Equações Modulares: o que são, como resolver e exemplos resolvidos

Olá, pessoal! Tudo bem? Se você já olhou para uma equação cheia de barrinhas verticais e pensou “e agora?”, respire fundo: as equações modulares são bem mais simples do que parecem. Dessa forma, ao final deste guia, você saberá resolver desde as mais básicas até aquelas que costumam aparecer nas provas de vestibular.

Resposta rápida Equação modular é toda equação em que a incógnita aparece dentro de um módulo (valor absoluto), como |x − 3| = 5. Para resolvê-la, lembramos que o módulo nunca é negativo: se |A| = k, com k positivo, então A = k ou A = −k. Basta resolver as duas equações e conferir as respostas. No exemplo, x − 3 = 5 ou x − 3 = −5; logo, S = {−2, 8}.

 

Neste guia, reunimos em um só lugar tudo o que você precisa: o que é uma equação modular, um passo a passo em cinco etapas, os principais tipos (módulo igual a um número, módulo dos dois lados, expressão do outro lado da igualdade, equações do 2º grau e até equações com dois módulos), os erros mais comuns e exercícios com gabarito. Portanto, pegue papel e lápis e venha comigo!

Antes de começar, vale ter à mão a definição de módulo de um número real, as propriedades do módulo e a resolução das equações do 1º grau e das equações do 2º grau. Se algum desses assuntos estiver enferrujado, dê uma passadinha pelos links e volte em seguida. Assim, tudo ficará bem mais tranquilo.

O que é uma equação modular?

Equação modular é toda equação em que a incógnita aparece dentro de um módulo (também chamado de valor absoluto). Dessa forma, basta que o x esteja entre as barras | | para que a equação seja modular, mesmo que ele também apareça fora delas.

Exemplos de equações modulares e não modulares

Equação	É modular?	Por quê?
|x − 3| = 5	Sim	O x está dentro do módulo.
|2x + 1| = −4	Sim	O x está dentro do módulo (a equação, porém, não terá solução, como veremos).
|x + 1| = 2x − 6	Sim	O x aparece dentro e fora do módulo.
x2 + 3|x| − 18 = 0	Sim	Há |x| na equação, mesmo com um termo x2 fora do módulo.
|−7| + x = 10	Não	O módulo envolve apenas um número; o x está fora dele. Basta calcular |−7| = 7 e resolver x = 3.

Relembrando o módulo de um número real

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, indicado por |x|, é a distância entre x e o zero na reta numérica. Como distância nunca é negativa, o módulo também nunca é. Formalmente:

|x| = x, se x ≥ 0 |x| = −x, se x < 0

Assim, |4| = 4 e |−4| = 4. Portanto, o módulo de qualquer número real, seja ele positivo ou negativo, resulta sempre em um valor positivo (ou zero, quando o número é o próprio zero). Repare ainda que um número e o seu oposto têm sempre o mesmo módulo: |x| = |−x|, para todo x real.

Essa observação é a chave de todo o artigo. Veja como ela fica no quadro abaixo:

 

Para guardar Se |x| = 4, então x = 4 ou x = −4. Por quê? Porque |4| = 4 e |−4| = 4.

O módulo como distância na reta numérica

Existe uma forma geométrica muito útil de enxergar essas equações. Pense em |x − 3| = 5 como uma pergunta: quais números estão a 5 unidades de distância do 3? Um deles fica à esquerda (3 − 5 = −2) e o outro, à direita (3 + 5 = 8). Por conseguinte, as soluções são −2 e 8.

O mesmo resultado aparece no gráfico: a função y = |x − 3| tem formato de V, e a reta horizontal y = 5 a corta em dois pontos, de abscissas −2 e 8. Logo, resolver a equação é encontrar onde as duas linhas se encontram. Para estudar esse gráfico com calma, veja o artigo sobre função modular: definição, gráfico e translação.

