Como calcular Logaritmo: passo a passo com exercícios resolvidos

 

Resposta rápida: para calcular um logaritmo, siga quatro passos. (1) Iguale o logaritmo a x. (2) Confira as condições de existência (base 0 < a ≠ 1 e logaritmando b > 0). (3) Transforme em potência: loga b = x ⇔ ax = b. (4) Escreva os dois lados como potências da mesma base e iguale os expoentes. Exemplo: log2 128 = x ⇒ 2x = 128 ⇒ 2x = 27 ⇒ x = 7.

 

Olá, pessoal! Se os logaritmos já fizeram você travar na hora da prova, saiba que não está sozinho. Dessa forma, o objetivo deste texto é bem prático: vamos resolver, passo a passo, seis logaritmos de dificuldade crescente, para que vocês saiam daqui com um método que funciona sempre. Isso é importante porque o logaritmo aparece com frequência nas provas do Enem e dos vestibulares; logo, quem domina o cálculo ganha tempo e segurança.

Este texto é o guia de cálculo da nossa série sobre logaritmos. Se você ainda precisa rever o conceito (definição, nomenclatura, logaritmo decimal e neperiano), comece por Logaritmo: o que é, como calcular, propriedades e exercícios. Se você já sabe o que é um logaritmo e quer treinar, então fique por aqui: a partir de agora, a prática é a nossa protagonista. Vem comigo!

O que significa calcular um logaritmo?

Calcular um logaritmo, operação que também chamamos de logaritmação, é responder a uma pergunta simples: a que expoente devo elevar a base para obter o logaritmando? Assim, ao ver log₂ 128, a pergunta é: “2 elevado a quê dá 128?”. Em outros materiais, você vai encontrar essa mesma tarefa descrita como resolver, determinar ou achar o valor de um logaritmo. Todos esses nomes significam a mesma coisa.

A figura resume a ideia central. Em log_a b = x, a base a elevada ao logaritmo x gera o logaritmando b. Portanto, as duas escritas abaixo dizem exatamente a mesma coisa, e podemos passar de uma para a outra quando quisermos:

loga b = x ⇔ ax = b

Por isso, resolver um logaritmo é, no fundo, resolver uma equação exponencial. Dessa forma, tudo o que aprendemos em Equações Exponenciais volta a ser útil aqui: o grande objetivo é chegar a uma igualdade de potências de mesma base.

O que a base, o logaritmando e o logaritmo podem ser?

Antes de qualquer conta, vale conferir as condições de existência do logaritmo:

• Base (a): positiva e diferente de 1, ou seja, 0 < a ≠ 1.
• Logaritmando (b): positivo, ou seja, b > 0.
• Logaritmo (x): sem restrição. Ele pode ser zero, negativo ou positivo, enfim, qualquer número real.

Por conseguinte, expressões como log₃(−27), log₅ 0 e log₁ 7 não existem. Para entender o motivo de cada restrição, vale conferir Condição de existência dos Logaritmos e a Logaritmo: o que é, como calcular, propriedades e exercícios.

Como calcular logaritmo passo a passo

Todo cálculo deste texto segue o mesmo roteiro, resumido no infográfico abaixo. Guarde bem essa sequência, pois ela vale para qualquer exercício do tipo “determine o valor do logaritmo”.

1. Iguale a x. Escreva log_a b = x. Assim, o resultado ganha um nome.
2. Confira as condições. A base deve respeitar 0 < a ≠ 1 e o logaritmando deve ser positivo.
3. Aplique as setinhas. Transforme em a^x = b, isto é, a base elevada ao logaritmo gera o logaritmando.
4. Iguale as bases e compare os expoentes. Fatore o logaritmando, escreva-o como potência da base e, como as bases ficam iguais, trabalhe apenas com os expoentes.

