ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Olá pessoal! Tudo tranquilo?

Quem está estudando bastante a matemática do ensino médio, seja com o intuito de prestar as provas do ENEM, dos vestibulares, ou mesmo para aprofundar o conhecimento no assunto, certamente está ciente do quanto é importante saber estudar o sinal de uma função, principalmente o da função do 2º grau, ou função quadrática, já que a sua forma gráfica é uma parábola. Por isso, no texto de hoje, eu vou mostrar para vocês como é simples fazer isso, desde que se conheça a natureza das raízes da função, e também a concavidade da parábola formada.

É verdade que o estudo do sinal de uma função do segundo grau, é base para o entendimento de outro conteúdo muito importante para a matemática de nível médio: as inequações do 2º grau. Mas se tudo que envolve a função quadrática não parece fazer sentido para vocês, ou caso a geometria, a análise combinatória, ou mesmo a probabilidade, estejam causando confusão, saibam que o Professor Ferretto pode lhes ajudar! Ele dispõe de uma plataforma de ensino 100% online, com videoaulas que abordam todos os assuntos da matemática do ensino médio. E olhem só que interessante: todas as questões das últimas provas do ENEM são resolvidas em vídeo por lá! Querem conhecer as demais vantagens da plataforma? Então acessem o site e saibam mais!

Depois dessa breve introdução, nada mais justo do que iniciarmos os nossos estudos, certo? Então vamos lá!

 

 1. O QUE SIGNIFICA ESTUDAR O SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU?

Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os valores de x para os quais f(x) > 0, f(x) < 0, e f(x) = 0.

Bom, parece que estudar o sinal de uma função, significa determinar para quais valores de x ela é positiva (f(x) > 0), negativa (f(x) < 0), ou exatamente igual a zero (f(x) = 0). Para fazer essa determinação, nós iremos contar com a ajuda do gráfico da função do segundo grau em questão, a parábola, e por isso precisamos saber como ela pode nos mostrar todas essas informações. Nesse sentido, aí vai uma dica importante: a imagem acima é a primeira pista de onde deveremos prestar atenção!

Vejam pessoal, que o segredo é observar a localização do gráfico da função f(x) com relação ao eixo x, ou eixo das abscissas do plano cartesiano. Uma função é positiva, ou maior que zero (f(x) > 0), quando o seu gráfico se encontra acima do eixo x, da mesma forma que qualquer função é negativa, ou menor que zero (f(x) > 0), quando o seu gráfico se encontra abaixo do eixo x.

Pessoal, quando igualamos uma função a zero, não estamos justamente a procura de suas raízes? E as raízes de uma função, não são os pontos em que o gráfico corta, ou intersecta o eixo x? Pois então, uma função do 2º grau será igual a zero, quando os seus respectivos valores de x forem exatamente iguais as suas duas raízes! Graficamente, uma função do segundo grau será igual a zero nos pontos onde o gráfico corta ou intersecta o eixo x.

Pois bem, nós acabamos de ver que para realizar o estudo do sinal de uma função do 2º grau, é necessário obtermos as duas raízes dessa função, porque elas nos revelarão quando a função é igual a zero (f(x) = 0). Mas nós também vimos que é a forma gráfica da função em relação ao eixo x que nos ajuda a determinar quando a função é positiva e quando ela é negativa. Pessoal, é justamente aí que matamos dois coelhos com uma cajadada só: conhecer as raízes de uma função do 2º grau também nos permite desenhar facilmente a sua curva em relação ao eixo x!

Querem ver como isso acontece? A verdade é que dependendo da natureza das raízes da função, dada através do valor do discriminante, ou delta (Δ), cuja fórmula é apresentada logo abaixo, elas podem se comportar de 3 maneiras diferentes:

• Se Δ > 0, ou seja, um valor positivo, então as duas raízes serão reais e distintas (x₁ ≠ x₂);
• Se Δ = 0, então as duas raízes serão reais e iguais (x₁ = x₂);
• Se Δ < 0, ou seja, um valor negativo, então as duas raízes serão imaginárias, e pertencerão ao conjunto dos números complexos (x₁ e x₂ ∈ ℂ).

Do ponto de vista gráfico, podemos dizer que:

• Se Δ > 0, ou seja, um valor positivo, então a parábola vai cortar o eixo x em dois pontos distintos;

• Se Δ = 0, então a parábola irá tocar o eixo x em um único ponto;

• Se Δ < 0, ou seja, um valor negativo, então a parábola não irá sequer encostar no eixo x, estando totalmente acima dele, ou totalmente abaixo.

