Teoria dos Conjuntos: o que é, símbolos, tipos e exercícios

Um conjunto é uma coleção de elementos com uma característica em comum, e a teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda como esses elementos se relacionam entre si e com os conjuntos aos quais pertencem. Ela reúne os símbolos, os tipos de conjunto e as operações que dão base a praticamente todo o conteúdo de matemática do Ensino Médio — por isso, cai direto no ENEM e nos principais vestibulares do país.

Olá, pessoal! Tudo bem?

Hoje vamos revisar, de forma completa, a teoria dos conjuntos — um dos assuntos mais importantes de toda a matemática do Ensino Médio. Ter a noção do que é um conjunto é essencial para quem vai encarar o ENEM e os principais vestibulares do país, afinal essa teoria consegue reunir boa parte dos conceitos que você vai usar no restante da matemática. E quando conhecemos bem um conceito, fica muito mais fácil interpretar as situações que aparecem nas questões.

Vamos começar? Na matemática, existem certos termos que não conseguimos definir exatamente com palavras. Por isso, nesses casos, dizemos que temos apenas uma noção do que eles significam — e é justamente esse o caso dos conjuntos: por mais que a gente explique um conjunto usando exemplos, não existe uma definição matemática fechada para o termo, apenas a ideia intuitiva de uma “coleção” de coisas. Assim, neste guia completo, você vai encontrar a noção de conjunto e de elemento, os símbolos usados na teoria dos conjuntos, os principais tipos de conjunto, um resumo das operações (com links para os textos completos aqui do blog) e, ao final, exercícios resolvidos e propostos para praticar. Vem comigo aqui!

1. O que é um conjunto?

Um conjunto deve ser nomeado sempre por letras maiúsculas, sejam elas A, B, C, ou qualquer outra letra do alfabeto. Já em relação à sua representação, existem basicamente duas formas de fazer isso, que podem ser escolhidas de acordo com a preferência ou com a necessidade da situação: ou o conjunto é expresso entre chaves { }, ou então em forma de diagrama.

Na imagem acima, o conjunto A aparece representado das duas formas que acabamos de citar. Quando o conjunto é expresso na forma de diagrama, porém, é preciso ficar atento a um detalhe: o diagrama é sempre composto por uma linha fechada que jamais pode ser entrelaçada, ou seja, jamais pode formar uma espécie de “8”.

Diagrama de Venn

Esse tipo de representação gráfica — um conjunto desenhado como um círculo, uma elipse ou qualquer outra linha fechada — é chamado, formalmente, de Diagrama de Venn (ou Diagrama de Euler-Venn), em referência ao lógico britânico John Venn. Ele é especialmente útil quando precisamos comparar dois ou mais conjuntos ao mesmo tempo, como veremos mais adiante, no resumo das operações entre conjuntos.

2. O que é um elemento de um conjunto?

Para entender quem são os elementos de um conjunto, podemos fazer uma associação com uma situação do dia a dia. Digamos que a sua família formará um conjunto: você, seus pais, avós, irmãos, tios e primos serão, portanto, os elementos pertencentes a esse conjunto.

Algo parecido acontece na imagem acima: os números 1, 2, 3 e 4 são elementos que pertencem ao conjunto A. Quando um conjunto está expresso entre chaves, seus elementos podem ser separados por vírgula ou por ponto e vírgula. Já quando o conjunto é expresso na forma de diagrama, os elementos podem ser dispostos de forma aleatória, desde que cada um deles esteja sempre ao lado de um “pontinho”.

É importante lembrar que os elementos de um conjunto não se restringem a números ou letras — eles também podem ser outros conjuntos. É justamente o que vamos ver a seguir, no estudo dos símbolos que relacionam elementos e conjuntos.

