Consequências da Definição de Logaritmo: regras, demonstrações e exercícios

Olá, pessoal! Como vão?

Alguns logaritmos podem ser resolvidos em poucos segundos, sem nenhuma conta, quando conhecemos bem a definição e as condições de existência dessa operação. Esses resultados prontos são as consequências da definição de logaritmo, e por isso vamos estudá-las uma a uma neste texto. Conhecer cada uma delas é de extrema importância, pois o assunto costuma ser muito cobrado, direta ou indiretamente, nas provas do ENEM e dos vestibulares!

Resposta rápida: as consequências da definição de logaritmo são cinco resultados que valem para qualquer base a com 0 < a ≠ 1: log_a 1 = 0; log_a a = 1; a^{logₐ b} = b; log_a x = log_a y ⇔ x = y; e log_a a^m = m.

Por acaso vocês já conhecem a plataforma do Professor Ferretto? Ela dispõe de um módulo exclusivo sobre o estudo dos logaritmos, além de outros 22 módulos que abordam todo o conteúdo de matemática do ensino médio. Assim, quem quer gabaritar a matemática do ENEM ou do vestibular consegue montar um plano de estudos com foco na prova que vai realizar. Conheçam a plataforma e, se preferirem começar sem pagar nada, aproveitem também os Cursos Gratuitos de Matemática do Professor Ferretto.

Resumo: as 5 consequências da definição de logaritmo

Antes de entrar nos detalhes, vejam o quadro-resumo. Em seguida, vamos demonstrar cada consequência e aplicá-la em exercícios.

Nº	Consequência	Em símbolos	Condições	Exemplo
1ª	O logaritmo de 1, em qualquer base, é zero	loga 1 = 0	0 < a ≠ 1	log7 1 = 0
2ª	O logaritmo da base é sempre 1	loga a = 1	0 < a ≠ 1	log9 9 = 1
3ª	A potência de base a e expoente loga b é igual a b	alogₐ b = b	0 < a ≠ 1 e b > 0	5log₅ 8 = 8
4ª	Logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, os logaritmandos são iguais	loga x = loga y ⇔ x = y	0 < a ≠ 1, x > 0 e y > 0	log2 x = log2 3 ⇒ x = 3
5ª	O logaritmo de uma potência da base é o próprio expoente	loga am = m	0 < a ≠ 1 e m real	log3 35 = 5

 

A 5ª consequência, que muitos livros também listam, aparece por último para preservar a numeração clássica das quatro primeiras.

Antes de começar: a definição de logaritmo e suas condições de existência

Bom, se vamos abordar as consequências de uma definição, então precisamos conhecer bem a definição de que estamos tratando, não é? Observem o quadro abaixo com atenção:

log_a b = x ⇔ a^x = b

com 0 < a ≠ 1 e b > 0

Da maneira como o logaritmo é definido nesse quadro, podemos dizer que o termo a é a base, o termo b é o logaritmando e x é o logaritmo, ou seja, o resultado da operação. Ainda é preciso lembrar das restrições: a base a deve ser sempre maior que zero e diferente de 1, enquanto o logaritmando b deve ser necessariamente maior que zero. Assim, por meio do processo de logaritmação, dizemos que a base a elevada ao expoente x resulta em b, o logaritmando.

Antes de continuarmos, vai uma dica importante: se algo dessa revisão não ficou claro, passem pelo texto Logaritmo: o que é, como calcular, propriedades e exercícios, que explica a nomenclatura dos termos e a definição. Se a dificuldade for resolver os logaritmos em si, não deixem de conferir Como calcular logaritmo: passo a passo com exercícios resolvidos. E, para entender por que a base e o logaritmando têm restrições, leiam Condição de existência dos logaritmos.

Certo, pessoal? Agora que já relembramos a definição dos logaritmos, vamos às suas consequências. Vou mostrar cada uma delas, sempre deixando claro de onde saiu cada raciocínio.

1ª consequência: o logaritmo de 1 em qualquer base é zero

log_a 1 = 0

O logaritmo da unidade, em uma certa base a, é sempre igual a zero.

Assim, podemos concluir que, quando o logaritmando de um logaritmo é igual a 1, o resultado é zero, seja qual for a base a, desde que ela respeite as restrições (0 < a ≠ 1). Por exemplo: log₇ 1 = 0, log₁₀ 1 = 0 e log_0,5 1 = 0.

