Porcentagem: transformação de taxas, aumentos e descontos

Estamos sempre rodeados por dados de porcentagem, informações do tipo: aumento de educação, desconto ou promoções de final de ano, são muito comuns no nosso dia a dia. Nesse texto, eu irei mostrar para vocês como calcular esses aumentos e descontos e, também, como fazer as transformações de taxas de porcentagem.

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

Vamos falar agora sobre um assunto muito importante e que está presente no nosso dia a dia, é o assunto de porcentagem. Este é um assunto muito importante não só para o Enem, mas também para diversos vestibulares e concursos públicos.

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Certo pessoal!? Então, vem comigo aqui!

Vou começar usando um exemplo bem didático, sobre o aumento da população brasileira. Na tabela abaixo encontramos uma estimativa da distribuição da população brasileira por região do país, do ano de 2010.

Região	Habitantes (em milhões)
Norte	15,4
Centro-Oeste	13,9
Nordeste	53,6
Sudeste	80,9
Sul	27,7
BRASIL	191,5

 

Agora podemos pensar, que porcentagem da nossa população habita a região mais povoada?

Pela tabela podemos ver que a região mais povoada é a região Sudeste, com 80,9 milhões de habitantes. Como a população total é de 191,5 milhões, a fração correspondente ao Sudeste é:

Em texto: 80,9 / 191,5

Para escrever esta fração na forma de porcentagem, efetuamos a divisão e transformamos numa fração de denominador 100.

Em texto: 80,9 / 191,5 ≅ 0,42 = 42/100 = 42%

Então, 42% da população brasileira habita a região Sudeste. Pessoal, olhem que coisa legal. Usando esses dados, também podemos representar a distribuição da população brasileira num diagrama circular (“gráfico de pizza”). Nesse caso, podemos determinar à quantos graus corresponderá a região Sudeste. Vejam só:

Em texto: 42% de 360° = (42/100) · 360° ≅ 151°

Dessa forma, a região Sudeste (representada pela cor azul), corresponde à 151° do diagrama circular. A representação neste tipo de gráfico se torna mais fácil, pois vejam que conseguimos identificar facilmente quais são as regiões mais populosas e também as menos populosas.

Quando escrevemos 42% que se lê 42 por cento, estamos usando uma outra forma para representar a razão 42/100, também chamada de razão centesimal. Por cento é uma expressão representada pelo símbolo %, que significa centésimos.

Logo,

Em texto: 42% = 42/100 = 0,42

Por isso existem maneiras de representar a porcentagem de um valor ou de uma determinada quantia. Vamos ver abaixo estas formas.

1. Formas de Representação da Porcentagem

As taxas percentuais (ou porcentagens) são razões de denominador igual a 100. Podemos trabalhar com porcentagens como frações, razões, ou número decimais.

Por exemplo:

Quando queremos representar uma determinada porcentagem na forma percentual, usamos 25%, que também pode ser dito taxa percentual. Quando usamos um valor sobre o denominador 100, como 25/100, estamos usando a forma fracionária para representar uma determinada porcentagem e, por fim, quando usamos o formato decimal para representar a porcentagem, como 0,25, estamos usando a forma unitária ou então, taxa unitária.

Essas representações podem ser transformadas, de uma para a outra. Vou explicar melhor como fazer isso.

2. Transformação de Taxas

Podemos fazer a transformação de uma taxa percentual para uma taxa unitária e vice-versa, apenas dividindo ou multiplicando por 100. Vejam o esquema abaixo:

Em texto: Taxa Percentual ÷ 100 → Taxa Unitária | Taxa Unitária × 100 → Taxa Percentual

Vamos fazer algumas transformações de taxas, para ficar mais fácil o entendimento e para que vocês aprendam direitinho. Vejam os exemplos abaixo:

Em texto: 25% = 25/100 = 0,25 | 3/8 = 0,375 · 100 = 37,5%

Fácil né!? Quando temos uma taxa percentual, basta dividir por 100 para transformar o valor em uma taxa unitária, agora quando temos uma taxa unitária é só multiplicar por 100 e teremos uma taxa percentual.

