Inequações modulares

As inequações modulares são todas as relações de desigualdade em que a incógnita se encontra dentro de um módulo. Como o módulo de qualquer número real nunca é negativo, essa única propriedade já resolve alguns casos sozinha; para os demais, quatro propriedades simples — que chamamos de consequências da definição de módulo — dão conta de qualquer inequação modular, inclusive das simultâneas.

Olá! Tudo bem com vocês? Se você já sabe que o módulo de qualquer número real nunca pode ser negativo, então já tem a base para resolver qualquer inequação modular, da mais simples à mais complexa. Neste guia, reunimos em um só lugar a definição, os casos especiais, a tabela de propriedades, o passo a passo, exemplos resolvidos e exercícios propostos com gabarito — assim, ao final, você não vai mais ter dúvida na hora de resolver esse tipo de questão.

O que é uma Inequação Modular?

Uma inequação modular é toda desigualdade — ou seja, toda expressão com <, >, ≤ ou ≥ — em que a incógnita aparece dentro de um módulo. Veja alguns exemplos:

• |x| < 5
• |x − 3| ≥ 2
• 4 < |x + 1| < 6 (inequação modular simultânea)

Repare que, em todos os casos, a incógnita x está presa dentro das barras do módulo. Por isso, antes de resolver qualquer inequação modular, é fundamental relembrar a definição de módulo — é ela que vai guiar toda a lógica deste texto.

Relembrando a definição de módulo

O módulo de um número real, representado por |x|, é a distância entre esse número e o zero na reta real. Como distância nunca é negativa, temos que:

|x| ≥ 0, para todo x real

Ou seja: o módulo de qualquer número real resulta sempre em um valor positivo ou igual a zero. Essa é a ideia mais importante deste texto — guarde-a, porque ela vai reaparecer o tempo todo. Veja alguns exemplos numéricos:

Expressão	Resultado	Expressão	Resultado
|0|	0	|−16|	16
|4|	4	|−1|	1
|−5|	5	|22|	22
|−3|	3	|78|	78
|√2|	√2	|3,1666…|	3,1666…

Casos especiais das inequações modulares

Antes de aplicarmos qualquer propriedade mais elaborada, vale a pena resolver alguns casos em que a própria definição de módulo — sozinha — já entrega a resposta. Isso acontece sempre que a inequação compara |x| com um número negativo, zero, ou quando o sinal de desigualdade é bem amplo. Veja o raciocínio, direto ao ponto:

Inequação	Por quê	Conjunto solução
|x| ≥ −3	Todo módulo já é ≥ 0, e 0 é maior que −3 — logo, qualquer x real satisfaz a desigualdade.	S = ℝ
|x| ≤ −3	Nenhum módulo pode ser negativo; portanto, não existe x que satisfaça.	S = ∅
|x| ≥ 0	É a própria definição de módulo: por conseguinte, vale para todo número real.	S = ℝ
|x| > 0	Só o zero tem módulo igual a zero; assim, todo x diferente de zero serve.	S = ℝ*
|x| < 0	Nenhum módulo é negativo — dessa forma, não há solução possível.	S = ∅
|x| ≤ 0	O sinal ≤ permite duas hipóteses: módulo negativo (impossível) ou módulo igual a zero (só quando x = 0).	S = {0}

 

Repare no padrão: sempre que o número do outro lado da desigualdade é negativo, a resposta só pode ser o conjunto vazio (se pedir módulo menor) ou todos os reais (se pedir módulo maior). Já quando o número é zero, o sinal de igualdade (≤ ou ≥) é que decide se o zero entra ou não no conjunto solução. Se você quiser revisar a notação desses conjuntos que excluem o zero — como ℝ* —, vale a pena dar uma olhada no texto sobre Números Naturais e Inteiros, que traz os principais subconjuntos notáveis.

Esses seis casos resolvem boa parte das pegadinhas de prova — mas, na maioria das questões de Enem e vestibular, o número do outro lado da desigualdade é positivo. É para esses casos que existem as quatro propriedades que veremos a seguir.