Por que o logaritmo de 1 é zero? A demonstração

Querem saber por quê? Vamos supor que o resultado do logaritmo de 1 na base a seja um certo valor x. Nosso dever agora é resolver esse logaritmo, levando-o à sua forma exponencial e buscando uma igualdade de potências de mesma base, do jeitinho que aprendemos no texto Equações exponenciais. Tudo isso é feito para trabalharmos apenas com os expoentes, igualando-os:

1. Supomos que log_a 1 = x.
2. Pela logaritmação (forma exponencial), isso equivale a a^x = 1.
3. Para igualar as potências, reescrevemos o número 1 como uma potência de base a. Como qualquer número diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1, temos a^x = a⁰.
4. As bases são iguais, portanto igualamos os expoentes: x = 0.

Logo, log_a 1 = 0. Tranquilo, não é? Vamos à próxima consequência da definição!

2ª consequência: o logaritmo da base é sempre igual a 1

log_a a = 1

Se, em um logaritmo, o valor do logaritmando for exatamente igual ao valor da base, então o seu resultado será sempre um.

Dessa forma, sempre que observarmos um logaritmo cuja base e cujo logaritmando têm o mesmo valor (e esse valor respeita 0 < a ≠ 1), não é necessário se preocupar com a resolução: o resultado é, com toda a certeza, a unidade, 1. Por exemplo: log₅ 5 = 1, log₁₂ 12 = 1 e log_0,2 0,2 = 1.

Por que o logaritmo da base é 1? A demonstração

Para entender como isso é possível, vamos supor novamente que o resultado do logaritmo de a na base a seja x e resolver a operação:

1. Supomos que log_a a = x.
2. Na forma exponencial, temos a^x = a.
3. Chegamos a uma igualdade de potências de mesma base, restando igualar os expoentes. Mas onde está o expoente da base a do lado direito? É só lembrar que, quando um expoente não aparece, ele vale 1. Então, a^x = a¹.
4. Igualando os expoentes, concluímos que x = 1.

Portanto, log_a a = 1.

3ª consequência: a elevado ao logaritmo de b na base a resulta em b

a^{logₐ b} = b

com 0 < a ≠ 1 e b > 0

Se o expoente de uma potência for um logaritmo, e o valor da base desse logaritmo for igual ao da base da potência, então o resultado será o próprio logaritmando.

De onde vem a 3ª consequência? A demonstração

Ficou difícil imaginar que dedução poderia levar a essa conclusão, não é? A verdade é que tudo parte de uma igualdade de logaritmos e da definição. Vou mostrar como isso é possível:

1. Comecem com uma igualdade que é sempre verdadeira, pois todo número é igual a ele mesmo: log_a b = log_a b.
2. Chamem de x o logaritmo do primeiro membro. Assim, log_a b = x, que, pela logaritmação, equivale a a^x = b.
3. Como x = log_a b, basta substituir x na igualdade a^x = b. Resulta, portanto, que a^{logₐ b} = b.

Quanto à dedução, podemos dizer que é bem simples, certo? Mas como memorizar todos esses detalhes na hora de aplicar essa consequência? Simples também!

Dica ninja do Ferretto: como memorizar a 3ª consequência

Se liguem nesta dica, que vou mostrar com alguns exemplos:

2^{log₂ 3} = ? 5^{log₅ 8} = ?

Reparem que, em ambas as potências, a base da potência é igual à base do logaritmo. Nesse caso, podemos cortar ou cancelar a base da potência junto com o logaritmo e sua base, e nos restará apenas o logaritmando. Vejam só:

2^{log₂ 3} = 3 5^{log₅ 8} = 8

É claro, pessoal, que, matematicamente, esse cancelamento não faz sentido algum. Trata-se apenas de uma técnica que utilizamos para lembrar que, em casos como esses, o resultado é o próprio logaritmando.

4ª consequência: igualdade de logaritmos de mesma base

log_a x = log_a y ⇔ x = y

com 0 < a ≠ 1, x > 0 e y > 0

Quando houver uma igualdade de logaritmos de mesma base, é possível trabalhar apenas com os logaritmandos, igualando-os.

