POLÍGONOS

06/03/2020

Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta que não se cruzam, a não ser em suas extremidades. Também é possível definir um polígono como qualquer figura plana formada pelo mesmo número de ângulos e lados.

 

Olá, pessoal! Tudo certo por aí?

Os polígonos são figuras geométricas que compõem a base da geometria plana. Por isso, vamos estudar aqui a classificação dos polígonos, os seus elementos e a nomenclatura dos polígonos de acordo com o número de lados. Além disso, vamos conhecer uma série de fórmulas que relacionam os ângulos, os lados e as diagonais de um polígono. Se você é um amante da geometria plana, ou precisa desvendá-la para se dar bem nas provas do ENEM e dos vestibulares, não deixe de acompanhar o texto comigo!

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Tranquilo, pessoal? Então, como é de costume: vem comigo aqui!

 

1. O QUE É UM POLÍGONO?

polígonos côncavos e convexos espalhados

Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta que não se cruzam, a não ser em suas extremidades. Apesar dessa definição soar um tanto confusa, quando nos deparamos com figuras geométricas que não são polígonos, fica um pouco mais simples compreender o seu real significado. Olhem só!

figura (1) está aberta figura (2) é uma circunferência e figura (3) possui segmentos se cruzando

Na imagem acima, vemos 3 figuras que não são polígonos. A primeira delas não é um polígono porque não é fechada. A segunda, não é um polígono porque não é constituída por segmentos de reta. A terceira, também não pode ser um polígono, pois apesar de ser formada por segmentos de reta, estes segmentos se cruzam ao formar a figura.

Incrível, não é? Bom, agora que conhecemos a definição de polígono, estamos prontos  para entender a sua classificação. Sigam comigo!

 

2. TIPOS DE POLÍGONOS

polígono côncavo e polígono convexo

Os polígonos costumam ser classificados como côncavos ou convexos. Vocês podem identificar quando um polígono é côncavo e quando é convexo traçando um segmento de reta sobre a figura. Feito isso, é possível tirar as seguintes conclusões:

 

2.1 Polígono Côncavo

polígono côncavo com segmento de reta traçado sobre ele

Um polígono é considerado côncavo, quando a reta consegue interceptá-lo em mais de dois pontos. Também é possível identificar que um polígono é côncavo, quando o segmento de reta traçado não pertence somente à região limitada pelo polígono, ou seja, quando uma parte dele está pra fora dos limites do polígono.

segmento para fora da região do polígono côncavo em destaque

Para memorizar o nome deste polígono, lembrem que côncavo é sinônimo de concavidade, buraco, depressão (geog.). Assim, um polígono côncavo é aquele que possui um “buraco”.

 

2.2 Polígono Convexo

polígono convexo com segmento de reta traçado sobre ele

Um polígono é considerado convexo, quando a reta consegue interceptá-lo no máximo em dois pontos. Também é possível identificar que um polígono é convexo, quando o segmento de reta traçado pertence somente à região limitada pelo polígono, como mostra a imagem abaixo.

segmento interno ao polígono convexo em destaque

E aí, ficou clara a diferença entre os polígonos? A partir desse momento, nós vamos voltar nossos estudos apenas para o polígono convexo. Vem comigo!

 

3. ELEMENTOS DE UM POLÍGONO

polígono onde os lados ângulos internos e externos diagonais e vértices estão em destaque

Todo polígono possui um certo número de lados, de vértices, de diagonais e de ângulos internos e externos. Conhecer cada um desses elementos nos permite estabelecer algumas fórmulas bem importantes para o estudo dos polígonos. É isso que faremos na sequência, acompanhem!

 

3.1 Lados

polígono com os lados em destaque

Os lados são os segmentos de reta que formam o polígono. Geralmente, os lados são identificados pela letra n.

 

3.2 Vértices

polígono com os vértices A B C D e E em destaque

Os vértices são os pontos de encontro entre dois lados consecutivos (sucessivos) de um polígono. Geralmente, identificamos os vértices por letras maiúsculas do alfabeto.

 

3.3 Diagonais

polígono com as diagonais em destaque

As diagonais de um polígono são segmentos de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono. Isso porque, quando unimos dois vértices consecutivos de um polígono, na verdade, formamos um de seus lados.

polígono com um lado e uma diagonal em destaque

Reparem na imagem acima, que as extremidades do segmento AE com uma barra sobre as letras  são vértices consecutivos do polígono. Portanto, AE com uma barra sobre as letras  é um lado do polígono. Entretanto, as extremidades do segmento EC com uma barra sobre as letras  não são vértices consecutivos. Por isso, esse segmento é uma das diagonais do polígono do exemplo.

fórmula d = n.(n-3)/2 em um quadro

No quadro acima, vemos uma fórmula muito conhecida que permite determinar o número de diagonais d de um polígono em função do número de lados n. Anotem esta fórmula, afinal, ela será muito útil na resolução de exercícios que envolvem os polígonos!

