Média Geométrica: fórmula, exemplos e exercícios

A média geométrica de n números positivos é a raiz de índice n do produto desses números: MG = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · x_n). Ela é a média indicada para taxas de crescimento, aumentos sucessivos e grandezas que se multiplicam, como as de uma progressão geométrica.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje vamos desvendar um conteúdo de estatística que assusta um pouquinho à primeira vista, mas que fica bem tranquilo quando entendemos o motivo de cada passo: a média geométrica. Assim como as médias aritmética e harmônica, ela é uma média pitagórica.

Mas por que precisamos de mais de um tipo de média? Porque nem todos os valores se comportam da mesma forma. As notas de uma prova, por exemplo, se somam. Já os aumentos sucessivos de preço, os juros e o crescimento de uma população se multiplicam. Portanto, quando a situação envolve multiplicação, a média que representa bem os dados é a geométrica.

Por isso, vale a pena entender o raciocínio, e não apenas decorar a fórmula. Ao longo do texto, vocês vão encontrar:

• a fórmula e o passo a passo para calcular a média geométrica;
• a diferença entre média geométrica e média aritmética, com um exemplo numérico;
• as principais aplicações: taxa média de crescimento, geometria, progressão geométrica e índices como o IDHM;
• os erros mais comuns na hora da prova;
• exercícios resolvidos e propostos, com gabarito comentado.

Resumo rápido Fórmula: MG = n√(x1 · x2 · … · xn). O índice da raiz é sempre a quantidade de termos (n). Vale para valores positivos. Use quando os valores se multiplicam: taxas de crescimento, aumentos e descontos sucessivos, PG. Para números positivos, MG ≤ MA (média aritmética). Só são iguais quando todos os valores são iguais. Para taxas: converta cada porcentagem em fator (1 + i), calcule a MG dos fatores e subtraia 1 no final.

O que é a média geométrica?

A média geométrica é uma medida de tendência central que representa um conjunto de valores positivos por meio de um único número, obtido com produto e raiz. Dessa forma, se substituíssemos todos os valores do conjunto pela média geométrica, o produto entre eles continuaria o mesmo.

Compare com a média aritmética: nela, ao trocar todos os valores pela média, é a soma que se mantém. Essa diferença simples explica quase tudo que veremos a seguir.

Um detalhe importante: trabalhamos com valores positivos. Se algum valor for zero, o produto zera e a média também. Se houver números negativos, a raiz pode nem existir nos reais ou perder o sentido de “média”.

Fórmula da média geométrica

Seja o conjunto A formado por n números positivos: A = {x₁, x₂, x₃, …, x_n}. A média geométrica de A é a raiz enésima do produto dos n elementos. Assim, podemos escrever:

MG = n√(x1 · x2 · x3 · … · xn)

 

Nessa fórmula:

• MG é a média geométrica (em alguns materiais, ela aparece como g com uma barra em cima);
• n é o número de elementos do conjunto;
• x₁, x₂, …, x_n são os valores.

Parece complicado, não é? Então vamos simplificar: para calcular a média geométrica, multiplicamos todos os valores e depois extraímos uma raiz desse produto. O índice dessa raiz é o número de termos. Logo, com 2 termos usamos uma raiz quadrada, com 3 termos, uma raiz cúbica, com 4 termos, uma raiz quarta, e assim por diante.

Como calcular a média geométrica: passo a passo

Na prática, o cálculo segue sempre a mesma receita:

1. Conte quantos valores há no conjunto. Esse número é o índice n da raiz.
2. Multiplique todos os valores.
3. Extraia a raiz de índice n do produto encontrado.
4. Confira: a média geométrica sempre fica entre o menor e o maior valor do conjunto. Se o resultado saiu fora desse intervalo, algo deu errado.

Exemplo resolvido: média geométrica de 2, 4 e 8

Enunciado: seja o conjunto A = {2, 4, 8}. Calcule a média geométrica entre os termos de A.

Resolução: reparem que temos 3 termos. Assim, multiplicamos os três valores e extraímos uma raiz cúbica (índice 3):

MG = ³√(2 · 4 · 8) = ³√64 = 4

Portanto, a média geométrica de 2, 4 e 8 é 4. Note que 4 está entre 2 e 8, como esperado. E há uma curiosidade: os números 2, 4 e 8 formam uma progressão geométrica de razão 2, e a média geométrica é justamente o termo central.

