Logaritmo: o que é, como calcular, propriedades e exercícios

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Sabe aquela equação em que você tenta igualar as bases, não consegue e acaba travando? Pois é exatamente aí que o logaritmo entra em cena. Ele costuma assustar, é verdade, mas, no fundo, é só uma forma organizada de responder a uma pergunta simples: a que expoente devo elevar uma base para chegar a determinado número?

Por exemplo, o logaritmo de 8 na base 2 é 3, porque 2³ = 8. Assim, quando você domina essa ideia, boa parte das questões de logaritmo do Enem e dos vestibulares passa a ser uma questão de traduzir o logaritmo para uma potência e de aplicar as regras certas.

Neste guia completo, portanto, vamos percorrer todo o caminho: o que é logaritmo, como ele se escreve e se lê, quando ele existe, como calcular passo a passo, o que são o logaritmo decimal e o natural, um resumo das propriedades, onde os logaritmos aparecem no dia a dia e na prova, e exercícios resolvidos. Sempre que um ponto merecer aprofundamento, você encontrará o link do texto completo aqui no blog.

Resposta rápida Definição: loga b = x ⇔ ax = b. O logaritmo é o expoente x. Condições de existência: base a > 0 e a ≠ 1; logaritmando b > 0. Como calcular: transforme em potência (ax = b) e iguale as bases. Se não der, use a mudança de base: loga b = log b ÷ log a. Dois logaritmos especiais: log (base 10, decimal) e ln (base e ≈ 2,718, natural). Propriedades: o produto vira soma, o quociente vira subtração e o expoente passa a multiplicar.

O que é logaritmo?

Para entender o logaritmo, vale começar de onde ele nasceu: das equações exponenciais. Lá, tratamos de casos em que podíamos reduzir as potências à mesma base. Lembram como era?

2^x = 8

2^x = 2³

x = 3

Como 8 = 2³, bastou escrever os dois lados como potências de base 2 e comparar os expoentes. Dessa forma, descobrimos que x = 3. Porém, nem sempre as bases podem ser igualadas. O que fazer, então, diante de uma equação como a seguinte?

2^x = 3

Pensem comigo. Se x = 1, então 2¹ = 2, que é menor do que 3. Se x = 2, então 2² = 4, que já passou de 3. Logo, concluímos que x está entre 1 e 2, exatamente como mostra a figura abaixo.

Mas qual é, exatamente, esse valor entre 1 e 2? Para responder, precisamos de um “nome” para o expoente que falta, e esse nome é logaritmo. Ou seja, o logaritmo é a ferramenta que resolve equações exponenciais em que não conseguimos igualar as bases. Mais adiante, vocês vão calcular o valor de x nesta equação e conferir que ele realmente fica entre 1 e 2.

Definição de logaritmo

Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 1. O logaritmo de b na base a é o número x tal que a elevado a x resulta em b. Em símbolos:

loga b = x ⇔ ax = b lê-se: “o logaritmo de b na base a é igual a x”

 

Dessa forma, o logaritmo nada mais é do que o expoente. Por exemplo, log₂ 8 = 3, pois 2³ = 8. Assim, sempre que encontrar um logaritmo, pergunte: “a que expoente devo elevar a base para obter o logaritmando?”.

Nomenclatura: base, logaritmando e logaritmo

Cada letra da expressão log_a b = x tem um nome próprio. Observe a figura e a tabela a seguir.

 

Termo	Símbolo	O que representa	Restrição
Base	a	O número que será elevado (aparece “embaixo”, ao lado de log).	a > 0 e a ≠ 1
Logaritmando	b	O resultado da potência (aparece logo depois de log).	b > 0
Logaritmo	x	O expoente procurado, ou seja, o resultado da operação.	Pode ser qualquer número real

 

Atenção: alguns livros trocam as letras, usando b para a base e a ou m para o logaritmando, por exemplo. Isso não muda nada! O que importa é lembrar que a base é sempre o número que fica embaixo, e o logaritmando é o número que vem logo depois de “log”.

