Resposta direta Uma inequação simultânea do 2º grau reúne duas condições de desigualdade que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Para resolvê-la: (1) separe em duas inequações; (2) resolva cada uma pelo estudo do sinal da função quadrática; (3) faça a intersecção (∩) das duas soluções. O resultado é o conjunto dos valores de x que aparecem nas duas soluções: pode ser um intervalo, dois intervalos separados, um único valor ou até o conjunto vazio.

 

Olá, pessoal! Tudo bem?

Se duas inequações do 1º grau podem ser resolvidas ao mesmo tempo, por que não poderíamos fazer o mesmo com duas inequações do 2º grau? Pois é exatamente isso que vamos fazer hoje! Portanto, se você chegou até aqui procurando como resolver uma inequação simultânea do 2º grau (ou um sistema de inequações do 2º grau), fique tranquilo: com um roteiro de cinco passos e alguns exemplos bem detalhados, resolver duas inequações do segundo grau ao mesmo tempo é bem mais simples do que parece.

Para que a leitura flua bem, vale ter em mãos dois conhecimentos: como resolver inequações do 2º grau e como fazer o estudo do sinal de uma função quadrática. Além disso, como a solução final depende de uma intersecção, também ajuda conhecer as operações com intervalos. Não custa nada dar uma olhadinha nesses textos antes de continuar, e, depois de vê-los, eu garanto: vai ficar muito mais fácil resolver qualquer questão que envolva o assunto!

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O que são Inequações Simultâneas do 2º Grau

Uma inequação simultânea do 2º grau é aquela em que duas condições de desigualdade precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo e, em pelo menos uma delas, a incógnita aparece elevada ao quadrado. Por conseguinte, a solução não é a de uma única inequação, e sim o conjunto dos valores reais de x que servem para as duas.

Ela costuma aparecer de três formas:

Forma	Exemplo	Como ler
Dupla desigualdade (dois sinais numa só sentença)	−8 ≤ x2 − 2x − 8 ≤ 0	A expressão fica entre −8 e 0, inclusive.
Sistema (inequações separadas por chaves)	x2 − 4 ≥ 0 e x2 − 1 ≤ 0	As duas inequações valem ao mesmo tempo.
Sistema misto (2º grau com 1º grau)	x2 − 3x − 4 < 0 e 2x − 3 ≥ 1	Uma inequação é do 2º grau e a outra é do 1º grau.

 

Em geral, chama-se de “simultânea” a sentença com dois sinais de desigualdade e de “sistema” o conjunto de inequações separadas, mas o método de resolução é rigorosamente o mesmo. Dessa forma, o que muda é apenas o ponto de partida: resolvemos cada inequação separadamente e, depois, buscamos os valores que as duas soluções têm em comum. Em linguagem de conjuntos, isso é a intersecção (∩), assunto que aparece com detalhes em União e Intersecção de Conjuntos.

Como resolver Inequações Simultâneas do 2º Grau: passo a passo

Quem leu o texto Inequações Simultâneas do 1º Grau vai perceber que o método é o mesmo. A grande diferença está em como resolvemos cada inequação: como, na maioria das vezes, não conseguimos isolar x numa expressão do 2º grau, precisamos transformar o lado esquerdo em uma função do 2º grau e estudar o seu sinal. Assim, o roteiro completo é este:

Passo 1: separe a dupla desigualdade em duas inequações

Se a inequação apresenta dois sinais de desigualdade numa só sentença, como −8 ≤ x² − 2x − 8 ≤ 0, separe-a em duas inequações, formando um sistema. Cada “pedaço” da dupla desigualdade vira uma inequação independente. Se o problema já vier em forma de sistema, basta seguir direto para o passo 2.

Passo 2: deixe o lado direito de cada inequação igual a zero

Para transformar o lado esquerdo em uma função, o lado direito precisa ser exatamente zero. Portanto, passe para o lado esquerdo todos os termos que estiverem à direita, lembrando de trocar o sinal de cada um deles ao atravessar o sinal de desigualdade.

Passo 3: estude o sinal de cada função quadrática

Chame o lado esquerdo de f(x) e, para cada inequação, siga esta sequência:

• Coeficientes: identifique os valores de a, b e c;
• Discriminante: calcule Δ = b² − 4ac e veja quantas raízes reais a função tem;
• Raízes: encontre-as pela fórmula de Bhaskara, pelo método da soma e produto ou, nas equações incompletas, isolando ou fatorando;
• Concavidade: para cima se a > 0 e para baixo se a < 0;
• Esboço: desenhe a parábola e marque os sinais + e − de cada região.

