MMC (Mínimo Múltiplo Comum): o que é e como calcular

Olá, tudo bem? O MMC (Mínimo Múltiplo Comum) é o menor número inteiro positivo que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo. Esse conceito aparece o tempo todo nas provas do ENEM e dos vestibulares, pois é a base para somar e subtrair frações com denominadores diferentes, resolver problemas de eventos que se repetem em ciclos e encontrar números que atendem a várias condições ao mesmo tempo. Assim, neste texto você vai aprender três métodos práticos para calcular o MMC, entender a diferença entre MMC e MDC e treinar com um exercício resolvido e exercícios propostos, com gabarito comentado.

O que é MMC?

Para entendermos a ideia do MMC, vamos primeiro relembrar o que significa um número ser múltiplo de outro. Múltiplos de um número são os valores que obtemos multiplicando-o pelos números naturais (0, 1, 2, 3…). Por exemplo, os múltiplos de 4 são 4, 8, 12, 16, 20, 24… e os múltiplos de 5 são 5, 10, 15, 20, 25, 30… Note que os múltiplos de 4 crescem de 4 em 4, enquanto os múltiplos de 5 crescem de 5 em 5.

Agora vamos usar essa ideia para encontrar o MMC entre 2 e 3. Para isso, representamos em forma de conjunto os múltiplos de cada um deles:

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}

M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, …}

Nesses dois conjuntos, existem elementos em comum: o 6, o 12 e o 18 aparecem tanto nos múltiplos de 2 quanto nos múltiplos de 3. Portanto, esses números são múltiplos comuns entre 2 e 3 — mas repare que o menor deles é o 6. Logo, ele é o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3.

MMC (2, 3) = 6

Tranquilo até aqui? Agora imagine que alguém pergunte qual é o MMC entre 240 e 900. Listar os múltiplos dos dois números até encontrar um em comum seria um trabalho e tanto, não é mesmo? Por isso, a seguir você vai aprender três métodos práticos para encontrar o MMC entre dois ou mais números sem precisar ficar listando múltiplo por múltiplo.

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Para que serve o MMC?

O MMC não é só conteúdo de prova: ele resolve problemas práticos de organização e de repetição de eventos. As aplicações mais comuns são:

• Somar e subtrair frações com denominadores diferentes: para somar frações, os denominadores precisam ser iguais. O MMC entre os denominadores indica qual é o menor denominador comum possível, evitando frações desnecessariamente grandes.
• Resolver problemas de eventos periódicos: quando dois ou mais eventos se repetem em intervalos diferentes — ônibus que partem de um terminal, sinais que piscam, lâmpadas que acendem — o MMC indica depois de quanto tempo eles voltam a acontecer juntos.
• Encontrar o menor número que atende a várias condições ao mesmo tempo: em problemas de distribuição e de agrupamento, o MMC indica o menor total que pode ser dividido exatamente por várias quantidades diferentes — é exatamente o tipo de situação que vamos resolver no exercício mais à frente.

Para ilustrar a primeira aplicação, veja como o MMC entra na soma de duas frações com denominadores diferentes:

Vamos calcular 1/4 + 5/6. Como os denominadores são diferentes, o primeiro passo é encontrar o MMC entre 4 e 6.

MMC (4, 6) = 12

Agora, dividimos o novo denominador (12) pelo denominador de cada fração e multiplicamos o resultado pelo numerador correspondente: 12 ÷ 4 = 3, então 1/4 passa a ser 3/12; e 12 ÷ 6 = 2, então 5/6 passa a ser 10/12. Somando:

1/4 + 5/6 = 3/12 + 10/12 = 13/12

Ou seja, o resultado é 13/12 (ou 1 inteiro e 1/12). Perceba que, sem o MMC, não haveria como somar essas duas frações diretamente. Vem comigo que já vamos ver como calcular tudo isso na prática!

Como Calcular o MMC: 3 Métodos Práticos

Existem diferentes caminhos para encontrar o MMC entre dois ou mais números. Todos levam ao mesmo resultado, mas alguns são mais práticos dependendo do tamanho dos números envolvidos. Conheça os três principais.

