Números Racionais

Todos os números que podem ser escritos na forma de fração são considerados números racionais. Por isso, esse conjunto numérico compreende os números naturais, inteiros, decimais exatos e também as dízimas periódicas. 

 

Olá, pessoal! Tudo bem?

Se vocês chegaram até aqui hoje, é porque desejam saber tudo sobre os números racionais. Pois vieram ao lugar certo! Vamos falar neste texto sobre a origem e a definição do conjunto dos números racionais, os seus subconjuntos notáveis e, na sequência, mostrar como eles se diferenciam dos números irracionais. Por fim, vocês também vão aprender, passo a passo, como resolver as quatro operações entre frações.

Beleza, pessoal? Sendo assim, peguem todos os seus materiais de estudo porque nós vamos começar. Vem comigo!

Aqui vocês vão conferir:

– O que são os números racionais e por que esse conjunto existe;

– Como identificar um número racional pela sua forma decimal;

– Os subconjuntos notáveis do conjunto ℚ;

– A diferença entre números racionais e números irracionais;

– Como resolver soma, subtração, multiplicação e divisão de frações;

– Exercícios resolvidos e propostos, com gabarito, para praticar.

 

 

Origem dos Números Racionais

Cada um dos conjuntos numéricos que conhecemos hoje surgiu diante da necessidade de representar uma certa quantidade de algo. É claro que não foi diferente com os números racionais. Até então, existiam apenas os números naturais e os números inteiros, mas nenhum deles conseguia representar as partes de um todo. Por exemplo, digamos que você e seus amigos estivessem comendo uma deliciosa pizza, e sobrassem 2, de um total de 8 pedaços. Sem a existência dos números racionais, vocês jamais poderiam dizer que sobrou ¼ de pizza!

Além disso, uma das 4 operações fundamentais da aritmética também não estava totalmente satisfeita sem a existência dos números racionais. Quando somamos, subtraímos ou multiplicamos dois números inteiros, sempre obtemos como resultado números também inteiros. Contudo, caso uma divisão entre dois números inteiros seja realizada, o resultado pode ser inteiro, mas também decimal. Ops! Números decimais nunca fizeram parte do conjunto dos números inteiros. É dessa ideia que surgiu a definição dos números racionais, a qual vamos conhecer no próximo item. Sigam comigo!

 

Definição do conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo ℚ, é descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros a e b.

Nós acabamos de descobrir que o conjunto dos números racionais surgiu com o intuito de abranger os resultados das operações de divisão entre dois números inteiros que não geram números também inteiros. Por esse motivo, qualquer número que possa ser representado na forma de uma divisão, de quociente, de razão ou de fração, é um número racional. Só que toda divisão ou fração possui uma restrição: seu divisor ou denominador jamais pode ser igual a zero, ou nulo! É isso que veremos agora na definição do conjunto dos números racionais por propriedade:

O conjunto dos números racionais é formado por todo quociente entre dois números a e b, tais que o numerador a pertença ao conjunto dos números inteiros, e que o denominador b pertença ao conjunto dos números inteiros não nulos. Se vocês derem uma olhadinha no texto Números Naturais e Inteiros, poderão perceber que lá se fala muito no significado do asterisco juntamente ao símbolo de um conjunto. Se o asterisco está presente, é um sinal de que o elemento zero não pertence ao conjunto. Justo, afinal, eu repito: o denominador de uma fração jamais pode ser zero.

E aí, o que acharam desta definição? Como sempre, exemplos numéricos tornam tudo bem mais claro. Seguem abaixo alguns números racionais:

Pessoal, todo número natural ou inteiro também é considerado um número racional. Isso porque é possível representar cada um deles na forma de fração, como manda a definição. Qualquer número dividido por 1, resulta nele mesmo. Portanto, uma das formas de escrever os números naturais e inteiros na forma de fração é utilizando como denominador o número 1!

 

A relação entre os números naturais, inteiros e racionais

O fato de representarmos os números naturais e inteiros na forma de fração, jamais fará com que eles deixem de pertencer ao seu conjunto numérico de origem. Muito pelo contrário. Lembrem que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros, porque todo elemento que pertence ao conjunto dos números naturais também pertence ao conjunto dos números inteiros. Ora, se todo número inteiro pode ser representado na forma de fração, então o conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais.

É isso que podemos visualizar no diagrama da imagem acima. Sob um segundo ponto de vista, também é possível dizer que o conjunto dos números racionais compreende o conjunto dos números inteiros, que por sua vez, compreende o conjunto dos números naturais!