Passo 4: leia a solução de cada inequação

Agora volte ao sinal de desigualdade de cada inequação. Os sinais > e < pedem, respectivamente, os valores que tornam a função positiva e negativa, e deixam as raízes de fora (bolinha aberta). Já os sinais ≥ e ≤ também aceitam o valor zero e, por isso, incluem as raízes (bolinha fechada).

Passo 5: faça a intersecção e escreva o conjunto solução

Desenhe as duas soluções em retas reais, uma abaixo da outra, e destaque apenas os valores que aparecem nas duas. Esse resultado é o conjunto solução da inequação simultânea. Vamos ver tudo isso funcionando? Então, vem comigo!

Exemplo resolvido 1: −8 ≤ x² − 2x − 8 ≤ 0

Resolva a inequação simultânea −8 ≤ x² − 2x − 8 ≤ 0 em ℝ.

Separando a dupla desigualdade em duas inequações

Como vimos no texto de inequações simultâneas do 1º grau, elas podem mesmo se apresentar do jeitinho que vemos acima: com dois sinais de desigualdade! Se isso acontecer, não se assustem: separem-nas em duas e, dessa maneira, um sistema será formado:

 

(1) x² − 2x − 8 ≥ −8

(2) x² − 2x − 8 ≤ 0

Deixando o lado direito igual a zero

Antes de transformarmos a parte esquerda de cada desigualdade em uma função, é preciso atentar para um detalhe: o lado direito deve ter apenas o termo zero. A inequação (2) já está pronta. Já na inequação (1), o lado direito vale −8. Portanto, passamos o −8 para o outro lado, com o sinal trocado:

(1) x² − 2x − 8 + 8 ≥ 0 → x² − 2x ≥ 0

(2) x² − 2x − 8 ≤ 0

Agora sim! Chamando de f(x) = x² − 2x a função da inequação (1) e de g(x) = x² − 2x − 8 a função da inequação (2), estamos prontos para estudar o sinal de cada uma delas.

Estudo do sinal das duas funções

Etapa	Inequação (1): f(x) = x2 − 2x ≥ 0	Inequação (2): g(x) = x2 − 2x − 8 ≤ 0
Coeficientes	a = 1, b = −2, c = 0	a = 1, b = −2, c = −8
Discriminante	Δ = (−2)2 − 4·1·0 = 4	Δ = (−2)2 − 4·1·(−8) = 36
Situação	Δ > 0: duas raízes reais e distintas	Δ > 0: duas raízes reais e distintas
Raízes	x1 = 0 e x2 = 2	x1 = 4 e x2 = −2
Concavidade	Para cima (a = 1 > 0)	Para cima (a = 1 > 0)

 

Se o discriminante de uma função quadrática é positivo, ou seja, maior que zero, significa que essa função possui duas raízes reais e distintas. Encontrar os valores numéricos dessas raízes é essencial, afinal, precisaremos deles para esboçar o gráfico de cada função logo mais. Vamos ver como cada uma foi obtida.

Raízes de f(x) = x² − 2x: sem Bhaskara

Pessoal, vocês repararam que a primeira função que formamos é incompleta? Uma função do 2º grau é incompleta quando um de seus coeficientes, que não seja o a, vale zero. Aqui, c = 0. Em casos como esse, podemos evitar a fórmula de Bhaskara e o método da soma e produto, porque conseguimos fatorar ou isolar a incógnita x. Talvez você esteja pensando:

“Mas, Ferretto, você acabou de dizer que era para usar a fórmula de Bhaskara ou o método da soma e produto! Como você encontrou as raízes sem nenhum desses métodos?” Excelente pergunta! Como c = 0, basta colocar x em evidência. Como um produto só é zero quando pelo menos um dos fatores é zero, temos:

x² − 2x = 0 → x·(x − 2) = 0 → x = 0 ou x − 2 = 0 → x = 2

Se quiserem saber mais sobre o assunto, deem uma olhada no texto Equações do 2º Grau Incompletas.