Logaritmação: como transformar logaritmo em potência

Para resolver um logaritmo, utilizamos uma operação chamada logaritmação. Ela consiste em passar da forma logarítmica para a forma exponencial, e vice-versa, de acordo com a equivalência abaixo.

loga b = x ⇔ ax = b

A seta de duas pontas informa que as duas expressões dizem exatamente a mesma coisa. Para fazer a transformação, basta seguir as “setinhas” da figura: a base é elevada ao logaritmo, e o resultado é o logaritmando.

Vamos aplicar a logaritmação ao exemplo do início do texto. Se log₂ 3 = x, então 2^x = 3, que é justamente a equação que não conseguíamos resolver igualando as bases. Portanto, x = log₂ 3 é o “expoente que faltava”.

Condição de existência do logaritmo

Nem todo logaritmo existe. Para que log_a b = x esteja definido, a base e o logaritmando precisam obedecer a três condições ao mesmo tempo:

• base maior que zero: a > 0;
• base diferente de 1: a ≠ 1;
• logaritmando maior que zero: b > 0.

Podemos visualizar isso em duas retas reais (ℝ): uma para os valores possíveis de a e outra para os de b. Reparem que há uma bolinha aberta no zero em ambas e, na reta da base, também no 1.

Repare que o zero não é positivo nem negativo, e por isso fica de fora: a bolinha aberta indica que o 0 não faz parte do intervalo. Se qualquer condição for violada, o logaritmo não é definido. A tabela mostra cinco exemplos clássicos:

Logaritmo	O que está errado	Por quê
log3 (−27)	Logaritmando negativo	Uma base positiva elevada a qualquer expoente real nunca resulta em número negativo.
log5 0	Logaritmando igual a zero	Uma base positiva elevada a qualquer expoente real nunca resulta em zero.
log0 3	Base igual a zero	Nenhuma potência de base 0 resulta em 3.
log−2 16	Base negativa	Bases negativas não permitem potências com expoentes reais quaisquer (por exemplo, (−2)1/2 não é um número real); por isso ficam fora da definição.
log1 7	Base igual a 1	Como 1x vale sempre 1, nunca resulta em 7.

 

E o valor de x, o próprio logaritmo, tem alguma restrição? Nenhuma! Ele pode ser positivo, negativo ou zero: log₂ 8 = 3, log₂ (1/8) = −3 e log₂ 1 = 0.

Quando a base ou o logaritmando trazem uma incógnita, como em log₂ (x − 2), a condição de existência vira uma inequação. Esse passo a passo, com exemplos de 1º e 2º graus, está no texto Condição de Existência dos Logaritmos.

Como calcular um logaritmo (passo a passo)

Calcular um logaritmo é descobrir o expoente que a base precisa ter para gerar o logaritmando. Portanto, o caminho mais seguro é transformar o logaritmo em uma equação exponencial. Basta seguir quatro passos.

Os 4 passos da logaritmação

1. Iguale o logaritmo a x. Exemplo: log₂ 32 = x.
2. Confira a condição de existência. A base 2 é positiva e diferente de 1, e o logaritmando 32 é positivo. Tudo certo!
3. Aplique a logaritmação. log₂ 32 = x ⇔ 2^x = 32.
4. Escreva os dois lados como potências da mesma base e iguale os expoentes: 2^x = 2⁵, logo x = 5.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: log₃ 81. Pela logaritmação, 3^x = 81. Como 81 = 3⁴, temos 3^x = 3⁴ e, portanto, x = 4.

Exemplo 2: log₂ (1/8), com resultado negativo. Temos 2^x = 1/8 = 2⁻³. Logo, x = −3. Assim, o logaritmo pode, sim, ser negativo.