3. Símbolos da teoria dos conjuntos: pertinência e inclusão

Pertence (∈) e Não Pertence (∉)

Estudar a pertinência entre um elemento e um conjunto significa entender se esse elemento pertence ou não a esse conjunto. Para compreender bem essa ideia, podemos retomar o exemplo do conjunto família: se analisarmos o elemento “pai”, veremos que ele pertence à família e, portanto, pertence ao conjunto. Já o elemento “amigo” não faz parte da família e, por isso, não pertence ao conjunto.

Para não precisarmos escrever sempre pertence ou não pertence, a matemática tem um símbolo específico para cada um desses termos:

Assim, dado o conjunto B = {5, 6, 7, 8}, podemos dizer que o elemento 6 pertence a B, afinal ele aparece entre as chaves do conjunto. Já o número 3 não pertence a B, porque não conseguimos visualizá-lo ali. Em símbolos, temos:

Contido (⊂) e Não Está Contido (⊄)

Antes de seguir em frente, porém, é essencial reforçar um detalhe. Como vimos, os elementos de um conjunto também podem ser outros conjuntos. Nesse caso, não dizemos que um conjunto pertence ou não a outro conjunto, mas sim que um conjunto está contido ou não está contido em outro. Logo, existe também um símbolo próprio para essa relação:

Para entender bem a diferença entre as duas relações, observe o conjunto a seguir:

O conjunto F foi representado na forma de diagrama. Além de elementos “comuns” — nesse caso, alguns algarismos —, ele também tem dois elementos que são outros conjuntos: A e B. Dessa forma, podemos afirmar o seguinte:

Tabela-resumo dos símbolos

Símbolo	Significado
∈	pertence
∉	não pertence
⊂	está contido
⊄	não está contido
⊃	contém
=	igual
≠	diferente
∅ ou { }	conjunto vazio
∪	união
∩	interseção
−	diferença
U	conjunto universo
n(A)	número de elementos do conjunto A (cardinalidade)

 

Guarde bem essa tabela: ela reúne os principais símbolos que você vai encontrar em qualquer questão sobre conjuntos, do ENEM aos vestibulares mais concorridos do país.

4. Como descrever um conjunto

Existem tantos tipos de conjunto por aí que, muitas vezes, a forma de representar um deles acaba não sendo a melhor forma de representar outro. Por isso, vamos ver agora como descrever os elementos de um conjunto de diferentes maneiras.

Por citação (enumeração) dos elementos

Citar significa mencionar, ou fazer referência a determinados termos e nomes. Assim, a ideia nesse caso é escrever mesmo cada um dos elementos do conjunto em questão — o que pode ser feito tanto entre chaves quanto na forma de diagrama. Vamos a alguns exemplos:

Conjunto das vogais

Conjunto dos números primos positivos

Repare que existe uma diferença crucial entre esses dois conjuntos descritos por citação de elementos. No conjunto das vogais, temos um número de elementos finito — afinal, existem apenas 5 vogais no nosso alfabeto —, o que torna possível escrever todas elas. Já no conjunto dos números primos positivos, não temos um número finito de elementos, porque os números primos positivos são todos os números, a partir de 2, que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos, sem deixar resto. Esse conjunto de números, portanto, começa em 2, 3, 5, 7, 11 e segue infinitamente, o que nos impede de escrever todos eles. É justamente nesses casos que usamos as reticências (…), dando a ideia de continuidade ao conjunto.

Vale lembrar, ainda, que também podemos usar as reticências no meio de certos elementos de um conjunto. Isso acontece quando o conjunto é finito, mas tem tantos elementos que a escrita de todos eles se torna inviável — nesse caso, basta escrever os primeiros e os últimos termos do conjunto, e pronto.