Tranquilo até aqui? Bom, nós já definimos os números racionais, falamos que os números naturais e inteiros também são racionais, mas ainda não entramos em detalhes sobre os números que são exclusivamente racionais. São os números decimais, aqueles que representam a parte de um todo. Vem comigo!

 

As frações e sua representação decimal

Apenas dois tipos de números decimais pertencem ao conjunto dos números racionais: os decimais exatos e os periódicos. Os primeiros, são aqueles que possuem um número finito de casas decimais não nulas. Abaixo, seguem alguns exemplos de frações que resultam em números decimais exatos.

Já os decimais periódicos, possuem uma definição totalmente contrária a que acabamos de aprender. Estes números contêm infinitas casas decimais não nulas. Contudo, aí mora um detalhe importante: são casas decimais infinitas, mas não aleatórias. Os decimais periódicos são chamados assim, porque os números que compõem suas casas decimais se repetem, ou seja, tem periodicidade.

E aí, gostaram destes exemplos? Para quem achou os números familiares, sim, os decimais periódicos também são conhecidos como dízimas periódicas! Se vocês quiserem saber mais sobre elas, é só acessar este texto aqui.

Certo, pessoal? Agora que já sabemos quais números pertencem ao conjunto dos racionais, vale a pena conhecer também os seus subconjuntos notáveis, já que eles aparecem com frequência em provas e vestibulares. Vamos lá!

 

Subconjuntos Notáveis dos Números Racionais

Assim como acontece com os números naturais e os números inteiros, o conjunto dos números racionais também possui subconjuntos notáveis. Eles seguem exatamente a mesma lógica: o asterisco (*) indica que o zero foi excluído, e o sinal de + ou – indica que somente os racionais positivos ou negativos foram selecionados. Confiram a tabela a seguir:

Notação	Significado
ℚ	Conjunto de todos os números racionais
ℚ*	Racionais não nulos (sem o zero)
ℚ₊	Racionais não negativos (positivos e o zero)
ℚ₋	Racionais não positivos (negativos e o zero)
ℚ*₊	Racionais positivos (sem o zero)
ℚ*₋	Racionais negativos (sem o zero)

 

Por conseguinte, todo número que vocês já viram neste texto — seja ele natural, inteiro, decimal exato ou dízima periódica — pertence a algum desses subconjuntos, dependendo apenas do seu sinal.

 

Números Racionais × Números Irracionais: Qual É a Diferença?

Depois de estudarmos tudo sobre os números racionais, uma dúvida costuma surgir: será que existe algum número que não seja racional? A resposta é sim, e esses números são chamados de números irracionais. Portanto, para fechar com chave de ouro o conjunto dos números que vocês já conhecem, vamos comparar os dois.

Um número racional, como já vimos, sempre pode ser escrito na forma de fração e, quando colocado na forma decimal, resulta em um decimal exato ou em uma dízima periódica. Já um número irracional é exatamente o contrário: não pode ser escrito como fração, e sua representação decimal é infinita e não periódica — ou seja, as casas decimais não terminam nem se repetem em nenhum padrão. Bons exemplos de números irracionais são o π (pi) e a raiz quadrada de qualquer número que não seja um quadrado perfeito, como √2, √3 ou √7.

Critério	Números Racionais (ℚ)	Números Irracionais
Pode ser escrito como fração?	Sim	Não
Representação decimal	Exata ou periódica	Infinita e não periódica
Exemplos	1/2 ; 0,75 ; 0,333…	π ; √2 ; √3
Interseção com o outro conjunto	ℚ ∩ 𝕀 = ∅	ℚ ∩ 𝕀 = ∅
Une-se ao outro conjunto para formar	ℝ (números reais)	ℝ (números reais)

 

Reparem, portanto, que os dois conjuntos são completamente disjuntos: um número nunca poderá ser racional e irracional ao mesmo tempo. Juntos, porém, eles formam o conjunto dos números reais (ℝ), responsável por preencher toda a reta numérica sem deixar nenhuma lacuna.

Vejam só: 0,333… é racional, pois é a representação decimal da fração 1/3. Já √7 é irracional, porque 7 não é um quadrado perfeito e a sua raiz não resulta em um decimal exato nem periódico. Com um pouco de prática, essa identificação fica cada vez mais rápida!