Atenção às condições: os logaritmandos precisam ser positivos e a base deve respeitar 0 < a ≠ 1. A explicação é simples: se os dois logaritmos existem e são iguais a um mesmo valor t, então x = a^t e y = a^t, logo x = y.

Exemplo resolvido: calcule x em log₂ (x − 3) = log₂ 3

Para que essa quarta consequência fique um pouco mais clara, vamos resolver um exercício: calcule o valor de x tal que log₂ (x − 3) = log₂ 3. Pessoal, reparem que esse é justamente um caso de igualdade de logaritmos de mesma base. Então:

1. Condição de existência: o logaritmando precisa ser positivo, logo x − 3 > 0, ou seja, x > 3.
2. Pela 4ª consequência, igualamos os logaritmandos: x − 3 = 3.
3. Resolvendo, x = 3 + 3, portanto x = 6.
4. Verificação: como 6 > 3, o valor encontrado atende à condição de existência. Resposta: x = 6.

5ª consequência: o logaritmo de uma potência da base é o próprio expoente

log_a a^m = m

com 0 < a ≠ 1 e m real

Muitos livros e sites listam ainda uma quinta consequência, que usaremos no verdadeiro ou falso mais adiante: o logaritmo de uma potência da base é o próprio expoente. Por exemplo: log₂ 2⁷ = 7 e log₃ 3⁵ = 5.

Ela é, de certa forma, o caminho de volta da 3ª consequência. Enquanto a 3ª mostra que elevar a a um logaritmo de base a “desfaz” o logaritmo, a 5ª mostra que aplicar o logaritmo de base a a uma potência de base a “desfaz” a potência.

Por que log de a elevado a m na base a é igual a m? A demonstração

1. Supomos que log_a a^m = x.
2. Na forma exponencial, temos a^x = a^m.
3. As bases são iguais, então igualamos os expoentes: x = m.

Logo, log_a a^m = m. Na prática, muitas vezes precisamos reescrever o logaritmando como uma potência da base antes de aplicar a consequência. Veja: log₅ 25 = log₅ 5² = 2.

Atenção: a base do logaritmo e a base da potência precisam ser iguais. Por exemplo, log₅ 3⁵ não vale 3 (veremos o porquê no verdadeiro ou falso).

Consequências da definição × propriedades operatórias: qual é a diferença?

É comum confundir as consequências da definição com as propriedades operatórias, já que ambas aparecem no estudo dos logaritmos. Por conseguinte, vale esclarecer o papel de cada uma:

Aspecto	Consequências da definição	Propriedades operatórias
De onde vêm	Saem direto da definição, loga b = x ⇔ ax = b	São demonstradas a partir da definição e das propriedades da potenciação
O que fazem	Dão o resultado pronto de certos logaritmos e potências	Permitem transformar e combinar logaritmos de mesma base
Exemplos	loga 1 = 0 e alogₐ b = b	loga (b · c) = loga b + loga c e loga bn = n · loga b
Quando usar	Quando o logaritmo ou a potência “se resolve sozinho”	Quando há produtos, quocientes, potências ou bases diferentes

 

Dessa forma, as consequências costumam ser o primeiro passo, e as propriedades vêm logo em seguida. Para aprofundar, leiam Propriedades operatórias dos logaritmos: produto, quociente, potência e mudança de base e treinem em Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos.

Exercícios resolvidos sobre as consequências da definição de logaritmo

Bom, chegou o momento de aplicar tudo o que vimos até agora por meio de alguns exercícios. Vem comigo aqui!

Exercício 1: calcule o valor de 16^{log₂ 5}

O primeiro detalhe que precisamos reparar é que existe um logaritmo no expoente de uma potência. Sendo assim, em qual consequência da definição essa questão se encaixa? Na terceira, é claro! Para resolver o caso, devemos fazer com que a base da potência seja igual à base do logaritmo. Ora, 16 = 2⁴. Então podemos substituir esse valor no cálculo:

1. 16^{log₂ 5}
2. (2⁴)^{log₂ 5}, pois 16 = 2⁴.
3. 2^{4 · log₂ 5}, pela potência de potência: (a^m)ⁿ = a^{m · n}.
4. 2^{log₂ 5⁴}, pois n · log_a b = log_a bⁿ.
5. 5⁴, pela 3ª consequência: a base da potência e a base do logaritmo são iguais, restando o logaritmando.
6. 625

Vejam como o cálculo ficou extremamente simples quando fizemos uso de uma das consequências da definição, além de algumas propriedades da potenciação e dos logaritmos. Se tivermos conhecimento sobre esses três fatores, nenhuma questão poderá nos deter! Vamos confirmar isso resolvendo mais um exercício.

