COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO

O complementar de um conjunto B em relação a um conjunto A, nada mais é do que a diferença entre os conjuntos A e B (A – B).

 

Olá, pessoal! Tudo tranquilo?

Vamos começar este texto com uma pergunta: o que significa “complementar” algo? Não parece, mas o significado dessa palavra pode nos ajudar a entender mais uma operação entre conjuntos. Depois da superdica que será apresentada daqui a pouco, eu garanto que vocês jamais esquecerão como obter o complementar de um conjunto em relação a outro!

Certo, pessoal? Então não nos resta outra opção se não iniciarmos o texto. Vem comigo!

 

Definição de complementar de um conjunto

Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de B em relação a A, o conjunto A – B.

O primeiro fato ao qual devemos ficar atentos nessa definição, é que existe uma condição para que um conjunto complementar a outro exista. São dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A.  Em símbolos, isso significa que, necessariamente, para que haja o cálculo do conjunto complementar de B em relação a A, B deve estar contido em A, ou seja, B deve ser subconjunto de A. Então, pessoal, caso vocês se deparem com conjuntos disjuntos, ou ainda, com conjuntos que possuem apenas alguns elementos em comum, não será possível obter o conjunto complementar de um deles em relação ao outro. Esse é um conceito que diz respeito apenas a uma relação de conjunto e subconjunto!

Quem reparou no quadro apresentado logo acima no texto, percebeu que existe uma maneira curiosa de representar o conjunto complementar de B em relação a A. Não parece, mas a ordem em que B e A são representados junto ao símbolo importa. Se nos referirmos ao complementar de B em relação a A, então o B ficará acima do A no símbolo. Do contrário, ou seja, se o complementar de A em relação a B for representado, então é claro que A ficará acima de B no símbolo, e pronto. Lembrando, é claro, que para encontramos o complementar de A em relação a B, A deve ser subconjunto de B (A ⊂ B).

Falamos da restrição, da representação, e agora, precisamos entender de fato como obter o complementar de um conjunto. Pela definição, e através dos quadros acima, sabemos que se trata de uma operação de diferença entre conjuntos. Vamos relembrar na sequência como resolvê-la. Sigam comigo!

Complementar de um conjunto na prática

O complementar de B em relação a A é o conjunto A – B. Isso porque, em termos de símbolo, para obtermos a operação de diferença que devemos realizar, é só manter o conjunto que está embaixo no símbolo, e descontar dele o conjunto que está em cima.

Se vocês quiserem praticar exclusivamente essa conta — passo a passo, com mais exemplos de A – B e B – A, inclusive quando os conjuntos são disjuntos — o artigo Diferença entre dois Conjuntos é o lugar certo. Aqui, a gente vai além: aprofunda o complementar em si, suas propriedades e como ele cai em prova.

Na prática, quando realizamos a operação A – B, obtemos como resultado um conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. Em outras palavras, o conjunto diferença entre A e B é formado por elementos que pertencem exclusivamente a A, quando comparados com os elementos de B.

Querem ver como funciona? Não há melhor maneira de entendermos o caso do que utilizando um exemplo resolvido. Vamos lá!

 

Entendendo o complementar de um conjunto com um exemplo

 

Sendo A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} e B = {5, 10}. Calcule o complementar de B em relação a A.

Obter o conjunto complementar de B em relação a A, ou a diferença entre A e B, é fácil, pessoal! Basta observar os elementos que pertencem a B, e descontá-los, tirá-los, ou riscá-los do conjunto A. Os elementos que restarem formarão o conjunto complementar que tanto buscamos.

Reparem que o resultado obtido acima, é um conjunto formado por elementos que pertencem apenas a A. É por isso que falamos anteriormente em elementos exclusivos de A. Caso vocês estejam confusos quanto a operação que realizamos, é só dar uma olhada no texto Diferença entre dois Conjuntos. Lá eu resolvo uma série de exemplos como esse, que tornam o conceito muito mais claro.

Pessoal, é aí que entra a dica que eu mencionei lá no início do texto. Sigam comigo até o próximo item!

 

Complementar de um conjunto: o significado da palavra explica tudo

Para quem ainda não foi lá no dicionário e descobriu o que significa complementar, chegou a tão esperada dica ninja de hoje! Complementar algo significa preencher o que falta a esse algo. Trazendo essa ideia para o contexto de conjuntos, o complementar de B em relação a A, é tudo o que falta para B se tornar A! Da mesma forma, o complementar de A em relação a B, é tudo que falta para A se tornar B. Aí a nomeação do conjunto faz todo o sentido!

As representações em forma de diagrama da imagem acima tornam o conceito muito mais claro, não é mesmo? Reparem no diagrama mais a esquerda, que representa o complementar de B em relação a A. Nele, fica evidente que B é subconjunto de A, e que a região destacada é aquela em que se localizam os elementos exclusivos de A. Se esses elementos também fizessem parte do conjunto B, B seria igual a A.

O mesmo pode ser observado no diagrama a direita, que representa o complementar de A em relação a B. Agora, A é subconjunto de B, e se todos os elementos exclusivos de B, que se localizam na região destacada, também fizessem parte de A, A seria igual a B.

Entendido? Então, partindo desse novo ponto de vista, faremos alguns exercícios para consolidar o conhecimento. Vem comigo aqui!