Propriedades das inequações modulares (consequências da definição de módulo)

Sempre que o número à direita da desigualdade for positivo (vamos chamá-lo de a, com a > 0), quatro propriedades — as consequências da definição de módulo — permitem eliminar o módulo e transformar a inequação em uma expressão comum. Vamos ver cada uma delas.

|x| < a e |x| ≤ a — Solução “Dentro” dos Limites

Quando o módulo é menor (ou menor ou igual) do que um número positivo a, a solução fica sempre entre −a e a. Faz sentido: se a distância de x até o zero é menor que a, então x só pode estar no intervalo compreendido entre −a e a.

|x| < a ⟺ −a < x < a

|x| ≤ a ⟺ −a ≤ x ≤ a

|x| > a e |x| ≥ a — Solução “Fora” dos Limites

Já quando o módulo é maior (ou maior ou igual) do que a, a lógica se inverte: a solução fica fora do intervalo entre −a e a, ou seja, x é menor que −a ou maior que a.

|x| > a ⟺ x < −a ou x > a

|x| ≥ a ⟺ x ≤ −a ou x ≥ a

Note também a diferença entre os sinais < / > e ≤ / ≥: quando a desigualdade inclui o igual, os limites a e −a entram no conjunto solução — na reta real, isso é representado pela famosa bolinha fechada. Quando não inclui, a bolinha fica aberta, e os limites ficam de fora.

Tabela-resumo das propriedades das inequações modulares (válida para a > 0):

Propriedade	Inequação modular	Equivale a	Posição na reta real	Bolinha
1ª	|x| < a	−a < x < a	Dentro de −a e a	Aberta
2ª	|x| ≤ a	−a ≤ x ≤ a	Dentro de −a e a	Fechada
3ª	|x| > a	x < −a ou x > a	Fora de −a e a	Aberta
4ª	|x| ≥ a	x ≤ −a ou x ≥ a	Fora de −a e a	Fechada

 

Guarde bem essa tabela: praticamente toda inequação modular do Enem e dos vestibulares se resolve aplicando uma dessas quatro linhas. Se quiser revisar essas mesmas ideias aplicadas apenas a expressões — sem a desigualdade —, veja também o texto sobre Propriedades do Módulo, que é o complemento natural deste aqui.

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Passo a passo para resolver uma inequação modular

Com a tabela de propriedades em mãos, resolver qualquer inequação modular passa a ser um processo bem mecânico. Siga estes passos:

1. Verifique o número do outro lado. Confira se o valor à direita da desigualdade é positivo, negativo ou zero — isso já pode resolver o caso sozinho, como vimos nos casos especiais.
2. Identifique o sinal de desigualdade. Veja se é <, ≤, > ou ≥ em relação ao módulo, e escolha a propriedade correspondente na tabela-resumo.
3. Monte a inequação (ou o sistema) sem o módulo. Reescreva a expressão substituindo o módulo pela forma equivalente indicada pela propriedade.
4. Isole a incógnita. Resolva a inequação (ou as duas inequações, se o termo dentro do módulo não for só x) usando as mesmas regras da inequação do 1º grau.
5. Represente a solução na reta real e escreva o conjunto solução. Use bolinha aberta para < e >, e bolinha fechada para ≤ e ≥.

Exemplos resolvidos de inequações modulares

Vamos aplicar o passo a passo em exemplos reais, começando pelos mais diretos e avançando até os que exigem mais atenção.

Exemplo 1 — |x| < 3

O número à direita, 3, é positivo. Como o sinal é menor (<), a inequação se encaixa na 1ª propriedade: a solução fica dentro dos limites −a e a. Logo:

|x| < 3 ⟺ −3 < x < 3

Para conferir, basta testar um valor dentro da faixa (por exemplo, x = 1: |1| = 1 < 3 ✓) e um valor fora dela (x = 4: |4| = 4, que não é menor que 3 ✗). Assim, confirmamos a solução:

S = {x ∈ ℝ | −3 < x < 3}

Exemplo 2 — |x| ≥ 4

Aqui, o número 4 também é positivo, mas o sinal agora é maior ou igual (≥). Portanto, a inequação se encaixa na 4ª propriedade: a solução fica fora dos limites −a e a, incluindo os próprios limites. Assim:

|x| ≥ 4 ⟺ x ≤ −4 ou x ≥ 4

Testando: x = 5 dá |5| = 5 ≥ 4 ✓; x = −6 dá |−6| = 6 ≥ 4 ✓; já x = 0 dá |0| = 0, que não é maior ou igual a 4 ✗ — como esperado, pois 0 está dentro do intervalo, não fora dele. Logo, o conjunto solução é:

S = {x ∈ ℝ | x ≤ −4 ou x ≥ 4}

Exemplo 3 — |x + 2| < 5 (atenção à expressão composta)

Este exemplo é um pouco diferente dos dois anteriores: dentro do módulo, x não está sozinho — está somado a 2. O raciocínio, porém, começa do mesmo jeito: 5 é positivo e o sinal é menor (<), então aplicamos a 1ª propriedade, só que agora sobre a expressão inteira x + 2, e não sobre x isolado:

|x + 2| < 5 ⟺ −5 < x + 2 < 5

Aqui mora a diferença crucial que costuma confundir quem está aprendendo o assunto: |x| < 5 e |x + 2| < 5 não têm a mesma solução, mesmo usando o mesmo número 5 à direita. Isso acontece porque, no segundo caso, é a expressão x + 2 completa que precisa ficar entre −5 e 5 — e não apenas x.

Para terminar, basta isolar x subtraindo 2 de todos os lados da desigualdade:

−5 − 2 < x < 5 − 2

−7 < x < 3

Por conseguinte, o conjunto solução é:

S = {x ∈ ℝ | −7 < x < 3}

Essa é uma das formas de resolver a inequação simultânea que surge no meio do caminho. Você também poderia ter separado a expressão −5 < x + 2 e x + 2 < 5 em duas inequações distintas, resolvido cada uma e, na sequência, feito a intersecção entre as duas soluções — o resultado é exatamente o mesmo. Fica como exercício!

Exemplo 4 — |x − 1| ≥ 4 (fora dos limites, expressão composta)

Novamente 4 é positivo, mas agora o sinal é maior ou igual (≥): a inequação se encaixa na 4ª propriedade, desta vez aplicada sobre a expressão x − 1:

|x − 1| ≥ 4 ⟺ x − 1 ≤ −4 ou x − 1 ≥ 4

Como a solução fica fora dos limites, o caminho mais seguro é resolver cada inequação separadamente, para não se perder quanto ao sentido correto da desigualdade:

x − 1 ≤ −4 ⟹ x ≤ −4 + 1 ⟹ x ≤ −3

x − 1 ≥ 4 ⟹ x ≥ 4 + 1 ⟹ x ≥ 5

Dessa forma, qualquer valor menor ou igual a −3 ou maior ou igual a 5 satisfaz a desigualdade — incluindo os próprios −3 e 5, já que o sinal é ≥. Logo:

S = {x ∈ ℝ | x ≤ −3 ou x ≥ 5}

Exemplo 5 — |3x − 2| ≤ −1 (quando não existe solução)

Antes de aplicar qualquer propriedade, o primeiro passo do método pede para checar o número à direita da desigualdade — e aqui ele é negativo (−1). Como o módulo de qualquer número real jamais pode ser negativo, não existe valor de x que satisfaça essa inequação. Portanto, assim como nos casos especiais vistos no início do texto, a solução só pode ser o conjunto vazio:

S = ∅

Esse tipo de pegadinha é comum em prova: sempre confira o sinal do número à direita antes de sair aplicando a tabela de propriedades.

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Inequações modulares simultâneas

Uma inequação modular simultânea é aquela que reúne duas desigualdades na mesma expressão — como já apareceu, de forma disfarçada, no Exemplo 3. O procedimento é sempre o mesmo: separar a expressão em duas inequações, resolver cada uma delas e, ao final, fazer a intersecção entre os dois conjuntos solução encontrados.