Como resolver uma equação modular: passo a passo

Qualquer equação modular pode ser atacada com esta sequência de cinco passos:

1. Isole o módulo. Deixe o termo |A| sozinho em um dos lados da igualdade. Por exemplo, 2|x − 1| + 3 = 11 vira |x − 1| = 4.
2. Olhe para o outro lado da igualdade. Se for um número negativo, a equação não tem solução (S = ∅). Se for zero, resta apenas A = 0. Se for um número positivo, siga em frente. Se for uma expressão com x, exija que ela seja maior ou igual a zero.
3. Abra em dois casos. O que está dentro do módulo pode ser igual ao outro lado (A = B) ou ao seu oposto (A = −B).
4. Resolva cada equação. Em geral, caem em equações do 1º ou do 2º grau.
5. Confira. Substitua as respostas na equação original, descarte as que não servem e escreva o conjunto solução S.

Tabela-resumo: os tipos de equação modular

Guarde esta tabela. Ela resume o que fazer em cada situação, e nas próximas seções você verá todos esses casos resolvidos.

Tipo	Forma	O que fazer	Exemplo
Módulo igual a um número positivo	|A| = k, com k > 0	A = k ou A = −k	|x − 3| = 5 → S = {−2, 8}
Módulo igual a um número negativo	|A| = k, com k < 0	Sem solução: S = ∅	|2x + 1| = −4 → S = ∅
Módulo igual a zero	|A| = 0	Apenas A = 0 (uma solução)	|3x − 6| = 0 → S = {2}
Módulo dos dois lados	|A| = |B|	A = B ou A = −B	|2x − 7| = |x + 4| → S = {1, 11}
Expressão do outro lado	|A| = B	Exigir B ≥ 0; depois A = B ou A = −B; conferir	|x + 1| = 2x − 6 → S = {7}
2º grau em |x|	|x|2 + b|x| + c = 0	Fazer |x| = y, resolver e descartar y negativo	|x|2 − 3|x| − 10 = 0 → S = {−5, 5}
Mais de um módulo	|A| + |B| = k	Pontos críticos e análise por intervalos	|x| + |x − 2| = 4 → S = {−1, 3}

Equações modulares do 1º grau: exemplos resolvidos

Vamos começar pelas equações em que, depois de abrir o módulo, restam apenas equações do 1º grau. Acompanhe com atenção, porque esses cinco exemplos formam a base para todos os outros.

Exemplo 1: |x − 3| = 5

A incógnita está dentro de um módulo; portanto, a equação é modular. Como 5 é positivo, a expressão x − 3 pode ser igual a 5 ou a −5, afinal |5| = 5 e |−5| = 5.

Caso 1: x − 3 = 5 → x = 5 + 3 → x = 8

Caso 2: x − 3 = −5 → x = −5 + 3 → x = −2

Verificação: |8 − 3| = |5| = 5 (confere) e |−2 − 3| = |−5| = 5 (confere).

Conjunto solução: S = {−2, 8}

Exemplo 2: |2x + 1| = −4

Aqui há um detalhe precioso. O módulo de um número real jamais resulta em um número negativo. Logo, não existe valor de x capaz de fazer |2x + 1| valer −4.

Quando nenhum valor de x satisfaz a equação, o conjunto solução é o conjunto vazio: S = { } = ∅.

Atenção a esta diferença Não há problema algum em calcular o módulo de um número negativo: |−4| = 4. O que não pode acontecer é o resultado do módulo ser negativo. Guarde a frase: o módulo de qualquer número real, positivo ou negativo, sempre resulta em um valor positivo (ou zero).

Exemplo 3: |(x − 1)/(x − 3)| = 2, com x ≠ 3

Neste caso, o módulo envolve uma fração. Como o denominador não pode ser zero, a equação tem uma restrição: x ≠ 3. Seja qual for a solução encontrada, ela deve ser diferente de 3. Além disso, o módulo está igualado a um número positivo; portanto, a fração pode valer 2 ou −2.

Caso 1: (x − 1)/(x − 3) = 2 → x − 1 = 2(x − 3) → x − 1 = 2x − 6 → 2x − x = 6 − 1 → x = 5

Caso 2: (x − 1)/(x − 3) = −2 → x − 1 = −2(x − 3) → x − 1 = −2x + 6 → 2x + x = 6 + 1 → 3x = 7 → x = 7/3

Verificação: para x = 5, |4/2| = 2 (confere); para x = 7/3, (4/3)/(−2/3) = −2 e |−2| = 2 (confere). Nenhuma das duas é igual a 3.

