Talvez você já tenha se questionado sobre quem ensina cada disciplina nas plataformas de cursinho online para o Enem. Por...
Função Quadrática: o que é, fórmula, gráfico e exemplos
A função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, é a conhecida f(x) = ax²+bx+c. Você verá neste texto tudo sobre a, b, e c e sobre o gráfico dessa função. Vem comigo aqui!
Ferramentas de IA
Sugestões personalizadas
Resposta direta: a função quadrática, também chamada de função polinomial do 2º grau, é toda função f: ℝ→ℝ da forma f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0. O gráfico dessa função é sempre uma parábola, e é justamente a partir dos coeficientes a, b e c que descobrimos a concavidade, o vértice, as raízes e o sinal da função — tudo o que você vai ver, de forma resumida e com exemplos, neste guia.
Olá, pessoal! Como vão vocês?
O lançamento de projéteis, ou de uma bola na cesta de basquete, é uma das inúmeras aplicações práticas da função quadrática. Isso sempre acontece quando um fenômeno apresenta um comportamento parabólico, ou seja, quando pode ser representado por uma parábola, que nada mais é do que o gráfico característico dessa função.
O fato é que é praticamente impossível aplicar a função quadrática com maestria sem conhecer os seus conceitos mais simples. Por isso, o texto de hoje reúne, num só lugar, tudo o que você precisa saber sobre o assunto: desde a definição e a fórmula até o gráfico, o vértice, as raízes e o estudo do sinal — com links diretos para o conteúdo completo de cada um desses tópicos, caso você já domine o básico e queira ir direto ao ponto.
É que, na maioria das vezes, quando deixamos os conceitos mais simples de lado, eles acabam fazendo falta quando precisamos entender os conteúdos mais exigentes. E, na matemática, não podia ser diferente. Mas não se preocupem, pois é exatamente por isso que a plataforma do Professor Ferretto existe! Lá vocês encontram um curso de matemática completo e 100% online, em que toda a matemática do ensino médio é abordada com foco na melhor preparação para o ENEM e para os tradicionais vestibulares do país. Acessem o site e conheçam todos os benefícios do curso!
E aí, vamos começar? Então fiquem agora com um resumo de tudo o que este guia aborda.
Resumo: o que você vai encontrar neste guia
|
O que é a função quadrática? (Definição da função do 2º grau)
Uma função f: ℝ→ℝ chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a ≠ 0, tais que f(x) = ax² + bx + c para todo x ∈ ℝ.
Primeiramente, é importante repararmos que toda função quadrática é dita como uma função f: ℝ→ℝ. Essa representação costuma parecer confusa, mas a informação que ela nos traz é muito valiosa: a função f de reais em reais é uma função cujo domínio (ou conjunto de partida) e o contradomínio (ou conjunto de chegada) pertencem ao conjunto dos números reais. Assim, números positivos, negativos, frações, dízimas periódicas, raízes não exatas e todo e qualquer número real podem fazer parte do domínio e do contradomínio dessa função, sem que haja qualquer restrição.
Além disso, a definição da função quadrática nos mostra que sua forma característica é f(x) = ax² + bx + c. Mas, como toda e qualquer função matemática pode ser representada por f(x) ou por y, a expressão y = ax² + bx + c também é considerada uma função do 2º grau.
E, se vocês observaram a expressão da função quadrática mas não a associaram ao seu nome, saibam que o termo “2º grau” tem tudo a ver com o grau do polinômio ax² + bx + c, expresso pelo maior expoente da variável x. É por isso, aliás, que a definição exige que o coeficiente a — que acompanha o termo x² — seja necessariamente diferente de zero (a ≠ 0), porque é justamente esse termo que caracteriza a função quadrática.
Imaginem só: se a fosse zero, o termo ax² deixaria de existir, restando apenas a expressão “bx + c”. Essa expressão representa claramente outra função matemática, a função polinomial do 1º grau, também chamada de função afim.
Felizmente, não há restrição alguma quanto aos valores numéricos dos demais coeficientes da função do 2º grau — no caso, b e c. Ao longo dos estudos, vocês vão perceber que existem funções quadráticas em que b vale zero, outras em que c vale zero, e ainda funções em que ambos valem zero. Mas não há problema algum nisso: o importante é lembrar sempre que a é o coeficiente do termo x², b é o coeficiente que acompanha o termo x, e c é o termo independente da função quadrática, já que não acompanha variável alguma.
