Máximo Divisor Comum (MDC): entenda o que é e como calculá-lo

Olá, tudo bem? O MDC (Máximo Divisor Comum) é o maior número inteiro que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, sem deixar resto. Esse conceito está sempre presente nas provas do ENEM e dos vestibulares, pois serve para simplificar frações, repartir objetos em grupos iguais e resolver problemas de medida. Assim, neste texto você vai aprender dois métodos práticos para calcular o MDC, entender a diferença entre MDC e MMC e treinar com exercícios resolvidos e propostos, com gabarito comentado.

O que é MDC?

Para entendermos direitinho qual é a ideia do MDC, vamos usar um exemplo simples, representando em forma de conjunto os divisores do número 18 e do número 30.

D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Nesses dois conjuntos, existem elementos em comum: o 1, o 2, o 3 e o 6 dividem tanto o 18 quanto o 30 ao mesmo tempo. Portanto, esses números são os divisores comuns dos dois números — mas repare que o maior deles é o 6. Logo, ele é o máximo divisor comum entre 18 e 30.

MDC (18, 30) = 6

Tranquilo até aqui? Agora imagine que alguém pergunte qual é o MDC entre 1.500 e 2.050. Listar todos os divisores dos dois números e depois comparar um a um seria um trabalho e tanto, não é mesmo? Por isso, a seguir você vai aprender dois métodos práticos para encontrar o MDC entre dois ou mais números sem precisar listar divisor por divisor.

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Para que serve o MDC?

O MDC não é só conteúdo de prova: ele resolve problemas práticos de organização e divisão. As aplicações mais comuns são:

• Simplificar frações: dividindo o numerador e o denominador de uma fração pelo MDC entre eles, chegamos à fração irredutível — aquela que não pode mais ser simplificada.
• Repartir em grupos iguais e sem sobras: quando é preciso dividir pessoas, objetos ou ingressos no maior número de grupos idênticos possível, sem deixar sobra, o MDC indica quantos grupos formar.
• Determinar a maior medida comum: em problemas de ladrilhamento, corte de material ou loteamento, o MDC indica a maior “peça” (quadrado, tábua, lote) que cabe um número inteiro de vezes em todas as medidas envolvidas — é exatamente o que vamos resolver no exercício mais à frente.

Vem comigo que já vamos ver como calcular tudo isso na prática!

Como calcular o MDC: 2 métodos práticos

Método 1: Algoritmo de Euclides

Um dos métodos que facilita bastante o nosso trabalho de encontrar o MDC entre dois números é um método muito antigo, chamado de algoritmo de Euclides. Uma de suas particularidades é que não é necessário fazer qualquer fatoração.

Para entender como ele funciona, nada melhor do que começar com um exemplo. Vamos calcular o máximo divisor comum entre 160 e 64. Para isso, montamos um esquema colocando sempre o maior número do lado esquerdo (160) e o menor do lado direito (64), com um traço vertical entre eles e duas linhas horizontais, como mostra a figura abaixo.

Feito isso, dividimos 160 por 64: quantas vezes o 64 cabe dentro do 160? Como 2 × 64 = 128, sobram 32. Colocamos então o 2 (quociente) na parte superior, junto ao 64, e o 32 (resto) na parte inferior, junto ao 160. Em seguida, passamos o 32 para o lado direito do 64 e repetimos a divisão, agora entre 64 e 32.

Observe que 32 cabe exatamente 2 vezes dentro de 64, sem deixar resto. Colocamos o 2 (quociente) acima do 32 e o 0 (resto) abaixo do 64. Quando chegamos ao resto zero, a busca termina: o último número da linha central é o maior divisor comum. Assim:

MDC (160, 64) = 32

Resumindo o passo a passo em uma tabela:

Divisão	Quociente	Resto
160 ÷ 64	2	32
64 ÷ 32	2	0

 

Como o resto zerou na segunda divisão, o MDC(160, 64) é o último divisor usado: 32.

Esse método é simples e rápido, mas tem uma limitação: só funciona para 2 números por vez, ou seja, não conseguimos calcular o MDC de 3, 4 ou mais números com ele. Por isso, para esses casos, usamos um segundo método, baseado na decomposição simultânea em fatores primos. Vamos ver como ele funciona a seguir.

Método 2: Decomposição Simultânea em Fatores Primos

Para calcularmos o MDC entre 2, 3, 4 ou mais números, precisamos decompor todos eles simultaneamente em fatores primos. Fazemos essa decomposição exatamente da mesma maneira usada no cálculo do MMC — se você ainda não conhece o processo, vale a pena conferir o texto Mínimo Múltiplo Comum: Entenda O Que é o MMC e Como Calculá-lo antes de continuar, para que o exemplo a seguir fique ainda mais claro.

Vamos descobrir o MDC entre 90 e 54.

Diferente do MMC — em que multiplicamos todos os fatores encontrados —, no MDC multiplicamos apenas os números que dividiram a linha inteira, ou seja, que dividiram os dois números ao mesmo tempo, como ilustrado a seguir.