Parece muita coisa? Calma! Na prática, os passos 1 a 3 levam poucos segundos. O passo 4 é o que exige mais atenção, porque depende das propriedades da potenciação. Por isso, deixamos a tabela abaixo à mão: vamos consultá-la nos exemplos.

Propriedades da potenciação (para o passo 4)

P1	am · an = am+n	P5	(a/b)n = an / bn
P2	am / an = am−n	P6	a−n = 1 / an (a ≠ 0)
P3	(am)n = am·n	P7	(a/b)−n = (b/a)n
P4	(a · b)n = an · bn	P8	am/n = n√(am)

Exercícios resolvidos: calculando logaritmos na prática

Exemplo 1: logaritmo de 128 na base 2

Determine o valor de log₂ 128.

Passo 1: igualar a x. Primeiro, damos um nome ao resultado: log₂ 128 = x.

Passo 2: conferir as condições. A base é 2, positiva e diferente de 1. O logaritmando, 128, também é positivo. Portanto, não há impedimento algum para o cálculo. E o x? Como vimos, ele não tem restrição.

Passo 3: aplicar as setinhas. A base 2 é elevada ao logaritmo x e o resultado é 128. Logo, 2^x = 128.

 

Passo 4: igualar as bases. Para comparar os expoentes, precisamos escrever 128 como potência de base 2. Fatorando, ou seja, dividindo 128 por 2 repetidamente até chegar a 1, descobrimos que 128 = 2⁷. Então:

2^x = 2⁷ ⇒ x = 7

Resposta: log2 128 = 7.

Confira: 2⁷ = 128, logo o resultado está correto.

Exemplo 2: logaritmo de 5√5 na base 1/25

Determine o valor de log_1/25 5√5.

Os passos 1 a 3 seguem a mesma lógica. A base 1/25 é positiva e diferente de 1, e o logaritmando 5√5 é positivo; portanto, podemos prosseguir. Igualando a x e aplicando as setinhas, obtemos (1/25)^x = 5√5.

Agora vem o passo 4, em que a tabela de propriedades faz toda a diferença. Reparem em dois detalhes:

• No lado esquerdo, o denominador 25 é uma potência de 5, pois 5² = 25. Assim, 1/25 = 1/5².
• No lado direito, a raiz quadrada de 5 pode virar uma potência de expoente fracionário (propriedade P8): √5 = 5^1/2. Logo, 5√5 = 5¹ · 5^1/2.

Substituindo, ficamos com (1/5²)^x = 5¹ · 5^1/2. Pela P6, 1/5² = 5⁻². Pela P1, 5¹ · 5^1/2 = 5^1+1/2 = 5^3/2. Então:

(5⁻²)^x = 5^3/2

O último ajuste é aplicar a P3 (potência de potência) ao lado esquerdo, multiplicando os expoentes. Dessa forma, chegamos a bases iguais e podemos comparar os expoentes:

5^−2x = 5^3/2 ⇒ −2x = 3/2 ⇒ x = (3/2) ÷ (−2) = −3/4

Resposta: log1/25 5√5 = −3/4.

Confira: (1/25)^−3/4 = 25^3/4 = (5²)^3/4 = 5^3/2 = 5√5. Está correto. E não estranhe o resultado negativo e fracionário: o logaritmo pode ser qualquer número real.

Exemplo 3: logaritmos decimais (base 10 omitida)

Calcule o valor de A = log 0,0001 + log 1000.

Quando a base não aparece, o logaritmo é decimal, ou seja, sua base vale 10 (assunto que vimos na Introdução aos Logaritmos). Em expressões com mais de um logaritmo, resolvemos cada um separadamente e só depois voltamos à expressão original. Assim, chamamos o primeiro resultado de x e o segundo de y, e aplicamos as setinhas nos dois:

Alt-text (copiar no Yoast): Logaritmos decimais log 0,0001 igual a x e log 1000 igual a y convertidos em 10 elevado a x e 10 elevado a y | Arquivo: logs-decimais-setinhas.png (original: logaritmos-14.png)

Agora observamos que os lados direitos são potências de base 10. Andando 4 casas decimais para a direita, 0,0001 = 10⁻⁴; e, como 1000 tem três zeros, 1000 = 10³. Portanto:

10^x = 10⁻⁴ ⇒ x = −4 10^y = 10³ ⇒ y = 3

Voltando à expressão inicial: A = x + y = −4 + 3 = −1.