Raízes de g(x) = x² − 2x − 8: fórmula de Bhaskara

Na segunda função, que é completa, não há como fugir da famosa fórmula de Bhaskara. Olhem só:

x = (−b ± √Δ) / 2a = (−(−2) ± √36) / (2·1) = (2 ± 6) / 2

x₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 x₂ = (2 − 6) / 2 = −4 / 2 = −2

Se preferirem, o método da soma e produto leva ao mesmo resultado: a soma das raízes é −b/a = 2 e o produto é c/a = −8, o que só é possível com −2 e 4.

Esboçando os gráficos das duas funções

Agora estamos quase prontos para esboçar o gráfico das duas funções. Já temos os valores das raízes, mas ainda precisamos definir a concavidade de cada parábola. Como o coeficiente a de ambas vale 1, que é um valor positivo, está definido: a concavidade das duas parábolas é voltada para cima. Assim, o sinal da função é positivo (+) fora das raízes e negativo (−) entre elas.

Lendo a solução de cada inequação

Conhecendo o esboço dos gráficos, é hora de voltarmos às inequações iniciais. O sinal de desigualdade de cada uma delas informa se procuramos os valores de x que tornam a função positiva, negativa ou igual a zero:

Inequação	Sinal	O que queremos da função	As raízes entram?
(1) x2 − 2x ≥ 0	≥	Positiva ou igual a zero	Sim (bolinha fechada)
(2) x2 − 2x − 8 ≤ 0	≤	Negativa ou igual a zero	Sim (bolinha fechada)

 

Inequação (1). A solução é formada pelos valores de x que tornam a função positiva ou igual a zero (sinal ≥). Assim, nos interessam os valores de x menores ou iguais a 0 e maiores ou iguais a 2, afinal, nessas regiões o gráfico se encontra acima do eixo x ou exatamente sobre ele, nas raízes. Em símbolos:

S₁ = {x ∈ ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 2}

Inequação (2). Aqui temos um caso um pouquinho diferente. O sinal ≤ determina que apenas os valores que tornam a função negativa ou igual a zero satisfazem a inequação. Logo, nos interessam os valores de x situados entre −2 e 4, incluindo os próprios −2 e 4, porque somente nessa região o gráfico se encontra abaixo do eixo x ou sobre ele. Em símbolos:

S₂ = {x ∈ ℝ | −2 ≤ x ≤ 4}

Fazendo a intersecção das soluções

Ufa, estamos quase no fim! Agora que sabemos os valores de x que satisfazem cada inequação separadamente, precisamos definir quais deles satisfazem as duas ao mesmo tempo. Então, sem mais delongas, partiu intersecção!

Desenhamos acima três retas reais, que representam, respectivamente, a solução da inequação (1), a solução da inequação (2) e, por fim, a solução da inequação simultânea como um todo, S = S₁ ∩ S₂. Reparem que os únicos valores de x que satisfazem as duas inequações são aqueles que começam em −2 e terminam em 0, e também os que começam em 2 e terminam em 4, incluindo os próprios −2, 0, 2 e 4, já que todos eles fazem parte das duas soluções (bolinha fechada). Portanto:

S = {x ∈ ℝ | −2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 4}

Conferindo o resultado

Nada como testar! Vamos substituir alguns valores em −8 ≤ x² − 2x − 8 ≤ 0:

• x = −1 (dentro de [−2, 0]): (−1)² − 2·(−1) − 8 = −5, e −8 ≤ −5 ≤ 0 é verdadeiro. ✓
• x = 1 (fora da solução): 1 − 2 − 8 = −9, e −9 é menor que −8, então a inequação não é satisfeita. ✓
• x = 3 (dentro de [2, 4]): 9 − 6 − 8 = −5, e −8 ≤ −5 ≤ 0 é verdadeiro. ✓
• x = 5 (fora da solução): 25 − 10 − 8 = 7, que é maior que 0, então não satisfaz. ✓

Logo, o resultado confere!

Exemplo resolvido 2: 0 < x² − 5x + 4 < 4 (desigualdades estritas)

Neste exemplo, todos os sinais são estritos (< e >). Dessa forma, as raízes ficarão de fora da solução (bolinha aberta). Vamos resolver 0 < x² − 5x + 4 < 4.

