Resposta rápida: os números irracionais são números decimais não exatos, que possuem representação infinita e não periódica e que não podem ser escritos como frações. Os exemplos mais famosos são √2, π e e. Da união do conjunto dos números irracionais (𝕀) com o conjunto dos números racionais (ℚ) surge o conjunto dos números reais (ℝ), ou seja, ℝ = ℚ ∪ 𝕀.

 

Olá, pessoal! Como vão?

Estamos aqui hoje para estudar algumas características que levam números como √2, √3, π ou mesmo o número e a pertencerem a um conjunto numérico completamente distinto dos números racionais: o conjunto dos números irracionais! Vamos começar compreendendo a origem dos números irracionais e a sua definição. Em seguida, veremos os exemplos clássicos e aprenderemos a identificar se um número é racional ou irracional. Depois, estudaremos o conjunto dos números reais, aquele que veio para unir esses dois conjuntos tão diferentes. Por fim, é claro, vamos praticar o assunto com questões de vestibular e com exercícios propostos, todos com gabarito.

Legal, não é, pessoal? Quem quiser arrasar nas provas do ENEM e dos vestibulares está convidado a seguir comigo. Vamos lá!

Aqui vocês vão conferir:

• Como surgiram os números irracionais e por que a diagonal do quadrado de lado 1 é tão importante;
• A definição de número irracional e os exemplos clássicos: √2, √3, π e e;
• Como saber se um número é racional ou irracional, e o que acontece nas operações com irracionais;
• O conjunto dos números reais (ℝ), o diagrama dos conjuntos numéricos e a reta real;
• Exercícios resolvidos (incluindo uma questão da Fuvest) e exercícios propostos com gabarito.

Origem dos Números Irracionais

Todos os conjuntos numéricos que conhecemos hoje surgiram para suprir alguma necessidade do ser humano. O conjunto dos números naturais, por exemplo, nasceu quando se percebeu a necessidade de expressar quantidade. Um pouco mais tarde, notou-se que ao subtrair de um número um valor maior do que ele, obtinha-se um resultado negativo. Foi aí que surgiu o conjunto dos números inteiros.

Contudo, nem os números naturais e nem os números inteiros conseguiam representar partes de um todo. Por isso, foi necessário criar o conjunto dos números racionais, composto pelos decimais exatos e pelas famosas dízimas periódicas. Como os números naturais, os inteiros, os decimais exatos e as dízimas periódicas podem ser representados na forma de fração, diz-se que todos pertencem ao conjunto dos números racionais.

Por exemplo: 2 = 2/1; −9 = −9/1; 0,4 = 2/5; 0,333… = 1/3.

Até um determinado momento, pensava-se que distribuindo todos os números racionais em uma reta real, e calculando a média aritmética entre os termos vizinhos, seria possível chegar a infinitos números racionais, que formariam todos os números existentes.

Entretanto, por mais que fossem realizadas infinitas médias aritméticas entre os números racionais, a reta real jamais seria composta por todos os números existentes. Restariam algumas lacunas, deixadas pelos números que não podem ser representados por frações. Esse “problema” ficou ainda mais evidente na geometria plana.

Pelo Teorema de Pitágoras: d² = 1² + 1² = 2, logo d = √2.

Ao calcular a diagonal de um quadrado de lado 1 através do Teorema de Pitágoras, por exemplo, obtém-se como resultado a raiz quadrada de um número primo. Só que números como esse não podem ser representados por uma fração. Assim, esse e outros questionamentos deram origem, mais tarde, a um novo conjunto numérico: o conjunto dos números irracionais.

Segundo os historiadores da matemática, essa descoberta é associada à escola pitagórica, na Grécia Antiga, cujos seguidores acreditavam que qualquer medida poderia ser expressa como uma razão entre números inteiros. Portanto, descobrir que a diagonal de um quadrado de lado 1 não cabia nessa regra foi um verdadeiro choque. Vamos estudá-lo com detalhes na sequência. Vem comigo!

Conjunto dos Números Irracionais: Definição e Exemplos

Como vimos logo no início do texto, os números irracionais são números decimais não exatos, que possuem representação infinita e não periódica e que também não admitem ser escritos como frações com numerador e denominador inteiros. Para compreendermos essa definição com clareza, vamos analisar alguns números irracionais.

