Equações exponenciais

Equações exponenciais são equações em que a incógnita aparece nos expoentes. Uma das maneiras de resolver equações como essas, é transformando-as em uma igualdade de potências de mesma base.

 

Olá, pessoal! Tudo bem?

Hoje vamos falar sobre mais um assunto da matemática de extrema importância para aqueles que pretendem realizar as provas do ENEM ou de alguns vestibulares. As equações exponenciais são equações cuja incógnita aparece no expoente e cuja base deve ser positiva e diferente de 1. Neste texto, nós vamos aprender a resolver as equações exponenciais pensando no conceito de igualdade entre potências de mesma base. Por isso, já vou adiantando: é essencial que as propriedades da potenciação sejam conhecidas quando desejamos resolver esse tipo de equação.

Certo, pessoal?! Então, sem mais delongas, vamos entender direitinho o método que pode ser utilizado para resolver equações exponenciais. Vem comigo aqui!

 

Como Resolver Equações Exponenciais?

Assim como vimos no início deste texto, é possível resolver boa parte das equações exponenciais transformando-as em uma igualdade de potências de mesma base. Utilizamos essa técnica devido aos motivos apresentados na imagem acima.

Observem a igualdade com atenção. Se estamos afirmando que uma expressão (a^x1) é igual a outra (a^x2), é porque o valor numérico equivalente a cada uma delas deve ser igual, como nove é igual a nove (9 = 9), ou como menos cinco é igual a menos cinco (– 5 = – 5), por exemplo. Portanto, se a base a de ambas as expressões é igual, para que o valor numérico resultante de a^x1 e a^x2 também seja igual, x₁ deve ser igual a x₂. A partir dessa conclusão é possível “descartar” as bases e trabalhar apenas com uma igualdade entre expoentes (x₁ = x₂), simplificando a expressão como um todo. Mas sem uma base igual, jamais poderíamos afirmar que os expoentes das expressões seriam equivalentes.

É claro que a título de exemplo, utilizamos como expoentes das expressões exponenciais apenas x₁ e x₂. Mas não se assustem se durante a resolução de equações exponenciais vocês se depararem com expressões de 1º e 2º grau, expressões com radicais, fracionárias, e tudo que a matemática pode oferecer. Tudo isso tem jeito, pessoal! Agora, o grande problema é quando a base de uma equação exponencial é negativa ou igual a 0 e 1. De acordo com a definição das funções exponenciais, são permitidas apenas bases maiores do que zero e diferentes de 1.

 

Por Que a Base de uma Equação Exponencial Não Pode Ser 0 ou 1?

Quer saber por que a base da função exponencial não pode ser 0 e nem 1? Então clique aqui antes de continuar.

Entendido, pessoal? Antes de resolvermos alguns exemplos a fim de entendermos como obter uma igualdade de potências de mesma base, vamos conhecer algumas propriedades que vão nos ajudar muito nesse processo. Vem comigo!

 

Propriedades da Potenciação

E aí, pessoal, o que acharam deste quadro? Nele vocês encontram as principais propriedades operatórias da potenciação. Vamos utilizar muito a maioria delas para resolver uma série de equações exponenciais nos exemplos seguintes. Sigam comigo!

 

Equações Exponenciais Resolvidas Passo a Passo

 

Exemplo 1

Ao observarmos equações como essa, nosso objetivo sempre será igualar as bases das potências. Reparem que nesta equação, temos uma base de valor 3 e outra de valor 81. Não conseguimos reduzir o 3 a base 81, porque 3 é menor que 81, mas podemos reduzir o 81 a base 3. Na dúvida, realizem a fatoração da base maior, e verifiquem se é possível reescrevê-la em função da base menor.

E não é que deu certo? Agora é hora de voltar a nossa equação exponencial inicial deixando o lado esquerdo como está, e substituindo o 81 por 3⁴. Dessa forma, é possível igualar as bases das duas potências, eliminá-las, e trabalhar apenas com os expoentes. Acompanhem comigo!

Tranquilo, não é, pessoal? Nossa primeira equação exponencial foi resolvida com sucesso! Em forma de conjunto solução podemos dizer que:

S = {3}.

 

Exemplo 2

Vamos iniciar a resolução deste exemplo com mais uma super dica. Ao se deparar com uma equação exponencial, verifiquem se os valores numéricos da equação não são potências de um número comum. Se repararmos, por exemplo, nos números 25 e 125, veremos que ambos são potências de 5. Isso significa que podemos reduzi-los a base 5, já que 25 = 5², e 125 = 5³. Substituindo esses valores na expressão, ficamos com:

Percebam que a partir deste momento torna-se necessário o uso das propriedades da potenciação para dar sequência a resolução. No lado esquerdo da igualdade, nós podemos aplicar a propriedade 3 (P3), afinal temos uma potência de potência. Já no lado direito da igualdade, podemos aplicar a propriedade 6 (P6), e passar o 5³ para o numerador. Olhem só como fica:

Finalmente encontramos uma igualdade de potências de mesma base! Resta-nos então, igualar os expoentes e trabalhar apenas com eles. Fiquem de olho!

Beleza, pessoal? Bom, até agora nós resolvemos algumas equações exponenciais consideradas bastante simples. Nos próximos exemplos, vamos resolver equações que exigem a utilização de mais artifícios matemáticos para serem solucionadas. Vocês não vão perder esses exemplos, não é? Sigam comigo!

 

Exemplo 3

A equação deste exemplo seria semelhante àquelas que acabamos de resolver, não fosse um pequeno detalhe: o número 3 que está multiplicando o termo exponencial a esquerda da igualdade. Sem problemas, afinal, quem está multiplicando pode passar para o outro lado da igualdade dividindo, não é mesmo?