Resposta: A = −1.

Exemplo 4: logaritmo dentro de outro logaritmo

Calcule o valor de A = log₂(log₃ 81).

Em casos como este, a regra é começar sempre pelo logaritmo que está dentro dos parênteses. Então, chamando-o de x, temos log₃ 81 = x, que vira 3^x = 81. Fatorando, 81 = 3⁴; logo, 3^x = 3⁴ e x = 4.

Já temos o valor interno, e podemos voltar à expressão: A = log₂(4). Igualando e aplicando as setinhas, 2^A = 4. Como 4 = 2², concluímos que A = 2.

Resposta: A = 2.

Confira: log₃ 81 = 4, pois 3⁴ = 81; e log₂ 4 = 2, pois 2² = 4.

Exemplo 5: quando a incógnita está na base

Determine o valor de x em log_x 25 = 2.

Que coisa interessante, pessoal: dessa vez a incógnita está na base! Não se assustem, pois a resolução é parecida. A única diferença é um cuidado extra: depois de obter o resultado, precisamos conferir se ele respeita as condições de existência. Aplicando as setinhas, temos:

x² = 25 ⇒ x = ±√25 ⇒ x = ±5

Temos, portanto, dois resultados possíveis: x₁ = +5 e x₂ = −5. Contudo, a base precisa satisfazer 0 < x ≠ 1. Logo, devemos descartar x₂, porque ele é negativo, e a nossa resposta é unicamente x = 5.

Resposta: x = 5.

Confira: log₅ 25 = 2, pois 5² = 25.

Exemplo 6: quando a incógnita está no logaritmando

Determine o valor de x em log₃ x = −2.

Novamente, resolvemos normalmente e só depois avaliamos se a solução é possível. Aplicando as setinhas, 3⁻² = x. Pela propriedade P6, 3⁻² = 1/3². Portanto, x = 1/9.

Como a incógnita estava no logaritmando, ela precisa ser positiva (x > 0). Pergunta: 1/9 é maior que zero? É! Dessa forma, a solução é válida.

Resposta: x = 1/9.

Repare que o logaritmando está entre 0 e 1 e a base é maior que 1; por isso, o logaritmo deu negativo. Isso sempre acontece nessa situação.

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Onde está a incógnita? Um resumo para não errar

Depois dos exemplos, fica fácil perceber um padrão. O que muda de um exercício para outro é o lugar onde o x aparece e, por consequência, o que precisamos conferir no final. A tabela abaixo reúne tudo:

Onde está o x?	Exemplo	O que fazer	O que conferir no final
No logaritmo (resultado)	log2 128 = x	Aplicar as setinhas e igualar as bases das potências.	Nada a restringir em x; basta ter conferido a base e o logaritmando no início.
Na base	logx 25 = 2	Montar x2 = 25 e resolver a equação.	0 < x ≠ 1. Descartar raízes negativas ou iguais a 1.
No logaritmando	log3 x = −2	Calcular a potência 3−2.	x > 0.

Tabela de logaritmos para ter na ponta da língua

Reconhecer rapidamente as potências de 2, 3, 5 e 10 acelera o passo 4. Por isso, vale a pena decorar a tabela abaixo. Com o tempo, você passa a “enxergar” o resultado sem nem precisar fatorar.