Conjunto solução: S = {7/3, 5}

Exemplo 4: |2x − 7| = |x + 4| (módulo dos dois lados)

Quando há módulo em ambos os lados da igualdade, usamos esta propriedade:

Propriedade Se |a| = |b|, então a = b ou a = −b.

 

Aqui, a = 2x − 7 e b = x + 4. Então, a expressão 2x − 7 pode ser igual a x + 4 ou ao oposto de x + 4.

Caso 1: 2x − 7 = x + 4 → 2x − x = 4 + 7 → x = 11

Caso 2: 2x − 7 = −(x + 4) → 2x − 7 = −x − 4 → 2x + x = −4 + 7 → 3x = 3 → x = 1

Verificação: x = 11 → |15| = |15| (confere); x = 1 → |−5| = |5| (confere).

Repare em um cuidado importante: obter o oposto de uma expressão significa multiplicá-la inteiramente por −1. Por isso, o oposto de x + 4 é −x − 4, com os dois sinais trocados.

Conjunto solução: S = {1, 11}

Exemplo 5: |x + 1| = 2x − 6 (expressão do outro lado da igualdade)

Agora o x está dentro e fora do módulo. Nesses casos, antes de qualquer análise, precisamos garantir que o lado direito não seja negativo, porque o módulo nunca resulta em valor negativo:

2x − 6 ≥ 0 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3 (condição de existência)

Portanto, qualquer solução precisa ser maior ou igual a 3. Agora sim, podemos abrir os dois casos:

Caso 1: x + 1 = 2x − 6 → 2x − x = 6 + 1 → x = 7

Caso 2: x + 1 = −(2x − 6) → x + 1 = −2x + 6 → 2x + x = 6 − 1 → 3x = 5 → x = 5/3

O valor 7 é maior que 3, mas 5/3 equivale à dízima periódica 1,666…, que não é maior ou igual a 3. Logo, 5/3 deve ser descartado. A conta mostra o porquê: para x = 5/3, o lado esquerdo vale |8/3| = 8/3, enquanto o lado direito vale 2 · 5/3 − 6 = −8/3. Os dois lados não são iguais!

Conjunto solução: S = {7}

Equações modulares do 2º grau: exemplos resolvidos

Agora o nível sobe um degrau: depois de abrir o módulo, aparecem equações do 2º grau. Para resolvê-las, você pode usar a fórmula de Bhaskara, o método da soma e produto ou, nos casos mais simples, as equações do 2º grau incompletas.

Exemplo 6: |x|² − 3|x| − 10 = 0 (transformação de variável)

A expressão lembra uma equação do 2º grau, mas as duas incógnitas estão dentro de módulos; logo, trata-se de uma equação modular. Em casos como esse, a melhor saída é a transformação de variável: chamamos |x| de y e resolvemos a equação como se fosse comum.

|x| = y → y² − 3y − 10 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, com a = 1, b = −3 e c = −10:

Δ = (−3)² − 4 · 1 · (−10) = 9 + 40 = 49

y = (3 ± 7) / 2 → y₁ = 5 e y₂ = −2

Agora precisamos voltar à variável original, porque queremos os valores de x, e não de y. Como são duas raízes, temos duas igualdades para analisar:

|x| = 5 → x = 5 ou x = −5 (pois |5| = 5 e |−5| = 5)

|x| = −2 → impossível, já que o módulo nunca é negativo

Verificação: para x = 5, 5² − 3 · 5 − 10 = 25 − 15 − 10 = 0 (confere).

Conjunto solução: S = {−5, 5}

Dica Nesse tipo de equação, é comum que uma das raízes de y seja negativa. Ela não gera solução, e você só percebe isso ao voltar para |x| = y. Por isso, nunca esqueça esse último passo.

Exemplo 7: |x² − x − 1| = 1 (expressão do 2º grau dentro do módulo)

Agora uma expressão inteira do 2º grau está dentro do módulo. Aplicamos diretamente a ideia central: x² − x − 1 pode ser igual a 1 ou a −1.

