Termo Geral da PA (Progressão Aritmética): Fórmula e Propriedades

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética nos permite encontrar qualquer termo de uma PA conhecendo apenas o valor de a₁, e da razão r da progressão. Além disso, a progressão aritmética possui algumas propriedades, que também podem ajudar na resolução de diversos exercícios! 

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

O texto de hoje é imprescindível para quem quer se dar bem nas provas do ENEM e dos vestibulares. Vamos falar sobre uma das fórmulas mais importantes relacionadas a progressão aritmética, aquela que nos possibilita encontrar qualquer termo dessa sequência conhecendo apenas outros dois valores. Além disso, estudaremos também algumas propriedades da PA. Quem acompanhar o texto até o final, vai entender qual é a relação dessa sequência numérica com a média aritmética!

Beleza, pessoal?! Sei que estão ansiosos para iniciarmos os estudos, contudo, antes de seguirmos o texto, gostaria de dar uma dica. É mais fácil compreender a fórmula do termo geral da PA quando conhecemos os conceitos introdutórios da progressão aritmética. Portanto, quem nunca ouviu falar da PA, pode clicar aqui, e dar uma olhadinha no texto Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética. Depois, é só continuar comigo!

Resposta rápida: o termo geral de uma PA é a fórmula a_n = a₁ + (n – 1)·r, que permite encontrar qualquer termo de uma progressão aritmética a partir do primeiro termo, da razão e da posição desse termo na sequência. Assim, dá para descobrir, por exemplo, o centésimo termo de uma PA sem escrever os 99 termos anteriores. A seguir, vamos entender, passo a passo, de onde essa fórmula vem.

 

Como Chegar à Fórmula do Termo Geral de uma PA

Uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do anterior com uma constante r dada. Também podemos dizer que uma sequência numérica é uma progressão aritmética, quando cada termo, a partir do penúltimo, é igual a diferença entre o seu termo sucessor e a razão r.

A partir deste conceito, nós costumávamos encontrar cada termo de uma determinada PA com base no valor de sua razão r e do seu termo sucessor ou antecessor, tal como mostram os exemplos abaixo.

Contudo, a verdade é que nem sempre temos a disposição o valor de todos os termos de uma progressão aritmética. Digamos, por exemplo, que vocês procurassem pelo 7º termo de uma certa PA, mas não conhecessem o seu 6º termo e muito menos o seu 8º termo. Estariam a disposição, apenas o valor do primeiro termo da sequência, o a₁, e o valor da razão r da progressão. Não parece, mas esse enigma tem solução. Tudo que precisamos fazer, é ficar de olho nos saltos que a razão dá na sequência, partindo do termo a₁, e seguindo rumo ao termo desejado!

Incrível, não é mesmo? Podemos dizer, por exemplo, que o 7º termo da PA que vocês procuravam, é igual ao valor do primeiro termo da sequência acrescido de 6 razões.

Nem pensar, pessoal! Se repararmos melhor nas fórmulas que acabamos de montar, podemos chegar a uma conclusão muito interessante. Acompanhem comigo!

Entenderam a ideia? A expressão genérica que representa tudo aquilo que acabamos de observar é a fórmula do termo geral da PA. Vem comigo!

 

Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA)

Em texto, a fórmula do termo geral da PA pode ser escrita assim:

a_n = a₁ + (n – 1) · r

Onde:

– a_n é o termo geral, ou seja, o termo que queremos descobrir;

– a₁ é o primeiro termo da progressão aritmética;

– n é a posição que o termo a_n ocupa na sequência;

– r é a razão da PA.

A fórmula que aparece na imagem acima é a expressão que nos permite obter qualquer termo de uma progressão aritmética conhecendo apenas os valores da razão r e do primeiro termo da progressão, o a₁. Por isso, r e a₁ vão estar sempre na fórmula.