√2 = 1,41421356237309504880168872…

√3 = 1,73205080756887729352744634…

Reparem, nos números acima, que as casas decimais não terminam e também não formam nenhum bloco de algarismos que se repita. Dessa forma, dizemos que a representação é infinita e não periódica. Atenção: “não periódica” não significa “sem regra”. Os algarismos de √2, por exemplo, são perfeitamente determinados e podem ser calculados com a precisão que quisermos. O que não existe é um padrão que se repita para sempre.

E é justamente isso que impede a representação em forma de fração. Isso porque toda fração de números inteiros resulta em um decimal exato ou em uma dízima periódica. Logo, um decimal infinito e não periódico jamais poderá ser escrito como fração.

Assim, podemos afirmar, por exemplo, que todas as raízes quadradas de números naturais que não são quadrados perfeitos são números irracionais. Outro bom exemplo de número irracional é o famoso “pi” (π). Seu valor numérico possui infinitas casas decimais, sem que haja qualquer periodicidade entre os seus algarismos. O valor de π é oriundo da razão entre o comprimento de uma certa circunferência e o seu diâmetro.

π = 3,14159265…

Exemplos Clássicos de Números Irracionais: √2, π e e

Além de √2, √3 e π, existem outros números irracionais famosos, que aparecem com frequência na matemática, na física e na engenharia. Confira os principais na tabela abaixo.

Número	Valor aproximado	Onde ele aparece
√2	1,41421356…	Medida da diagonal de um quadrado de lado 1 (Teorema de Pitágoras)
√3	1,73205080…	Altura de um triângulo equilátero de lado 2
π (pi)	3,14159265…	Razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro
e (número de Euler)	2,71828182…	Base dos logaritmos naturais; aparece em crescimento e decaimento exponencial
φ (número de ouro)	1,61803398…	Razão áurea: φ = (1 + √5) ÷ 2

 

Como vocês podem notar, todos esses valores aparecem aproximados, porque as casas decimais continuam infinitamente. Por conseguinte, quando escrevemos π ≈ 3,14 ou √2 ≈ 1,41, estamos usando apenas uma aproximação, e não o valor exato. O valor exato é o próprio símbolo: π, √2 ou e.

Curiosidade: os números π e e são irracionais ainda mais especiais, chamados de transcendentes, pois não são solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Já √2, por exemplo, é solução de x² − 2 = 0.

Por Que √2 É Irracional? Uma Demonstração Simples

Será que √2 é mesmo irracional? Dá para provar! Para isso, usamos uma demonstração por absurdo, ou seja, supomos o contrário e chegamos a uma contradição. Acompanhem.

1. Suponha que √2 seja racional. Então √2 = a/b, com a e b inteiros, b ≠ 0, e com a fração a/b irredutível (a e b sem divisor comum além de 1).
2. Elevando os dois lados ao quadrado, temos 2 = a²/b², ou seja, a² = 2b².
3. Logo, a² é par. Como o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar, concluímos que o próprio a é par. Assim, a = 2k, para algum inteiro k.
4. Substituindo, (2k)² = 2b², o que resulta em 4k² = 2b² e, portanto, b² = 2k². Dessa forma, b² é par e, por consequência, b também é par.
5. Só que isso é um absurdo: a e b seriam ambos pares, e a fração a/b não seria irredutível. Essa contradição surgiu de supormos que √2 era racional. Portanto, √2 é irracional.

Como Saber se um Número É Racional ou Irracional

Na hora da prova, a dúvida mais comum é: esse número é racional ou irracional? Para decidir, basta seguir este roteiro:

• Decimal exato (como 0,25): é racional;
• Dízima periódica (como 0,333…): é racional;
• Decimal infinito e não periódico (como π): é irracional;
• Raiz quadrada de um número natural: se ele for quadrado perfeito (como 49), o resultado é inteiro e, portanto, racional; se não for (como 10), o resultado é irracional.