 

Exercícios resolvidos sobre o complementar de um conjunto

Dados os conjuntos A e B abaixo, calcule o complementar daquele que for conveniente.

a. A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {0, 4, 8}

O primeiro passo para resolver essa questão, pessoal, consiste em verificar qual dos conjuntos é subconjunto do outro. Nesse sentido, é fato que todos os elementos de B também pertencem a A. Sendo B um subconjunto de A, está decidido: obteremos o complementar de B em relação a A!

Observando a resolução deste último exemplo, vocês conseguiram perceber que são justamente os elementos 2 e 6 que faltam ao conjunto B para que ele se torne o conjunto A? Por isso, o conjunto {2, 6} é o complementar de B em relação ao conjunto A! Abaixo, segue a representação em diagrama do caso.

b. A = ø e B = {1, 2, 3}

E agora, pessoal, qual dos conjuntos acima é subconjunto do outro? O símbolo “ø” representa um conjunto vazio, ou seja, que não possui nenhum elemento. Sabendo que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, podemos concluir que A é subconjunto de B, e, portanto, obteremos o complementar de A em relação a B.

Se A não possui nenhum elemento, é fato que faltam todos elementos do conjunto B para que ele possa ser igual a B. Por isso, nesse caso, o complementar de A em relação a B é o próprio conjunto B.

 

Propriedades do complementar de um conjunto (Leis de Morgan)

[Sugestão de imagem: diagrama de Venn com U, A e Aᶜ destacados lado a lado]

Agora que vocês já sabem calcular o complementar na prática, chegou a hora de conhecer as propriedades que tornam essa operação tão útil — principalmente nas provas! Vamos ver quatro relações fundamentais, pessoal.

Complementar e o conjunto universo

A união de um conjunto com o seu próprio complementar sempre resulta no conjunto universo:

A ∪ Aᶜ = U

Faz todo sentido, não é? Afinal, Aᶜ é formado exatamente pelos elementos que faltam a A para ele se tornar U.

Já a interseção entre um conjunto e seu complementar é sempre vazia — os dois nunca têm elementos em comum:

A ∩ Aᶜ = ∅

Complementar do complementar

Se tirarmos o complementar duas vezes seguidas, voltamos ao conjunto original:

(Aᶜ)ᶜ = A

Casos extremos

O complementar do conjunto vazio é o próprio universo, e o complementar do universo é o conjunto vazio:

∅ᶜ = U e Uᶜ = ∅

Leis de Morgan

[Sugestão de imagem: dois diagramas de Venn lado a lado ilustrando (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ e (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ]

Essa é a parte que mais cai em prova, pessoal! As Leis de De Morgan relacionam o complementar com a união e a interseção de dois conjuntos:

(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ

(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

Em palavras: o complementar da união é a interseção dos complementares, e o complementar da interseção é a união dos complementares. Parece trava-língua, mas fica simples com um exemplo!

Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, logo (A ∪ B)ᶜ = {9, 10}.

Agora, calculando pelo outro caminho: Aᶜ = {6, 7, 8, 9, 10} e Bᶜ = {1, 2, 3, 9, 10}. A interseção entre eles, Aᶜ ∩ Bᶜ, é justamente {9, 10}. Bateu certinho com a lei de De Morgan!

Guardem essas propriedades, porque vamos usá-las agora em questões reais de prova.

Complementar de um conjunto no Enem e em vestibulares – exercícios comentados

Chegou a hora de ver como esse conteúdo aparece de verdade nas provas, pessoal. Vamos resolver duas questões reais.

Enem 2013

Uma escola com 1.200 alunos pesquisou o conhecimento de inglês e espanhol entre os estudantes. O levantamento apontou 600 alunos que falam inglês, 500 que falam espanhol e 300 que não falam nenhum dos dois idiomas. Escolhendo um aluno ao acaso, sabendo que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que ele fale espanhol?

Resolução:

Os 300 alunos que não falam nenhum idioma formam o complementar da união (inglês ∪ espanhol) em relação ao universo de 1.200 alunos. Então:

n(inglês ∪ espanhol) = 1.200 – 300 = 900

Pela propriedade da união, n(inglês ∪ espanhol) = n(inglês) + n(espanhol) – n(inglês ∩ espanhol):

900 = 600 + 500 – n(inglês ∩ espanhol) → n(inglês ∩ espanhol) = 200

Os alunos que não falam inglês são o complementar de inglês: 1.200 – 600 = 600.

Dentro desse grupo, quem fala espanhol são os que falam só espanhol: 500 – 200 = 300.

Probabilidade = 300/600 = 50%

PUC-PF 2003R 2003

Uma pesquisa com 120 empregados de uma firma constatou: 38 têm casa própria, 42 têm curso superior, 70 têm plano de saúde, 34 têm casa própria e plano de saúde, 17 têm casa própria e curso superior, 24 têm curso superior e plano de saúde, e 15 têm as três coisas. Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadra em nenhuma dessas situações?

Resolução:

Usando o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos:

n(A∪B∪C) = 38+42+70 – 17–34–24 + 15 = 150 – 75 + 15 = 90

Os que não se enquadram em nenhuma situação formam o complementar dessa união:

120 – 90 = 30 empregados

Porcentagem: 30/120 = 25%

Finalizando o texto com alegria!

E aí, pessoal, gostaram do texto de hoje? Vamos encerrá-lo por aqui, mas não há motivos para se lamentar. Em anexo, deixo um vídeo para que vocês revisem a diferença entre os conjuntos, e também a operação que acabamos de aprender. No mais, desejo muito sucesso a todos! Com empenho e dedicação podemos chegar aonde desejarmos!

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Bons estudos a todos! Até mais!