Exemplo 3: log₄ 8, com bases diferentes. Temos 4^x = 8. Como 4 = 2² e 8 = 2³, escrevemos (2²)^x = 2³, ou seja, 2^2x = 2³. Igualando os expoentes, 2x = 3 e, portanto, x = 3/2.

Exemplo 4: log 1000, com base omitida. Quando a base não aparece, ela vale 10. Então 10^x = 1000 = 10³ e, por conseguinte, x = 3.

E quando o logaritmo não é exato?

Voltemos à equação 2^x = 3, do início do texto. Como 3 não é uma potência inteira de 2, o logaritmo log₂ 3 não é um número “redondo”. Nesse caso, usamos a mudança de base, que escreve o logaritmo com uma base que a calculadora conhece (10 ou e):

loga b = (log b) ÷ (log a)

 

Dessa forma, log₂ 3 = log 3 ÷ log 2 ≈ 0,477 ÷ 0,301 ≈ 1,58. Isso confirma o que havíamos previsto: x está entre 1 e 2. Para praticar a mudança de base e ver exemplos mais elaborados, como logaritmos dentro de logaritmos e incógnita na base, acesse Aplicando a Logaritmação e Propriedades Operatórias dos Logaritmos.

Consequências da definição: logaritmos que vale decorar

Algumas consequências diretas da definição economizam muitas contas. Todas vêm de propriedades simples das potências:

Consequência	Fórmula	Exemplo	Por quê
Logaritmo de 1	loga 1 = 0	log9 1 = 0	a0 = 1
Logaritmo da base	loga a = 1	log5 5 = 1	a1 = a
Logaritmo de potência da base	loga am = m	log3 35 = 5	am = am
Base elevada ao logaritmo	aloga b = b	2log2 7 = 7	O logaritmo é o expoente que gera b
Logaritmos iguais, mesma base	loga b = loga c ⇔ b = c	log2 x = log2 9 ⇒ x = 9	Vale para b > 0 e c > 0

 

Para ver cada uma dessas consequências demonstrada, com mais exemplos, leia Consequências da Definição de um Logaritmo.

Logaritmo decimal e logaritmo natural (neperiano)

Duas bases aparecem tanto que ganharam nome e notação própria. Vamos conhecê-las, pois elas facilitam bastante os cálculos.

Logaritmo decimal (base 10)

O logaritmo decimal é aquele cuja base vale 10. Nesse caso, podemos omitir a base: escrever log b significa log₁₀ b.

Exemplos: log 1000 = 3, pois 10³ = 1000; log 10 = 1; e log 0,01 = −2, pois 10⁻² = 0,01.

Logaritmo natural ou neperiano (base e)

O logaritmo natural, também chamado de neperiano, tem como base o número de Euler, e ≈ 2,71828… (um número irracional). Em vez de escrever log_e b, usamos a notação ln b.

Exemplos: ln e = 1, ln 1 = 0 e ln e² = 2. O número e é tão importante porque, usado como base de uma função exponencial, descreve vários fenômenos de crescimento e decaimento, e isso explica o nome “natural”.

O adjetivo “neperiano” homenageia o matemático escocês John Napier (ou Neper), o primeiro a publicar um trabalho sobre logaritmos, em 1614. As tábuas originais dele, porém, eram um pouco diferentes do logaritmo natural que usamos hoje; o nome, portanto, é uma homenagem histórica.

Tipo	Base	Notação	Exemplo	Onde aparece
Decimal	10	log b	log 1000 = 3	pH, escala Richter e decibéis
Natural (neperiano)	e ≈ 2,718	ln b	ln e2 = 2	Crescimento e decaimento contínuos, cálculo

Atenção à notação. No ensino médio brasileiro, “log” sem base significa base 10. Já algumas linguagens de programação e softwares usam “log” para o logaritmo natural. Logo, vale conferir a notação sempre que sair do caderno.

