3; pela P6, 1/9 = 3⁻². Então: (3^1/3)^x ≤ 3⁻².

Passo 2 — Potência de potência (P3). 3^x/3 ≤ 3⁻².

Passo 3 — Compare os expoentes. A base 3 é maior que 1; logo, mantemos o sinal: x/3 ≤ −2.

Passo 4 — Resolva. Multiplicando os dois lados por 3, obtemos x ≤ −6.

Solução: S = {x ∈ ℝ | x ≤ −6}

Exemplo 4: (0,1)^3−4x < 0,0001 (decimais e base entre 0 e 1)

Passo 1 — Iguale as bases. Escrevendo os decimais como potências de 10, temos 0,1 = 10⁻¹ e 0,0001 = 10⁻⁴. Para trabalhar com expoentes positivos, use a P6: 10⁻¹ = 1/10 e 10⁻⁴ = (1/10)⁴. A inequação fica (1/10)^3−4x < (1/10)⁴.

Passo 2 — Observe a base. A base 1/10 está entre 0 e 1; portanto, invertemos o sinal: 3 − 4x > 4.

Passo 3 — Resolva. −4x > 1. Multiplicando por −1 (e invertendo de novo, agora por causa do 1º grau): 4x < −1, logo x < −1/4.

Solução: S = {x ∈ ℝ | x < −1/4}

Dica: existe um caminho sem nenhuma inversão. Com base 10, (10⁻¹)^3−4x = 10^−3+4x, e a inequação vira 10^−3+4x < 10⁻⁴. Como 10 é maior que 1, mantemos o sinal: −3 + 4x < −4, ou seja, x < −1/4. O resultado é o mesmo; assim, o que importa é cuidar da base.

Inequação exponencial que resulta em inequação do 2º grau

Em alguns casos, depois de cancelar as bases, sobra um x² no expoente e, por consequência, uma inequação do 2º grau para resolver. Se precisar rever, passe pelo estudo do sinal da função quadrática e por Aplicando o estudo do sinal de uma função do 2º grau.

Exemplo 5: (1/4)^x²−x > (1/4)²

Passo 1 — Observe a base. As bases já são iguais, e 1/4 (que vale 0,25) está entre 0 e 1. Logo, invertemos o sinal: x² − x < 2.

Passo 2 — Monte a função. Para estudar o sinal, deixe apenas o zero do lado direito: x² − x − 2 < 0. Em seguida, defina f(x) = x² − x − 2.

Passo 3 — Coeficientes e concavidade. a = 1, b = −1 e c = −2. Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.

Passo 4 — Discriminante. Δ = b² − 4·a·c = (−1)² − 4·1·(−2) = 1 + 8 = 9. Como Δ > 0, existem duas raízes reais e distintas (veja mais em Raízes da Função Quadrática).

Passo 5 — Raízes. Pela fórmula de Bhaskara, x = (−b ± √Δ) / (2a) = (1 ± 3) / 2. Portanto, x₁ = 2 e x₂ = −1. Também é possível usar o método da soma e produto.

Passo 6 — Estude o sinal. A parábola é positiva fora das raízes e negativa entre elas.

Passo 7 — Escolha o trecho certo. A inequação pede f(x) < 0, isto é, o trecho do gráfico abaixo do eixo x: valores entre −1 e 2, sem incluir as raízes.

Solução: S = {x ∈ ℝ | −1 < x < 2}

Exemplo 6: 9^x − 4·3^x + 3 ≤ 0 (substituição y = 3^x)

Há ainda um caso em que o 2º grau aparece de outro jeito: as bases são diferentes, mas uma é o quadrado da outra. Nessa situação, fazemos uma substituição.

Passo 1 — Reescreva. 9^x = (3²)^x = (3^x)². A inequação fica (3^x)² − 4·3^x + 3 ≤ 0.