Por uma propriedade

Quando descrevemos os elementos de um conjunto por meio de uma propriedade, estamos assumindo que todos os elementos desse conjunto satisfazem essa propriedade. A forma de representar essa ideia é a seguinte:

Aquela barra vertical entre as letras x significa “tal que”. Estamos afirmando, portanto, que o conjunto A é formado pelos elementos x tais que esses elementos x possuem uma certa propriedade P. Veja este exemplo para que fique bem claro:

O que se afirma acima é que o conjunto D é formado por elementos x tais que esses elementos x são divisores inteiros de 5. Mas quais são os divisores inteiros de 5? Como 5 é um número primo:

Divisores positivos: 1 e 5

Divisores negativos: -1 e -5

Assim, podemos reescrever o conjunto D da seguinte forma:

Agora que já vimos como descrever um conjunto, vamos estudar os principais tipos de conjunto que você vai encontrar pela frente. Vem comigo!

5. Tipos de conjuntos

Conjunto unitário

Um conjunto unitário é aquele que possui um único elemento.

É importante ressaltar que, quando um conjunto possui um único elemento, isso significa que há um único algarismo, uma única letra, um único estado, uma única fruta — enfim, um único e solitário elemento no conjunto. Isso não quer dizer, necessariamente, que esse elemento precise ser o número 1, por exemplo.

Observe o conjunto abaixo para que a ideia fique mais clara:

À primeira vista, não fica evidente que C é um conjunto unitário. Mas veja que esse conjunto é formado por elementos que pertencem ao conjunto dos números naturais e que, ao mesmo tempo, estão entre 3 e 5. É claro que o único elemento capaz de satisfazer essas duas condições é o número 4, não é? Assim, poderíamos reescrever o conjunto C claramente como um conjunto unitário:

Conjunto vazio

Um conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum.

Existem duas formas de representar um conjunto vazio. Na primeira, basta inserir as duas chaves normalmente, sem colocar nenhum elemento entre elas. Na segunda, não há necessidade das chaves — basta usar uma bolinha cortada ao meio, como mostra a imagem abaixo:

Atenção a um aviso muito importante: é um erro grave unir as duas formas de representação do conjunto vazio que acabamos de aprender. Ou usamos uma, ou usamos a outra — porque, se unirmos as duas, teremos, na verdade, a representação de um conjunto unitário!

O conjunto vazio surge, portanto, quando não existe elemento algum capaz de satisfazer a condição estabelecida por uma propriedade, como neste exemplo:

O conjunto B deve ser formado por elementos que sejam números ímpares e, ao mesmo tempo, divisíveis por 2. Mas você já viu algum número que seja ímpar e divisível por 2 ao mesmo tempo? Não tem como, não é? Por isso, nesse caso, B é um conjunto vazio.

Conjunto universo

Quando desenvolvemos um assunto em matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados nesse assunto. Esse conjunto U é chamado de conjunto universo.

A utilização do conjunto universo depende muito do assunto da matemática que estamos tratando. Por exemplo, se estamos resolvendo uma equação e sabemos que o resultado só pode ser um número positivo, então o conjunto universo dessa solução será o conjunto dos números naturais (ℕ). Em muitas equações, porém, são admitidas soluções dadas por números positivos e negativos, decimais finitos, ou mesmo dízimas periódicas. Nesses casos, podemos dizer que o conjunto universo das soluções dessas equações é o conjunto dos números reais (ℝ), e assim por diante.

Conjuntos iguais

Dois conjuntos são chamados de conjuntos iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos, independentemente da ordem em que eles aparecem. Por exemplo, dados A = {1, 2, 3} e B = {3, 1, 2}, podemos afirmar que A = B, porque todo elemento de A também é elemento de B, e vice-versa. Já quando os conjuntos têm pelo menos um elemento diferente entre eles, dizemos que são conjuntos diferentes, e usamos o símbolo ≠ (A ≠ B).