Método 1: Listagem dos Múltiplos

Este é o método mais intuitivo, e foi o que usamos para determinar o MMC entre 2 e 3, lá no início do texto. Ele consiste em listar os múltiplos de cada número até encontrar o primeiro valor que aparece em todas as listas.

Como já vimos, os múltiplos de 2 são {2, 4, 6, 8, 10, 12…} e os múltiplos de 3 são {3, 6, 9, 12, 15, 18…}. O primeiro número que aparece nas duas listas é o 6, logo, MMC(2, 3) = 6.

Esse método funciona bem para números pequenos, mas se torna trabalhoso à medida que os números crescem. Por isso, para esses casos, usamos a fatoração.

Método 2: Decomposição Simultânea em Fatores Primos

Vamos começar com um exemplo: o MMC entre 8 e 12. A maneira mais prática de encontrar o MMC entre dois ou mais números é a decomposição simultânea. Para isso, colocamos o 8 e o 12 lado a lado, traçamos uma linha vertical ao lado de ambos e vamos fatorando os dois ao mesmo tempo por números primos, inseridos à direita da linha. Começamos pelo menor número primo, que é o 2:

 

Número 1	Número 2	Fator primo
8	12	2
4	6	2
2	3	2
1	3	3
	1

 

Dividimos por 2 até que pelo menos um dos números não seja mais divisível por 2 — quando isso acontece, apenas copiamos o número que não pôde ser dividido e seguimos dividindo os demais por primos maiores. O processo termina quando as duas colunas chegam a 1. Assim, para encontrar o MMC, multiplicamos todos os números primos usados na divisão:

MMC (8, 12) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24

Portanto, o MMC entre 8 e 12 é 24. Esse método pode ser usado com dois, três ou mais números ao mesmo tempo, sem qualquer alteração no processo.

Método 3: Fatoração Isolada em Fatores Primos

Uma terceira forma de calcular o MMC é fatorar cada número separadamente e depois combinar os resultados. Esse método é especialmente útil quando você já tem os números decompostos em fatores primos, como costuma acontecer em questões mais algébricas de vestibular.

Vamos calcular o MMC entre 16 e 40. Primeiro, fatoramos cada número isoladamente:

16 = 2⁴ 40 = 2³ · 5

Agora, para encontrar o MMC, escolhemos todos os fatores primos que aparecem — comuns e não comuns — cada um elevado ao maior expoente com que aparece nas duas fatorações. Aqui, o único fator primo comum é o 2, e o maior expoente dele é 4 (que veio do 16); o fator 5 não é comum, mas também entra na conta, com expoente 1:

MMC (16, 40) = 2⁴ · 5 = 16 · 5 = 80

Logo, o MMC entre 16 e 40 é 80. Repare que chegamos ao mesmo tipo de resultado do Método 2, só que partindo de fatorações feitas separadamente, em vez de uma divisão simultânea.

MMC e MDC: Qual a Diferença?

É muito comum confundir MMC e MDC, já que os dois usam a mesma técnica de fatoração simultânea — aliás, se você ainda não viu como funciona o MDC, vale a pena conferir o texto Máximo Divisor Comum (MDC): entenda o que é e como calculá-lo. Na prática, porém, MMC e MDC respondem a perguntas opostas:

	MDC (Máximo Divisor Comum)	MMC (Mínimo Múltiplo Comum)
O que responde	Qual o maior número que divide os números dados?	Qual o menor número que é múltiplo dos números dados?
Resultado	Sempre menor ou igual ao menor número dado	Sempre maior ou igual ao maior número dado
Na fatoração simultânea	Multiplica-se só os fatores que dividem TODOS os números ao mesmo tempo	Multiplicam-se TODOS os fatores encontrados na coluna
Usado para	Simplificar frações, repartir em grupos iguais, medidas comuns	Somar/subtrair frações com denominadores diferentes, eventos que se repetem em ciclos

 

A boa notícia é que dá para aproveitar a mesma fatoração para encontrar os dois de uma vez só. Fazendo a decomposição simultânea de 90 e 54, os fatores que dividem as duas colunas ao mesmo tempo são 2, 3 e 3 — multiplicando apenas esses, chegamos ao MDC:

MDC (90, 54) = 2 · 3² = 18

Já para o MMC, multiplicamos TODOS os fatores encontrados na coluna — os que dividiram as duas ao mesmo tempo e os que dividiram só uma delas:

MMC (90, 54) = 2 · 3³ · 5 = 270

Ou seja, a partir da mesma tabela de fatoração descobrimos que MDC(90, 54) = 18 e MMC(90, 54) = 270, sem precisar fatorar duas vezes.

