Relações métricas na circunferência

Olá Pessoal! Tudo bem?

Vamos estudar mais um assunto sobre geometria plana, e neste texto vamos abordar algumas relações métricas na circunferência, bem como suas propriedades.

Essas relações métricas são muito importantes no estudo da geometria plana, principalmente para você que irá fazer o Enem ou o vestibular. Então, eu espero que esse texto seja bastante útil para você nos seus estudos. Certo pessoal?!

Então, vem comigo aqui!

No estudo da circunferência, vamos conhecer cinco relações métricas essenciais: a propriedade da tangente, a propriedade da corda, a relação entre duas cordas que se cruzam, os segmentos tangentes e o quadrilátero circunscrito.

Assim, ao final deste texto, você vai reconhecer cada uma dessas situações em uma questão de prova e saber exatamente qual fórmula aplicar. Vamos ver cada uma delas!

Antes de começar, uma dica muito importante. Se você quiser se aprofundar mais no estudo da geometria plana, assine a plataforma Professor Ferretto. Na plataforma você terá acesso a videoaulas, listas de exercícios, material didático e questões do Enem e do vestibular resolvidas.

Tabela-Resumo: as 5 Relações Métricas na Circunferência

Antes de entrar em cada propriedade em detalhes, aqui vai um resumo rápido para consulta:

Propriedade	Enunciado resumido	Fórmula / relação
Propriedade da Tangente	O raio é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência.	ângulo de 90°
Propriedade da Corda	O raio traçado até o ponto médio de uma corda é perpendicular a ela.	divide a corda ao meio
Duas Cordas que se Cruzam	O produto das partes de uma corda é igual ao produto das partes da outra.	a · b = c · d
Segmentos Tangentes	Dois segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto externo têm a mesma medida.	PA = PB
Quadrilátero Circunscrito	A soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.	a + b = c + d

1. Propriedade da Tangente

Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Vou exemplificar melhor esta propriedade para vocês usando a figura da circunferência apresentada abaixo.

Reta tangente à circunferência: o raio forma 90° com a tangente no ponto de tangência

Vejam que temos uma reta tangente traçada junto a circunferência, isto ocorre porque essa reta está tocando a circunferência em apenas um único ponto P, e os demais pontos da reta são externos à circunferência. Esse ponto em comum é chamado de ponto de tangência.

Ao traçarmos uma reta que liga o raio R ao ponto de tangência, podemos ver que a reta tangente e o raio são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90°.

Vou fazer um exercício que aborda essa propriedade que acabamos de ver, para vocês aprenderem melhor.

1) As circunferências da figura abaixo são tangentes entre si e tangentes à reta r nos pontos A e B. Se os raios medem 8 cm e 2 cm, determine a medida do segmento AB.

Circunferências tangentes entre si e tangentes à reta r nos pontos A e B

A questão pede o comprimento do segmento AB, então vou chamar esse segmento de x. Se nós unirmos os dois centros destas circunferências, teremos 8 cm do raio da circunferência maior e 2 cm do raio da circunferência menor, resultando em uma reta de 10 cm.

Como acabamos de ver na propriedade, ao traçarmos uma reta do centro da circunferência menor ao ponto de tangência B, o raio forma um ângulo de 90° com a reta tangente. Da mesma forma, ao ligarmos o raio da circunferência maior ao seu ponto de tangência A, temos um ângulo de 90° sendo formado. Notem que o comprimento da reta ao ponto de tangência B é de 2 cm.

Agora imaginem o seguinte: por esse ponto central da circunferência menor passamos uma reta paralela à reta r. Ao traçar esta reta, podemos perceber que a reta que liga o raio da circunferência maior ao ponto de tangência A ficou dividida em duas partes. Uma de 2 cm abaixo da reta tangente a r e a outra de 6 cm acima desta reta, como exemplificado na figura abaixo.

Triângulo retângulo formado ao ligar os raios aos pontos de tangência A e B

Vejam que nós temos um triângulo sendo formado, e este, com certeza, é um triângulo retângulo. O cateto que nós temos embaixo é exatamente o mesmo comprimento do x que nós queremos descobrir nesta questão.

