Interpolação de meios aritméticos

Olá pessoal, tudo bem?

Só de olhar o título do nosso texto de hoje, vocês saberiam dizer o que estamos prestes a estudar? Sim? Não? Bom, então eu vou dar uma pista: o assunto de hoje tem a ver com uma sequência numérica muito conhecida, a progressão aritmética! Interpolar meios aritméticos significa colocar uma série de termos entre dois números dados, de tal forma que a sequência gerada seja uma PA!

Pois bem, parece que o conteúdo é mais simples do que a sua própria denominação. Isso é verdade! Agora, poderia não ser tão simples assim resolver aquelas questões do ENEM e dos vestibulares que tratam do assunto, se vocês nunca o tivessem estudado! Pessoal, se vocês desejam realizar alguma dessas provas e ter sucesso, não dá para deixar de estudar nenhum conteúdo da matemática do ensino médio! Assim, uma ótima maneira de garantir que tudo seja visto com um alto rendimento é assinando a plataforma do Professor Ferretto! O curso de matemática do Ferretto é repleto de videoaulas, de exercícios do ENEM e dos vestibulares disponíveis para resolução, além de simulados, e até mesmo aulas de física. É isso mesmo! Ficaram curiosos para saber como funciona? Então acessem o site e confiram todos os detalhes!

Depois dessa dica muito valiosa, é hora de iniciarmos nossos estudos! Nossa tarefa de hoje é descobrir como é possível colocar uma série de termos entre dois números dados, de tal forma que a sequência gerada seja uma PA. Então, digamos que a sequência que devemos encontrar seja dada nesta forma:

(2, __, __, __, 10)

Podemos ver, na sequência acima, que são dados dois números: 2 e 10. Entre eles temos 3 espaços, o que sugere que precisamos colocar 3 termos, ou 3 meios aritméticos, ali, de forma que a sequência se torne uma PA. Mas como é possível construir uma progressão aritmética sem saber como ela é formada, ou seja, sem conhecer a definição de uma PA?

O que é Interpolação de Meios Aritméticos?

Antes de seguirmos com o exemplo, vale parar um instante em dois termos que aparecem em praticamente toda questão sobre o assunto: extremos e meios. Numa PA (a₁, a₂, a₃, …, a_n), chamamos a₁ e a_n de extremos da sequência — são os dois valores que o enunciado sempre fornece. Já os demais termos, aqueles que ficam entre os extremos, são os meios aritméticos: são exatamente os valores que precisamos descobrir.

Assim, interpolar (ou inserir) k meios aritméticos entre dois números a₁ e a_n significa construir uma PA de n = k + 2 termos, na qual a₁ é o primeiro termo e a_n é o último. Logo, o desafio nunca é “adivinhar” os meios diretamente — é descobrir a razão r dessa nova PA. Por conseguinte, uma vez conhecida a razão, encontrar cada meio se resume a somar r sucessivamente a partir do primeiro extremo.

Uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r dada.

Observando o quadro, também podemos dizer que uma PA é uma sequência em que qualquer termo, que não seja o último, pode ser obtido através da subtração da razão r do seu termo sucessor, como mostram os exemplos:

Somando a razão	Subtraindo a razão
a2 = a1 + r	a7 = a8 − r
a3 = a2 + r	a6 = a7 − r
a5 = a4 + r	a4 = a5 − r
a8 = a7 + r	a1 = a2 − r

Revisando a Fórmula do Termo Geral da PA (necessária para interpolar)

Mas o fato mais interessante é que é possível encontrar o valor de qualquer termo de uma PA, conhecendo apenas o valor de algum outro termo desta progressão e a sua razão r. Para fazer isso, basta utilizarmos a fórmula do termo geral de uma PA:

an = ak + (n − k) · r

Essa fórmula nos permite encontrar o valor do enésimo termo de uma progressão aritmética, o a_n, com base na razão r da PA e no valor de qualquer outro termo da sequência, que pode estar à esquerda, à direita, e mesmo muito distante de a_n. É só observar os saltos que a razão dá na sequência, para a direita ou para a esquerda, ou ainda, subtrair os índices dos termos.