Base	Logaritmos que valem a pena decorar
2	log2 2 = 1 · log2 4 = 2 · log2 8 = 3 · log2 16 = 4 · log2 32 = 5 · log2 64 = 6 · log2 128 = 7 · log2 256 = 8
3	log3 3 = 1 · log3 9 = 2 · log3 27 = 3 · log3 81 = 4 · log3 243 = 5
5	log5 5 = 1 · log5 25 = 2 · log5 125 = 3 · log5 625 = 4
10 (decimal)	log 10 = 1 · log 100 = 2 · log 1000 = 3 · log 0,1 = −1 · log 0,01 = −2 · log 0,001 = −3 · log 0,0001 = −4

 

Duas dicas finais para a tabela: em qualquer base válida, log_a 1 = 0 e log_a a = 1. Se você quiser entender o porquê, leia Consequências da Definição de um Logaritmo.

E quando o resultado não é um número inteiro?

Nem todo logaritmo tem resultado “redondinho”. Veja log₂ 3: nenhum expoente inteiro resolve 2^x = 3, pois 2¹ = 2 e 2² = 4. Dessa forma, o valor de x está entre 1 e 2, exatamente como discutimos na Introdução aos Logaritmos.

Nesses casos, usamos a mudança de base, que escreve qualquer logaritmo como uma divisão de logaritmos decimais:

loga b = log b / log a

 

Assim, log₂ 3 = log 3 / log 2 ≈ 0,4771 / 0,3010 ≈ 1,585, valor que de fato está entre 1 e 2. Em várias questões do Enem, o enunciado já fornece os valores aproximados dos logaritmos necessários (como log 2 ≈ 0,30), e as propriedades operatórias fazem o resto. Você encontra tudo isso em Propriedades operatórias dos Logaritmos: produto, quociente, potência e mudança de base.

5 erros comuns ao calcular logaritmos (e como evitá-los)

1. Esquecer as condições de existência. Resolva e, em seguida, confira. Em exercícios com a incógnita na base ou no logaritmando, essa conferência decide a resposta.
2. Confundir base e logaritmando. Em “log de b na base a”, a base é o número escrito embaixo, ao lado de “log”. Na hora das setinhas, é ela que recebe o expoente.
3. Ler “log” sem base como se fosse outro valor. Quando a base não aparece, ela vale 10 (logaritmo decimal). Já o “ln” indica base e, o logaritmo neperiano.
4. Errar o sinal do expoente. Expoente negativo inverte a base: 3⁻² = 1/9, e não −9.
5. Cortar as bases antes da hora. Só podemos igualar os expoentes depois que as duas potências estiverem escritas na mesma base.

Logaritmo no Enem: uma questão real resolvida

Para mostrar que o método funciona fora do papel, vamos resolver uma questão que caiu no Enem 2019 (2º dia, caderno azul, questão 137). O enunciado informa que a flor da Hydrangea macrophylla é azul em solo ácido (pH < 7) e rosa em solo alcalino (pH > 7), e que a hortênsia rosa mais valorizada é a cultivada em solo com pH inferior a 8. Sabendo que pH = −log₁₀ x, em que x é a concentração de íons H⁺, pergunta-se que valores x deve assumir para produzir a flor rosa de maior valor comercial.

Resolução. Flor rosa significa pH > 7, e o maior valor comercial exige pH < 8. Logo, 7 < pH < 8. Como pH = −log x, temos log x = −pH. Agora, basta aplicar as setinhas nos dois extremos, lembrando que a base é 10:

• Para pH = 7: log x = −7 ⇒ x = 10⁻⁷.
• Para pH = 8: log x = −8 ⇒ x = 10⁻⁸.

Como x = 10^−pH, quanto maior o pH, menor a concentração x. Portanto, 7 < pH < 8 equivale a 10⁻⁸ < x < 10⁻⁷, ou seja, x deve estar entre 10⁻⁸ e 10⁻⁷. Esse é o conteúdo da alternativa E.

Repare que o logaritmo foi calculado exatamente como nos nossos exemplos: igualamos, aplicamos as setinhas e comparamos potências de base 10.