Agora, não podemos deixar de reparar em outro detalhe bem interessante: não é só a natureza das raízes da função que determina a forma gráfica da mesma. Em todos os 3 casos que acabamos de estudar, dois gráficos foram apresentados: em um deles, a parábola tem concavidade voltada para cima, enquanto no outro, ela tem concavidade voltada para baixo. A concavidade de uma parábola é determinada pelo coeficiente a, aquele que acompanha o termo x² na função do segundo grau. Se o valor numérico de a for positivo (a > 0), então a concavidade da parábola será voltada para cima, mas se o valor numérico de a for negativo (a < 0), então a concavidade da parábola será voltada para baixo.

Tudo entendido? Neste momento, posso afirmar que vocês já têm todo o conhecimento necessário para efetuar o estudo do sinal de uma função quadrática, basta apenas organizarmos toda essa enxurrada de informações. Por isso, vamos estudar separadamente os 3 casos de estudo do sinal possíveis, tudo de acordo com as 3 formas que as raízes da função do 2º grau podem possuir. Vem comigo aqui!

 

1.1 Quando Δ > 0 e a função possui duas raízes reais e distintas

Nós já conhecemos a forma gráfica das funções do segundo grau que possuem duas raízes reais e distintas, não é mesmo? Por isso, a partir desse momento, vamos focar nossa atenção exclusivamente nos valores de x a cada ponto dos gráficos. Começaremos pelo caso em que a concavidade da parábola é voltada para cima (a > 0).

Não é segredo para nós, que quando x for exatamente igual a x₁ ou exatamente igual a x₂, a função f(x) será igual a zero, não é mesmo? É porque justamente nesses pontos, o gráfico corta, ou intersecta o eixo x. Agora, observem com atenção a imagem abaixo:

Para valores de x que se situam entre x₁ e x₂, reparem que o gráfico se encontra abaixo do eixo x. Isso significa que para valores de x entre x₁ e x₂, esta função é negativa!

E o que dizer do gráfico da função quando os valores de x são menores do que x₁ e maiores do que x₂? Vejam na imagem acima, que ele se encontra acima do eixo x. Isso significa que para esses valores de x, a função é positiva!

Pronto pessoal, acabamos de realizar o estudo do sinal para uma função f(x) que apresente essas características. Resta-nos agora, escrevermos direitinho todas as informações que obtemos:

f(x) = 0 ⟹ x = x₁ ou x = x₂

f(x) > 0 ⟹ x < x₁ ou x > x₂

f(x) < 0 ⟹ x₁ < x < x₂

E para o caso em que a concavidade da parábola é voltada para baixo (a < 0), muda alguma coisa? É claro que sim! Deem uma olhada na imagem abaixo:

É claro que nesse caso, a função f(x) continua sendo igual a zero quando x for exatamente igual a x₁, ou quando x for exatamente igual a x₂. Mas ao invertermos a concavidade da parábola, para valores de x que se situam entre x₁ e x₂ a função acaba sendo positiva, pois seu gráfico se encontra acima do eixo x. Por outro lado, para valores de x menores que x₁ e maiores que x₂, a função acaba sendo negativa, já que seu gráfico se encontra abaixo do eixo x. Isso nos permite concluir que:

f(x) = 0 ⟹ x = x₁ ou x = x₂

f(x) > 0 ⟹ x₁ < x < x₂

 f(x) < 0 ⟹ x < x₁ ou x > x₂

Bem fácil, não é mesmo? A ideia é a mesma para os próximos casos também, o que nos permitirá ser mais breves quanto aos seus estudos. Vamos continuar!

 

1.2 Quando Δ = 0 e a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla)

Curiosos esses casos não é mesmo? Novamente vamos começar por aquele onde a concavidade da parábola é voltada para cima (a > 0).