Dica para provas sem calculadora: fatore os números

Quando o produto é grande, fatorar em números primos facilita muito. No exemplo anterior, 2 · 4 · 8 = 2 · 2² · 2³ = 2⁶. Como estamos extraindo uma raiz cúbica, basta dividir o expoente pelo índice: 6 ÷ 3 = 2. Logo, o resultado é 2² = 4. Como o Enem não permite o uso de calculadora, essa habilidade vale ouro.

Média geométrica × média aritmética: qual é a diferença?

Essa é uma das dúvidas mais frequentes. Ambas resumem um conjunto de valores em um único número, porém trabalham com operações diferentes. Veja o comparativo:

Critério	Média aritmética (MA)	Média geométrica (MG)
Operação-base	Soma e divisão	Produto e raiz
Fórmula	MA = (x1 + x2 + … + xn) ÷ n	MG = n√(x1 · x2 · … · xn)
O que se mantém ao trocar todos os valores pela média	A soma dos valores	O produto dos valores
Quando usar	Valores que se somam: notas, alturas, quantidades	Valores que se multiplicam: taxas, fatores de crescimento, PG
Exemplo típico	Média das notas de um aluno	Taxa média de crescimento das vendas
Comparação	MA ≥ MG	MG ≤ MA (iguais só se todos os valores forem iguais)

 

Vamos ver isso com números? Considere os valores 4 e 9:

• Média aritmética: (4 + 9) ÷ 2 = 6,5
• Média geométrica: √(4 · 9) = √36 = 6
• Média harmônica: 2 · 4 · 9 ÷ (4 + 9) = 72 ÷ 13 ≈ 5,54

Assim, temos MA ≥ MG ≥ MH: 6,5 ≥ 6 ≥ 5,54. Aliás, para dois números vale outra propriedade curiosa: a média geométrica é a média geométrica entre a aritmética e a harmônica, pois 6,5 · (72 ÷ 13) = 36 = 6². Quer ver as três médias lado a lado? Confira o nosso texto sobre média harmônica.

Regra prática: se os valores se somam, use a média aritmética. Se se multiplicam (taxas, fatores, PG), use a geométrica. Se são grandezas como velocidades em percursos de mesma distância, a indicada é a harmônica.

Para que serve a média geométrica? Principais aplicações

Agora que dominamos a fórmula, chegou a hora de ver onde ela realmente aparece. Vamos começar pela aplicação mais cobrada: a taxa média de crescimento.

Aplicação 1: taxa média de crescimento (aumentos sucessivos)

A situação-problema

Imagine uma empresa que analisou o crescimento das suas vendas ao longo de 3 anos. As taxas de crescimento de cada período foram:

Período	1º ano	2º ano	3º ano
Taxa de crescimento	30%	8%	16%

 

Pergunta: qual foi o crescimento médio anual das vendas dessa empresa?

Reparem que as vendas cresceram de formas diferentes a cada ano. Essa situação é muito comum no dia a dia e, por isso, o problema pede um valor único que represente o crescimento anual.

Só que existe um detalhe decisivo: em cada ano, a taxa incide sobre o valor do ano anterior, e não sobre o valor inicial. Em outras palavras, os aumentos são acumulados, e não somados.

Passo 1: aplicar as taxas, ano a ano

Para visualizar, vamos supor que as vendas iniciais fossem de R$ 100.000,00. Lembrem-se de que um aumento de 30% equivale a multiplicar por 1,30 (ou seja, 1 + 0,30). Então:

• 1º ano: 100.000 × 1,30 = 130.000
• 2º ano: 130.000 × 1,08 = 140.400
• 3º ano: 140.400 × 1,16 = 162.864

Portanto, ao final do terceiro ano, as vendas chegam a R$ 162.864,00. Esse é o nosso valor de referência.

Atenção, pessoal! Se vocês ainda não entenderam bem como as taxas foram aplicadas em cada período, deem uma olhadinha no texto Porcentagem: transformação de taxas, aumentos e descontos. Lá vocês aprendem direitinho a calcular aumentos e descontos, o que deixa tudo o que vem a seguir bem mais claro.

Passo 2: tentar a média aritmética (e ver por que ela falha)

Uma ideia natural seria calcular a média aritmética das três taxas, já que buscamos uma taxa “média”:

MA = (30% + 8% + 16%) ÷ 3 = 54% ÷ 3 = 18%

Para testar se 18% ao ano representa mesmo as três taxas, aplicamos 18% três vezes sobre R$ 100.000,00:

• 1º ano: 100.000 × 1,18 = 118.000
• 2º ano: 118.000 × 1,18 = 139.240
• 3º ano: 139.240 × 1,18 ≈ 164.303

Ou seja, chegamos a R$ 164.303, e não aos R$ 162.864 do cálculo original. Por conseguinte, a média aritmética não produz o mesmo efeito das taxas reais. Ela superestima o crescimento.