Identifique os coeficientes: pratique com 4 exemplos
Bom, chegou a hora de dar uma folga para a teoria e encontrar os coeficientes a, b e c de algumas funções do segundo grau. Vem comigo aqui!
1. f(x) = 3x² − 4x + 2 → a = 3; b = −4; c = 2
Reparem que, nesse exemplo, havia um sinal negativo na expressão. Mas a forma característica f(x) = ax² + bx + c não possui sinal negativo algum, então todo sinal negativo que surge numa expressão do 2º grau sempre pertence ao seu respectivo coeficiente — por isso o valor de b, aqui, foi −4.
2. f(x) = x² + 3x → a = 1; b = 3; c = 0
Vejam que, nesse segundo caso, todos os termos são acompanhados pela variável x, o que nos mostra que não há termo independente — logo, c vale zero. Outro detalhe interessante é o valor de a: sempre que os termos x² e x estiverem “sozinhos”, seus coeficientes valem 1.
3. y = −x² − 5 → a = −1; b = 0; c = −5
Como vimos, uma função quadrática pode ser representada tanto por f(x) quanto por y. Neste caso específico, porém, não há termo algum acompanhado apenas pela variável x, o que justifica b valer zero.
4. y = −2x² → a = −2; b = 0; c = 0
Essa função é um dos diversos exemplos de função do 2º grau que possuem apenas o coeficiente a. E isso já é mais que suficiente para que ela seja classificada como uma função quadrática.
Portanto, já que vocês já sabem tudo sobre os coeficientes da função quadrática, chegou a hora de avançar um pouquinho: vamos entender o que cada um desses coeficientes revela sobre a concavidade da parábola.
Concavidade da parábola: quando a função tem máximo ou mínimo
O coeficiente a não serve apenas para identificar se a função é quadrática — ele também define, sozinho, para qual lado a parábola se abre. Dessa forma, basta olhar o sinal de a para saber se o vértice da função (assunto que vamos resumir mais adiante) é um ponto de máximo ou de mínimo:
| Sinal de a | Concavidade da parábola | O vértice é… |
| a > 0 | para cima (∪) | ponto de mínimo da função |
| a < 0 | para baixo (∩) | ponto de máximo da função |
Assim, ao olhar rapidamente para uma função quadrática, é possível prever o formato geral do seu gráfico só de analisar o sinal do coeficiente a — sem sequer calcular um único ponto. Vamos ver esse gráfico na prática a seguir, construindo-o passo a passo.
Construindo o gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.
Exatamente! O gráfico característico da função quadrática é uma parábola, como a que aparece na figura logo acima. E existe um método muito comum que permite construir gráficos como esse — e de quaisquer outras funções matemáticas: basta adotar uma série de valores para x e aplicá-los à função f(x) = ax² + bx + c, de forma a obter os respectivos valores de y. Feito isso, é só montar uma tabelinha com todos os pares ordenados (x, y) encontrados e representá-los no plano cartesiano.
Querem ver como funciona? Vamos construir o gráfico da função f(x) = x² − 1.
O primeiro passo é adotar uma série de valores de x, que serão as coordenadas do eixo das abscissas. Sendo assim, vamos adotar aqui os valores −2, −1, 0, 1 e 2. Agora, resta substituir todos eles na função f(x) dada no enunciado — os resultados dessas operações serão as coordenadas em y (eixo das ordenadas). Vamos lá então:
| x | f(x) = x² − 1 | y |
| −2 | f(−2) = (−2)² − 1 = 4 − 1 = 3 | 3 |
| −1 | f(−1) = (−1)² − 1 = 1 − 1 = 0 | 0 |
| 0 | f(0) = (0)² − 1 = 0 − 1 = −1 | −1 |
| 1 | f(1) = (1)² − 1 = 1 − 1 = 0 | 0 |
| 2 | f(2) = (2)² − 1 = 4 − 1 = 3 | 3 |
A forma como esses pontos estão localizados no plano já nos dá uma ideia de como é o comportamento da função como um todo. Mas, se vocês desejarem tornar a representação ainda mais precisa, podem calcular mais alguns pontos, com valores de x tais como −3, −1,5, 1,5 e 3.