Como temos duas raízes reais e iguais nesse caso, é fato que existe um único valor de x para o qual a função f(x) é igual a zero, x₁, que é o mesmo valor de x₂. Agora, o detalhe mais interessante, é que para qualquer outro valor real de x a função é positiva, porque o seu gráfico está localizado acima do eixo x. Isso significa que não existe nenhum valor de x que torne a função negativa, e que qualquer valor de x diferente do valor das raízes, torna a função positiva.

f(x) = 0 ⟹ x = x₁ = x₂

f(x) > 0 ⟹ x ≠ x₁ ou x ≠ x₂

É claro que uma mudança na concavidade gera diferenças no estudo do sinal da função. Novamente, como temos duas raízes reais e iguais, existe um único valor de x para o qual a função f(x) é igual a zero, x₁, que é o mesmo valor de x₂. Só que nesse caso, para qualquer outro valor real de x a função é negativa, porque o seu gráfico está localizado abaixo do eixo x. Isso significa que não existe nenhum valor de x que torne a função positiva, e que qualquer valor de x diferente do valor das raízes, torna a função negativa.

 f(x) = 0 ⟹ x = x₁ = x₂

f(x) < 0 ⟹ x ≠ x₁ ou x ≠ x₂

 

1.3 Quando Δ < 0 e a função possui duas raízes complexas

Esse é o caso mais simples de estudo do sinal de uma função quadrática. Isso acontece porque as raízes não pertencem ao conjunto dos números reais, e portanto, não precisamos nem mesmo encontrar os seus valores numéricos. Basta fazermos um esboço da representação gráfica da função, tudo de acordo com a concavidade da sua parábola.

Observem na figura acima, que o fato de não existirem raízes reais para a função, faz com que seu gráfico nem mesmo encoste no eixo x. Isso nos mostra que não existem valores reais de x para os quais a função f(x) seja igual a zero, e nem mesmo valores de x que tornem a função negativa, já que toda a parábola está localizada acima do eixo x. Assim, para qualquer valor real de x, uma função como essa será sempre positiva!

f(x) > 0 ⟹ x ∈ ℝ

Quando a concavidade da parábola é invertida, é claro que as coisas mudam de figura. Na imagem abaixo, é possível ver que o gráfico sequer encosta no eixo x. Isso nos mostra que não existem valores reais de x para os quais a função f(x) seja igual a zero, e nem mesmo valores de x que tornem a função positiva, já que toda a parábola está localizada abaixo do eixo x. Assim, para qualquer valor real de x, uma função como essa será sempre negativa!

f(x) < 0 ⟹ x ∈ ℝ

Vocês viram como estudamos o sinal de cada um dos 3 casos existentes no texto Estudo do sinal de uma função quadrática, não é mesmo? Então chega de conversa! Vamos aplicar esses 4 passos em alguns exercícios. Vem comigo aqui!

 

Estudar o sinal das seguintes funções:

a. f(x) = x² – 3x – 4

a = 1

b = – 3

c = – 4

Vejam, o valor numérico de a é positivo! Isso nos permite concluir que a concavidade da parábola de f(x) será voltada para cima!

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 3)² – 4 ∙ 1 ∙ (– 4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25 → Δ > 0

Ora, e não é que teremos duas raízes reais e distintas (Δ > 0)! Assim, só nos resta encontrar seus valores numéricos, e para isso, faremos uso do método da soma e produto.

Quando os valores –1 e 4 são somados, eles resultam no valor 3. Ao mesmo tempo, quando ambos os valores são multiplicados, eles resultam em –4.  Pronto! Nada mais é preciso para afirmar que as raízes de f(x) são x₁ = –1, e x₂ = 4. Agora já temos informações suficientes para esboçar o gráfico de f(x) e estudar o seu sinal.

Observem que para valores de x menores do que –1, e maiores do que 4, a função f(x) é positiva. Já para valores de x que se situam entre –1 e 4, a função f(x) é negativa. E por fim, mas não menos importante, a função f(x) é igual a zero quando x é exatamente igual a –1, ou exatamente igual a 4.

f(x) = 0 ⟹ x = – 1  ou x = 4

f(x) > 0 ⟹ x < – 1 ou x > 4

f(x) < 0 ⟹ – 1  < x < 4

Entendido, pessoal? Não tem mistério, não é mesmo? Então vamos aos próximos exercícios, que resolveremos de uma forma um pouquinho mais breve.

 

b. f(x) = – 3x² + 2x + 1

a = – 3

b = 2

c = 1

Nesse caso, o valor numérico de a é negativo, o que significa que a concavidade da parábola de f(x) será voltada para baixo!

Δ = b² – 4ac

Δ = 2² – 4 ∙ (– 3) ∙ 1  

Δ = 4 + 12

Δ = 16 → Δ > 0

Novamente teremos duas raízes reais e distintas (Δ > 0), mas dessa vez nós vamos obter os seus valores numéricos através da fórmula de Bhaskara. Acompanhem com atenção!