Passo 3: usar a média geométrica

Vamos, então, testar a média geométrica. Repare em um ponto essencial: não usamos os números 30, 8 e 16, e sim os fatores de crescimento 1,30, 1,08 e 1,16. Como são 3 termos, a raiz tem índice 3:

MG = ³√(1,30 · 1,08 · 1,16) = ³√1,62864 ≈ 1,176544

Um fator de 1,176544 corresponde a um aumento de aproximadamente 17,6544% ao ano. Agora vem a prova dos nove: aplicando essa taxa três vezes sobre R$ 100.000,00, obtemos 117.654, depois 138.425 e, por fim, 162.864.

Uau! Dessa vez o valor final coincide com o cálculo original. Logo, o crescimento médio anual das vendas dessa empresa é de aproximadamente 17,6544% ao ano.

No gráfico, vemos que as três trajetórias partem do mesmo ponto. No entanto, apenas a da média geométrica termina exatamente onde terminam as taxas reais. A da média aritmética passa um pouquinho acima.

Por que a média geométrica funciona? A demonstração

Agora vamos entender o motivo, com um caso geral. Chamemos o valor inicial de V_i e as taxas de cada período (em %) de i₁, i₂ e i₃. Aplicando as três taxas em sequência, o valor final é:

V_i · (1 + i₁/100) · (1 + i₂/100) · (1 + i₃/100)

Agora, se aplicássemos uma taxa equivalente i_eq nos três períodos, o valor final seria:

V_i · (1 + i_eq/100)³

Como os dois valores finais precisam ser iguais, podemos igualar as expressões. O V_i aparece dos dois lados e, portanto, pode ser cancelado:

(1 + i_eq/100)³ = (1 + i₁/100) · (1 + i₂/100) · (1 + i₃/100)

Extraindo a raiz cúbica dos dois lados, chegamos a:

1 + ieq/100 = 3√[(1 + i1/100) · (1 + i2/100) · (1 + i3/100)]

 

Vejam só: 1 + taxa média é exatamente a raiz cúbica do produto dos fatores de cada período, ou seja, é a média geométrica dos fatores. Dessa forma, fica provado por que usamos a média geométrica em aumentos sucessivos.

Para n períodos, a regra é a mesma:

Passo	O que fazer
1	Transforme cada taxa em fator: f = 1 + i/100 (aumento) ou f = 1 − i/100 (queda).
2	Multiplique todos os fatores.
3	Extraia a raiz de índice n (n = número de períodos).
4	Subtraia 1 e multiplique por 100 para voltar à porcentagem.

Aplicação 2: geometria

O nome “geométrica” não é por acaso. Em geometria, a média geométrica aparece de forma muito natural.

Quadrado com a mesma área de um retângulo. Se um retângulo tem lados a e b, o quadrado de mesma área tem lado L = √(a · b). Ou seja, o lado do quadrado é a média geométrica dos lados do retângulo. Por exemplo, para um retângulo de 4 cm por 9 cm, a área é 36 cm². Logo, o quadrado equivalente tem lado √36 = 6 cm, que é a média geométrica de 4 e 9.

Triângulo retângulo. Nas relações métricas do triângulo retângulo, a altura h relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções m e n dos catetos sobre a hipotenusa, pois h² = m · n, ou seja, h = √(m · n). Da mesma forma, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção. Esse tipo de média também é chamado de média proporcional.

Aplicação 3: progressão geométrica (PG)

Em uma progressão geométrica de termos positivos, cada termo é a média geométrica dos seus vizinhos. Se a, b e c são termos consecutivos, então b² = a · c, ou seja, b = √(a · c).

Por exemplo, na PG (2, 6, 18), temos 6 = √(2 · 18) = √36. Essa propriedade é a base para encontrar termos desconhecidos e para a interpolação de meios geométricos. Se quiser aprofundar, veja também o texto sobre o termo geral da PG.

Aplicação 4: índices como o IDHM

A média geométrica também está por trás de indicadores que você vê no noticiário. O Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (PNUD) informa que os três componentes do IDHM (longevidade, educação e renda) são agrupados por meio da média geométrica. Você pode conferir a explicação na página O que é o IDHM, do PNUD Brasil.