Existe ainda uma propriedade que relaciona diretamente as duas grandezas, sem que seja preciso calcular as duas separadamente:

MMC (a, b) · MDC (a, b) = a · b

Assim, se você já souber o MDC entre dois números, consegue encontrar o MMC sem fatorar de novo. Vamos aplicar isso em um exemplo:

MMC (12, 18) · MDC (12, 18) = 12 · 18 = 216

Como MDC(12, 18) = 6, temos que MMC(12, 18) = 216 ÷ 6 = 36. Você pode calcular o MMC entre 12 e 18 pela decomposição simultânea para confirmar que o resultado é, de fato, 36. Quer aprofundar no MDC sozinho? Confira o texto completo: Máximo Divisor Comum (MDC): entenda o que é e como calculá-lo.

Propriedades do MMC

Além dos três métodos de cálculo, existem propriedades que ajudam a resolver o MMC de cabeça, sem precisar fatorar nada. Confira as três principais:

Propriedade 1 — MMC entre números primos

O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números primos é sempre igual ao produto entre eles.

Por exemplo, o MMC entre 3 e 5: como os dois são primos, não é preciso fazer a decomposição — já sabemos que o MMC é o produto entre eles.

MMC (3, 5) = 15

Propriedade 2 — Quando um número é múltiplo do outro

Dados dois ou mais números em que o maior é múltiplo dos outros, o MMC é o próprio maior número.

Por exemplo, o MMC entre 4 e 8: como 8 é múltiplo de 4, o MMC já é o 8.

MMC (4, 8) = 8

O mesmo vale com mais números: o MMC entre 2, 8 e 24 é o próprio 24, pois 24 é múltiplo tanto de 2 quanto de 8.

MMC (2, 8, 24) = 24

Propriedade 3 — Multiplicação e divisão preservam a relação

Se multiplicarmos ou dividirmos todos os números por um mesmo valor inteiro, o MMC entre eles fica multiplicado ou dividido por esse mesmo valor.

Por exemplo, MMC(8, 12) = 24. Se multiplicarmos 8 e 12 por 5, teremos 40 e 60 — e o MMC também fica multiplicado por 5:

MMC (8, 12) = 24 → (× 5) → MMC (40, 60) = 120

O mesmo vale para a divisão, lembrando sempre que o valor usado precisa dividir os números originais de forma exata.

Exercício Resolvido

Dois sinais luminosos acendem juntos em um determinado instante. Um deles permanece 1 minuto aceso e 30 segundos apagado, enquanto o outro permanece 1 minuto aceso e 20 segundos apagado. A partir desse instante, qual é o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez?

01) Oito
02) Dez
04) Doze
08) Quatorze

O primeiro sinal fica 60 segundos aceso mais 30 segundos apagado, ou seja, demora 90 segundos para acender novamente. Já o segundo fica 60 segundos aceso mais 20 segundos apagado, ou seja, leva 80 segundos para acender novamente.

Então, precisamos encontrar um número que seja múltiplo dos dois — do 90 e do 80 — para descobrir de quanto em quanto tempo os sinais voltam a acender juntos:

 

Número 1	Número 2	Fator primo
90	80	2
45	40	2
45	20	2
45	10	2
45	5	2
15	5	3
5	5	3
1	1	5

Assim, o MMC entre 90 e 80 é:

MMC (90, 80) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 720

Isso quer dizer que, de 720 em 720 segundos, os sinais voltam a acender juntos. No entanto, a questão pede o resultado em minutos, logo:

720 ÷ 60 = 12 minutos

Portanto, a cada 12 minutos os sinais voltam a acender juntos, e a alternativa correta é a 04 — Doze.

Exercícios Propostos

Agora é a sua vez! Resolva os exercícios a seguir e confira o gabarito comentado logo depois de cada um.

