Uma dízima periódica é um número decimal cujas casas decimais são compostas por grupos de um ou mais algarismos que se repetem infinitamente, ou seja, que são periódicos. As dízimas periódicas podem ser escritas na forma de fração, por isso, elas pertencem ao conjunto dos números racionais (ℚ).
Olá, pessoal! Tudo bem?
A dízima periódica é um número racional muito importante para a matemática básica. Por isso, vamos dedicar este texto inteirinho a ela! Estudaremos o conceito de dízima periódica, sua classificação, e claro, como encontrar a fração geratriz de qualquer dízima, seja ela simples ou composta. Ao final, vamos resolver uma série de exemplos, e assim, vocês estarão preparados para encarar o assunto nas provas do ENEM, de vestibulares e até mesmo de concursos públicos!
Certo, pessoal? Dessa forma, é hora de desvendarmos os mistérios das dízimas periódicas. Vem comigo!
Assim como vimos no primeiro parágrafo deste texto, uma dízima periódica é um número decimal não exato cujas casas decimais são compostas por grupos de um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. Reparem no quadro acima, que todos os números apresentados possuem algarismos que se repetem infinitamente. Esses algarismos formam o período da dízima periódica.
1,3592929292 … → Período: 92
0,33333 … → Período: 3
2,66666 … → Período: 6
0,285714285714 … → Período: 285714
1,21616161616 … → Período: 16
0,00777777 … → Período: 7
Contudo, nem sempre as casas decimais de uma dízima periódica são compostas apenas por seu período. Às vezes, aparecem alguns números intrusos entre a vírgula e o período de um decimal periódico. Intrusos!? Exatamente. O grupo de um ou mais números que não se repete, e que pode aparecer em uma dízima periódica antes da formação de seu período, costuma ser chamado de intruso, ou de antiperíodo. Alguns dos números que temos analisado possuem algarismos intrusos, confiram aí!
1,3592929292 … → Intruso: 35
0,33333 …
2,66666 …
0,285714285714 …
1,21616161616 … → Intruso: 2
0,00777777 … → Intruso: 00
É justamente a presença ou não de algarismos intrusos ou de um antiperíodo em uma dízima periódica que dá origem a sua classificação. Vamos estudar essa classificação com detalhes depois de um alerta bem importante. Vem comigo!
Quando os algarismos infinitos de um número decimal não exato não possuem nenhum padrão, ou seja, não possuem período, eles não são dízimas periódicas. Neste caso, estamos diante de números irracionais, como os seguintes exemplos:
√2 = 1,414213562…
√3 = 1,732050808…
π = 3,14159265…
e = 2,718281828…
As dízimas periódicas podem ser classificadas como simples ou compostas. Vamos ver agora como se dá essa diferenciação. Vem comigo!
Uma dízima periódica é simples, quando logo após a vírgula encontra-se o seu período, que segue infinitamente, sem que haja qualquer algarismo intruso. Seguem alguns exemplos:
0,33333 …
2,66666 …
0,285714285714 …
Uma dízima periódica é composta, quando existe um grupo de um ou mais algarismos após a vírgula que não faz parte do seu período, ou seja, quando há a presença de algarismos intrusos, ou de antiperíodo. São exemplos:
1,3592929292 …
1,21616161616 …
0,00777777 …
Quem observou com atenção todos os exemplos, se deparou com a representação mais comum dos decimais periódicos. Mas o fato é que existem pelo menos outras duas formas de representar uma dízima periódica. No próximo item, nós vamos entendê-las direitinho. Vem comigo!
A forma mais comum de representar uma dízima periódica é com as chamadas reticências, três pontinhos que indicam que os algarismos da dízima se repetem infinitamente. Contudo, também é possível representar a mesma dízima sem repetir o período e acrescentar as reticências. Para isto, basta escrever o decimal periódico apenas até o término de seu período, e em seguida, adicionar uma barra acima do número que representa o período. Observem como isso se aplica aos exemplos que temos utilizado:
Com a escrita tudo certo, não é? No entanto, também precisamos entender como é possível ler esses números com clareza. Mas isso é simples, não se preocupem. Faremos a leitura normalmente, e por fim, adicionaremos a palavra periódico, como no exemplo:
Entendido, pessoal? Bom, falamos uma série de vezes neste texto que a dízima periódica é um número racional, e, por isso, também pode ser representada sob a forma de fração. Entretanto, encontrar a fração que representa um decimal periódico não é tão simples quanto escrevê-lo com a barra acima do período. Vamos estudar esse processo através de dois macetes: um para a dízima periódica simples e outro para a dízima periódica composta. Sigam comigo!