Já a_n, é o termo geral da PA, aquele que ocupa a n-ésima posição na sequência. Isso significa, por exemplo, que se procurarmos pelo 8º termo da sequência, o a₈, n valerá 8. Da mesma forma, se procurarmos pelo décimo segundo termo da sequência, o a₁₂,  n valerá 12. Ainda, caso a ideia seja obter o trigésimo terceiro termo da sequência, o a₃₃, então n será igual a 33. O valor de n menos uma unidade é o número que multiplicará a razão r na fórmula. É isso que os seguintes exemplos mostram:

Até aí tudo certo, pessoal? Essa fórmula já vai nos ajudar muito a resolver os exercícios que envolvem a progressão aritmética no ENEM e nos vestibulares. Contudo, não podemos deixar de cogitar a seguinte possibilidade: e se a₁ não for conhecido? A verdade é que com base na fórmula do termo geral da PA, podemos obter uma segunda fórmula que vai solucionar essa questão. Sigam comigo!

 

Fórmula do Termo Geral da PA Quando a₁ Não É Conhecido

Os saltos que a razão r dá na sequência, sejam para frente ou para trás, também irão nos ajudar a encontrar o n-ésimo termo de uma PA quando já se conhece pelo menos um de seus termos, que não necessariamente o a₁, e a razão r da progressão. Dado que as sequências apresentadas abaixo são progressões aritméticas, vamos entender melhor essa situação através de alguns exemplos.

Quando estávamos chegando perto de definir a fórmula do termo geral da PA, nós contamos quantos saltos a razão caminhou para frente na sequência, sempre partindo do a₁, o seu primeiro termo. Mas não há problema algum em fazer o mesmo partindo de qualquer outro termo da sequência. Inclusive, nada impede que façamos o cálculo do termo geral da PA voltando na sequência, como mostra a imagem seguinte.

Independente da ideia escolhida, reparem, o mesmo padrão que identificamos anteriormente se repete:

Por isso, a fórmula que a nosso amiga mostrou logo no início desse item, corresponde ao termo geral da PA quando não conhecemos o valor do a₁. Já que a₁ não corresponde mais a base do cálculo, mas sim qualquer outro termo da progressão, chamaremos esse termo qualquer de a_k. Assim, sabendo que o fator que multiplicava a razão r na fórmula original era n­ – 1, teremos agora o produto entre r e o fator n – k.

Em texto, a extensão da fórmula do termo geral fica assim:

a_n = a_k + (n – k) · r

Onde a_k é qualquer termo já conhecido da progressão (não precisa ser necessariamente o a₁), e k é a posição que esse termo ocupa na sequência.

E aí, o que acharam desta ideia, pessoal? A extensão da fórmula do termo geral da PA facilita bastante a resolução de questões, porque elimina a necessidade de conhecermos o termo a₁. Para que tudo isso fique mais claro, partiremos agora para o famoso exercício resolvido. Venham comigo!

 

Exercício Resolvido sobre o Termo Geral da Progressão Aritmética

Qual é a razão de uma PA na qual o quarto termo é 30 e o décimo segundo termo é 62?

O primeiro passo rumo a resolução de qualquer questão matemática é entender que dados foram apresentados no enunciado. Fala-se de uma progressão aritmética cujo quarto termo vale 30 e cujo décimo segundo termo vale 62. Isso só pode significar que:

a₄= 30

a₁₂= 62

Já que o objetivo é encontrar a razão r da progressão, e os termos a₄ e a₁₂ não são consecutivos, precisaremos da ajuda da fórmula do termo geral da PA. Mas como o valor de a₁ não foi dado, na verdade, utilizaremos a extensão da fórmula do termo geral:

a_n = a_k + (n – k)·r

Nesse momento, vocês poderiam optar por 2 caminhos: considerar que n vale 12 e que k vale 4, ou o contrário. Independente da ordem escolhida, seguindo a fórmula corretamente, o resultado é exatamente o mesmo. Eu garanto!