Cada caso gera uma equação do 2º grau diferente:

Caso 1: x² − x − 1 = 1 → x² − x − 2 = 0

Por soma e produto: soma = −b/a = 1 e produto = c/a = −2. As raízes são −1 e 2.

Caso 2: x² − x − 1 = −1 → x² − x = 0 → x(x − 1) = 0 → x = 0 ou x = 1

Reunindo as raízes dos dois casos, obtemos quatro soluções. Veja a verificação:

x	x² − x − 1	Resultado	Módulo
−1	(−1)² − (−1) − 1 = 1 + 1 − 1	1	|1| = 1
0	0² − 0 − 1	−1	|−1| = 1
1	1² − 1 − 1	−1	|−1| = 1
2	2² − 2 − 1 = 4 − 2 − 1	1	|1| = 1

 

Conjunto solução: S = {−1, 0, 1, 2}

Raiz negativa entra ou não entra na solução?

Muita gente chega a este ponto com a mesma dúvida do nosso amigo abaixo:

A resposta está em onde o número negativo aparece. No Exemplo 6, o valor negativo (−2) seria o resultado do módulo, o que é impossível. No Exemplo 7, o valor negativo (−1) é o que está dentro do módulo, e isso é perfeitamente possível, já que |−1| = 1. Assim:

Onde está o número negativo?	Pode?	Exemplo
Dentro do módulo (no argumento)	Sim	|−5| = 5
No resultado do módulo (do outro lado da igualdade)	Não	|x| = −2 não tem solução

Exemplo 8: |x²| − 7x − 8 = 0 (módulo de x²)

Neste caso, apenas uma parte da equação está em módulo, e ainda por cima é o módulo de x². Uma propriedade resolve a questão:

Propriedade Para todo x real: |x2| = |x|2 = x2, pois x2 nunca é negativo.

 

Dessa forma, a equação modular é equivalente à equação do 2º grau x² − 7x − 8 = 0. Resolvendo por Bhaskara, com a = 1, b = −7 e c = −8:

Δ = (−7)² − 4 · 1 · (−8) = 49 + 32 = 81

x = (7 ± 9) / 2 → x₁ = 8 e x₂ = −1

Verificação: para x = −1, |(−1)²| − 7 · (−1) − 8 = 1 + 7 − 8 = 0 (confere).

Conjunto solução: S = {−1, 8}

Exemplo 9: x² + 3|x| − 18 = 0 (módulo apenas em um termo)

O caso parece parecido com o anterior, mas agora o módulo está em x, e não em x². Será que a propriedade ainda ajuda? Sim! Como x² = |x|², podemos reescrever a equação:

x² + 3|x| − 18 = 0 → |x|² + 3|x| − 18 = 0

|x| = y → y² + 3y − 18 = 0

Soma = −3 e produto = −18, logo y = −6 ou y = 3

Voltando a |x| = y: a igualdade |x| = −6 é impossível, e |x| = 3 dá x = 3 ou x = −3. Mais uma vez, a raiz negativa de y foi descartada.

Conjunto solução: S = {−3, 3}

Equações com mais de um módulo

Quando há dois ou mais módulos somados, não basta abrir “em dois casos”. O caminho é usar os pontos críticos, isto é, os valores de x que zeram cada expressão dentro dos módulos, e analisar cada intervalo separadamente.

Exemplo 10: |x| + |x − 2| = 4

Os pontos críticos são x = 0 (zera |x|) e x = 2 (zera |x − 2|). Eles dividem a reta em três intervalos:

Intervalo	|x| vale	|x − 2| vale	Equação	Resultado	Vale no intervalo?
x < 0	−x	−x + 2	−x + (−x + 2) = 4 → −2x = 2	x = −1	Sim, pois −1 < 0
0 ≤ x < 2	x	−x + 2	x + (−x + 2) = 4 → 2 = 4	Impossível	Não há solução
x ≥ 2	x	x − 2	x + (x − 2) = 4 → 2x = 6	x = 3	Sim, pois 3 ≥ 2

 

Portanto, S = {−1, 3}. Há ainda uma leitura geométrica bonita: |x| + |x − 2| é a soma das distâncias de x até 0 e até 2. Para essa soma valer 4, x precisa estar uma unidade “para fora” de cada extremo. De fato, −1 está a 1 unidade do 0 e a 3 unidades do 2 (1 + 3 = 4), e 3 está a 3 unidades do 0 e a 1 unidade do 2 (3 + 1 = 4).