Passo 1 e 2. Separando a dupla desigualdade e deixando o lado direito igual a zero (na inequação (2), passamos o 4 para o outro lado):

(1) x² − 5x + 4 > 0

(2) x² − 5x + 4 < 4 → x² − 5x < 0

Passos 3 e 4. Estudando o sinal de cada função:

Etapa	Inequação (1): f(x) = x2 − 5x + 4 > 0	Inequação (2): g(x) = x2 − 5x < 0
Coeficientes	a = 1, b = −5, c = 4	a = 1, b = −5, c = 0
Discriminante	Δ = 25 − 16 = 9	Δ = 25 − 0 = 25
Raízes	x = (5 ± 3) / 2, logo x1 = 4 e x2 = 1	x·(x − 5) = 0, logo x = 0 ou x = 5
Concavidade	Para cima (a > 0)	Para cima (a > 0)
Solução	Positiva: fora das raízes. S1 = {x ∈ ℝ | x < 1 ou x > 4}	Negativa: entre as raízes. S2 = {x ∈ ℝ | 0 < x < 5}

 

Passo 5. Fazendo a intersecção de S₁ e S₂ nas retas reais:

Os valores que estão nas duas soluções são os que ficam entre 0 e 1 e os que ficam entre 4 e 5, sem incluir nenhum dos extremos. Portanto:

S = {x ∈ ℝ | 0 < x < 1 ou 4 < x < 5}

Conferindo: para x = 0,5, temos 0,25 − 2,5 + 4 = 1,75, que está entre 0 e 4. ✓ Para x = 2, temos 4 − 10 + 4 = −2, que não é maior que 0, logo 2 fica de fora. ✓ Para x = 4,5, temos 20,25 − 22,5 + 4 = 1,75. ✓

Exemplo resolvido 3: Sistema de Inequações do 2º Grau sem solução

Nem toda inequação simultânea tem solução, e isso não é erro! Vamos resolver o sistema abaixo, em que as duas inequações já vêm com o lado direito igual a zero:

(1) x² − 4 ≥ 0

(2) x² − 1 ≤ 0

Etapa	Inequação (1): f(x) = x2 − 4 ≥ 0	Inequação (2): g(x) = x2 − 1 ≤ 0
Coeficientes	a = 1, b = 0, c = −4	a = 1, b = 0, c = −1
Discriminante	Δ = 0 − 4·1·(−4) = 16	Δ = 0 − 4·1·(−1) = 4
Raízes	x2 = 4, logo x = −2 ou x = 2	x2 = 1, logo x = −1 ou x = 1
Concavidade	Para cima (a > 0)	Para cima (a > 0)
Solução	Positiva ou nula: fora das raízes. S1 = {x ∈ ℝ | x ≤ −2 ou x ≥ 2}	Negativa ou nula: entre as raízes. S2 = {x ∈ ℝ | −1 ≤ x ≤ 1}

Agora, a intersecção. Observem as retas reais: a solução da inequação (1) está totalmente fora do trecho de −1 a 1, que é justamente a solução da inequação (2).

Como as duas soluções não têm nenhum valor em comum, a intersecção é o conjunto vazio. Por conseguinte, nenhum número real satisfaz as duas inequações ao mesmo tempo:

S = ∅

Exemplo resolvido 4: Sistema com Inequação do 2º Grau e do 1º Grau

Muitas questões misturam graus diferentes no mesmo sistema. O método não muda: resolvemos cada inequação com a ferramenta adequada e, no final, fazemos a intersecção. Vamos resolver:

(1) x² − 3x − 4 < 0

(2) 2x − 3 ≥ 1

Inequação (1), do 2º grau. Sendo f(x) = x² − 3x − 4, temos a = 1, b = −3 e c = −4. O discriminante é Δ = 9 + 16 = 25 e as raízes são x = (3 ± 5) / 2, ou seja, x₁ = 4 e x₂ = −1. Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima, e o sinal < pede os valores entre as raízes, sem incluí-las:

S₁ = {x ∈ ℝ | −1 < x < 4}

Inequação (2), do 1º grau. Aqui podemos isolar o x, como aprendemos em Inequação do 1º Grau: 2x ≥ 1 + 3, então 2x ≥ 4 e, dividindo por 2 (número positivo, portanto sem inverter o sinal), x ≥ 2:

S₂ = {x ∈ ℝ | x ≥ 2}

Intersecção. Os valores que estão nas duas soluções começam em 2, com a bolinha fechada, e terminam em 4, com a bolinha aberta:

S = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x < 4}

Conferindo: x = 2 dá 4 − 6 − 4 = −6 < 0 e 2·2 − 3 = 1 ≥ 1. ✓ Já x = 4 dá 16 − 12 − 4 = 0, que não é menor que 0, então fica de fora. ✓ E x = 1 satisfaz a inequação (1), mas não a (2), pois 2·1 − 3 = −1 é menor que 1. ✓

Que tipos de resposta podem aparecer?