Propriedades dos logaritmos: resumo

As propriedades dos logaritmos não são regras soltas: elas vêm das propriedades da potenciação. Como o logaritmo é um expoente, multiplicar números corresponde a somar expoentes, dividir corresponde a subtrair, e assim por diante. Veja o resumo (com bases e logaritmandos satisfazendo as condições de existência):

Propriedade	Fórmula	Exemplo
Produto	loga (b · c) = loga b + loga c	log 6 = log 2 + log 3
Quociente	loga (b ÷ c) = loga b − loga c	log 5 = log (10 ÷ 2) = log 10 − log 2
Potência	loga bm = m · loga b	log 8 = log 23 = 3 · log 2
Mudança de base	loga b = logc b ÷ logc a	log2 3 = log 3 ÷ log 2

 

Vejamos uma aplicação típica de prova. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule log 12.

log 12 = log (2² · 3)

log 12 = 2 · log 2 + log 3

log 12 = 2 · 0,30 + 0,48 = 1,08

Cuidado com um erro muito comum: o logaritmo de uma soma não é a soma dos logaritmos. Ou seja, log (a + b) ≠ log a + log b. As propriedades valem para produto, quociente e potência.

Cada propriedade tem demonstração e muitos exemplos em Propriedades Operatórias dos Logaritmos. Para treinar o uso delas, leia Aplicando as Propriedades Operatórias dos Logaritmos.

Para que servem os logaritmos?

Os logaritmos transformam números gigantescos (ou minúsculos) em valores fáceis de manejar. Por isso, aparecem em várias áreas que o Enem adora cobrar de forma contextualizada:

• Química (pH): pH = −log [H⁺]. Cada unidade a mais no pH significa uma concentração de H⁺ dez vezes menor.
• Geologia (escala Richter): a magnitude de um terremoto depende do logaritmo da energia liberada. Na fórmula que o Enem costuma usar, M = (2/3) · log (E/E₀), um aumento de 1 ponto na magnitude multiplica a energia por cerca de 32.
• Acústica (decibéis): o nível sonoro é calculado com o logaritmo da razão entre intensidades: dB = 10 · log (I/I₀).
• Matemática financeira: para descobrir em quanto tempo um capital dobra com juros compostos, resolvemos (1 + i)^t = 2, e a solução usa logaritmos: t = log 2 ÷ log (1 + i).
• Biologia e Física (crescimento e decaimento): populações de bactérias e o decaimento radioativo seguem funções exponenciais, e os logaritmos “desfazem” o expoente para encontrar o tempo.

Logo, entender logaritmo não é apenas decorar fórmulas: é ganhar uma ferramenta para ler escalas e resolver equações exponenciais.

Um pouco da história dos logaritmos

Os logaritmos nasceram de uma necessidade prática. No início do século XVII, astrônomos e navegadores faziam multiplicações e divisões enormes à mão, e erravam com frequência. Em 1614, o escocês John Napier publicou o livro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, apresentando uma tabela capaz de transformar multiplicações em somas. Foi ele quem criou o termo “logaritmo”, que vem do grego e pode ser entendido como “número da razão”.

Pouco depois, o inglês Henry Briggs, em colaboração com Napier, desenvolveu os logaritmos de base 10, os logaritmos decimais. As tábuas de logaritmos e a régua de cálculo foram instrumentos essenciais de cientistas e engenheiros até a popularização das calculadoras eletrônicas, no século XX. Hoje as máquinas fazem as contas, mas o conceito continua central na matemática.

Exercícios de logaritmo com resolução

Chegou a hora de praticar! Primeiro, resolveremos juntos quatro exercícios: dois autorais e duas questões reais do Enem. Em seguida, deixamos cinco exercícios propostos, com gabarito comentado logo abaixo.

Exercícios resolvidos

Exercício 1. Calcule: a) log₂ 64; b) log₅ (1/25); c) log 0,001; d) log₉ 27.