Feito, pessoal? Assim, antes de finalizarmos o texto, vamos conhecer algumas propriedades da PA. Os conceitos que envolvem essas propriedades também podem nos ajudar a resolver diversos exercícios sobre o assunto. Vamos lá!

 

Propriedades da Progressão Aritmética

Analisando as sequências numéricas que formam progressões aritméticas, é possível encontrar algumas relações interessantes, que envolvem, inclusive, uma das medidas de tendência central mais conhecida e mais utilizada na matemática: a média aritmética. Vou explicar cada uma das propriedades com clareza nos próximos itens. Vem comigo!

 

1ª Propriedade da PA: Soma dos Termos Equidistantes dos Extremos

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

Dois termos equidistantes dos extremos são dois termos que possuem a mesma distância do primeiro e do último termo da sequência. Observem na imagem acima, que os extremos da PA apresentada são os números 3 e 18. Tanto o número 6 quanto o número 15 estão a apenas uma razão de distância destes extremos. Da mesma forma, tanto 9 quanto 12 se encontram a duas razões de distância dos extremos. Assim, não podemos negar que 6 e 15 e 9 e 12 são termos equidistantes dos extremos. Por isso, a soma entre 3 e 18, 6 e 15 e 9 e 12 resulta no mesmo valor: 21.

A imagem acima mostra um segundo exemplo da aplicação da primeira propriedade da PA. Neste caso, 7 e 19 são os termos extremos da progressão, e sua soma resulta no valor 26. 9 e 17 estão a uma razão de distância dos extremos, enquanto que 11 e 15 estão a duas razões de distância de 7 e 19. Por isso, podemos dizer que 9 e 17 e 11 e 15 são termos equidistantes dos extremos, o que explica o fato de sua soma também resultar em 26.

 

2ª Propriedade da PA: o Termo Central é a Média dos Vizinhos

Em uma PA, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média dos seus vizinhos.

Quem ficou de olho na imagem acima, reparou que escolhemos uma série de três termos consecutivos dentro da mesma progressão aritmética. Em todos os casos, o valor do termo central foi exatamente igual a média aritmética entre os valores dos seus vizinhos.

Interessante, não é mesmo? E se eu contar para vocês que dependendo do número de termos que uma PA possui, é possível encontrar uma segunda relação da sequência com a média aritmética?

 

3ª Propriedade da PA: Termo Central em uma PA Finita de Número Ímpar de Termos

Em uma PA finita cujo número de termos é ímpar, a média aritmética entre os extremos e entre os termos equidistantes dos extremos, sempre será igual ao valor do termo central da sequência.

Observem na imagem acima, que 35 não só é igual a média aritmética entre seus vizinhos, como também é igual a média aritmética entre os termos equidistantes dos extremos 25 e 45, e entre os próprios termos extremos, 20 e 50.

Quem quiser revisar os conceitos mais básicos da progressão aritmética antes de seguir pode dar uma olhada no texto Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética. Por ora, o quadro abaixo resume as 3 propriedades que acabamos de estudar:

Propriedade	O que diz
1ª Propriedade	A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
2ª Propriedade	Em três termos consecutivos, o termo central é a média aritmética dos outros dois.
3ª Propriedade	Numa PA finita com número ímpar de termos, o termo central é a média aritmética entre quaisquer dois termos equidistantes dele — inclusive os extremos.

 

Certinho, pessoal?! Chegamos ao final de mais um texto! Espero que ele tenha sido muito importante para o aprendizado de vocês! Estou disponibilizando abaixo, algumas questões para vocês resolverem e se prepararem para os vestibulares e o ENEM que estão logo aí. A resolução em vídeo dessas questões também vai ficar disponível!

Depois de fazer os exercícios, vale revisar todo conteúdo vendo a videoaula que também está em anexo. Com essa preparação, não há PA que os detenha nas provas do ENEM e dos vestibulares!