| x | f(x) = x² − 1 | y |
| −3 | f(−3) = (−3)² − 1 = 9 − 1 = 8 | 8 |
| −1,5 | f(−1,5) = (−1,5)² − 1 = 2,25 − 1 = 1,25 | 1,25 |
| 1,5 | f(1,5) = (1,5)² − 1 = 2,25 − 1 = 1,25 | 1,25 |
| 3 | f(3) = (3)² − 1 = 9 − 1 = 8 | 8 |
Já ficou bem mais interessante, não é mesmo? Pois, na medida em que escolhemos mais uma série de valores de x e calculamos os respectivos valores em y, encontramos outros infinitos pontos dessa curva, que dão ainda mais forma ao gráfico da função f(x) = x² − 1. Mas preencher todos os pontos dessa curva seria impossível — pelo menos em pouco tempo. Por isso, a ideia é ligar todos os pontos que já encontramos, formando a curva apresentada na imagem abaixo:
Incrível, não é mesmo? Só não é tão incrível calcular essa infinidade de pontos, vocês não acham? O fato é que fizemos aqui uma representação bastante precisa da função quadrática, mas não é necessário fazer isso sempre: geralmente, dois ou três pontos são suficientes para definir a forma da função do segundo grau. O problema é que, escolhendo-os aleatoriamente, nem sempre conseguimos acertar as coordenadas que permitem construir um gráfico facilmente.
Por isso, é hora de conhecer um método que permite calcular exatamente os pontos certos, que proporcionam uma representação simples e rápida: descobrir o vértice, a concavidade e as raízes da função — que é justamente o que resumimos nos três próximos tópicos.
Vértice da parábola: o ponto de máximo ou mínimo
O vértice da parábola é o ponto em que a função muda de comportamento: de decrescente para crescente (quando a concavidade é para cima) ou de crescente para decrescente (quando é para baixo). É exatamente o ponto de valor mínimo ou máximo que vimos na tabela de concavidade, mais acima.
As coordenadas do vértice V(xv, yv) são calculadas por:
xv = −b / 2a e yv = −Δ / 4a (sendo Δ = b² − 4ac)
Vamos aplicar essas fórmulas à mesma função usada na construção do gráfico, f(x) = x² − 1 (em que a = 1, b = 0 e c = −1):
Δ = b² − 4ac = 0² − 4 · 1 · (−1) = 4
xv = −b / 2a = −0 / 2 = 0
yv = −Δ / 4a = −4 / 4 = −1
Logo, o vértice dessa função é o ponto V(0, −1) — exatamente o ponto mais baixo da parábola que vocês viram no gráfico acima. Como a = 1 é positivo, a concavidade é para cima, e esse vértice é, de fato, um ponto de mínimo.
Este foi só um resumo. Para entender de onde vêm essas fórmulas, como interpretar o vértice em problemas de máximo e mínimo, e para praticar com mais exemplos, acesse o texto completo: Vértice da Parábola: valor máximo ou mínimo da função quadrática.
Raízes (zeros) da função quadrática
As raízes (ou zeros) da função quadrática são os valores de x para os quais f(x) = 0 — ou seja, são os pontos em que a parábola cruza (ou toca) o eixo x. Elas são encontradas resolvendo a equação ax² + bx + c = 0, o que normalmente é feito pela fórmula de Bhaskara.
É o discriminante Δ = b² − 4ac que revela quantas raízes reais a função possui:
| Valor de Δ | Quantidade de raízes reais |
| Δ > 0 | 2 raízes reais e distintas |
| Δ = 0 | 1 raiz real (raiz dupla) |
| Δ < 0 | nenhuma raiz real |
Voltando ao exemplo f(x) = x² − 1 (com a = 1, b = 0 e c = −1): como já calculamos, Δ = 4, que é maior que zero — então a função tem duas raízes reais e distintas. Fazendo x² − 1 = 0, chegamos a x² = 1, logo x = 1 ou x = −1. Reparem que esses são exatamente os pontos em que a curva do gráfico acima cruza o eixo x!
Este também foi só um resumo. Para aprender a aplicar a fórmula de Bhaskara passo a passo e entender com detalhes a relação entre Δ e a quantidade de raízes, acesse os textos completos: Fórmula de Bhaskara e Quantidade de Raízes Reais da Função Quadrática.