Querem ver como funciona? Digamos, por exemplo, que o nosso objetivo seja encontrar o valor do termo a₉ de uma PA, conhecendo apenas o valor do termo a₂ e a sua razão r. Subtraindo o número 2 do número 9, temos o valor 7 e, portanto, nossa fórmula do termo geral da PA ficaria assim:

a9 = a2 + 7r

E se o nosso objetivo fosse encontrar o valor do termo a₃ de uma PA, conhecendo apenas o valor do termo a₈ e a sua razão r? Nesse caso, subtraindo 8 de 3, temos o resultado −5 e, dessa forma, nossa fórmula do termo geral da PA ficaria assim:

a3 = a8 − 5r

Fórmula da Interpolação de Meios Aritméticos

Pois bem, pessoal: para entendermos por que estamos revisando tanto a fórmula do termo geral da PA, vamos observar novamente a sequência apresentada lá no início do texto:

(2, __, __, __, 10)

Vejam que, dessa sequência, nós só conhecemos os valores do primeiro e do último termo, a₁ e a_n, respectivamente. Mas, como temos 2 termos conhecidos e 3 termos (ou meios aritméticos) para encontrar, já podemos afirmar que o último termo da sequência é, na verdade, o seu 5º termo. Sendo assim, podemos dizer, mais precisamente, que conhecemos os valores numéricos dos termos a₁ e a₅ e precisamos encontrar os valores de a₂, a₃ e a₄.

(2, __, __, __, 10)

(a1, a2, a3, a4, a5)

Até aí, tudo certo, não é mesmo? Mas vocês não sentiram falta de nenhuma outra grandeza? Pois é, nós não conhecemos a razão r que torna essa sequência uma progressão aritmética! Então, pessoal, é por isso que temos falado tanto na fórmula do termo geral da PA: na medida em que conhecemos dois termos quaisquer de uma progressão aritmética, mesmo que distantes um do outro, como a1 e a5, por exemplo, essa fórmula nos permite encontrar a razão r dessa progressão.

De forma geral, para interpolar k meios aritméticos entre dois extremos a₁ e a_n, o número total de termos da PA formada é:

n = k + 2

E a razão da PA é encontrada isolando r na fórmula do termo geral:

r = (an − a1) / (n − 1)

Para interpolar os mais diversos meios aritméticos, é preciso, sempre, conhecer a razão r que envolve a sequência de que se está tratando!

Assim, no nosso exemplo, podemos montar a seguinte equação:

a5 = a1 + 4r

10 = 2 + 4r

10 − 2 = 4r

r = 8/4

r = 2

Agora, já é possível determinar os 3 meios aritméticos da sequência do exemplo, de forma que ela seja considerada uma PA:

(2, 4, 6, 8, 10)

Bem fácil, não é mesmo? Então, ao nos depararmos com um caso em que se pede a interpolação dos mais diversos meios aritméticos, basta seguirmos o roteiro que acabamos de ver: utilizar a fórmula do termo geral da PA para encontrar a razão r da sequência, com base no primeiro e no último termo, e depois construir a PA somando r sucessivamente. Por conseguinte, de posse da razão da progressão, obter os meios aritméticos desejados se torna muito simples.

Passo a Passo para Interpolar Meios Aritméticos

Para resolver qualquer exercício de interpolação de meios aritméticos, basta seguir este roteiro:

1. Identifique os extremos a1 e an dados no enunciado, e a quantidade k de meios aritméticos pedidos.
2. Calcule o número total de termos da PA: n = k + 2.
3. Encontre a razão r usando a fórmula do termo geral: r = (an − a1) / (n − 1).
4. Construa a sequência somando r sucessivamente a partir de a1, até completar todos os meios.
5. Confira o resultado: o último termo obtido deve ser exatamente igual a an.