A fração que gera, ou que dá origem a uma dízima periódica, é chamada de fração geratriz. Toda fração é uma razão entre dois números inteiros, o numerador e o denominador. Vocês vão ver na sequência, que dependendo da classificação da dízima periódica a ser analisada, vamos inserir alguns algarismos definidos no numerador e no denominador da sua respectiva fração geratriz. Vamos lá!
Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, basta inserir no:
Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica composta, basta inserir no:
E aí, pessoal, o que acharam destes macetes? Vamos resolver agora uma série de exemplos para que tudo fique mais claro. Sigam comigo!
Reparem, pessoal, que essa é uma dízima periódica simples. Por isso, podemos utilizar o macete da dízima periódica simples aqui. Lembram dele?
0,22222…
Período: 2
Quantidade de algarismos que formam o período: 1 → 1 “nove” no denominador
A fração geratriz da dízima periódica 0,22222… é 2/9.
Essa também é uma dízima periódica simples. Por isso, seguimos utilizando o mesmo macete.
0,484848…
Período: 48
Quantidade de algarismos que formam o período: 2 → 2 “noves” no denominador
A fração geratriz da dízima periódica 0,484848… é 16/33.
Neste caso, a fração geratriz obtida através do macete não era irredutível, por isso, foi possível simplificá-la por 3. Sempre que isso acontecer, pessoal, não hesitem em simplificar a fração geratriz encontrada!
A dízima periódica 0,178787878… possui um algarismo intruso, o número 1. Assim, para encontrarmos a sua fração geratriz, precisaremos utilizar o macete da dízima periódica composta. Olhem só!
0,178787878…
Antiperíodo: 1
Período: 78
Número formado pela junção do antiperíodo ao período: 178
Quantidade de algarismos que formam o período: 2 → 2 “noves” no denominador
Quantidade de algarismos que formam o antiperíodo: 1 → 1 “zero” no denominador
A fração geratriz da dízima periódica 0,178787878… é 59/330.
0,66666666…
Período: 6
Quantidade de algarismos que formam o período: 1 → 1 “nove” no denominador
A fração geratriz da dízima periódica 0,66666666… é 2/3.
0,4828282 …
Antiperíodo: 4
Período: 82
Número formado pela junção do antiperíodo ao período: 482
Quantidade de algarismos que formam o período: 2 → 2 “noves” no denominador
Quantidade de algarismos que formam o antiperíodo: 1 → 1 “zero” no denominador
A fração geratriz da dízima periódica 0,4828282 … é 239/495.
Entendido, pessoal? Vejam que até agora nós não determinamos nenhuma fração geratriz de uma dízima periódica com parte inteira. Quando isso for necessário, basta separar a parte inteira da parte decimal e utilizar os macetes que já aprendemos para encontrar a fração geratriz apenas da parte decimal. Em seguida, é só somar a parte inteira a fração geratriz obtida. Acompanhem comigo este último exemplo!
A parte inteira da dízima periódica 2,44444… é o número 2, por isso, podemos reescrever esta dízima da seguinte forma:
2,4444… = 2 + 0,4444…
O número 0,44444… é uma dízima periódica simples. Assim, precisamos encontrar a sua fração geratriz.
0,44444…
Período: 4
Quantidade de algarismos que formam o período: 1 → 1 “nove” no denominador
Por fim, resta-nos somar a fração 4/9 a parte inteira dada pelo número 2:
A fração geratriz da dízima periódica 2,44444… é 22/9.
Incrível, não é mesmo? Assim, depois de tantos exemplos, é fato que precisamos encerrar este texto! Espero que o conteúdo aqui abordado seja muito proveitoso para os seus estudos e que vocês possam aplicá-lo sempre que necessário.
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Nós estudamos aqui como obter a fração geratriz das dízimas periódicas através de macetes. Mas, se vocês estão curiosos para saber qual é a essência deste processo, ou seja, porque determinamos aqueles padrões para o numerador e o denominador, vejam o vídeo que se encontra logo abaixo. Nele, vocês também acompanham uma breve revisão que aborda todos os números decimais, e ainda, resolvem comigo alguns exercícios de vestibular!
Um abraço a todos e ótimos estudos!
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