Passo 2 — Substitua. Faça y = 3^x. Como toda potência de base positiva é positiva, y > 0. Então: y² − 4y + 3 ≤ 0.

Passo 3 — Resolva em y. As raízes de y² − 4y + 3 = 0 são y = 1 e y = 3. Como a parábola tem concavidade para cima, ela é negativa ou nula entre as raízes: 1 ≤ y ≤ 3 (valores que respeitam y > 0).

Passo 4 — Volte para x. 1 ≤ 3^x ≤ 3, isto é, 3⁰ ≤ 3^x ≤ 3¹. Com base 3 maior que 1, mantemos os sinais: 0 ≤ x ≤ 1.

Solução: S = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1}

Atenção: muita gente para em y e esquece de voltar para x. Portanto, a resposta só termina quando o x reaparece.

Inequações exponenciais simultâneas

Uma inequação simultânea tem dois sinais de desigualdade ao mesmo tempo, como em 1/9 < 9^x−1 ≤ 3^x. Resolvê-la significa encontrar os valores de x que satisfazem as duas desigualdades. Para isso, separamos a inequação em duas, resolvemos cada uma e, ao final, fazemos a intersecção das soluções. Se precisar rever, consulte a intersecção de conjuntos e as inequações simultâneas do 1º grau e do 2º grau.

Exemplo 7: 1/9 < 9^x−1 ≤ 3^x

Passo 1 — Separe em duas inequações. (1) 9^x−1 > 1/9 e (2) 9^x−1 ≤ 3^x.

Passo 2 — Resolva a (1). Pela P6, 1/9 = 9⁻¹; assim, 9^x−1 > 9⁻¹. A base 9 é maior que 1, então mantemos o sinal: x − 1 > −1, logo x > 0.

Passo 3 — Resolva a (2). Como 9 = 3², temos (3²)^x−1 ≤ 3^x. Pela P3, 3^2x−2 ≤ 3^x. A base 3 é maior que 1; portanto, 2x − 2 ≤ x, ou seja, x ≤ 2.

Passo 4 — Faça a intersecção. Precisamos de x > 0 e x ≤ 2 ao mesmo tempo. Os valores que atendem às duas condições estão entre 0 e 2, com bolinha aberta no 0 e fechada no 2.

Solução: S = {x ∈ ℝ | 0 < x ≤ 2}

Casos especiais e erros comuns

Quando a resposta é “todos os reais” ou “conjunto vazio”

Como toda potência de base positiva é positiva, certas inequações dispensam contas. Veja:

• 5^x > −3: uma potência positiva é sempre maior que −3; logo, S = ℝ.
• 2^x ≤ 0: nenhuma potência de base 2 é menor ou igual a zero; logo, S = ∅.

E se não for possível igualar as bases?

Às vezes não há como escrever os dois lados com a mesma base, como em 2^x > 5. Nesses casos, usamos logaritmos: como a base 2 é maior que 1, x > log₂ 5. Esse tipo de resolução faz parte do estudo dos logaritmos.

Os erros mais comuns

• Inverter o sinal com base maior que 1. A inversão só acontece quando 0 < a < 1.
• Esquecer de inverter com base entre 0 e 1. É um erro clássico, principalmente com frações e decimais.
• Confundir as duas inversões. Multiplicar por −1 inverte o sinal por causa do 1º grau, e isso não tem relação com a base.
• Comparar expoentes sem igualar as bases antes. Sem a mesma base, a regra não vale.
• Esquecer que y = a^x é sempre positivo ao usar substituição.
• Parar na substituição, sem voltar para x.