Depois de quatro exemplos, dá para perceber que a intersecção pode “sobrar” de formas bem diferentes. Por isso, vale conhecer os cenários mais comuns:

O que acontece	Exemplo	Conjunto solução
Duas regiões separadas	Exemplos 1 e 2	Dois intervalos: [−2, 0] ∪ [2, 4]
Uma única região	Exemplo 4	Um intervalo: [2, 4[
Nenhum valor em comum	Exemplo 3	Conjunto vazio: ∅
As soluções apenas se tocam numa extremidade fechada	Por exemplo, [2, 3] e [3, +∞[	Um único valor: {3}
Uma das inequações vale para todo x	Por exemplo, x2 + 4 > 0 (sempre positiva)	A solução é a da outra inequação

Erros comuns ao resolver Inequações Simultâneas

Antes de partirmos para a prática, fiquem atentos a estas armadilhas, que costumam custar pontos no Enem e nos vestibulares:

• Unir em vez de intersectar. A palavra-chave é “ao mesmo tempo”: a solução precisa estar nas duas soluções (∩), e não em pelo menos uma delas (∪).
• Resolver só metade da dupla desigualdade. Em −8 ≤ x² − 2x − 8 ≤ 0, as duas partes precisam ser resolvidas.
• Esquecer de zerar o lado direito. Sem isso, não dá para transformar a expressão em função e estudar o sinal.
• Errar as bolinhas. Os sinais ≥ e ≤ incluem as raízes; já > e < as excluem. Na intersecção, um extremo só é fechado se for fechado nas duas soluções.
• Tentar isolar o x numa inequação do 2º grau. Isso altera a desigualdade e leva a resultados errados. O caminho correto é sempre o estudo do sinal.

Onde as Inequações Simultâneas aparecem no dia a dia (e no Enem)

Sempre que um problema pede que uma grandeza fique “entre um valor mínimo e um valor máximo” e essa grandeza segue uma função do 2º grau, temos uma inequação simultânea disfarçada. Vamos a um problema no estilo do Enem:

Problema Um jogador chuta uma bola para cima e, t segundos depois, a altura da bola, em metros, é dada por h(t) = 10t − t2. Em quais intervalos de tempo a bola permanece entre 16 m e 21 m de altura (inclusive)?

 

Resolução. A condição do problema é 16 ≤ 10t − t² ≤ 21. Separando em duas inequações e deixando o lado direito igual a zero:

(1) 10t − t² ≥ 16 → −t² + 10t − 16 ≥ 0 → (multiplicando por −1 e invertendo o sinal) t² − 10t + 16 ≤ 0

(2) 10t − t² ≤ 21 → −t² + 10t − 21 ≤ 0 → t² − 10t + 21 ≥ 0

Na inequação (1), Δ = 100 − 64 = 36 e as raízes são t = (10 ± 6) / 2, ou seja, t = 2 e t = 8. Como a parábola tem concavidade para cima e queremos valores menores ou iguais a zero, a solução fica entre as raízes: 2 ≤ t ≤ 8.

Na inequação (2), Δ = 100 − 84 = 16 e as raízes são t = (10 ± 4) / 2, ou seja, t = 3 e t = 7. Agora queremos valores maiores ou iguais a zero, então a solução fica fora das raízes: t ≤ 3 ou t ≥ 7.

Fazendo a intersecção, sobram 2 ≤ t ≤ 3 e 7 ≤ t ≤ 8. Portanto, a bola está entre 16 m e 21 m subindo, de 2 s a 3 s, e descendo, de 7 s a 8 s. Ou seja, ela permanece nessa faixa por um total de 2 segundos (1 s na subida e 1 s na descida):

t ∈ [2, 3] ∪ [7, 8]

Exercícios propostos com gabarito

Chegou a hora de praticar sozinhos! Resolvam as inequações abaixo seguindo os cinco passos e, só depois, confiram o gabarito comentado.