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Exercícios propostos com gabarito

Agora é com vocês! Tentem resolver cada item antes de olhar o gabarito e lembrem-se dos quatro passos.

1. Calcule log₃ 243.
2. Calcule log_1/2 8.
3. Calcule log₄ 8.
4. Determine o valor de x em log_x 81 = 4.
5. Determine o valor de x em log₉ x = 3/2.
6. Calcule A = log 0,001 + log₂ (1/16).
7. Calcule log₂(log₄ 16).

Gabarito comentado

1) 3^x = 243 = 3⁵, logo x = 5.

2) (1/2)^x = 8 ⇒ 2^−x = 2³ ⇒ −x = 3, logo x = −3.

3) 4^x = 8 ⇒ (2²)^x = 2³ ⇒ 2x = 3, logo x = 3/2.

4) x⁴ = 81 ⇒ x = ±3. A base não pode ser negativa; portanto, x = 3.

5) 9^3/2 = x. Como 9 = 3², temos (3²)^3/2 = 3³ = 27, logo x = 27.

6) log 0,001 = −3 e log₂(1/16) = −4, portanto A = −7.

7) Primeiro, log₄ 16 = 2, pois 4² = 16. Depois, log₂ 2 = 1. Logo, o resultado é 1.

Videoaula: mais exercícios de logaritmo resolvidos

Quer ver mais exercícios resolvidos, com o passo a passo explicado em vídeo? Então assista à videoaula abaixo e, em seguida, refaça os exemplos sozinho. Por fim, acompanhe o canal do Professor Ferretto no YouTube e o perfil do Instagram para ficar por dentro de novos conteúdos de Matemática.

Perguntas frequentes sobre como calcular logaritmo

Como calcular logaritmo sem calculadora?

Iguale o logaritmo a x, transforme-o em potência e escreva as duas potências na mesma base; em seguida, basta igualar os expoentes. Esse método funciona sempre que o logaritmando é uma potência da base, como em log₂ 128. Quando não é, o resultado é aproximado e usamos a mudança de base.

O que é logaritmação?

É o nome da operação de resolver um logaritmo, isto é, transformar log_a b = x em a^x = b (e vice-versa) para descobrir o valor do logaritmo.

Quanto vale o logaritmo de 1?

Vale zero em qualquer base válida, pois a⁰ = 1. Já o logaritmo da própria base vale 1, porque a¹ = a. Há mais detalhes em Consequências da Definição de um Logaritmo.

O logaritmo pode ser negativo?

Pode, sim. O logaritmo (o resultado) pode ser qualquer número real. Por exemplo, log 0,0001 = −4 e log₃(1/9) = −2. O que tem restrições são a base e o logaritmando.

O que significa log sem base escrita?

Significa logaritmo decimal, ou seja, de base 10. Já o “ln” indica o logaritmo neperiano, de base e. Veja mais na Introdução aos Logaritmos.

Por que a base do logaritmo não pode ser 1?

Porque 1 elevado a qualquer expoente é sempre 1. Dessa forma, nenhum outro logaritmando seria possível; por exemplo, log₁ 7 não existe.

Continue estudando logaritmos

Para completar a sequência de estudos, siga pelos textos abaixo:

• Logaritmo: o que é, como calcular, propriedades e exercícios: definição, nomenclatura, logaritmo decimal e neperiano.
• Condição de existência dos Logaritmos: entenda com exemplos.
• Consequências da Definição de um Logaritmo.
• Propriedades operatórias dos Logaritmos: produto, quociente, potência e mudança de base.
• Equações Exponenciais: a base para entender a logaritmação.
• Função Exponencial: definição e condições de existência.

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Chegamos ao fim de mais um texto, e esperamos que os exemplos tenham sido proveitosos. Agora é praticar: quanto mais logaritmos você resolver com os quatro passos, mais natural o método vai ficar. Abração, sucesso na caminhada e até o próximo texto!