Resumo: como resolver cada tipo de inequação exponencial

Tipo	Exemplo	Estratégia	Solução
Base maior que 1	2x+5 > 32	Igualar as bases e manter o sinal	x > 0
Base entre 0 e 1	(0,1)3−4x < 0,0001	Igualar as bases e inverter o sinal	x < −1/4
Resulta em 2º grau	(1/4)x²−x > (1/4)2	Inverter o sinal e fazer o estudo do sinal da parábola	−1 < x < 2
Substituição	9x − 4·3x + 3 ≤ 0	Fazer y = 3x (y > 0), resolver em y e voltar para x	0 ≤ x ≤ 1
Simultânea	1/9 < 9x−1 ≤ 3x	Separar, resolver cada uma e fazer a intersecção	0 < x ≤ 2

Onde as inequações exponenciais aparecem na prática

Embora pareçam abstratas, as inequações exponenciais respondem a perguntas do tipo “a partir de quando?”. Elas surgem em crescimento populacional, juros compostos e decaimento radioativo. Observe dois exemplos.

Aplicação 1: crescimento de bactérias

Uma cultura começa com 100 bactérias e dobra a cada hora: N(t) = 100 · 2^t. Após quantas horas ela terá mais de 3.200 bactérias?

Montando a inequação: 100 · 2^t > 3.200, então 2^t > 32, ou seja, 2^t > 2⁵. Como a base é maior que 1, mantemos o sinal: t > 5.

Resposta: depois de 5 horas (t > 5).

Aplicação 2: decaimento de uma substância

Uma substância tem 80 g e sua massa cai pela metade a cada período: M(t) = 80 · (1/2)^t, com t em períodos. Quando a massa será menor que 5 g?

Montando a inequação: 80 · (1/2)^t < 5, então (1/2)^t < 1/16, ou seja, (1/2)^t < (1/2)⁴. Agora a base está entre 0 e 1; portanto, invertemos o sinal: t > 4.

Resposta: depois de 4 períodos (t > 4).

Quer saber o que mais cai no Enem? Antes de decidir quanto tempo dedicar a cada conteúdo, consulte a análise de incidência do ENEM’s Anatomy e priorize o que realmente aparece nas provas. Acessar o ENEM’s Anatomy

Exercícios propostos de inequações exponenciais (com gabarito)

Agora é com você! Tente resolver cada item antes de olhar o gabarito comentado logo abaixo.

Exercício 1. 3^2x−1 ≥ 27

Exercício 2. (1/5)^x+2 > 1/125

Exercício 3. (√2)^x < 1/4

Exercício 4. (0,5)^2x−3 ≤ 0,25

Exercício 5. 2^x²−5x+6 < 1

Exercício 6. 1/27 ≤ 3^x+1 < 81

Exercício 7 (desafio). 25^x − 6·5^x + 5 ≥ 0

Gabarito comentado

1) Como 27 = 3³, a inequação vira 3^2x−1 ≥ 3³. Base 3 maior que 1: mantém o sinal, então 2x − 1 ≥ 3 e x ≥ 2. S = {x ∈ ℝ | x ≥ 2}

2) Como 1/125 = (1/5)³, temos (1/5)^x+2 > (1/5)³. Base entre 0 e 1: inverte o sinal, então x + 2 < 3 e x < 1. S = {x ∈ ℝ | x < 1}

3) (√2)^x = 2^x/2 e 1/4 = 2⁻². Base 2 maior que 1: x/2 < −2, logo x < −4. S = {x ∈ ℝ | x < −4}

4) 0,5 = 1/2 e 0,25 = (1/2)². Base entre 0 e 1: inverte o sinal, então 2x − 3 ≥ 2 e x ≥ 5/2. S = {x ∈ ℝ | x ≥ 5/2}

5) Como 1 = 2⁰, a inequação vira 2^x²−5x+6 < 2⁰. Base 2: mantém o sinal, então x² − 5x + 6 < 0. As raízes são 2 e 3 e a parábola tem concavidade para cima; logo, a função é negativa entre as raízes. S = {x ∈ ℝ | 2 < x < 3}