Item	Equação exponencial	Resultado
a	2x = 64 = 26	x = 6
b	5x = 1/25 = 5−2	x = −2
c	10x = 0,001 = 10−3	x = −3
d	9x = 27, ou seja, (32)x = 33, logo 2x = 3	x = 3/2

 

Observe que, em b e c, o logaritmo é negativo, porque o logaritmando está entre 0 e 1 e a base é maior que 1.

Exercício 2. Para quais valores reais de x existe log₃ (x − 4)?

Resolução. A base 3 já satisfaz 0 < 3 ≠ 1. O logaritmando precisa ser positivo: x − 4 > 0, logo x > 4. Portanto, S = {x ∈ ℝ | x > 4}.

Exercício 3 (Enem 2019). Resumo do enunciado: a Hydrangea macrophylla tem flores azuis em solo ácido (pH < 7) e cor-de-rosa em solo alcalino (pH > 7). A flor cor-de-rosa mais valorizada numa região é a produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH = −log₁₀ x, em que x é a concentração de íons hidrogênio (H⁺). Para produzir a flor cor-de-rosa de maior valor comercial, o solo deve ser preparado de modo que x assuma:

• (A) qualquer valor acima de 10⁻⁸;
• (B) qualquer valor positivo inferior a 10⁻⁷;
• (C) valores maiores que 7 e menores que 8;
• (D) valores maiores que 70 e menores que 80;
• (E) valores maiores que 10⁻⁸ e menores que 10⁻⁷.

Resolução. Flor cor-de-rosa significa solo alcalino (pH > 7) e maior valor comercial significa pH < 8. Assim, 7 < pH < 8. Como pH = −log x, temos 7 < −log x < 8, ou seja, −8 < log x < −7. Como a base 10 é maior que 1, o logaritmo é crescente; logo, 10⁻⁸ < x < 10⁻⁷. Gabarito: E.

Exercício 4 (Enem 2016). Resumo do enunciado: em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter atingiu o Japão; em 2013, outro, de magnitude 7,0, sacudiu Sichuan, na China. A magnitude é dada por M = (2/3) · log₁₀ (E/E₀), em que E é a energia liberada (em kWh) e E₀ é uma constante real positiva. Sendo E₁ e E₂ as energias liberadas no Japão e na China, qual é a relação entre E₁ e E₂?

• (A) E₁ = E₂ + 2;
• (B) E₁ = 10² · E₂;
• (C) E₁ = 10³ · E₂;
• (D) E₁ = 10^9/7 · E₂;
• (E) E₁ = (9/7) · E₂.

Resolução. Subtraímos as duas magnitudes: 9 − 7 = (2/3) · [log (E₁/E₀) − log (E₂/E₀)]. Pela propriedade do quociente, a diferença entre os dois logaritmos é log (E₁/E₂). Assim, 2 = (2/3) · log (E₁/E₂), o que dá log (E₁/E₂) = 3. Pela definição de logaritmo, E₁/E₂ = 10³ e, portanto, E₁ = 10³ · E₂. Gabarito: C.

Exercícios propostos

1. Calcule o valor de A = log₂ 16 + log₃ (1/9) + log 1000.
2. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule log 18.
3. Determine o valor de x na equação log_x 49 = 2.
4. Resolva a equação 2^x = 5, usando log 2 = 0,30 e log 5 = 0,70. (Dica: aplique o logaritmo decimal nos dois lados.)
5. Calcule o valor de ln e³ + log 0,01.

Gabarito comentado

1. A = 4 + (−2) + 3 = 5.
2. log 18 = log (2 · 3²) = log 2 + 2 · log 3 = 0,30 + 0,96 = 1,26.
3. log_x 49 = 2 ⇔ x² = 49, logo x = 7 ou x = −7. Como a base deve ser positiva, x = 7.
4. Aplicando log nos dois lados, x · log 2 = log 5. Assim, x = 0,70 ÷ 0,30 ≈ 2,33 (valor aproximado; com mais casas decimais, 2,32).
5. ln e³ = 3 e log 0,01 = −2. Portanto, 3 + (−2) = 1.