Estudo do sinal da função quadrática
Fazer o estudo do sinal de uma função quadrática significa descobrir para quais valores de x a função é positiva (f(x) > 0), negativa (f(x) < 0) ou nula (f(x) = 0). E, para isso, basta combinar duas informações que vocês acabaram de ver: a concavidade (dada pelo sinal de a) e as raízes da função.
De forma resumida: fora do intervalo das raízes, o sinal da função é igual ao sinal de a; entre as raízes (quando existem duas), o sinal é o oposto ao de a. Assim, no exemplo f(x) = x² − 1, que tem raízes em x = −1 e x = 1 e concavidade para cima (a = 1 > 0), a função é negativa entre −1 e 1, e positiva fora desse intervalo.
Este resumo cobre a ideia geral, mas o estudo do sinal tem regras específicas para os casos em que Δ = 0 ou Δ < 0, além de diversas aplicações em inequações. Para o passo a passo completo, acesse: Estudo do Sinal de uma Função Quadrática e Aplicando o Estudo do Sinal de uma Função do 2º Grau.
Onde a função quadrática aparece no dia a dia
Como vimos lá no início do texto, o comportamento parabólico da função quadrática aparece sempre que um fenômeno segue essa mesma “forma de parábola” — e isso é mais comum do que parece. Na física, por exemplo, ela modela a trajetória de qualquer lançamento (uma bola de basquete, uma bola de futebol chutada, um projétil); na economia, é usada para modelar situações de lucro e receita, que costumam crescer até um ponto máximo e depois cair. Vamos ver um exemplo rápido de cada uma dessas situações.
Suponha que uma bola seja lançada verticalmente para cima, a partir do chão, com velocidade inicial de 20 m/s. Usando a aproximação g ≈ 10 m/s², comum em exercícios de vestibular, a altura h (em metros) dessa bola em função do tempo t (em segundos) pode ser modelada por:
h(t) = −5t² + 20t
Essa é uma função quadrática com a = −5, b = 20 e c = 0. Como a < 0, a concavidade é para baixo, e o vértice representa a altura máxima atingida pela bola. Calculando: Δ = 20² − 4·(−5)·0 = 400; tv = −20 / (2·(−5)) = 2 s; hv = −400 / (4·(−5)) = 20 m. Ou seja: a bola atinge sua altura máxima de 20 metros exatamente 2 segundos após o lançamento — e, pelas raízes da função (t = 0 e t = 4), sabemos que ela retorna ao chão em t = 4 segundos.
Percebem como os mesmos conceitos que estudamos até aqui — vértice, raízes, concavidade — se aplicam diretamente a um problema real? Essa é exatamente a lógica por trás de boa parte das questões de física e de matemática aplicada que aparecem no ENEM e nos vestibulares.
Exercícios resolvidos
Aplicação: lucro máximo
Uma empresa estima que seu lucro mensal, em milhares de reais, seja dado pela função L(x) = −2x² + 40x − 150, sendo x a quantidade de produtos vendidos, em centenas. Qual é o lucro máximo possível, e quantas centenas de produtos devem ser vendidas para alcançá-lo?
Resolução: como a = −2, b = 40 e c = −150, temos Δ = 40² − 4·(−2)·(−150) = 1600 − 1200 = 400.
xv = −40 / (2·(−2)) = −40 / (−4) = 10
yv = −400 / (4·(−2)) = −400 / (−8) = 50
Logo, o lucro máximo é de R$ 50 mil, alcançado ao vender 10 centenas de produtos (ou seja, 1.000 produtos).
Vértice e raízes na prática
Determine o vértice e as raízes da função f(x) = x² − 2x − 3.
Resolução: com a = 1, b = −2 e c = −3, temos Δ = (−2)² − 4·1·(−3) = 4 + 12 = 16.
xv = −(−2) / (2·1) = 2 / 2 = 1
yv = −16 / (4·1) = −4
O vértice é V(1, −4). Como Δ = 16 > 0, a função tem duas raízes reais e distintas: aplicando Bhaskara, chegamos a
x = −1 ou x = 3.
Sinal da função
Para quais valores de x a função f(x) = −x² + 4 é positiva?