Erros comuns ao resolver equações modulares

Ao longo dos exemplos, alguns deslizes se repetiram. Confira os mais frequentes e como evitá-los:

Erro	Por que está errado	Como evitar
Aceitar |x| = −2 como se tivesse solução	O módulo nunca é negativo.	Com o módulo isolado, se o outro lado for negativo, escreva S = ∅.
Esquecer a condição B ≥ 0 em |A| = B	Surgem raízes que não servem, como 5/3 no Exemplo 5.	Escreva a condição antes de abrir os casos e confira no final.
Trocar o sinal de apenas um termo ao fazer o oposto	O oposto de x + 4 é −x − 4, e não −x + 4.	Use parênteses: −(x + 4).
Ignorar a restrição de um denominador	O denominador não pode ser zero, como o x ≠ 3 do Exemplo 3.	Anote as restrições antes de começar.
Escrever |x| = −x como regra geral	Só vale quando x ≤ 0; para x positivo, |x| = x.	Lembre-se de que |−x| = |x| vale sempre.
Abrir os casos sem isolar o módulo	Em 2|x − 1| + 3 = 11, o módulo ainda não está sozinho.	Primeiro isole: |x − 1| = 4.

Exercícios resolvidos

Exercício 1: isolando o módulo

Resolva a equação 2|x − 1| + 3 = 11.

2|x − 1| = 11 − 3 → 2|x − 1| = 8 → |x − 1| = 4

x − 1 = 4 → x = 5 ou x − 1 = −4 → x = −3

Resposta: S = {−3, 5}

Exercício 2: soma das soluções

Qual é a soma das soluções da equação |3x − 2| = x + 4?

Condição: x + 4 ≥ 0 → x ≥ −4

Caso 1: 3x − 2 = x + 4 → 2x = 6 → x = 3 (maior que −4, vale)

Caso 2: 3x − 2 = −x − 4 → 4x = −2 → x = −1/2 (maior que −4, vale)

Resposta: S = {−1/2, 3}, e a soma das soluções é −1/2 + 3 = 5/2.

Exercício 3 (UFJF): quantas soluções negativas?

O número de soluções negativas da equação modular |5x − 6| = x² é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4.

Como x² nunca é negativo, a condição já está garantida para qualquer x.

Caso 1: 5x − 6 = x² → x² − 5x + 6 = 0 → soma 5 e produto 6 → x = 2 ou x = 3

Caso 2: 5x − 6 = −x² → x² + 5x − 6 = 0 → soma −5 e produto −6 → x = 1 ou x = −6

O conjunto solução é S = {−6, 1, 2, 3}. A única solução negativa é −6. Resposta: alternativa (B).

Exercícios propostos com gabarito

Chegou a hora de praticar! Tente resolver cada equação antes de olhar o gabarito. Se travar, volte ao passo a passo e à tabela-resumo.

Enunciados

1. |x + 4| = 9
2. |5 − 2x| = 7
3. |x − 5| = |2x + 1|
4. |2x + 3| = x + 1
5. x² − 2|x| − 8 = 0
6. |x − 1| + |x − 4| = 5

Gabarito comentado

1. S = {−13, 5}, pois x + 4 = 9 ou x + 4 = −9.
2. S = {−1, 6}, pois 5 − 2x = 7 ou 5 − 2x = −7.
3. S = {−6, 4/3}, pois x − 5 = 2x + 1 (x = −6) ou x − 5 = −(2x + 1) (x = 4/3).
4. S = ∅. A condição é x ≥ −1; os dois casos dão x = −2 e x = −4/3, e nenhum deles respeita a condição.
5. S = {−4, 4}. Com |x| = y, temos y² − 2y − 8 = 0, logo y = 4 ou y = −2; só |x| = 4 serve.
6. S = {0, 5}. Os pontos críticos são 1 e 4; no intervalo do meio a equação vira 3 = 5 (impossível), e nos extremos aparecem x = 0 e x = 5.