Por que isso importa? Porque a média geométrica penaliza desequilíbrios. Veja um exemplo hipotético com três componentes de 0,9, 0,9 e 0,3:

• Média aritmética: (0,9 + 0,9 + 0,3) ÷ 3 = 0,70
• Média geométrica: ³√(0,9 · 0,9 · 0,3) = ³√0,243 ≈ 0,62

Assim, um resultado muito baixo em uma dimensão não é “compensado” pelos bons resultados nas outras. É uma forma de dizer que todas as dimensões importam.

Curiosidade para quem quer ir além: aplicando logaritmo na média geométrica, obtemos log(MG) = (log x1 + log x2 + … + log xn) ÷ n. Ou seja, a média geométrica é a média aritmética “no mundo dos logaritmos”. É por isso que ela lida tão bem com multiplicações. Se quiser relembrar, passe pela nossa área de Logaritmos.

Erros comuns ao calcular a média geométrica

Antes de partir para os exercícios, fiquem de olho nestas armadinhas:

1. Usar a média aritmética para taxas. Como vimos, ela superestima o crescimento acumulado.
2. Usar 30, 8 e 16 em vez de 1,30, 1,08 e 1,16. Em taxas, a média geométrica é calculada com os fatores, e não com as porcentagens.
3. Esquecer de subtrair 1 no final. A média geométrica dos fatores dá 1,1765. A taxa é 0,1765, ou seja, 17,65%.
4. Errar o sinal em descontos. Uma queda de 10% corresponde ao fator 0,90 (1 − 0,10), e não a 1,10.
5. Errar o índice da raiz. O índice é a quantidade de termos: 3 valores pedem raiz cúbica, 5 valores pedem raiz quinta.
6. Usar zero ou números negativos. O zero anula o produto, e os negativos podem impedir o cálculo da raiz.

Exercícios resolvidos sobre média geométrica

Chegou a hora de colocar a mão na massa! Acompanhem cada resolução e, se possível, tentem resolver antes de olhar a resposta.

Exercício 1: média geométrica de dois números

Calcule a média geométrica entre 2 e 18.

Resolução: são 2 termos, então usamos uma raiz quadrada. MG = √(2 · 18) = √36 = 6.

Resposta: 6.

Exercício 2: aumentos sucessivos

O preço de um produto aumentou 10% no primeiro mês, 20% no segundo e 25% no terceiro. Qual foi a taxa média mensal de aumento?

Resolução: primeiro, convertemos as taxas em fatores: 1,10, 1,20 e 1,25. Depois, calculamos a média geométrica dos três fatores:

MG = ³√(1,10 · 1,20 · 1,25) = ³√1,65 ≈ 1,1817

Por fim, subtraímos 1: 1,1817 − 1 = 0,1817. Resposta: aproximadamente 18,17% ao mês. Conferindo: 1,1817³ ≈ 1,65, que é o fator acumulado dos três aumentos.

Exercício 3: um aumento e uma queda

Uma ação subiu 20% em um mês e caiu 10% no mês seguinte. Qual foi a taxa média mensal nesses dois meses?

Resolução: os fatores são 1,20 (aumento) e 0,90 (queda). Como são 2 termos, usamos uma raiz quadrada:

MG = √(1,20 · 0,90) = √1,08 ≈ 1,0392

Resposta: aproximadamente 3,92% ao mês. Veja a diferença para a média aritmética: (20% − 10%) ÷ 2 = 5%. Só que 1,05² = 1,1025, ou seja, +10,25%, e o efeito real das duas variações foi de apenas +8% (1,20 · 0,90 = 1,08). Mais uma vez, a média geométrica é a que respeita o resultado acumulado.

Exercício 4: quadrado com a mesma área de um retângulo

Um retângulo tem lados de 8 cm e 18 cm. Qual é a medida do lado de um quadrado com a mesma área desse retângulo?

Resolução: a área do retângulo é 8 · 18 = 144 cm². O lado L do quadrado deve satisfazer L² = 144. Note que isso equivale a calcular a média geométrica dos lados: L = √(8 · 18) = √144 = 12.

Resposta: 12 cm.

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Exercícios propostos sobre média geométrica

Agora é a vez de vocês! Resolvam os exercícios abaixo e confiram o gabarito comentado logo em seguida.

Exercício 1. Calcule a média geométrica das notas 4, 6 e 9.