Vejam que a partir desse momento, nós já sabemos como resolver o caso. Se fatorarmos o número 32, como fizemos lá no primeiro exemplo deste texto, acabaremos descobrindo que 32 = 2⁵. Além disso, também podemos dizer que 4 = 2², não é? Assim, substituindo esses dois valores na nossa equação, e aplicando mais uma vez a propriedade da potenciação número 3, chegamos ao tão esperado conjunto solução da equação.

A matemática pode ser mesmo fascinante, não é? Vamos então ao nosso último exemplo, em que apresento a vocês outros artifícios matemáticos muito interessantes. Vem comigo!

 

Exemplo 4

Reparem que nesta equação existe uma soma de termos exponenciais em um dos lados da igualdade. Ambos possuem a mesma base, e expoentes com operações de soma (x + 2) e subtração (x – 1). Utilizando as propriedades 1 e 2 dadas no quadro das propriedades da potenciação, podemos reescrever essas potências da seguinte forma:

Voltando a equação inicial, temos que:

Neste momento, reparem que o termo exponencial 2^x se encontra em duas parcelas da equação. Para resolver esse impasse, vamos coloca-lo em evidência, e depois de algumas operações básicas chegaremos ao conjunto solução desejado.

Exercícios Propostos: Equações Exponenciais no Enem e Vestibulares

Agora que já vimos, passo a passo, como igualar bases para resolver uma equação exponencial, chegou a hora de colocar a mão na massa. Assim, separamos cinco exercícios com dificuldade crescente para vocês praticarem, incluindo um caso resolvido por meio de uma substituição de variável — uma pegada muito comum em provas — e uma questão real do Enem. Tentem resolver cada um antes de conferir o gabarito comentado logo abaixo.

Questão 1

Resolva a equação 2^{x – 3} = 32 e determine o conjunto solução.

Questão 2

Determine o valor de x na equação 5^{2x + 1} = 125.

Questão 3

Resolva a equação 9^x = 27^{x – 1}.

Questão 4 (desafio)

Resolva a equação 4^x – 5 . 2^x + 4 = 0. Dica: chame 2^x de y e observe que 4^x = (2^x)² = y².

Questão 5 (Enem 2014)

Pesquisas indicam que o número de bactérias de uma cultura X duplica a cada quarto de hora. Um estudante iniciou uma observação com uma população inicial de 10⁵ bactérias e a encerrou ao final de uma hora. Supondo que a duplicação a cada quinze minutos se confirmou, qual foi o número de bactérias X ao final dessa uma hora de observação?

Gabarito Comentado

1) x = 8. Como 32 = 2⁵, basta igualar os expoentes: x – 3 = 5.

2) x = 1. Como 125 = 5³, temos 2x + 1 = 3, logo x = 1.

3) x = 3. Escrevendo 9 = 3² e 27 = 3³, a equação se torna 3^2x = 3^{3x – 3}, portanto 2x = 3x – 3.

4) S = {0, 2}. Fazendo y = 2^x, a equação se transforma em y² – 5y + 4 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 4. Logo, 2^x = 1 fornece x = 0, e 2^x = 4 fornece x = 2.

5) 1.600.000 bactérias (ou 2⁴ . 10⁵). Em uma hora, a população dobra 4 vezes, pois uma hora tem quatro períodos de quinze minutos. Portanto, o resultado é 10⁵ . 2⁴.

Perguntas Frequentes sobre Equações Exponenciais

O que é uma equação exponencial?

Uma equação exponencial é toda equação em que a incógnita aparece no expoente de uma potência, como em 2^x = 8. Assim, para resolvê-la, o objetivo é sempre reescrever os dois lados da igualdade como potências de mesma base.

Qual a diferença entre equação exponencial e função exponencial?

A equação exponencial pede um valor específico de x que torna a igualdade verdadeira, enquanto a função exponencial f(x) = a^x descreve o comportamento da expressão para todos os valores possíveis de x. Por isso, vale a pena entender essa relação com mais profundidade no texto Introdução à Função Exponencial.

É sempre possível resolver uma equação exponencial igualando as bases?

Não. O método de igualar as bases, apresentado neste texto, só funciona quando é possível reescrever os dois membros da equação como potências de um mesmo número. Quando isso não é possível – por exemplo, em uma equação como 2^x = 7 –, a solução exige o uso de logaritmos, ferramenta também muito cobrada no Enem e nos vestibulares.

Equações exponenciais caem no Enem?

Sim. O tema aparece com frequência na prova de Matemática do Enem, geralmente aplicado a contextos de crescimento populacional, juros compostos e outros fenômenos que se comportam de forma exponencial, como no exercício 5 da seção anterior. Por isso, dominar o método de igualar as bases é um passo importante na preparação para a prova.

Leia Também

– Inequações Exponenciais – Parte 1

– Gráfico da Função Exponencial – Parte 1

E aí, pessoal, o que acharam deste texto? Espero que todos os conceitos e exemplos vistos por aqui tenham sido bem proveitosos para os estudos de vocês! E quem quiser resolver mais algumas equações exponenciais pode ficar à vontade para ver os vídeos que estou deixando em anexo. Lá vocês encontram alguns exemplos mais complexos, que complementam a preparação para as provas do ENEM e dos vestibulares!

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Para complementar o que foi passado neste artigo, assista aos dois vídeos a seguir com o Professor Ferretto explicando equações exponenciais.

Um abração e bons estudos, pessoal! Até breve!