Exercício 2: calcule o valor de 5^{1 + log₅ 3}

Novamente encontramos uma potência com um logaritmo no expoente. É claro que a única consequência que se encaixa ao caso é a 3ª, mas, dessa vez, também há uma soma no expoente. Para resolver esse impasse, usamos antes mais uma propriedade da potenciação: a^m · aⁿ = a^{m + n}. Olhem só:

1. 5^{1 + log₅ 3}
2. 5¹ · 5^{log₅ 3}
3. 5 · 3, pois, pela 3ª consequência, 5^{log₅ 3} = 3.
4. 15

Exercício 3: verdadeiro ou falso?

Agora, para finalizarmos com chave de ouro, vamos avaliar algumas sentenças e verificar se elas são verdadeiras ou falsas.

Sentença	Verdadeira ou falsa?	Justificativa
log4 1 = 1	Falsa	O logaritmando é 1. Portanto, o resultado só pode ser zero (1ª consequência).
log1 4 = 4	Falsa	A base de um logaritmo jamais pode ser 1 (0 < a ≠ 1).
log4 4 = 1	Verdadeira	Temos um caso perfeito da 2ª consequência da definição.
log4 1 = 0	Verdadeira	Temos um caso perfeito da 1ª consequência da definição.
log5 35 = 3	Falsa	Na forma exponencial, teríamos 53 = 35, mas 53 = 125 e 35 = 243.
log3 35 = 5	Verdadeira	Na forma exponencial, 35 = 35 (5ª consequência).
2log₂ 5 = 5	Verdadeira	Caso da 3ª consequência: a base da potência é igual à base do logaritmo.
2log₅ 2 = 5	Falsa	A base da potência deve ser igual à base do logaritmo, e não ao logaritmando.

Exercícios propostos com gabarito comentado

Agora é a vez de vocês! Tentem resolver antes de olhar o gabarito.

1. Calcule: a) log₉ 1; b) log_0,5 0,5; c) log₆ 6⁻²; d) 8^{log₈ 11}.
2. Calcule o valor de 3^{2 + log₃ 5}.
3. Determine x tal que log₅ (2x + 1) = log₅ 11.
4. Resolva a equação log₂ (x² − 4) = log₂ (3x), conferindo a condição de existência.
5. Calcule 10^{1 + log 2}. (Lembrem-se: quando a base é omitida, o logaritmo é decimal, ou seja, tem base 10.)

Gabarito comentado

1. a) 0, pela 1ª consequência. b) 1, pela 2ª consequência. c) −2, pela 5ª consequência. d) 11, pela 3ª consequência.
2. 3^{2 + log₃ 5} = 3² · 3^{log₃ 5} = 9 · 5 = 45.
3. Condição de existência: 2x + 1 > 0. Pela 4ª consequência, 2x + 1 = 11, logo x = 5. Como 2 · 5 + 1 = 11 > 0, a solução é válida. Resposta: x = 5.
4. Condição de existência: x² − 4 > 0 e 3x > 0. Igualando os logaritmandos, x² − 4 = 3x, ou seja, x² − 3x − 4 = 0, cujas raízes são x = 4 e x = −1. Para x = −1, temos 3x = −3 < 0, então ele não serve. Para x = 4, temos 4² − 4 = 12 > 0 e 3 · 4 = 12 > 0. Resposta: x = 4.
5. 10^{1 + log 2} = 10¹ · 10^{log 2} = 10 · 2 = 20.

Quer continuar estudando matemática de graça? Cadastre-se nos Cursos Gratuitos do Professor Ferretto, que reúnem Matemática, Física e Química básica, e siga firme na sua preparação para o ENEM e os vestibulares.