Os números 2, 3 e 3 dividiram simultaneamente 90 e 54 (depois 45 e 27, depois 15 e 9), por isso foram marcados com asterisco. Já o último 3 e o 5 dividem apenas um dos dois números na sequência, então não entram na conta. Assim, o MDC entre os números é:

MDC (90, 54) = 2 · 3² = 18

E aí, o que você achou desse método? Encontrar o MDC pela decomposição simultânea em fatores primos é realmente bastante prático — e, como você vai ver a seguir, essa mesma fatoração ainda serve de atalho para encontrar o MMC.

MDC e MMC: Qual a Diferença?

É muito comum confundir MDC e MMC, já que os dois usam a mesma técnica de fatoração simultânea. Mas, na prática, eles respondem perguntas opostas:

	MDC (Máximo Divisor Comum)	MMC (Mínimo Múltiplo Comum)
O que responde	Qual o maior número que divide os números dados?	Qual o menor número que é múltiplo dos números dados?
Resultado	Sempre menor ou igual ao menor número dado	Sempre maior ou igual ao maior número dado
Na fatoração simultânea	Multiplica-se só os fatores que dividem TODOS os números ao mesmo tempo	Multiplicam-se TODOS os fatores encontrados na coluna
Usado para	Simplificar frações, repartir em grupos iguais, medidas comuns	Somar/subtrair frações com denominadores diferentes, eventos que se repetem em ciclos

 

A boa notícia é que dá para aproveitar a mesma fatoração para encontrar os dois de uma vez só. Usamos a fatoração de 90 e 54 vista acima para achar o MDC multiplicando somente os fatores marcados com asterisco (2 · 3² = 18). Se, em vez disso, multiplicarmos TODOS os fatores encontrados na coluna — os marcados e os não marcados —, chegamos ao MMC:

MMC (90, 54) = 2 · 3³ · 5 = 270

Ou seja, a partir da mesma tabela de fatoração descobrimos que MDC(90, 54) = 18 e MMC(90, 54) = 270 — sem precisar fatorar duas vezes.

Existe ainda uma propriedade que relaciona diretamente as duas grandezas, sem que seja preciso calcular as duas separadamente:

MMC (a, b) · MDC (a, b) = a · b

Assim, se você já souber o MDC entre dois números, consegue encontrar o MMC sem fatorar de novo. Vamos aplicar isso em um exemplo:

MMC (12, 18) · MDC (12, 18) = 12 · 18 = 216

Você pode calcular o MMC e o MDC entre 12 e 18 separadamente para confirmar que o produto entre eles é, de fato, 216. Quer aprofundar no MMC sozinho? Confira o texto completo: Mínimo Múltiplo Comum: Entenda O Que é o MMC e Como Calculá-lo.

Propriedades do MDC

Além dos dois métodos de cálculo, existem propriedades que ajudam a resolver o MDC de cabeça, sem precisar fatorar nada. Confira as três principais:

Propriedade 1 — MDC entre números primos

O máximo divisor comum entre dois ou mais números primos é sempre igual a 1.

Por exemplo, o MDC entre 11 e 7: como os dois são primos, não é preciso calcular nada — já sabemos que o MDC é 1.

MDC (11, 7) = 1

Ou seja, o único número que divide o 11 e o 7 ao mesmo tempo, sem deixar resto, é o 1. Isso nos leva a uma observação importante:

OBS: dois números são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1.

Veja um exemplo: MDC(4, 5) = 1. Logo, o 4 e o 5 são primos entre si — mesmo o 4 não sendo, ele próprio, um número primo! Ou seja, “primos entre si” não significa que os dois números sejam primos, e sim que o MDC entre eles é igual a 1.

Propriedade 2 — Quando um número é divisor do outro

Se a é divisor de b, então MDC(a, b) = a.

Por exemplo, o MDC entre 6 e 18: como 18 ÷ 6 = 3, com resto zero, o próprio 6 já é o MDC — exatamente como encontraríamos pelo algoritmo de Euclides.

MDC (6, 18) = 6

Propriedade 3 — Multiplicação e divisão preservam o MDC

Se multiplicarmos ou dividirmos os dois números pelo mesmo valor, o MDC entre eles fica multiplicado ou dividido por esse mesmo valor.

Por exemplo, MDC(8, 12) = 4. Se multiplicarmos 8 e 12 por 2, teremos 16 e 24 — e o MDC também fica multiplicado por 2:

MDC (8, 12) = 4 → (× 2) → MDC (16, 24) = 8

O mesmo vale para a divisão. Se dividirmos 16 e 24 por 4, teremos 4 e 6 — e o MDC também é dividido por 4:

MDC (16, 24) = 8 → (÷ 4) → MDC (4, 6) = 2

Essa propriedade é justamente o que vamos usar no exercício resolvido a seguir, para simplificar uma conta que, à primeira vista, parece bem mais complicada.

Exercício Resolvido

Pretende-se decorar uma parede retangular com quadrados pretos e brancos, formando um padrão quadriculado semelhante ao de um tabuleiro de xadrez e preenchendo toda a parede de maneira exata, sem sobrar espaços ou cortar quadrados. A figura a seguir ilustra uma parte desse padrão.