Podemos calcular a medida de x usando o Teorema de Pitágoras, já que temos o valor da hipotenusa e de um dos catetos.

Desta forma, podemos fazer:

a² = b² + c²

10² = 6² + x²

x² = 100 – 36

x² = 64

x = ± 8

Neste caso, ficamos apenas com o valor positivo, já que se refere a comprimento. Então, o segmento AB mede 8 cm.

2. Propriedade da Corda

Um segmento de reta que une o centro e o ponto médio de uma corda é perpendicular a esta corda. Deixa eu explicar melhor, vejam a figura abaixo:

Raio traçado perpendicularmente até um ponto de uma corda da circunferência

Notem que uma reta secante à circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, e essa secante tem, na parte interna da circunferência, a corda.

Neste caso, ao traçarmos uma reta ligando o raio R ao ponto médio da corda, também podemos perceber que ambas formam um ângulo reto entre si. Se nós pegarmos o raio e colocarmos ele perpendicularmente à corda, você pode ter certeza que esta corda ficará dividida em dois segmentos que possuem o mesmo comprimento.

Agora vamos fazer um exemplo em relação a esta propriedade. Neste caso, é importante que vocês saibam que a distância de uma reta ou segmento de reta a um ponto sempre é considerada formando um ângulo de 90°, ou seja, sempre a menor distância em relação ao ponto.

2) Em uma circunferência de 13 cm de raio, uma corda de 24 cm de comprimento está a que distância do centro dessa circunferência?

O raio perpendicular divide a corda de 24 cm em dois segmentos iguais

Vamos ligar o raio perpendicularmente à corda, a qual ficará dividida em dois segmentos de 12 cm em cada lado, pois seu comprimento total é de 24 cm.

Notem que o raio da circunferência mede 13 cm; então, nós podemos traçar este raio junto à borda da circunferência, como mostra a figura abaixo.

Triângulo retângulo formado pelo raio, a metade da corda e a distância x ao centro

Pessoal, vejam que foi formado um triângulo retângulo, e nós podemos montar o teorema de Pitágoras.

13² = 12² + x²

169 – 144 = x²

x = ± 5

Então, a distância do raio à corda mede 5 cm, ou seja, a distância da corda até o centro mede 5 cm.

3. Relação entre Duas Cordas que se Cruzam

Chegamos a uma das relações métricas mais buscadas por quem estuda para o Enem e o vestibular: a relação entre duas cordas que se cruzam dentro de uma mesma circunferência. Vou explicar melhor usando a figura abaixo.

Duas cordas, AB e CD, cruzando-se no ponto P interno à circunferência

Observem que as cordas AB e CD se cruzam em um ponto P, interno à circunferência. Esse cruzamento divide cada corda em duas partes: a corda AB fica dividida nos segmentos a e b, enquanto a corda CD fica dividida nos segmentos c e d.

Pois bem, essas quatro medidas guardam uma relação bastante simples entre si: o produto das duas partes de uma corda é sempre igual ao produto das duas partes da outra corda. Em outras palavras:

a · b = c · d

Vamos fazer um exemplo para fixar essa relação.

Duas cordas AB e CD de uma mesma circunferência se cruzam no ponto P. Sabendo que AP mede 3 cm, PB mede 8 cm e CP mede 4 cm, determine a medida de PD.

Como P é o ponto de cruzamento das duas cordas, podemos aplicar diretamente a relação que acabamos de ver:

AP · PB = CP · PD

3 · 8 = 4 · PD

24 = 4 · PD

PD = 24 / 4

PD = 6

Portanto, o segmento PD mede 6 cm.

Essa relação entre duas cordas é, na verdade, um dos 3 casos de um conceito mais amplo da geometria plana chamado potência de ponto. Por isso, se vocês quiserem se aprofundar e conhecer também os outros dois casos — quando o ponto de cruzamento fica fora da circunferência, envolvendo secantes e tangentes —, além de um exercício mais completo com o cálculo do raio da circunferência, é só conferir o texto Potência de Ponto: os 3 Casos em Relação à Circunferência.

4. Segmentos Tangentes

Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na circunferência, então PA ≡ PB. Essa propriedade também é conhecida como Teorema das Tangentes.