Número	Classificação	Por quê?
0,75	Racional	Decimal exato: 0,75 = 3/4
0,666…	Racional	Dízima periódica: 0,666… = 2/3
√49	Racional	49 é quadrado perfeito, logo √49 = 7
√10	Irracional	10 não é quadrado perfeito
π	Irracional	Decimal infinito e não periódico
2,101001000100001…	Irracional	Infinito e não periódico, pois a quantidade de zeros entre os algarismos 1 aumenta sempre

Operações com Números Irracionais: Cuidado com as Pegadinhas

Quando operamos com números irracionais, o resultado pode ser racional ou irracional. Por isso, é preciso muita atenção:

Operação	Resultado	Exemplo
Racional não nulo + irracional	Sempre irracional	1 + √2
Racional não nulo × irracional	Sempre irracional	3 × π
Irracional + irracional	Pode ser racional ou irracional	√2 + (−√2) = 0 (racional); √2 + √3 (irracional)
Irracional × irracional	Pode ser racional ou irracional	√2 × √2 = 2 (racional); √2 × √3 = √6 (irracional)

 

Por conseguinte, a afirmação “a soma de dois números irracionais é sempre irracional” é falsa. Essa é uma pegadinha clássica de prova!

O Conjunto dos Números Irracionais em Forma de Diagrama

No decorrer deste texto, nós estudamos dois temas importantes dentro dos conjuntos numéricos. O primeiro deles é que todos os números naturais e inteiros, assim como os decimais exatos e as dízimas periódicas, são considerados números racionais. Isso nos permite concluir que os números naturais (ℕ) e os números inteiros (ℤ) são subconjuntos do conjunto dos números racionais (ℚ).

O segundo, e principal tema estudado aqui, é que o conjunto dos números irracionais (𝕀) é completamente diferente do conjunto dos números racionais. Esses dois conjuntos não possuem elementos em comum. Por isso, diz-se que eles são conjuntos disjuntos, e que a intersecção entre esses dois conjuntos resulta em um conjunto vazio.

ℚ ∩ 𝕀 = ∅

De acordo com essas informações, podemos realizar a representação na forma de diagrama dos conjuntos apresentados, como mostra a imagem acima. Mas e aí, vocês não estão sentindo falta de um conjunto nessa imagem? Nós vamos estudar o conjunto dos números reais no próximo item. Sigam comigo!

Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais (ℝ) é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Assim, quando for necessário se referir a todos os números de maneira geral, sem excluir aqueles que podem ou que não podem ser representados na forma de fração, estaremos falando dos números reais.

ℝ = ℚ ∪ 𝕀

ℝ = {x | x ∈ ℚ ou x ∈ 𝕀}

Dessa maneira, é possível completar a representação em forma de diagrama que realizamos no item anterior. Reparem que todos os demais conjuntos estudados estão localizados dentro do diagrama do conjunto dos números reais. Não podia ser diferente, afinal, números naturais, inteiros, racionais e irracionais também são números reais.

Além disso, com o advento dos números irracionais e reais, finalmente acabamos com as lacunas na reta real! Aliás, neste momento, o termo “reta real” ganha todo sentido. Se o conjunto dos números reais é formado por todos os números que representamos na reta, significa que podemos marcar nela todo e qualquer número que desejarmos. Com toda a certeza, esse número será racional ou irracional! (Mais adiante nos estudos, vocês vão conhecer também os números complexos, que já não cabem na reta real, mas esse é um assunto para outro dia.)

Resumo: ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀 e ℝ

Para consultar rapidamente na hora de revisar, a tabela abaixo reúne os cinco conjuntos numéricos que estudamos.

Conjunto	Símbolo	O que contém	Exemplos
Naturais	ℕ	Números usados para contar	0, 1, 2, 3…
Inteiros	ℤ	Naturais e seus opostos negativos	−3, −1, 0, 5…
Racionais	ℚ	Números que podem ser escritos como fração (decimais exatos e dízimas periódicas)	−9, 1/2, 0,4, 0,333…
Irracionais	𝕀	Decimais infinitos e não periódicos	√2, √3, π, e
Reais	ℝ	União dos racionais com os irracionais (ℝ = ℚ ∪ 𝕀)	Todos os números acima

 

Certo, pessoal? Após adquirirmos todo esse conhecimento, nada melhor do que praticar resolvendo alguns exercícios. Vem comigo aqui!