Subconjuntos e conjunto das partes

Quando todos os elementos de um conjunto A também são elementos de um conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B — a mesma relação de inclusão (⊂) que vimos lá no início deste guia. E quando reunimos todos os subconjuntos possíveis de um conjunto A, formamos um novo conjunto, chamado de conjunto das partes de A. Esse assunto, porém, merece um texto só para ele: se quiser se aprofundar — inclusive na fórmula que calcula quantos subconjuntos um conjunto pode ter —, confira o texto completo sobre subconjuntos e conjunto das partes aqui no blog.

6. Operações com conjuntos (resumo)

Além de descrever e classificar conjuntos, a matemática também permite operar com eles — ou seja, combinar dois ou mais conjuntos para formar um novo. São as chamadas operações com conjuntos, que aparecem com bastante frequência nas provas do ENEM, dos vestibulares e até de alguns concursos públicos. Veja um resumo de cada uma delas:

Operação	Símbolo	O que faz
União	A ∪ B	reúne todos os elementos de A e de B, sem repetir os que aparecem nos dois
Interseção	A ∩ B	reúne apenas os elementos que aparecem em A e em B ao mesmo tempo
Diferença	A − B	reúne os elementos de A que não pertencem a B
Complementar	∁AB	é a diferença A − B, mas só quando B é subconjunto de A

 

Se quiser entender cada uma dessas operações com calma, com exemplos passo a passo e exercícios resolvidos, o blog já tem um texto completo dedicado a elas: Operações com Conjuntos: União, Intersecção, Diferença e Complementar. E se o seu interesse for especificamente a união e a intersecção de conjuntos, ou o número de elementos da união entre dois ou três conjuntos, também temos textos específicos sobre cada um desses pontos.

7. Conjuntos numéricos (resumo)

Boa parte dos conjuntos que você vai encontrar na matemática do Ensino Médio é formada por números — são os chamados conjuntos numéricos. Eles seguem uma espécie de hierarquia, em que cada conjunto contém o anterior:

Conjunto	Símbolo	O que reúne
Números Naturais	ℕ	0, 1, 2, 3, 4… (contagem, sem negativos nem decimais)
Números Inteiros	ℤ	os números naturais mais os seus negativos
Números Racionais	ℚ	frações e números decimais exatos ou periódicos
Números Irracionais	I (não há símbolo universal único)	números decimais infinitos e não periódicos
Números Reais	ℝ	a união de todos os conjuntos numéricos anteriores

 

Cada um desses conjuntos numéricos já tem um texto completo aqui no blog para você se aprofundar: confira Números Naturais e Inteiros, Números Racionais e Números Irracionais e Reais.

8. Por que estudar a teoria dos conjuntos?

Você já deve ter notado, ao longo deste texto, que a teoria dos conjuntos aparece por trás de praticamente todo o resto da matemática: os conjuntos numéricos, as funções — que nada mais são do que uma relação entre dois conjuntos —, a probabilidade e a estatística, entre vários outros assuntos. Por isso, dominar bem esses conceitos logo no início dos seus estudos facilita, e muito, o entendimento dos assuntos mais avançados que vêm depois.

Fora da sala de aula, aliás, você usa a lógica dos conjuntos com mais frequência do que imagina: ao separar os contatos do celular em grupos, ao organizar os ingredientes de uma receita por categoria, ou até ao filtrar produtos em um site de compras por características em comum. Em todos esses casos, você está lidando, na prática, com conjuntos e elementos.

9. Videoaula

Por favor, não deixe de conferir o vídeo abaixo. Afinal, com mais exemplos, fica ainda mais fácil entender tudo o que foi abordado neste texto.

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10. Exercícios sobre teoria dos conjuntos

Exercícios Resolvidos

Exercício 1. Classifique o conjunto E = {x ∈ ℕ | x é par e x é primo}.

Resolução: Entre os números pares, o único que também é primo é o 2 — todos os demais números pares são divisíveis por 2, por 1 e por si mesmos, o que os torna compostos. Logo, E = {2}. Como E tem um único elemento, E é um conjunto unitário.

Exercício 2. Determine o conjunto F = {x ∈ ℤ | x² = −4}.