 

CURIOSIDADE

Ferretto segura a lupa chamando atenção para uma curiosidade sobre os polígonos

O pentágono é o único polígono cujo número de diagonais é exatamente igual ao número de lados. Para comprovarmos tal afirmação, vamos substituir o n da fórmula que acabamos de conhecer por 5 e verificar qual será o número de diagonais encontrado.

substituindo n por 5 na fórmula d = n.(n-3)/2 temos que d é igual a 5 também

 

3.4 Ângulos Internos e Externos

polígono com os ângulos internos e externos em destaque

Todo polígono possui ângulos internos, que se formam entre dois de seus lados consecutivos. Além disso, os polígonos possuem ângulos externos, formados entre um lado do polígono e o prolongamento do lado consecutivo a este. Na imagem acima, podemos observar os ângulos internos (i1, i2, i3, i4, i5) e externos (e1, e2, e3, e4, e5) de um polígono de 5 lados.

A imagem não deixa dúvidas de que todo ângulo interno possui um ângulo externo correspondente. Tanto é verdade, que se repararmos melhor no polígono apresentado, veremos que cada ângulo interno forma junto com seu respectivo ângulo externo um ângulo raso, ou seja, de 180º. Isso significa que em qualquer polígono, todo ângulo interno é suplementar ao seu respectivo ângulo externo.

i + e = 180º

Além da relação acima, é muito importante que vocês dominem a soma dos ângulos internos (Si) e externos (Se) dos polígonos. A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é sempre 360º, independente do formato ou de qualquer outra característica do polígono. Enquanto isso, a soma dos ângulos internos depende do número n de lados do polígono, e pode ser calculada através da seguinte fórmula:

Si = 180˚.(n-2) e Se = 360˚

Entendido, pessoal? Anotem estas fórmulas aí porque vamos utilizá-las em breve! Agora, vamos conhecer a nomenclatura dos polígonos de acordo com o número de lados que eles apresentam. Vem comigo!

 

4. NOMENCLATURA DOS POLÍGONOS

tabela com a nomenclatura dos polígonos de 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 e 20 lados

Legal, não é, pessoal? Salvem essa tabela para não esquecer mais a nomenclatura dos polígonos!

E agora, depois de todo esse conhecimento, nada mais justo do que resolvermos alguns exercícios para consolidar o aprendizado. Sigam comigo até o próximo item!

 

5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE OS POLÍGONOS

livro aberto onde está escrito exercícios resolvidos

 

Exercício 1  

Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.

Conforme informa o exercício, o número de diagonais “d” do polígono em questão é 4 vezes maior que o número de lados “n”, ou seja, d = 4n. Portanto, podemos utilizar a fórmula do número de diagonais do polígono, e substituir o valor de “d” por “4n”. Isso nos permitirá encontrar o número de lados do polígono, que consequentemente, nos levará a sua nomenclatura. Acompanhem comigo!

substituindo d da fórmula d = n.(n-3)/2 por 4n temos que n é igual a 11

Assim como mostra a tabela que observamos logo acima, um polígono de 11 lados é um undecágono.

 

Exercício 2

Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quadruplo da soma das medidas dos ângulos externos?

Em forma de equação, podemos transcrever o enunciado da seguinte forma:

Si = 4 . Se

Sabemos que a soma dos ângulos externos de um polígono é sempre 360° e que a soma dos ângulos internos é dada pela fórmula “Si = 180º ⋅ (n – 2)”. Assim, podemos substituir esses dois valores na equação acima:

Si = 4 . Se

180º ⋅ (n – 2) = 4 . 360º

 n – 2 = 4 . 2

n = 8 + 2

n = 10

Dessa forma, como são 10 lados, o polígono procurado se chama decágono.

 

Exercício 3

Em um polígono, a soma dos ângulos internos e externos é 1080º. Determine o seu número de diagonais.

Novamente, de acordo com enunciado, podemos estabelecer a seguinte equação:

Si + Se = 1080º

Substituindo o termo Si por “180º ⋅ (n – 2)” e o termo Se por “360º”, podemos encontrar o número de lados do polígono descrito no exercício.

Si + Se = 1080º

180º ⋅ (n – 2) + 360º = 1080º

180º ⋅ (n – 2) = 1080º – 360º

180º ⋅ (n – 2) = 720º

n – 2 = 4

n = 6

Acontece que nesse caso, não é o número de lados que está sendo requisitado, mas sim, o número de diagonais do polígono. Por isso, vamos encontrar esse número com a fórmula do número de diagonais que também aprendemos aqui.

substituindo n por 6 na fórmula d = n.(n-3)/2 temos que d é igual a 9

Entendido, pessoal? Caso tenha restado alguma dúvida sobre as equações e fórmulas que utilizamos nos exercícios, acompanhem o vídeo disponível logo abaixo. Nele eu resolvo outros exercícios também, e dou uma pincelada na teoria para vocês ficarem craques no assunto.

Assim, é chegada a hora de concluirmos o texto! Espero que este assunto tenha sido muito proveitoso para os estudos de vocês! Quem quiser receber (gratuitamente!) conteúdos exclusivos do Professor Ferretto, pode ficar à vontade para se cadastrar no botão abaixo.

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Um abraço, sucesso e até mais!