Exercícios Resolvidos sobre Números Irracionais e Reais

Exercício 1 — Conjunto só de números racionais (UTFPR)

(G1 – UTFPR) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números racionais.

a. {–1, 2, √2, π}

b. {–5, 0, ½, √9}

c. {–2, 0, π, ⅔}

d. {√3, √64, π, √2}

e. {–1, 0, √3, ⅓}

Pessoal, este exercício nos pede para determinar qual conjunto é composto apenas por números racionais. Portanto, se houver qualquer número irracional em alguma das alternativas, esta poderá ser descartada. Nesse sentido, aproveito para deixar a seguinte dica:

Às vezes é mais fácil resolver uma questão descartando alternativas do que procurando exclusivamente a alternativa correta!

Entendido? Então, vamos analisar, um a um, os conjuntos apresentados.

a. {–1, 2, √2, π}

c. {–2, 0, π, ⅔}

d. {√3, √64, π, √2}

Reparem no ilustre elemento que pertence aos 3 conjuntos acima. O número π é um número irracional! Dessa forma, não é preciso analisar se os outros elementos de cada conjunto são ou não números racionais. Essas 3 alternativas já podem ser descartadas.

b. {–5, 0, ½, √9}

e. {–1, 0, √3, ⅓}

E agora, qual dos dois conjuntos possui apenas elementos racionais? Vocês poderiam pensar que nenhum deles, afinal, ambos possuem radicais, um indício de que sejam elementos irracionais. Mas se vocês repararem melhor, na alternativa b, temos a presença de uma raiz quadrada de um quadrado perfeito, o número 9. Isso resulta em um número inteiro, o número 3.

Já na alternativa e, temos a presença de uma raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito, mas sim, um número primo. Curiosamente, nós utilizamos o número √3 como exemplo de número irracional neste texto. Fim de papo, a alternativa correta é a letra b!

b. {–5, 0, ½, √9}

Gabarito: alternativa b.

Exercício 2 — Expansão decimal (Fuvest 2014)

(Fuvest 2014) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações:

I. x é irracional.

II. x ≥ 10/3

III. x · 10^2.000.000 é um inteiro par.

Então:

a) nenhuma das três afirmações é verdadeira.

b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

c) apenas a afirmação I é verdadeira.

d) apenas a afirmação II é verdadeira.

e) apenas a afirmação III é verdadeira.

Resolução: vamos analisar cada afirmação separadamente.

Afirmação I: como os dígitos “restantes são iguais a zero”, o número x tem uma quantidade finita de casas decimais. Portanto, é um decimal exato e, logo, é racional. A afirmação I é falsa.

Afirmação II: note que 10/3 = 3,333…, com infinitos algarismos 3. Já x tem 999.999 algarismos 3 e, a partir da casa decimal de número 1.000.000, passa a ter algarismos 2. Assim, as duas representações são iguais até a casa 999.999, mas na casa seguinte x tem 2, enquanto 10/3 tem 3. Dessa forma, x < 10/3, e a afirmação II é falsa.

Afirmação III: o número x tem 999.999 + 1.000.001 = 2.000.000 casas decimais. Por conseguinte, multiplicar x por 10^2.000.000 desloca a vírgula 2.000.000 casas para a direita e resulta em um número inteiro. Como o último algarismo desse inteiro é 2, ele é par. A afirmação III é verdadeira.

Gabarito: alternativa e (apenas a afirmação III é verdadeira).

Exercício 3 — Soma de números irracionais

Verdadeiro ou falso? “A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.” Justifique.

Resolução: a afirmação é falsa, e basta um contraexemplo para mostrar isso. Os números √2 e −√2 são ambos irracionais. Contudo, √2 + (−√2) = 0, e o zero é um número racional (0 = 0/1). Logo, a soma de dois irracionais nem sempre é irracional.

Gabarito: falso.

Exercícios Propostos com Gabarito

Agora é a vez de vocês! Tentem resolver as questões abaixo antes de conferir o gabarito comentado.