Nós temos diversos problemas, diversas questões que envolvem aumentos ou descontos, isso trabalhando com a porcentagem. Muitas vezes esses aumentos ou descontos envolvem dinheiro, ou seja, envolvem a matemática financeira, e muitos alunos acabam fazendo uma conta muito extensa e muitas vezes desnecessária para chegar no mesmo valor, de uma maneira bem simples. E é isso que eu quero explicar pra você agora, essa ideia de aumento ou desconto, usando a porcentagem de um determinado valor.

3. Aumentos e Descontos

3.1 Aumentos

Quando uma quantia V sofre um aumento de 20%, ficamos com (100% + 20%) de V, o que dá 120% de V. Isso é igual a 120%/100V, em forma decimal 1,20V. Então, para calcular o valor final Vf, basta multiplicar V pela fração 120/100 = 12/10 = 6/5, ou pelo fator 1,20.

Quando V tem um aumento de p%, o valor final é:

Em texto: Vf = [(100 + p) / 100] · V

Na forma decimal, com taxa de aumento de p% = i, temos:

Em texto: Vf = V · (1 + i)

Vamos fazer um exercício que aborde o aumento de determinado valor, para que vocês entendam direitinho. Vejam o seguinte exemplo:

O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de aumento?

Em texto: 966 = [(100+p)/100] · 840 → 966/840 = 1+p → 1,15 = 1+p → p = 0,15

Logo, a porcentagem de aumento do salário deste trabalhador foi de 15%.

3.2 Descontos

Se um artigo é vendido com 15% de desconto sobre o preço de tabela, o valor a ser pago é (100% – 15%) do preço de tabela, o que dá 85% do preço tabelado. Então, para calcular o valor a ser pago, basta multiplicar o preço tabelado por 85/100 ou pelo fator 0,85.

Quando V tem um desconto de p%, o valor final é

Em texto: Vf = [(100 − p) / 100] · V

Na forma decimal, com taxa de aumento de p% = i, temos:

Em texto: Vf = V · (1 − i)

Vamos fazer um exercício que trata de um desconto, para que vocês entendam melhor este assunto.

O salário de Paulo, sofre um desconto total de 8%, com isso, ele recebeu R$ 1.518,00. O valor bruto do salário de Paulo é:

1. R$ 1.390,00 2. R$ 1.550,00 3. R$ 1.600,00 4. R$ 1.650,00 5. R$ 1.680,00

Bom, neste caso queremos saber o valor bruto do salário de Paulo, eu vou chamar esse valor de V. Vamos pensar assim, ele deveria receber 1V, mas ele teve um desconto de 8%, ou seja:

Em texto: 1V − 0,08V = 0,92V

Então, ele recebeu 0,92V, ou seja, ele recebeu apenas 92% do salário bruto. Assim, podemos substituir na fórmula e descobrir qual o valor do salário bruto de Paulo.

Em texto: 1518 = (92/100) · V → 92 · V = 151800 → V = 1650,00

Com isso, sabemos que o salário bruto de Paulo é de R$ 1.650,00.

4. Aumentos e Descontos Sucessivos

Para compor vários aumentos e/ou descontos basta multiplicar os vários fatores individuais e assim obter o “fator acumulado” que nada mais é que o fator de atualização entre o primeiro e último valor considerado, independentemente dos valores intermediários. O fator acumulado pode ser calculado por:

Em texto: Facumulado = f1 · f2 · f3 · f4 · …

Pessoal, temos uma situação bem importante aqui, em algumas questões, um determinado valor inicial que sofre aumentos e descontos ao longo do tempo e, então, resulta em um valor final.

Vamos fazer um exemplo pra ficar mais fácil o entendimento desse assunto.