Exemplo 6 — 4 < |x + 1| < 6

Essa expressão equivale a duas inequações modulares que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Por isso, o primeiro passo é separá-la em um sistema:

(1) |x + 1| > 4

(2) |x + 1| < 6

Em ambos os casos, o número à direita é positivo — logo, dá para aplicar as propriedades da tabela-resumo em cada uma delas. Na inequação (1), o sinal é maior (>), o que indica a 3ª propriedade; na inequação (2), o sinal é menor (<), a 1ª propriedade:

(1) x + 1 < −4 ou x + 1 > 4

(2) −6 < x + 1 < 6

Resolvendo cada uma separadamente:

(1) x < −5 ou x > 3

(2) −7 < x < 5

Já temos a representação geométrica de cada inequação. Assim, resta representá-las uma embaixo da outra e fazer a intersecção entre as duas soluções — ou seja, marcar apenas as regiões de x que aparecem nas duas ao mesmo tempo:

Logo, apenas os valores de x que estão entre −7 e −5, e também entre 3 e 5 (sem incluir os extremos), satisfazem a inequação simultânea. Portanto:

S = {x ∈ ℝ | −7 < x < −5 ou 3 < x < 5}

Uma dica extra: use a Análise de Incidência ENEM’s Anatomy para descobrir com que frequência a banca cobra inequações e módulo na prova, e priorizar o seu estudo com base nisso.

Exercícios propostos de inequações modulares

Agora é a sua vez! Resolva as quatro inequações a seguir usando o passo a passo que aprendemos, e confira as respostas no gabarito comentado logo depois.

1. |x − 3| ≤ 2
2. |2x + 1| > 5
3. |x + 4| < −2
4. 1 < |x − 2| ≤ 5

Gabarito comentado

1) |x − 3| ≤ 2 — sinal ≤ com número positivo: 2ª propriedade.

−2 ≤ x − 3 ≤ 2 ⟹ −2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3

S = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 5}

2) |2x + 1| > 5 — sinal > com número positivo: 3ª propriedade.

2x + 1 < −5 ou 2x + 1 > 5

2x < −6 ou 2x > 4

S = {x ∈ ℝ | x < −3 ou x > 2}

3) |x + 4| < −2 — o número à direita é negativo: nenhum módulo pode ser negativo.

S = ∅

4) 1 < |x − 2| ≤ 5 — inequação simultânea: separe em duas condições que valem ao mesmo tempo.

(1) |x − 2| > 1 ⟹ x < 1 ou x > 3

(2) |x − 2| ≤ 5 ⟹ −3 ≤ x ≤ 7

Fazendo a intersecção entre (1) e (2):

S = {x ∈ ℝ | −3 ≤ x < 1 ou 3 < x ≤ 7}

Perguntas frequentes sobre inequações modulares

O que é uma inequação modular?

É toda desigualdade (com <, >, ≤ ou ≥) em que a incógnita aparece dentro de um módulo, como em |x| < 5 ou |x − 1| ≥ 4.

Qual a diferença entre inequação modular e equação modular?

A equação modular usa sinal de igualdade (=) e busca valores exatos de x, enquanto a inequação modular usa sinais de desigualdade e busca um intervalo — ou conjunto — de valores de x.

Como saber se uma inequação modular não tem solução?

Sempre que o número à direita da desigualdade for negativo e o sinal pedir que o módulo seja menor (< ou ≤) do que ele, não existe solução, já que nenhum módulo é negativo. Nesses casos, S = ∅.

|x| < a e |x − b| < a têm a mesma solução?

Não. Quando existe um termo somado ou subtraído dentro do módulo, como em |x − b|, é a expressão inteira que precisa satisfazer a desigualdade — e não apenas x isolado. Por isso, é preciso isolar x só depois de aplicar a propriedade correspondente.

Toda inequação modular simultânea vira duas inequações?

Sim. Uma expressão do tipo m < |f(x)| < n sempre pode ser separada em duas inequações — |f(x)| > m e |f(x)| < n —, que devem ser resolvidas separadamente e depois intersectadas.

As bolinhas na reta real sempre indicam a mesma coisa?

Sim: bolinha aberta significa que o valor não entra no conjunto solução (sinais < e >); bolinha fechada significa que o valor entra (sinais ≤ e ≥).

Assista à videoaula sobre inequações modulares

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• Intervalos Reais: o Que São, Notação e Como Representar
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Um abração a todos, e bons estudos!