De posse das raízes de f(x), que são x₁ = –1/3  e x₂ = 1, já temos condições de esboçar o gráfico da função e estudar o seu sinal.

Observem que para valores de x menores do que –1/3, e maiores do que 1, a função f(x) é negativa. Já para valores de x que se situam entre –1/3 e 1, a função f(x) é positiva. E por fim, a função f(x) só pode ser igual a zero quando x for exatamente igual a –1/3 ou exatamente igual a 1.

f(x) = 0 ⟹ x = – 1/3  ou x = 1

f(x) < 0 ⟹ x < – 1/3 ou x > 1

f(x) > 0 ⟹ – 1/3  < x < 1

 

c. f(x) = x² + 4x + 4

a = 1

b = 4

c = 4

Vejam que neste item, o valor numérico de a é positivo, o que significa que a concavidade da parábola de f(x) será voltada para cima!

Δ = b² – 4ac

Δ = 4² – 4 ∙ 1 ∙ 4  

Δ = 16 – 16

Δ = 0

Olhem só, e não é que encontramos um delta de valor zero? É claro que isso não é um problema, pois esse dado nos mostra apenas que a função possui duas raízes reais e iguais. De qualquer forma, nós precisamos obter os valores numéricos dessas raízes, e é isso que faremos agora através da fórmula de Bhaskara. Fiquem atentos!

Vocês já conhecem a forma gráfica de uma função quadrática que possui duas raízes reais e iguais, não é mesmo? Então vamos logo construir esse gráfico para estudarmos o sinal da função f(x).

Reparem que nesse caso, para todo e qualquer valor real de x diferente de –2, a função f(x) é positiva. Já se x for exatamente igual a –2, então a função f(x) será exatamente igual a zero. Mas o mais curioso de tudo, é que o fato de a parábola não possuir parte alguma abaixo do eixo x, nos permite concluir que não existem valores reais de x que possam tornar a função negativa!

f(x) = 0 ⟹ x = –2

f(x) > 0 ⟹ x ≠ –2

 

d. f(x) = x² + 2x + 8

a = 1

b = 2

c = 8

Observem que o valor numérico de a é positivo, o que significa que a concavidade da parábola de f(x) será voltada para cima!

Δ = b² – 4ac

Δ = 2² – 4 ∙ 1 ∙ 8  

Δ = 4 – 32

Δ = –28 → Δ < 0

Ops! O delta é valor menor que zero! Mas podem acreditar que para o estudo do sinal da função quadrática, isso é motivo de comemoração! Quando o delta resulta em um valor negativo, ele indica que a função do 2º grau não possui raízes reais (x₁ e x₂ ∉ ℝ), o que nos permite pular o passo do cálculo das raízes, e partir direto para a o esboço do gráfico.

O esboço acima não deixa dúvidas de que para qualquer valor real de x, essa função f(x) será sempre positiva. Isso porque a parábola está totalmente localizada na parte superior do eixo x, e nem sequer encosta nesse eixo. Assim, não há nenhum valor de x que possa tornar a função negativa, ou mesmo igual a zero.

f(x) > 0 ⟹ x ∈ ℝ

Feito pessoal? Qualquer função do segundo grau existente sempre se enquadrará em algum desses casos que acabaram de ser apresentados, sem exceções. Por isso, ler esse texto com atenção, e revisar todo conteúdo através do vídeo que se encontra logo abaixo, é a receita do sucesso para que não restem mais dúvidas quanto ao estudo do sinal de uma função quadrática!

Ainda é importante ressaltar, que neste texto nós falamos muito das raízes de uma função do 2º grau, mas não falamos especificamente de como é possível encontrar os seus valores numéricos. Pessoal, seja qual for o conteúdo em que as raízes de uma função quadrática estejam envolvidas, é fato que vocês sempre poderão encontra-las através da fórmula de Bhaskara ou do método da soma e produto, como nós já vimos aqui no blog.

E por fim, caso a dúvida de vocês não tenha nada a ver com as funções do segundo grau, mas sim com os sinais de desigualdade (> e <), aqui vai uma última dica importante: o texto Introdução à inequação do 1º grau, que nós também já vimos aqui no blog, fala tudo sobre eles!

Bom, como sempre, uma hora o texto chega ao fim, ainda bem! Por isso, eu fico por aqui! Um forte abraço a todos e até mais!