(VUNESP) Se a taxa de inflação de janeiro é de 6% e a de fevereiro é de 5%, então a taxa de inflação no bimestre janeiro/fevereiro é de?

a) 11% b) 11,1% c) 11,2% d) 11,3% e) 11,4%

Vamos calcular primeiro quanto vale f1, depois f2 e depois calcular o fator acumulado a partir de f1 e f2.

f1 = 1 + 0,06 = 1,06

f2 = 1 + 0,05 = 1,05

facumulado = f1 · f2 → facumulado = 1,06 · 1,05 = 1,113 → i = 0,113 = 11,3%

Videoaula: Porcentagem na Prática

Se você prefere aprender vendo a explicação passo a passo, assista à aula do Professor Ferretto sobre porcentagem, direto do canal Ferretto Matemática:

PORCENTAGEM: Teoria e Exemplos | Matemática Básica – Aula 29

Para mais videoaulas de matemática básica, acompanhe o canal Ferretto Matemática no YouTube e o Instagram @professorferretto.

Questão de Porcentagem no Enem: Pratique com um Exemplo Real

Para você ver esse conteúdo caindo numa prova de verdade, veja uma questão real do Enem sobre aumentos e descontos sucessivos — exatamente o assunto do tópico anterior.

(Enem PPL 2022) A associação de comerciantes varejistas de uma cidade, a fim de incrementar as vendas para o Natal, decidiu promover um fim de semana de descontos e promoções, no qual produtos e serviços estariam com valores reduzidos. Antes do período promocional, um celular custava R$ 300,00 e teve seu preço reajustado, passando a custar R$ 315,00. Durante o fim de semana de descontos e promoções, o preço desse celular recebeu um desconto de 20%.

O desconto dado no preço do celular, em porcentagem, com base no valor dele anteriormente ao aumento sofrido antes da promoção, foi de:

a) 15,24% b) 16,00% c) 19,04% d) 21,00% e) 25,00%

Resolução: o preço passou por dois fatores sucessivos. O reajuste de R$ 300,00 para R$ 315,00 corresponde ao fator 1,05 (um aumento de 5%). Em seguida, o desconto de 20% corresponde ao fator 0,80. O fator acumulado é:

Facumulado = 1,05 · 0,80 = 0,84

Isso significa que o preço final ficou em 84% do valor original de R$ 300,00 (315 × 0,80 = R$ 252,00; e 252/300 = 0,84). Como 100% − 84% = 16%, o desconto real em relação ao valor original foi de 16%.

Gabarito: alternativa B.

Perguntas Frequentes sobre Porcentagem

O que é porcentagem?

Porcentagem é uma razão de denominador 100, usada para comparar uma parte com o todo. O símbolo % (por cento) significa “a cada cem” e pode ser escrito na forma fracionária (x/100) ou na forma decimal.

Como transformar uma taxa percentual em taxa unitária?

Basta dividir o valor da porcentagem por 100. Por exemplo, 32% dividido por 100 é igual a 0,32. Para fazer o caminho inverso, de taxa unitária para percentual, basta multiplicar por 100.

Como calcular um aumento percentual sobre um valor?

Use o fator multiplicativo (1 + i), em que i é a taxa de aumento na forma decimal. O valor final é Vf = V · (1 + i). Por exemplo, um aumento de 15% sobre V corresponde a multiplicar V por 1,15.

Como calcular um desconto percentual sobre um valor?

Use o fator multiplicativo (1 − i), em que i é a taxa de desconto na forma decimal. O valor final é Vf = V · (1 − i). Por exemplo, um desconto de 8% sobre V corresponde a multiplicar V por 0,92.

Como calcular aumentos e descontos sucessivos?

Multiplique os fatores individuais de cada aumento ou desconto para obter o fator acumulado (Facumulado = f1 · f2 · f3 · …). Aumentos e descontos sucessivos nunca se somam diretamente — é preciso multiplicar os fatores, porque cada variação incide sobre o valor já alterado pela anterior.

Finalizamos mais um texto e eu espero que tenha sido muito proveitoso e importante para o aprendizado de vocês. Lembrem-se que a porcentagem está presente em vários outros problemas, por isso, leiam o texto e refaçam os exercícios para fixar bem o conteúdo. Certo pessoal?

Bons estudos, sucesso e até mais!

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