Resolução: com a = −1, b = 0 e c = 4, as raízes são x = −2 e x = 2 (Δ = 16). Como a = −1 é negativo, a concavidade é para baixo, o que significa que a função é positiva entre as raízes.
Logo, f(x) > 0 para todo x tal que −2 < x < 2.
Perguntas frequentes sobre função quadrática
O que é uma função quadrática?
É toda função f: ℝ→ℝ da forma f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a diferente de zero. Ela também é chamada de função polinomial do 2º grau, e seu gráfico é sempre uma parábola.
Qual é a diferença entre função quadrática e equação do 2º grau?
A função quadrática é a relação f(x) = ax² + bx + c em si, com seu gráfico (a parábola). Já a equação do 2º grau é o que se obtém ao igualar essa função a zero — ou seja, ax² + bx + c = 0. Resolver a equação é, na prática, encontrar as raízes da função.
Como saber se uma função é quadrática?
Basta verificar se ela pode ser escrita na forma f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero — ou seja, se o maior expoente da variável x, depois de simplificada a expressão, é exatamente 2.
Toda função quadrática tem duas raízes reais?
Não necessariamente. O número de raízes reais depende do discriminante Δ = b² − 4ac: se Δ > 0, a função tem duas raízes reais distintas; se Δ = 0, tem uma única raiz real (raiz dupla); e se Δ < 0, não tem nenhuma raiz real — a parábola não toca o eixo x.
Qual é o gráfico da função quadrática?
O gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola. Se o coeficiente a for positivo, a parábola tem concavidade para cima e um ponto de mínimo; se a for negativo, a concavidade é para baixo e o ponto é de máximo.
Videoaula sobre função quadrática
Para reforçar tudo o que vimos neste guia, assista à videoaula disponível logo abaixo, no próprio artigo do blog. Ela complementa a explicação sobre definição, coeficientes e gráfico da função quadrática de forma visual e passo a passo.
Vocês também encontram esse e outros conteúdos em vídeo no canal do Professor Ferretto no YouTube e podem acompanhar dicas rápidas e bastidores no Instagram (@professorferretto).
Continue estudando a função quadrática
Este texto é o ponto de partida do cluster de função quadrática do blog. Abaixo, você encontra o conteúdo completo de cada tópico resumido aqui, além de outros assuntos relacionados:
- Vértice da Parábola: valor máximo ou mínimo da função quadrática — como calcular e interpretar o ponto de máximo/mínimo.
- Quantidade de Raízes Reais da Função Quadrática — a relação completa entre Δ e o número de raízes.
- Fórmula de Bhaskara — o passo a passo para encontrar as raízes de qualquer função do 2º grau.
- Estudo do Sinal de uma Função Quadrática — quando a função é positiva, negativa ou nula.
- Aplicando o Estudo do Sinal de uma Função do 2º Grau — exercícios resolvidos de estudo do sinal.
- Inequações do 2º Grau — como resolver inequações quadráticas usando o estudo do sinal.
- Inequações Simultâneas do 2º Grau — sistemas com mais de uma inequação quadrática.
- Equação do 2º Grau e a Fórmula de Bhaskara — aprofundando a resolução de equações completas.
- Equações do 2º Grau Incompletas — o método mais rápido quando b = 0 ou c = 0.
- Método da Soma e Produto — uma alternativa a Bhaskara para encontrar as raízes.
Continue se preparando com o Professor Ferretto
Gostaram do conteúdo? Aproveitem e conheçam os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto para entender como funciona a plataforma.
Querem uma preparação completa em matemática e nas demais ciências da natureza? Então conheçam os planos e cursos da Plataforma do Professor Ferretto e venham com a gente garantir a sua vaga no ensino superior!
E, se o assunto for a redação do ENEM, não deixem de conhecer o Enem’s Anatomy, a ferramenta de análise de incidência da plataforma.
Certo, pessoal? Por hoje, é isso! Espero que este guia — reunindo definição, coeficientes, gráfico, vértice, raízes e estudo do sinal num só lugar — tenha deixado tudo mais claro para vocês. Continuem explorando os links espalhados pelo texto sempre que quiserem se aprofundar em algum desses tópicos.
Um abração a todos! Tenham ótimos estudos!
Índice
Categorias
Últimos posts
Ver todas