1) Classifique cada número como racional (ℚ) ou irracional (𝕀): a) √81; b) √12; c) 0,454545…; d) 2π; e) −7/5; f) 0,101001000100001…

2) Entre quais dois números inteiros consecutivos está localizado √50 na reta real?

3) Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F): a) todo número real é racional; b) todo número irracional é real; c) ℚ ∩ 𝕀 = ∅; d) √2 × √2 é um número irracional; e) a soma de um número racional com um número irracional é sempre irracional.

4) Um terreno quadrado tem área de 72 m². Qual é a medida exata do lado desse terreno? Esse valor é racional ou irracional? Dê também uma aproximação com duas casas decimais.

5) Dê três exemplos de números irracionais que estejam entre 3 e 4.

Gabarito comentado

1) a) √81 = 9: racional. b) √12 = 2√3: irracional, pois 12 não é quadrado perfeito. c) 0,454545… é dízima periódica (= 5/11): racional. d) 2π: irracional, pois é o produto de um racional não nulo por um irracional. e) −7/5 = −1,4: racional. f) 0,101001000100001…: irracional, pois é infinito e não periódico (a quantidade de zeros aumenta sempre).

2) Como 7² = 49 e 8² = 64, e 49 < 50 < 64, temos 7 < √50 < 8. Logo, √50 está entre 7 e 8 (na verdade, √50 ≈ 7,07).

3) a) F, pois √2 é real e não é racional. b) V, pois ℝ = ℚ ∪ 𝕀. c) V, pois os dois conjuntos são disjuntos. d) F, pois √2 × √2 = 2, que é racional. e) V, como vimos na tabela de operações.

4) Se o lado mede l, então l² = 72 e, portanto, l = √72 = √(36 × 2) = 6√2 m. Como 2 não é quadrado perfeito, esse valor é irracional. Com duas casas decimais, l ≈ 8,49 m.

5) Resposta pessoal. Alguns exemplos: π ≈ 3,14; √10 ≈ 3,16; √11 ≈ 3,32; √12 ≈ 3,46. Como 9 < 10 < 16, √10 está entre 3 e 4 e é irracional, e o mesmo vale para √11, √12, √13, √14 e √15.

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Videoaula sobre Números Irracionais e Reais

Para reforçar tudo o que vimos por aqui, não deixem de assistir à videoaula logo abaixo. Ela complementa todo o estudo dos números irracionais e reais que acabamos de realizar. Quem quiser mais conteúdos de matemática também pode acompanhar o canal do Professor Ferretto no YouTube e o Instagram do Professor Ferretto.

Perguntas Frequentes sobre Números Irracionais e Reais

O que são números irracionais?

São os números cuja representação decimal é infinita e não periódica e que, por isso, não podem ser escritos como fração de dois números inteiros. O conjunto dos números irracionais costuma ser representado pelo símbolo 𝕀 (ou simplesmente I).

Quais são exemplos de números irracionais?

Os exemplos mais conhecidos são √2, √3, π e e. De modo geral, a raiz quadrada de qualquer número natural que não seja quadrado perfeito (como √5, √7 e √10) também é um número irracional.

Qual é a diferença entre números racionais e irracionais?

Os racionais podem ser escritos como fração e têm representação decimal exata ou periódica (como 1/2 e 0,333…). Já os irracionais não podem ser escritos como fração e têm representação decimal infinita e não periódica (como π e √2). Nenhum número pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo.

O que são números reais?

Os números reais (ℝ) formam o conjunto que reúne todos os números racionais e todos os números irracionais, isto é, ℝ = ℚ ∪ 𝕀. Assim, os naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais são, todos eles, números reais.

Dízima periódica é um número irracional?

Não. Apesar de ter infinitas casas decimais, a dízima periódica tem um bloco de algarismos que se repete e, por isso, pode ser escrita como fração. Como 0,333… = 1/3, ela é um número racional.

O número π é igual a 22/7 ou a 3,14?

Não. O número π é irracional, logo não pode ser escrito como fração nem como decimal exato. Os valores 22/7 e 3,14 são apenas aproximações, úteis para fazer contas, mas diferentes do valor exato de π.

Um abração a todos e até breve!

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