Resolução: Não existe número inteiro — nem mesmo real — que, elevado ao quadrado, resulte em um número negativo, já que todo número elevado ao quadrado é sempre maior ou igual a zero. Logo, não existe elemento que satisfaça essa condição, e F é um conjunto vazio: F = ∅.

Exercícios Propostos

1) Dado o conjunto A = {2, 4, {6}, 8}, julgue as afirmações em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) 2 ∈ A

b) {6} ∈ A

c) 6 ∈ A

d) {2, 4} ⊂ A

e) {8} ⊂ A

2) Classifique cada conjunto abaixo quanto ao número de elementos (finito, infinito, unitário ou vazio):

a) C = {x ∈ ℕ | x < 3}

b) D = {x ∈ ℕ | x é ímpar e x = 4}

c) E = {x ∈ ℝ | x² = 9 e x > 0}

3) Considere o conjunto universo U = ℕ (números naturais). Sabendo que a equação x + 5 = 3 tem como solução algébrica x = −2, o conjunto solução S dessa equação, dentro desse universo U, é vazio ou não? Justifique.

Gabarito Comentado

1) a) V b) V c) F d) V e) V

Comentário: {6} é, literalmente, um dos elementos de A — por isso {6} ∈ A é verdadeiro, mas 6 (sozinho) não é elemento de A, por isso 6 ∈ A é falso. Já {2, 4} ⊂ A é verdadeiro porque tanto 2 quanto 4 são elementos de A.

2) a) C = {0, 1, 2} — conjunto finito, com 3 elementos. b) D = ∅ — conjunto vazio (nenhum número ímpar é igual a 4). c) E = {3} — conjunto unitário.

3) S = ∅ (vazio). Embora x = −2 resolva a equação algebricamente, o conjunto universo definido é ℕ, e −2 não é um número natural. Portanto, dentro desse universo, a equação não tem solução, e S é um conjunto vazio — um bom exemplo de como o conjunto universo interfere diretamente no resultado.

11. Perguntas frequentes sobre teoria dos conjuntos

O que é a teoria dos conjuntos?

A teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda os conjuntos, seus elementos e as relações entre eles — como pertinência, inclusão, igualdade e as operações de união, interseção, diferença e complementar. Ela é considerada a base de praticamente toda a matemática do Ensino Médio.

Qual é a diferença entre “pertence” e “está contido”?

O símbolo de pertence (∈) relaciona um elemento a um conjunto (por exemplo, 2 ∈ A). Já o símbolo de está contido (⊂) relaciona dois conjuntos entre si, quando um deles é subconjunto do outro (por exemplo, A ⊂ B). Ou seja, um elemento pertence a um conjunto, mas um conjunto está contido em outro conjunto.

O que é um conjunto unitário?

É o conjunto que possui um único elemento, como C = {4}. Esse elemento não precisa ser necessariamente o número 1 — pode ser qualquer algarismo, letra ou objeto, desde que seja o único do conjunto.

Como representar um conjunto vazio?

De duas formas: com duas chaves sem nenhum elemento dentro ({ }), ou com o símbolo ∅. As duas formas nunca devem ser unidas (como em {∅}), porque isso passaria a representar um conjunto unitário, cujo único elemento seria o símbolo ∅.

O que é o conjunto universo?

É o conjunto U que reúne todos os elementos possíveis dentro do assunto que está sendo estudado em determinado momento. Ele delimita, por exemplo, quais soluções de uma equação são válidas — mudar o conjunto universo pode transformar uma equação com solução em uma equação sem solução (conjunto vazio).

Quais são as principais operações entre conjuntos?

São quatro: união (∪), interseção (∩), diferença (−) e complementar. Você confere cada uma delas, com exemplos resolvidos, no texto completo sobre Operações com Conjuntos aqui no blog.

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Um forte abraço! Ótimos estudos!