Vejam a circunferência abaixo, na qual existem dois segmentos tangentes a ela e ligados por um ponto P. Com os pontos A e B na circunferência, temos um segmento PA e outro segmento PB, dois segmentos congruentes, ou seja, de mesmo comprimento. Desta forma, podemos dizer que o comprimento de PA é o mesmo de PB.

Segmentos tangentes PA e PB, traçados de um mesmo ponto externo P

Pessoal, vamos fazer um exemplo que aborda esta propriedade para vocês entenderem melhor.

Na figura abaixo, PA = 12 cm. Determine o perímetro do triângulo PDE.

Duas tangentes traçadas do ponto P, tocando a circunferência em D e E

Vejam que do ponto P externo estamos traçando duas retas tangentes; então, de acordo com a propriedade, a distância de PB também vale 12 cm.

Agora, reparem o seguinte: do ponto D nós estamos traçando uma tangente pelo lado direito e uma tangente por cima da circunferência. Dessa forma, podemos ver que o comprimento de D até A é igual ao comprimento de D até o ponto de tangência. Então, se nós dissermos que o segmento DA vale a, o outro segmento também vale a, de acordo com a propriedade que nós acabamos de ver.

Usando o mesmo raciocínio, o ponto B é um ponto tangente e o E é um ponto externo à circunferência. Assim, se nós dissermos que o comprimento do segmento que vai de E até B vale b, o segmento que vai de E até o ponto de tangência também valerá b.

Como a questão pede para calcular o perímetro do triângulo PDE, devemos calcular a soma de todos os lados do triângulo PDE. Para isso, devemos analisar dois lados:

– o lado PD, que é igual ao todo menos o comprimento a, então PD = 12 – a;

– o lado PE, que é igual ao todo menos o comprimento b, logo, PE = 12 – b.

Decomposição dos segmentos tangentes do triângulo PDE em a e b

Com isso, podemos calcular o perímetro do triângulo PDE. Na geometria, o perímetro é representado por 2p, ou seja, 2 semiperímetros:

2p = P = (12 – a) + a + (12 – b) + b

P = 12 – a + a + 12 – b + b

P = 24

Então, o perímetro do triângulo PDE é de 24 cm.

5. Quadrilátero Circunscrito

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois. Essa propriedade também é conhecida como Teorema de Pitot.

Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência. Deixem eu explicar melhor.

Como no exemplo abaixo, temos um quadrilátero que está circunscrito na circunferência, ou seja, que está por fora da circunferência, mas não simplesmente por fora — notem que todos os lados do quadrilátero estão tangenciando a circunferência. Se definirmos os lados como a, b, c e d, pela propriedade sabemos que:

Quadrilátero convexo circunscrito à circunferência, com lados a, b, c e d

A + B = C + D

Pessoal, essa propriedade também é uma condição necessária para que nós possamos colocar uma circunferência inscrita nesse quadrilátero. Por exemplo, vejam o retângulo abaixo: veja que nós não podemos colocar uma circunferência inscrita nele de tal forma que os quatro lados do retângulo estejam tangenciando a circunferência. Isto ocorre porque a soma dos lados opostos do retângulo não é igual.

Um retângulo não consegue ter os 4 lados tangentes à mesma circunferência

Então, a soma dos lados opostos serem iguais em um quadrilátero é uma condição para que nós possamos colocar uma circunferência inscrita no mesmo.

Atenção para não confundir: aqui a circunferência é que está dentro do quadrilátero (quadrilátero circunscrito). Já quando os quatro vértices do quadrilátero é que tocam a circunferência, a relação é outra — ângulos opostos suplementares —, e você confere os detalhes em Quadrilátero Inscrito na Circunferência.

Vamos fazer um exemplo que aborde esta propriedade, para que fique bem claro para vocês como usá-la.

Determine o perímetro do quadrilátero abaixo.