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Exercícios Resolvidos

Para mostrar que tudo o que eu disse é a mais pura verdade, vamos resolver agora três exercícios muito interessantes. Vem comigo aqui!

Exercício 1 — Interpolar 5 meios aritméticos entre −2 e 40

Pessoal, antes de mais nada, é muito importante vocês notarem, no enunciado dos exercícios, que sempre são dados os valores do primeiro e do último termo da sequência em que se deseja realizar a interpolação e, também, é claro, o número de meios aritméticos que deverão ser inseridos para que uma PA seja formada. Isso nos permite concluir que o número de termos n da sequência dada, neste caso, é 7, já que conhecemos 2 termos e iremos interpolar mais 5 termos entre eles. Para ficar mais claro, escrevam a sequência sempre, deixando os espaços necessários para os termos que serão interpolados:

(−2, __, __, __, __, __, 40)

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)

Desta forma, conseguimos perceber que, de a1 até a7, existem 6 saltos da razão r. Por isso, é possível dizer que a7 é igual a a1 acrescido de 6 razões:

a7 = a1 + 6r

40 = −2 + 6r

40 + 2 = 6r

r = 42/6

r = 7

Logo, a PA formada é (−2, 5, 12, 19, 26, 33, 40), e os 5 meios aritméticos interpolados entre −2 e 40 são 5, 12, 19, 26 e 33.

Exercício 2 — Razão da PA ao interpolar 10 meios entre 2 e 79

Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual é a razão da PA obtida?

Se devem ser inseridos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, é fato que a PA que será formada por essa sequência terá 12 termos ao todo, ou seja, n = 12. Então, vamos escrever essa sequência com os espaços necessários a todos os meios aritméticos pedidos, para em seguida montar a equação correta que nos permita encontrar a razão para o caso:

(2, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 79)

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12)

Observem que, de a1 até a12, existem 11 saltos na razão r. Assim, é fato que a12 é igual a a1 acrescido de 11 razões:

a12 = a1 + 11r

79 = 2 + 11r

79 − 2 = 11r

r = 77/11

r = 7

Exercício 3 — O sexto termo ao interpolar 9 meios entre 15 e 45

Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da PA?

Novamente, temos o valor do primeiro e do último termo da sequência que deverá ser formada, respectivamente, 15 e 45. E, se entre eles devem ser inseridos 9 meios aritméticos, isso significa que a progressão aritmética terá um total de 11 termos, n = 11. Então, é claro que o último termo da PA é, na verdade, o seu 11º termo, e que a11 é igual a a1 acrescido de 10 razões.

(15, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 45)

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11)

a11 = a1 + 10r

45 = 15 + 10r

45 − 15 = 10r

r = 30/10

r = 3

Contudo, nesse caso, nem mesmo se fala na sequência que será formada quando esses 9 termos forem inseridos entre 15 e 45 através da razão r = 3. Pede-se, na verdade, o valor do 6º termo da PA, o a6. Bom, se de a1 até a11 temos 10 saltos da razão r, de a1 até a6 temos apenas 5 saltos da razão. Assim, a6 é igual a a1 acrescido de 5 razões.

a6 = a1 + 5r

a6 = 15 + 5·3

a6 = 15 + 15

a6 = 30

Exercícios Propostos

Agora é a sua vez! Tente resolver os dois exercícios abaixo antes de conferir a resolução — eles cobrem dois modelos que aparecem bastante em vestibulares.

Exercício 4 — Quantos meios inserir para obter uma razão dada

Quantos meios aritméticos devem ser inseridos entre 10 e 100 para que a PA formada tenha razão igual a 9?

Resolução: usando an = a1 + (n − 1)·r, temos 100 = 10 + (n − 1)·9. Logo, 90 = 9(n − 1), então n − 1 = 10 e n = 11. Como n = k + 2, segue que k = 9.

Resposta: devem ser inseridos 9 meios aritméticos.

Exercício 5 — Um modelo clássico de vestibular

Interpolando-se x meios aritméticos entre 8 e 68, a soma de todos os termos da PA formada é igual a 608. Quantos meios aritméticos foram interpolados?