Considerando que a parede mede 8,80 m por 5,50 m, o número mínimo de quadrados que se pode colocar na parede é:

Para que o número de quadrados seja mínimo, os quadrados precisam ter o maior lado possível. Portanto, precisamos encontrar o MDC entre 8,80 m e 5,50 m — esse valor será o tamanho do lado do quadrado. Só que fatorar números com vírgula não funciona bem, então convertemos as medidas para centímetros, como explicado no texto Sistema Métrico Decimal:

• 8,80 m × 100 = 880 cm
• 5,50 m × 100 = 550 cm

Agora, em vez de fatorar 880 e 550 diretamente, vamos aproveitar a Propriedade 3 que acabamos de ver: fazemos a fatoração simultânea entre 88 e 55 (dividindo os dois por 10) e, no final, multiplicamos o resultado por 10 novamente.

Número 1	Número 2	Fator primo
88	55	2
44	55	2
22	55	2
11	55	5
11	11	11*
1	1

MDC (88, 55) = 11

Como não queremos o MDC entre 88 e 55, mas sim entre 880 e 550, aplicamos a Propriedade 3 e multiplicamos por 10:

MDC (88, 55) = 11 → (× 10) → MDC (880, 550) = 110

Logo, cada quadrado terá 110 cm de lado. Como o comprimento da parede é 880 cm, cabem 8 quadrados nessa direção (880 ÷ 110); como a altura é 550 cm, cabem 5 quadrados (550 ÷ 110). Portanto, o total de quadrados será:

T = 5 · 8 = 40 quadrados

Exercícios Propostos

Exercício 1 (Enem 2015)

Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1.080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em peças de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir:

a) 105 peças b) 120 peças c) 210 peças d) 243 peças e) 420 peças

Gabarito comentado:

Calculando o MDC(540, 810, 1080), obtemos 270 cm. Só que o enunciado exige peças com menos de 2 m (200 cm), e 270 cm não atende a essa condição. Como 270 = 2 × 135, dividimos por 2 para obter o maior divisor de 270 que fica abaixo de 200 cm: 135 cm.

Dividindo cada tábua por 135 cm: 540 ÷ 135 = 4 peças (× 40 tábuas = 160 peças); 810 ÷ 135 = 6 peças (× 30 tábuas = 180 peças); 1.080 ÷ 135 = 8 peças (× 10 tábuas = 80 peças). Somando: 160 + 180 + 80 = 420 peças.

Alternativa correta: e) 420 peças

Exercício 2 (Enem 2015)

O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos, sendo que: cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; e não haverá sobra de ingressos. O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:

a) 2 b) 4 c) 9 d) 40 e) 80

Gabarito comentado:

O maior número de ingressos que pode ser distribuído igualmente, sem sobra, é o MDC(400, 320) = 80. Assim, cada escola recebe 80 ingressos: 400 ÷ 80 = 5 escolas na sessão vespertina, e 320 ÷ 80 = 4 escolas na sessão noturna. Para que o número de escolas seja mínimo, usamos o maior número de ingressos possível por escola — por isso somamos 5 + 4 = 9 escolas.

Alternativa correta: c) 9 escolas

Perguntas Frequentes sobre MDC

O que significa MDC?

MDC é a sigla para Máximo Divisor Comum: o maior número inteiro que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, sem deixar resto.

Qual é a diferença entre MDC e MMC?

O MDC é o maior divisor comum entre números — por isso seu resultado é sempre menor ou igual ao menor número dado. Já o MMC é o menor múltiplo comum entre eles, sendo sempre maior ou igual ao maior número dado.

Como calcular o MDC de 3 ou mais números?

O jeito mais prático é a decomposição simultânea em fatores primos: fatoramos todos os números ao mesmo tempo e multiplicamos apenas os fatores que dividem todos eles simultaneamente. O algoritmo de Euclides, por outro lado, só funciona para 2 números por vez.

O que significa dois números serem “primos entre si”?

Significa que o MDC entre eles é igual a 1 — mesmo que nenhum dos dois seja, individualmente, um número primo. Por exemplo, 4 e 5 são primos entre si, pois MDC(4, 5) = 1.

Para que serve o MDC na prática?

O MDC é usado para simplificar frações até a forma irredutível, repartir objetos ou pessoas em grupos iguais sem sobras e resolver problemas de medida, como determinar o maior ladrilho ou a maior peça que cabe um número inteiro de vezes em espaços diferentes.

O MDC pode ser maior que os números dados?

Não. O MDC entre dois ou mais números nunca é maior que o menor deles — no máximo, é igual a ele, quando um número é divisor do outro (Propriedade 2).

Assista Também

Preparamos um vídeo complementar sobre MDC, com mais alguns exercícios para você treinar e ficar afiado(a) para o Enem.

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Chegamos ao final de mais um texto e esperamos que ele tenha sido muito importante para os seus estudos. Se quiser ir além, conheça os cursos gratuitos do Professor Ferretto ou experimente o Enem’s Anatomy, a análise de incidência que mostra exatamente o que mais cai na prova.

Um abração, sucesso e até mais!