Bons estudos à todos! Nos vemos logo mais!

 

Exercícios sobre Termo Geral da PA para o Enem e os Vestibulares

1) (UERJ)

Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, d_AB, d_BC e d_CD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
a) −50
b) −40
c) −30
d) −20

 

2) (ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a) 38 000
b) 40 500
c) 41 000
d) 42 000
e) 48 000

 

3) (UPE-SSA) As medidas dos lados AB, BC e CA de um triângulo ABC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.

Qual é a medida do perímetro desse triângulo?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Gabarito Comentado dos Exercícios

Confiram a seguir a resolução comentada de cada questão. Assim, vocês conseguem conferir se acertaram e, de quebra, entender o passo a passo caso ainda tenha ficado alguma dúvida.

Questão 1 (UERJ) — Alternativa a

Pelos quadrinhos, dAB é 10 km maior que dBC, e dBC é 10 km maior que dCD. Logo, essas 3 distâncias formam uma PA de razão r = –10. Como dAB + dBC + dCD = 390 e dBC é o termo do meio dessa PA de 3 termos, pela 2ª propriedade vista neste texto, dBC = 390 ÷ 3 = 130. Portanto, dAB = 140 (o primeiro termo da PA) e dCD = 120. Usando a fórmula do termo geral com a1 = 140 e r = –10, o vigésimo termo é: a20 = 140 + 19·(–10) = 140 – 190 = –50.

Questão 2 (ENEM) — Alternativa d

As vendas mensais formam uma PA de a1 = 33 000 e razão r = 1 500 (34 500 – 33 000). Considerando janeiro como o 1º mês, julho é o 7º termo dessa PA. Assim: a7 = 33 000 + (7 – 1)·1 500 = 33 000 + 9 000 = 42 000.

Questão 3 (UPE-SSA) — Alternativa a

Os lados AB = 2x, BC = x + 1 e CA = 3x formam, nessa ordem, uma PA. Pela 2ª propriedade, o termo central é a média dos outros dois: 2(x + 1) = 2x + 3x, ou seja, 2x + 2 = 5x, logo x = 2/3. Substituindo, AB = 4/3, BC = 5/3 e CA = 2. Por conseguinte, o perímetro é 4/3 + 5/3 + 2 = 5.

Perguntas Frequentes sobre o Termo Geral da PA

O que é o termo geral de uma PA?

O termo geral de uma PA é a fórmula an = a1 + (n – 1)·r, usada para calcular o valor de qualquer termo de uma progressão aritmética a partir do primeiro termo, da razão e da posição desse termo na sequência.

Qual é a fórmula do termo geral quando não conhecemos a1?

Nesse caso, usa-se a extensão da fórmula, an = ak + (n – k)·r, em que ak é qualquer termo já conhecido da PA (não precisa ser o primeiro) e k é a posição desse termo.

Como encontrar a razão de uma PA usando o termo geral?

Basta isolar o r na fórmula do termo geral: r = (an – a1) ÷ (n – 1). Foi exatamente esse raciocínio que usamos no exercício resolvido deste texto.

O termo geral funciona para PA finita e infinita?

Sim. Como o termo geral depende apenas de a1, r e n, ele funciona tanto para progressões aritméticas finitas quanto infinitas — a diferença é que, numa PA infinita, n pode assumir qualquer número natural.

Qual a diferença entre o termo geral e a soma dos termos de uma PA?

O termo geral encontra o valor de um único termo específico da sequência. Já a soma dos termos calcula o resultado de somar vários termos consecutivos de uma vez, usando uma fórmula própria — dê uma olhada no texto Soma dos Termos da PA para entender esse cálculo com calma.

Leia também:

– Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética

– Soma dos Termos da PA: Conheça a Fórmula e Resolva Exercícios

– Interpolação de Meios Aritméticos

– Notações Especiais de uma Progressão Aritmética (PA)

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