Videoaula: equações modulares com o Professor Ferretto

Instrução ao editor (não publicar) Incorporar aqui o vídeo que hoje fica no rodapé das duas partes (youtube.com/embed/2fFnD5vgE5Q). O título exato do vídeo não foi confirmado.

 

Para fixar o conteúdo, assista à videoaula e resolva os exemplos junto com o professor. Afinal, uma abordagem sempre complementa a outra! Se gostar, acompanhe também o canal do Professor Ferretto no YouTube e o Instagram @professorferretto para mais dicas de matemática.

Perguntas frequentes sobre equações modulares

O que é uma equação modular?

É uma equação em que a incógnita aparece dentro de um módulo (valor absoluto). Por exemplo, |x − 3| = 5 é uma equação modular, pois o x está entre as barras do módulo.

Como resolver uma equação modular?

Isole o módulo, olhe o sinal do outro lado da igualdade, abra a equação em dois casos (A = B ou A = −B), resolva cada uma delas e confira as respostas na equação original. Por fim, escreva o conjunto solução.

Por que |x| = −2 não tem solução?

Porque o módulo é uma distância, e distância nunca é negativa. Nenhum número real tem módulo igual a −2; logo, o conjunto solução é vazio (S = ∅).

Por que preciso conferir as soluções de uma equação modular?

Quando há uma expressão com x do outro lado da igualdade, como em |x + 1| = 2x − 6, essa expressão precisa ser maior ou igual a zero. Valores que não respeitam a condição aparecem nas contas, mas não são soluções (como x = 5/3 nesse exemplo).

Uma equação modular pode ter mais de duas soluções?

Pode. Ao abrir o módulo, cada caso pode gerar mais de uma raiz. Por exemplo, |x² − x − 1| = 1 tem quatro soluções: −1, 0, 1 e 2.

Qual é a diferença entre equação modular, função modular e inequação modular?

A equação modular usa uma igualdade e pede os valores de x. A função modular, como f(x) = |x − 3|, tem gráfico em forma de V. A inequação modular usa desigualdades (<, >, ≤ ou ≥) no lugar do sinal de igual. Veja mais em inequações modulares e em função modular.

Conclusão: o essencial sobre equações modulares

Chegamos ao fim! Para fechar, guarde estas ideias:

• Equação modular é aquela em que a incógnita aparece dentro de um módulo.
• A regra de ouro: se |A| = k e k > 0, então A = k ou A = −k. Se k < 0, não há solução.
• Com uma expressão do outro lado da igualdade, exija que ela seja maior ou igual a zero e confira as respostas.
• Nas equações do 2º grau, use a transformação |x| = y e descarte os valores negativos de y.
• Com dois ou mais módulos, trabalhe com pontos críticos e intervalos.

Portanto, com prática, esse assunto deixa de assustar. Um abração e bons estudos a todos!

Continue estudando função modular

• Módulo de um número real: a definição e os primeiros exemplos.
• Propriedades do módulo: as regras que sustentam todas as resoluções deste artigo.
• Função modular: definição, gráfico e translação: o gráfico em V e como deslocá-lo.
• Inequações modulares: o próximo passo, com desigualdades no lugar da igualdade.

Quer praticar mais matemática, de graça? Cadastre-se nos Cursos Gratuitos de Matemática, Física e Química básica do Professor Ferretto e estude a base com videoaulas e as ferramentas da plataforma. Se preferir, conheça também o curso gratuito e completo de Matemática Básica.

Quer ir além? Conheça a plataforma do Professor Ferretto, com videoaulas e questões resolvidas para o Enem e os vestibulares.

Descubra o que mais cai no Enem Use o ENEM’s Anatomy para ver a incidência dos assuntos nas provas e priorizar o que realmente vale a pena estudar.