Quer se aprofundar no assunto? Depois de dominarem os números racionais, o próximo passo natural é estudar os números irracionais e o conjunto dos números reais com calma. Cliquem aqui e confiram o texto completo: Números Irracionais e Reais.

 

Operações com Números Racionais

Já que os números racionais nada mais são do que frações, saber operar com eles é essencial — tanto para o Enem quanto para o dia a dia. Vamos revisar, passo a passo, como fazer a simplificação, a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão de frações.

Simplificação de Frações

Simplificar uma fração significa encontrar uma fração equivalente com números menores, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo valor — de preferência, pelo Máximo Divisor Comum (MDC) entre eles. Por exemplo, na fração 12/18, o MDC entre 12 e 18 é 6. Dessa forma, dividindo ambos os termos por 6, obtemos a fração irredutível 2/3.

Soma e Subtração de Frações

Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, o primeiro passo é igualá-los, encontrando o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre eles. Assim, vamos calcular 1/4 + 1/6. Como o MMC entre 4 e 6 é 12, reescrevemos as frações como 3/12 e 2/12. Logo, 3/12 + 2/12 = 5/12. O mesmo raciocínio vale para a subtração: basta manter o denominador comum e subtrair os numeradores.

Multiplicação de Frações

A multiplicação de frações é a mais direta das quatro operações: basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador, sem precisar igualar os denominadores antes. Por exemplo, 2/3 × 3/5 = 6/15, que, simplificada pelo MDC (que é 3), resulta em 2/5.

Divisão de Frações

Para dividir duas frações, basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda — ou seja, invertemos o numerador e o denominador do divisor. Por exemplo, para calcular 2/3 ÷ 4/5, invertemos a segunda fração e multiplicamos: 2/3 × 5/4 = 10/12, que simplificada resulta em 5/6.

Percebam que, por trás de qualquer conta com números decimais ou porcentagens, existe sempre uma fração — ou seja, um número racional — fazendo o trabalho pesado. Por isso, dominar essas quatro operações é também um dos pilares da matemática básica.

 

Exercícios Propostos

Exemplo Resolvido

Uma receita de bolo usa 2/3 de xícara de farinha para render uma quantidade padrão. Se vocês quiserem preparar apenas 3/4 dessa receita, quanto de farinha será necessário?

Resolução: basta multiplicar as duas frações: 2/3 × 3/4 = 6/12, que simplificada resulta em 1/2. Portanto, serão necessárias 1/2 xícara de farinha.

 

Agora é com Vocês

1) Calcule: 3/5 + 1/10

2) Calcule: 5/6 − 1/3

3) Calcule: 4/9 × 3/8

4) Calcule: 7/10 ÷ 14/5

5) Classifiquem os números a seguir como racionais ou irracionais: √16 ; √20 ; 0,777… ; −8/3

 

Gabarito: 1) 7/10 2) 1/2 3) 1/6 4) 1/4 5) √16 é racional (= 4); √20 é irracional; 0,777… é racional (= 7/9); −8/3 é racional.

 

Vídeo sobre Números Racionais

Para reforçar tudo o que vimos por aqui, não deixem de assistir à videoaula logo abaixo — ela retoma os principais pontos deste conteúdo de um jeito bem visual. Quem quiser mais exercícios comentados e outras aulas de matemática básica também pode acompanhar o canal Ferretto Matemática no YouTube e conferir as novidades no Instagram do Professor Ferretto.

 

Perguntas Frequentes sobre Números Racionais

O que são números racionais?

São todos os números que podem ser escritos na forma de fração a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero. Isso inclui os números naturais, os inteiros, os decimais exatos e as dízimas periódicas.

Qual é o símbolo do conjunto dos números racionais?

O conjunto dos números racionais é representado pela letra ℚ.

Todo número racional é um número inteiro?

Não. O contrário é que é verdadeiro: todo número inteiro é racional, mas nem todo racional é inteiro — como é o caso de 1/2, por exemplo.

Qual é a diferença entre números racionais e irracionais?

Os racionais podem ser escritos como fração e têm decimal exato ou periódico. Já os irracionais não podem ser escritos como fração e têm decimal infinito e não periódico, como o π e o √2.

Como resolver operações com números racionais?

Na soma e na subtração, o primeiro passo é igualar os denominadores usando o MMC. Na multiplicação, multiplicam-se numeradores e denominadores diretamente. Já na divisão, multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda.

 

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Abração! Nos vemos em breve!