Quais assuntos mais caem no Enem? Estudar com foco faz diferença. No ENEM’s Anatomy, você acessa uma análise de incidência dos conteúdos cobrados na prova e descobre onde vale a pena concentrar os seus estudos de matemática. Acessar o ENEM’s Anatomy

Erros comuns ao estudar logaritmos

• Trocar base e logaritmando. Em log_a b, a base é o número de baixo. Na mudança de base, o logaritmando do numerador é sempre o logaritmando original.
• Esquecer a condição de existência. Em equações com x, confira ao final se a solução mantém a base positiva e diferente de 1 e o logaritmando positivo, descartando o que não servir (como x = −7 no exercício proposto 3).
• Distribuir o log na soma. log (a + b) não é igual a log a + log b.
• Achar que logaritmo não pode ser negativo. Pode, sim: log₂ (1/8) = −3.
• Confundir log e ln. O log tem base 10 e o ln tem base e; confira sempre a notação do enunciado.

Perguntas frequentes sobre logaritmo

O que é logaritmo, em palavras simples?

É o expoente a que precisamos elevar uma base para obter certo número. Por exemplo, log₂ 8 = 3, porque 2³ = 8. Logo, o logaritmo é uma operação inversa da potenciação.

Para que serve o logaritmo?

Serve para resolver equações exponenciais em que não dá para igualar as bases e para trabalhar com grandezas que variam muito, como o pH, a magnitude de terremotos e os decibéis.

Como calcular um logaritmo?

Iguale o logaritmo a x, confira a condição de existência, transforme em potência (a^x = b) e iguale as bases para comparar os expoentes. Se isso não for possível, use a mudança de base com log ou ln.

Qual é a diferença entre log e ln?

O log, sem base escrita, é o logaritmo decimal, de base 10. O ln é o logaritmo natural, de base e ≈ 2,718.

O logaritmo pode ser negativo?

Sim. O valor do logaritmo (o expoente) pode ser negativo, zero ou positivo. Por exemplo, log₂ (1/8) = −3.

Quanto vale o logaritmo de 1?

Zero, em qualquer base válida, porque a⁰ = 1. Ou seja, log_a 1 = 0.

Por que a base não pode ser 1 nem negativa?

Porque 1^x é sempre 1, o que impediria obter outros números, e bases negativas não geram potências reais para todos os expoentes. Por isso, a base precisa ser positiva e diferente de 1.

Existe logaritmo de zero ou de número negativo?

Não, no conjunto dos números reais. Uma base positiva elevada a qualquer expoente real resulta sempre em número positivo; portanto, o logaritmando precisa ser maior que zero.

Videoaula: revise logaritmos em vídeo

Prefere aprender assistindo? A videoaula abaixo traz uma revisão do que vimos hoje. Ela faz parte do canal Ferretto Matemática no YouTube, e você também pode acompanhar as novidades no Instagram @professorferretto.

Continue estudando logaritmos

Agora que você tem o mapa completo, aprofunde cada etapa:

• Condição de existência dos logaritmos: inequações de 1º e 2º graus na base e no logaritmando.
• Consequências da definição de um logaritmo: as cinco consequências com demonstração.
• Propriedades operatórias dos logaritmos: produto, quociente, potência e mudança de base.
• Aplicando a logaritmação: o passo a passo para resolver logaritmos variados.
• Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos: treino com as propriedades.

E, se quiser revisar os pré-requisitos, vale visitar Função exponencial: definição e condições de existência, Equações exponenciais e Números irracionais e reais (lembre-se de que o número e é irracional).

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Chegamos ao fim do guia! Esperamos que os logaritmos não sejam mais tão temidos e que, a partir de agora, você enxergue neles apenas o expoente que faltava. Um abração, bons estudos e até o próximo texto!