Quadrilátero circunscrito com lados 3x, x+1, 2x e 3x+1

Reparem que os quatro lados do quadrilátero estão tangenciando a circunferência, ou seja, nós temos um quadrilátero circunscrito na circunferência. Como vimos na propriedade, a soma dos lados opostos deve ser igual; então:

3x + 2x = x + 1 + 3x + 1

5x = 4x + 2

5x – 4x = 2

x = 2

Desta forma, se o x vale dois, podemos descobrir o valor de cada lado deste quadrilátero.

i. 3x = 3.2 = 6

ii. 3x + 1 = 3.2 + 1 = 7

iii. 2x = 2.2 = 4

iv. x + 1 = 2 + 1 = 3

Somando todos os lados, teremos um perímetro de:

P = 6 + 7 + 4 + 3

P = 20 cm

Exercícios Propostos

Para fixar as cinco relações métricas que vimos neste texto, treine com os exercícios abaixo antes de conferir o gabarito.

1) Uma reta tangencia uma circunferência de raio 5 cm no ponto T. Um ponto P está sobre essa reta tangente, a 12 cm de T. Qual é a distância entre P e o centro da circunferência?

2) Duas cordas de uma mesma circunferência se cruzam em um ponto interno. Uma delas fica dividida em partes de 4 cm e 9 cm; a outra fica dividida em duas partes iguais. Qual é a medida de cada parte da segunda corda?

3) De um ponto P externo a uma circunferência, traçam-se dois segmentos tangentes cuja soma das medidas é 30 cm. Qual é a medida de cada segmento tangente?

4) Um quadrilátero está circunscrito a uma circunferência. Dois lados opostos medem 5 cm e 6 cm; os outros dois lados opostos medem 7 cm e x. Determine x.

Gabarito: 1) 13 cm 2) 6 cm 3) 15 cm cada 4) x = 4 cm

Perguntas Frequentes sobre Relações Métricas na Circunferência

O que são relações métricas na circunferência?

As relações métricas na circunferência são propriedades que relacionam as medidas de retas tangentes, secantes, cordas e raios dentro de uma mesma circunferência. Dessa forma, elas permitem calcular comprimentos desconhecidos sem que seja necessário medir a figura, bastando aplicar a fórmula correspondente a cada situação.

Qual é a fórmula da relação entre duas cordas que se cruzam?

Quando duas cordas de uma mesma circunferência se cruzam em um ponto interno, o produto das duas partes de uma corda é igual ao produto das duas partes da outra corda. Ou seja, se as partes de uma corda medem a e b, e as partes da outra medem c e d, então a · b = c · d.

Qual é a diferença entre relações métricas na circunferência e potência de ponto?

As relações métricas na circunferência reúnem várias propriedades da figura, como a perpendicularidade entre raio e tangente, os segmentos tangentes e o quadrilátero circunscrito. Já a potência de ponto é, especificamente, o conjunto das três relações de produto entre segmentos — cordas, secantes e tangentes — que partem de um mesmo ponto. Assim, a relação entre duas cordas, por exemplo, é ao mesmo tempo uma relação métrica na circunferência e um caso particular da potência de ponto. Para ver a demonstração completa dos 3 casos, o macete de memorização e o exercício resolvido, confira o texto Potência de Ponto em Relação à Circunferência.

Essas relações métricas caem no Enem e nos vestibulares?

Sim. As relações métricas na circunferência são um conteúdo recorrente de geometria plana nas provas do Enem e dos principais vestibulares; portanto, vale a pena dominar cada uma das cinco propriedades apresentadas neste texto e treinar com exercícios resolvidos.

Como saber qual relação métrica aplicar em cada exercício?

Basta identificar quais elementos aparecem na figura: se houver uma reta tangente e um raio, use a propriedade da tangente; se houver duas cordas se cruzando, aplique a relação a · b = c · d; se houver dois segmentos tangentes partindo de um mesmo ponto externo, eles são iguais; e se a circunferência estiver inscrita em um quadrilátero, use a soma dos lados opostos. Antes de resolver qualquer questão do tema, também vale revisar os elementos da circunferência e do círculo — corda, raio, secante e tangente —, já que são a base de todas essas relações. Assim, reconhecer a figura correta já indica qual fórmula aplicar.

Finalizamos mais um texto, e eu espero que tenha sido muito proveitoso e importante para o seu estudo de geometria. Deixo em anexo o vídeo do conteúdo para que vocês possam assistir e acompanhar o que foi aprendido no texto de hoje.

Bons estudos, sucesso e até mais!

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