6) Como 1/27 = 3⁻³ e 81 = 3⁴, temos 3⁻³ ≤ 3^x+1 < 3⁴. Base 3 maior que 1: −3 ≤ x + 1 < 4, ou seja, −4 ≤ x < 3. S = {x ∈ ℝ | −4 ≤ x < 3}

7) Faça y = 5^x (y > 0): y² − 6y + 5 ≥ 0. As raízes são 1 e 5 e a parábola tem concavidade para cima; logo, y ≤ 1 ou y ≥ 5. Voltando: 5^x ≤ 5⁰ ou 5^x ≥ 5¹, ou seja, x ≤ 0 ou x ≥ 1. S = {x ∈ ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 1}

Videoaula: inequações exponenciais com o Professor Ferretto

Prefere ver a resolução em vídeo? No canal do Professor Ferretto no YouTube, a aula abaixo explica o passo a passo e traz dicas sobre as propriedades da potenciação. Além disso, acompanhe o Instagram @professorferretto para mais conteúdos de estudo.

Perguntas frequentes sobre inequações exponenciais

O que é uma inequação exponencial?

É uma desigualdade (>, <, ≥ ou ≤) em que a incógnita está no expoente de uma potência, como em 2^x > 8. A resposta costuma ser um intervalo de valores, e não um número só.

Quando devo inverter o sinal da desigualdade?

Quando a base das potências estiver entre 0 e 1. Se a base for maior que 1, o sinal se mantém. Atenção: ao multiplicar por −1 durante a resolução da inequação dos expoentes, o sinal também se inverte, mas por outro motivo.

Como resolver inequação exponencial com bases diferentes?

Primeiro, tente escrever todas as potências na mesma base usando fatoração e as propriedades da potenciação (por exemplo, 8 e 2 viram base 2; 9 e 3 viram base 3). Se for impossível, use logaritmos ou, quando uma base for o quadrado da outra, uma substituição.

Qual a diferença entre equação e inequação exponencial?

A equação tem sinal de igualdade e costuma ter poucas soluções; a inequação tem sinal de desigualdade e tem como solução um intervalo. Além disso, na inequação é preciso observar a base para saber se o sinal se mantém ou se inverte.

Como resolver quando aparece x² no expoente?

Iguale as bases, compare os expoentes respeitando a regra da base e, por fim, resolva a inequação do 2º grau com o estudo do sinal da parábola, como no Exemplo 5.

Inequação exponencial cai no Enem e nos vestibulares?

Ela costuma aparecer com mais frequência em vestibulares. No Enem, o raciocínio surge de forma contextualizada, em problemas de crescimento e decaimento do tipo “a partir de quando?”. Para ver a incidência real do tema nas últimas edições, consulte o ENEM’s Anatomy.

Continue estudando

• Equações Exponenciais: a base para tudo o que vimos aqui
• Função Exponencial: definição e condições de existência
• Gráfico da Função Exponencial: guia completo
• Inequação do 1º grau e inequações simultâneas do 1º grau
• Inequações do 2º grau e inequações simultâneas do 2º grau
• Estudo do sinal de uma função quadrática

Chegamos ao fim! Portanto, guarde a ideia central: olhe sempre para a base antes de cancelar as potências. Se ela for maior que 1, o sinal fica; se estiver entre 0 e 1, o sinal inverte. Com isso e com a prática dos exercícios, você estará pronto para resolver qualquer inequação exponencial. Um abraço e bons estudos!

Estude de graça com o Professor Ferretto. Acesse os Cursos Gratuitos de Matemática, Física e Química básicas e use as ferramentas da plataforma sem pagar nada. Quero começar de graça

Descubra o que mais cai no Enem. Use o ENEM’s Anatomy para ver a incidência dos conteúdos e organizar seus estudos. Acessar o ENEM’s Anatomy

Quer um plano completo para o Enem e os vestibulares? Conheça a plataforma do Professor Ferretto, com videoaulas, simulados e questões resolvidas. Conhecer a plataforma