Erros comuns ao usar as consequências da definição de logaritmo

Por fim, vale reforçar alguns cuidados, pois são justamente essas pegadinhas que aparecem nas provas:

• Cortar bases diferentes. O “cancelamento” só vale quando a base da potência é igual à base do logaritmo. Por isso, 2^{log₅ 2} não é igual a 5.
• Trocar a 1ª pela 2ª consequência. Logaritmando 1 resulta em zero (log_a 1 = 0); logaritmando igual à base resulta em um (log_a a = 1).
• Ignorar as condições de existência. Bases iguais a 1, a zero ou negativas, e logaritmandos menores ou iguais a zero, tornam o logaritmo indefinido.
• Tirar o expoente sem cuidado. log₅ 3⁵ não vale 3: o expoente multiplica o logaritmo, ou seja, log₅ 3⁵ = 5 · log₅ 3.
• Esquecer de conferir as soluções. Ao igualar logaritmandos (4ª consequência), podem surgir valores que tornam algum logaritmo indefinido, como x = −1 no exercício proposto 4.

Videoaula: consequências da definição de logaritmo

Em anexo, é claro, temos o vídeo desse conteúdo. Deem uma olhadinha nele: lá vocês acompanham outros exemplos e uma abordagem que complementa este texto. Para mais videoaulas de matemática, acompanhem o canal do Professor Ferretto no YouTube e o Instagram @professorferretto.

Perguntas frequentes sobre as consequências da definição de logaritmo

Quais são as consequências da definição de logaritmo?

São cinco resultados que decorrem diretamente da definição, todos válidos para 0 < a ≠ 1: log_a 1 = 0, log_a a = 1, a^{logₐ b} = b (com b > 0), log_a x = log_a y ⇔ x = y (com x > 0 e y > 0) e log_a a^m = m.

Por que o logaritmo de 1 é zero em qualquer base?

Porque, pela definição, log_a 1 = x equivale a a^x = 1. Como a⁰ = 1 e o único expoente que leva uma base positiva e diferente de 1 ao resultado 1 é o zero, concluímos que x = 0.

Quanto vale o logaritmo da base, ou seja, log de a na base a?

Vale sempre 1. Pela definição, log_a a = x equivale a a^x = a, e isso só acontece quando x = 1.

Como funciona a consequência a elevado a log de b na base a? Posso “cortar” a base e o logaritmo?

Funciona porque log_a b é, por definição, o expoente que se deve dar à base a para obter b. Logo, elevar a a esse expoente devolve b. O “corte” é apenas um macete visual e só vale quando a base da potência é igual à base do logaritmo.

Qual é a diferença entre consequências da definição e propriedades operatórias dos logaritmos?

As consequências saem direto da definição e dão o resultado pronto de certos logaritmos e potências. Já as propriedades operatórias (produto, quociente, potência e mudança de base) permitem transformar e combinar logaritmos de mesma base. Assim, as consequências costumam ser o primeiro passo, e as propriedades vêm logo depois.

Preciso verificar a condição de existência ao igualar logaritmos de mesma base?

Sim. Ao igualar os logaritmandos, a equação pode gerar valores que tornam algum logaritmo indefinido, ou seja, que deixam o logaritmando menor ou igual a zero. Esses valores devem ser descartados, como acontece com x = −1 no exercício proposto 4.

Continue estudando logaritmos

Dessa forma, o caminho natural de estudo segue por estes textos do blog:

• Logaritmo: o que é, como calcular, propriedades e exercícios: visão geral do tema.
• Como calcular logaritmo: passo a passo com exercícios resolvidos: aplicação da logaritmação.
• Condição de existência dos logaritmos: entenda com exemplos: por que 0 < a ≠ 1 e b > 0.
• Propriedades operatórias dos logaritmos: produto, quociente, potência e mudança de base: o próximo passo.
• Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos: mais exercícios resolvidos.
• Equações exponenciais: a base de toda a demonstração das consequências.

Gostou deste conteúdo? Então aproveite para turbinar seus estudos com os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto, que reúnem Matemática, Física e Química básica de graça!

Deseja ter uma preparação completa em matemática e ciências da natureza? Então conheça os planos e cursos da Plataforma do Professor Ferretto e vem com a gente garantir a sua vaga no ensino superior!

Quer saber quais assuntos mais caem no Enem? Baixe gratuitamente o ENEM’s Anatomy, a análise de incidência dos assuntos mais cobrados nas provas do Enem.

Um abração! Tenham ótimos estudos em matemática, e até logo!