Exercício 2. A população de uma cidade cresceu 21% em um ano e 44% no ano seguinte. Qual foi a taxa média de crescimento anual nesse período?

Exercício 3. Um investimento de R$ 1.000,00 rende 50% no primeiro ano e perde 50% no segundo. (a) Qual é o valor final? (b) Qual é a taxa média anual, calculada pela média geométrica? (c) Por que a média aritmética das taxas (0%) engana?

Exercício 4. Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 5 cm e 20 cm. Qual é a medida da altura relativa à hipotenusa?

Exercício 5. Determine o valor de x para que a sequência (3, x, 48) seja uma progressão geométrica de termos positivos.

Gabarito comentado

Exercício 1: 6. São 3 termos: MG = ³√(4 · 6 · 9) = ³√216 = 6.

Exercício 2: 32% ao ano. Fatores: 1,21 e 1,44. Então MG = √(1,21 · 1,44) = √1,7424 = 1,32, ou seja, 32%. Repare que a média aritmética daria 32,5%, um valor um pouco maior.

Exercício 3: (a) 1.000 × 1,5 × 0,5 = R$ 750,00. (b) MG = √(1,5 · 0,5) = √0,75 ≈ 0,866, o que corresponde a uma taxa média de aproximadamente −13,40% ao ano. (c) A média aritmética de +50% e −50% é 0%, o que sugere que não houve variação. Na realidade, houve uma perda de 25% (de R$ 1.000,00 para R$ 750,00). Portanto, para variações acumuladas, a média aritmética engana.

Exercício 4: 10 cm. Como h² = m · n, temos h² = 5 · 20 = 100. Logo, h = 10 cm.

Exercício 5: x = 12. Em uma PG de termos positivos, x é a média geométrica dos vizinhos: x² = 3 · 48 = 144, logo x = 12. Conferindo: 3, 12, 48 é uma PG de razão 4.

Videoaula: revise a média geométrica com o Professor Ferretto

Para fechar o estudo, que tal rever tudo em vídeo? Assista à aula abaixo e, se quiser mais conteúdo, siga o canal do Professor Ferretto no YouTube e o perfil no Instagram.

Perguntas frequentes sobre média geométrica

O que é média geométrica?

É a raiz de índice n do produto de n números positivos. Ela representa o conjunto por um único valor que, se substituísse todos os números, manteria o mesmo produto.

Como calcular a média geométrica?

Multiplique todos os valores e extraia a raiz cujo índice é a quantidade de valores. Por exemplo, para 2, 4 e 8: ³√(2 · 4 · 8) = ³√64 = 4.

Qual é a diferença entre média geométrica e média aritmética?

A aritmética usa soma e divisão, e a geométrica usa produto e raiz. Assim, a aritmética mantém a soma dos valores, e a geométrica mantém o produto. Para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à geométrica.

Quando usar a média geométrica?

Quando os valores se multiplicam: taxas de crescimento, aumentos e descontos sucessivos, juros compostos, progressões geométricas e índices que combinam várias dimensões, como o IDHM.

A média geométrica pode ser maior que a aritmética?

Não. Para números positivos, a média geométrica é sempre menor ou igual à aritmética. Elas só coincidem quando todos os valores são iguais.

Posso calcular a média geométrica com zero ou números negativos?

Com zero, o produto é zero e, portanto, a média também é zero, o que raramente faz sentido na prática. Com negativos, a raiz pode não existir nos reais ou o resultado perde o sentido de média. Por isso, trabalhamos com valores positivos.

Como calcular a taxa média de crescimento?

Transforme cada taxa em fator (1 + i), calcule a média geométrica dos fatores e subtraia 1. Por exemplo, para 30%, 8% e 16%: ³√(1,30 · 1,08 · 1,16) ≈ 1,1765, ou seja, cerca de 17,65% ao ano.

A média geométrica cai no Enem?

Não há como garantir, mas o conceito pode aparecer em problemas de porcentagem, aumentos sucessivos, PG e relações métricas do triângulo retângulo. Logo, entender o raciocínio vale mais do que decorar a fórmula.

Continue estudando

Gostou do conteúdo? Então aproveite para conferir estes textos relacionados:

• Média harmônica: fórmula, quando usar e comparação com as outras médias
• Média, moda e mediana: medidas de tendência central
• Porcentagem: transformação de taxas, aumentos e descontos
• Progressão geométrica (PG): o que é, classificação e fórmulas
• Termo geral da PG: fórmula e propriedades
• Interpolação de meios geométricos
• Relações métricas no triângulo retângulo

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