Exercício 1

Dois ônibus saem juntos de um terminal. O ônibus da linha A retorna ao terminal a cada 15 minutos, e o da linha B retorna a cada 20 minutos. Depois de quantos minutos os dois ônibus sairão juntos do terminal novamente pela primeira vez?

Gabarito comentado: o momento em que os dois ônibus voltam a sair juntos é o menor número de minutos que seja, ao mesmo tempo, múltiplo de 15 e de 20 — ou seja, o MMC(15, 20). Fatorando: 15 = 3 × 5 e 20 = 2² × 5. Logo, MMC(15, 20) = 2² × 3 × 5 = 60. Os dois ônibus sairão juntos novamente depois de 60 minutos.

Exercício 2

Uma escola quer formar grupos de alunos para uma gincana, de modo que os grupos possam ter 6, 8 ou 9 alunos, sem que sobre nenhum aluno em qualquer um dos três casos. Qual é o menor número de alunos necessário para que isso seja possível?

Gabarito comentado: o menor número de alunos que pode ser dividido exatamente em grupos de 6, 8 ou 9 é o MMC(6, 8, 9). Fatorando simultaneamente: 6 = 2 × 3, 8 = 2³ e 9 = 3². Logo, MMC(6, 8, 9) = 2³ × 3² = 72. São necessários, no mínimo, 72 alunos.

Exercício 3

Calcule o valor de 5/6 − 3/4, encontrando primeiro o MMC dos denominadores.

Gabarito comentado: o MMC entre 6 e 4 é 12 (6 = 2 × 3, 4 = 2², logo MMC(6, 4) = 2² × 3 = 12). Reescrevendo as frações com denominador 12: 5/6 = 10/12 e 3/4 = 9/12. Subtraindo: 10/12 − 9/12 = 1/12.

Exercício 4

O MMC entre 2^m e 18 é igual a 72. Qual é o valor de m?

Gabarito comentado: fatorando 18 = 2 × 3² e 72 = 2³ × 3², percebemos que o fator 3² de 72 já vem inteiramente do 18. Assim, o fator 2³ de 72 só pode vir de 2^m, ou seja, m = 3. Conferindo: MMC(2³, 18) = MMC(8, 18) = 2³ × 3² = 72.

Perguntas Frequentes sobre MMC

O que significa MMC?

MMC é a sigla para Mínimo Múltiplo Comum: o menor número inteiro positivo que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo.

Qual é a diferença entre MMC e MDC?

O MMC é o menor múltiplo comum entre números — por isso seu resultado é sempre maior ou igual ao maior número dado. Já o MDC é o maior divisor comum entre eles, sendo sempre menor ou igual ao menor número dado.

Como calcular o MMC de 3 ou mais números?

O jeito mais prático é a decomposição simultânea em fatores primos: fatoramos todos os números ao mesmo tempo e multiplicamos todos os fatores primos encontrados na coluna, mesmo os que não dividiram todos os números de uma vez. O método de listagem dos múltiplos, por outro lado, fica bem mais trabalhoso com três números ou mais.

Para que serve o MMC na prática?

O MMC é usado para somar e subtrair frações com denominadores diferentes, resolver problemas de eventos que se repetem em ciclos — como ônibus, sinais luminosos e lâmpadas — e encontrar o menor número que atende a várias condições de divisibilidade ao mesmo tempo.

O MMC pode ser menor que os números dados?

Não. O MMC entre dois ou mais números nunca é menor que o maior deles — no mínimo, é igual a ele, quando um número é múltiplo do outro (Propriedade 2).

O que significa dois números serem “primos entre si” no cálculo do MMC?

Significa que o MDC entre eles é igual a 1. Nesse caso, o MMC é simplesmente o produto dos dois números — a mesma ideia da Propriedade 1, só que generalizada para números que não são, individualmente, primos.

Assista Também

Preparamos um vídeo complementar sobre MMC, com mais alguns exercícios para você treinar e ficar afiado(a) para o Enem.

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Chegamos ao final de mais um texto e esperamos que ele tenha sido muito importante para os seus estudos. Se quiser ir além, conheça os cursos gratuitos do Professor Ferretto ou experimente o Enem’s Anatomy, a análise de incidência que mostra exatamente o que mais cai na prova.

Um abração, sucesso e até mais!