1. 0 ≤ x² − 4x + 3 ≤ 3

Gabarito comentado: Separando: (1) x² − 4x + 3 ≥ 0, com raízes 1 e 3, dá x ≤ 1 ou x ≥ 3. (2) x² − 4x + 3 ≤ 3 equivale a x² − 4x ≤ 0, com raízes 0 e 4, e dá 0 ≤ x ≤ 4. Intersecção:

S = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1 ou 3 ≤ x ≤ 4}

2. x² − 2x − 3 > 0 e x² − 16 < 0

Gabarito comentado: (1) As raízes de x² − 2x − 3 são −1 e 3; positiva significa x < −1 ou x > 3. (2) As raízes de x² − 16 são −4 e 4; negativa significa −4 < x < 4. Intersecção:

S = {x ∈ ℝ | −4 < x < −1 ou 3 < x < 4}

3. x² + 4 > 0 e x² − 6x + 8 ≤ 0

Gabarito comentado: (1) Aqui Δ = 0 − 16 < 0 e a > 0, então a função é sempre positiva: vale para todo real. (2) As raízes de x² − 6x + 8 são 2 e 4; negativa ou nula significa 2 ≤ x ≤ 4. Como a primeira condição vale para todo x, a solução é a da segunda:

S = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 4}

4. x² − 6x + 8 ≤ 0 e x − 4 ≥ 0

Gabarito comentado: (1) Como vimos, 2 ≤ x ≤ 4. (2) x − 4 ≥ 0 dá x ≥ 4. As duas soluções só têm em comum o extremo fechado 4:

S = {4}

5. x² − x − 2 ≥ 0 e 3x − 1 < 5

Gabarito comentado: (1) As raízes de x² − x − 2 são −1 e 2; positiva ou nula significa x ≤ −1 ou x ≥ 2. (2) 3x < 6 dá x < 2. Intersecção:

S = {x ∈ ℝ | x ≤ −1}

Videoaula: mais exemplos resolvidos de Inequações Simultâneas

Se vocês preferem revisar o conteúdo em vídeo, assistam à videoaula abaixo, que traz mais alguns exemplos resolvidos e aquelas dicas do Ferretto sobre as funções quadráticas e tudo que envolve o assunto. Além do canal do YouTube, vocês também encontram dicas rápidas no perfil do Professor Ferretto no Instagram.

Perguntas frequentes sobre Inequações Simultâneas do 2º Grau

O que é uma inequação simultânea do 2º grau?

É uma sentença em que duas condições de desigualdade precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo e pelo menos uma delas envolve x². Ela pode aparecer como dupla desigualdade (por exemplo, −8 ≤ x² − 2x − 8 ≤ 0) ou como um sistema de inequações.

Como resolver uma inequação simultânea do 2º grau?

Em cinco passos: separe em duas inequações, deixe o lado direito de cada uma igual a zero, faça o estudo do sinal de cada função quadrática, leia a solução de cada inequação e, por fim, faça a intersecção das soluções.

Por que a solução é a intersecção e não a união?

Porque as duas condições precisam valer ao mesmo tempo. A união reuniria valores que satisfazem apenas uma das inequações, e esses valores não resolvem a sentença completa. Assim, só servem os valores presentes nas duas soluções.

Como resolver uma dupla desigualdade com x² no meio?

Separe-a em duas inequações. Em −8 ≤ x² − 2x − 8 ≤ 0, por exemplo, ficam x² − 2x − 8 ≥ −8 e x² − 2x − 8 ≤ 0. Resolva cada uma pelo estudo do sinal e intersecte as soluções.

Uma inequação simultânea pode não ter solução?

Pode, sim. Quando as soluções das inequações não têm nenhum valor em comum, a intersecção é vazia e escrevemos S = ∅. Isso é uma resposta válida, como vimos no Exemplo 3.

Posso misturar inequações do 1º e do 2º grau no mesmo sistema?

Pode. Resolva a de 2º grau pelo estudo do sinal, a de 1º grau isolando o x (invertendo o sinal ao multiplicar ou dividir por número negativo) e faça a intersecção, como no Exemplo 4.

Continue estudando (leia também)

• Inequações do 2º Grau: Como Resolver com o Estudo do Sinal
• Estudo do Sinal de uma Função Quadrática
• Aplicando o Estudo do Sinal de uma Função do 2º Grau
• Inequações Simultâneas do 1º Grau
• Inequação do 1º Grau: guia completo com exercícios resolvidos
• Fórmula de Bhaskara
• Equações do 2º Grau Incompletas
• Operações com Intervalos: União, Interseção e Diferença
• Intervalos Reais: o Que São, Notação e Como Representar
• Função Quadrática: Introdução

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Bons estudos em matemática e um abração a todos!