Resolução: pela fórmula da soma dos termos de uma PA, Sn = (a1 + an)·n/2. Substituindo, 608 = (8 + 68)·n/2, ou seja, 608 = 38n, o que dá n = 16. Como n = k + 2, segue que k = 14.

Resposta: foram interpolados 14 meios aritméticos.

Dica: esse é um modelo clássico de pegadinha em provas de vestibular — o enunciado costuma pedir a quantidade de meios (k), não o número total de termos (n) da PA. Antes de responder, confira sempre qual das duas grandezas foi pedida.

Tabela-Resumo: Fórmulas da Interpolação de Meios Aritméticos

O que você quer descobrir	Fórmula
Número total de termos da PA	n = k + 2
Razão da interpolação	r = (an − a1) / (n − 1)
Termo geral da PA	an = a1 + (n − 1) · r
Construção dos meios, um a um	a2 = a1 + r; a3 = a2 + r; …

Onde a Interpolação Aritmética Aparece Além da Prova?

Além de cair no ENEM e nos vestibulares, a lógica da interpolação aritmética — preencher um intervalo com passos de mesmo tamanho — aparece em situações do dia a dia que seguem um crescimento ou uma queda constante, como:

• Finanças: a depreciação linear de um bem (o valor de um equipamento caindo o mesmo tanto a cada ano até o valor de revenda).
• Física: o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), em que a posição de um objeto avança sempre a mesma distância a cada intervalo de tempo.
• Computação gráfica: o “tweening”, técnica usada em animações para gerar quadros intermediários uniformes entre uma posição inicial e uma final.

Videoaula: Resolvendo um Exercício Clássico de PA com Interpolação

Tranquilo, não é mesmo? Então, caso vocês não tenham percebido, aí vai uma dica bem importante! Praticamente tudo, em PA, se resume a duas fórmulas muito interessantes: a fórmula do termo geral de uma PA e a fórmula da soma dos termos de uma PA. Se vocês conhecerem direitinho essas duas fórmulas, é muito provável que não haja erro em qualquer questão que trate do assunto!

Mas antes de encerrar mesmo, informo que não dá para deixar de ver o vídeo que está em anexo. Ali vocês encontram a resolução de um exercício clássico da progressão aritmética, e que tem tudo a ver com a interpolação: uma questão de múltiplos! Tenho certeza que essa resolução irá contribuir muito para o conhecimento de vocês!

 

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Perguntas Frequentes

O que são os “meios aritméticos” de uma PA?

São os termos de uma progressão aritmética que ficam entre os dois valores dados no enunciado (os extremos, a1 e an). Interpolar meios aritméticos é justamente descobrir esses termos.

Qual é a fórmula para interpolar meios aritméticos?

Primeiro, calcula-se o número total de termos com n = k + 2, sendo k a quantidade de meios pedida. Em seguida, encontra-se a razão com r = (an − a1) / (n − 1) e, a partir dela, constrói-se a sequência somando r sucessivamente a partir do primeiro extremo.

A razão da interpolação pode ser negativa?

Sim. Quando o último extremo (an) é menor que o primeiro (a1), a diferença an − a1 é negativa, e a razão também será negativa. Isso simplesmente indica que a PA formada é decrescente — o processo de cálculo continua exatamente o mesmo.

Interpolação aritmética é o mesmo que interpolação geométrica?

Não. Na interpolação aritmética, cada meio é obtido somando a razão r ao termo anterior, formando uma PA. Já na interpolação de meios geométricos, cada meio é obtido multiplicando o termo anterior pela razão q, formando uma PG.

Qual a diferença entre o número de meios (k) e o número total de termos (n)?

k é apenas a quantidade de termos que serão inseridos entre os dois extremos. n é o total de termos da PA já formada, incluindo os dois extremos — por isso n = k + 2. Confundir essas duas grandezas é o erro mais comum nesse tipo de questão.

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