Soma dos termos de uma PG: fórmula, exemplos e PG infinita

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

No texto de hoje, vocês vão conhecer uma fórmula muito importante para a matemática: aquela que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica finita! Essa fórmula é tão interessante, porque nos possibilita obter a soma dos mais diversos termos de uma sequência numérica dada na forma de uma PG, sem que seja necessário conhecer todos esses termos em si.

Portanto, não deixem de acompanhar o texto! Nós vamos resolver vários exercícios sobre o assunto e, além disso, vamos conhecer também a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita — afinal, ao final deste texto, vocês estarão preparados para enfrentar qualquer desafio presente nas provas do ENEM e dos vestibulares!

E falando dessas temidas provas, será que vocês estão dominando todos os assuntos da matemática do ensino médio? Geometria, funções, análise combinatória, probabilidade, logaritmos, trigonometria, …, está tudo na ponta da língua? Pessoal, não tem nada melhor do que realizar as provas do ENEM e dos vestibulares com segurança e tranquilidade, e é nesse sentido que o Professor Ferretto pode lhes ajudar!

Na sua plataforma de ensino 100% online, vocês encontram videoaulas, exercícios do ENEM e dos vestibulares resolvidos em vídeo, simulados semanais, e ainda conseguem tirar todas as dúvidas com os monitores treinados pelo Professor no plano diamante. Conheçam a plataforma do Professor Ferretto! É fácil, basta acessar o site!

Resposta rápida: para somar os n primeiros termos de uma PG finita, basta usar Sn = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), sendo a1 o primeiro termo e q a razão (válida para q diferente de 1). Já quando a PG é infinita e −1 < q < 1, a soma converge para S∞ = a1 / (1 − q). Continue lendo para entender de onde vem cada uma dessas fórmulas e ver os dois casos aplicados passo a passo.

Fórmula da Soma dos Termos de uma PG Finita

Agora que a dica foi dada, é hora de voltarmos a nossa atenção à estrela deste texto: com vocês, a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG!

Em texto: Sn = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), válida sempre que q é diferente de 1.

Reparem que através da fórmula acima, nós podemos calcular a soma Sn dos n primeiros termos de qualquer PG, levando em conta apenas o primeiro termo da progressão, a1, e q, que representa a sua famosa razão. Em nenhum momento foi solicitado o valor de qualquer outro termo da sequência, como por exemplo, a2, a3, a4 e aí por diante.

Assim, sempre que o contexto de algum exercício abordar a soma dos termos de uma sequência cujo comportamento é de uma progressão geométrica, vocês devem procurar por 3 valores: pela quantidade de termos da sequência n, pelo seu primeiro termo a1, e a pela sua razão q. Vale destacar, ainda, que essa fórmula pressupõe q diferente de 1: quando a razão é igual a 1, todos os termos da PG são idênticos, e a soma passa a ser simplesmente Sn = n · a1 — um caso particular que vale a pena guardar, embora seja raro nas provas.

Se vocês quiserem relembrar como cada um desses elementos — a1, q e n — se relaciona dentro de uma PG, vale a pena revisitar o texto Progressão Geométrica (PG): o que é, classificação e fórmulas, que reúne toda a base teórica do assunto.

Querem ver como a fórmula funciona na prática? Então peguem seus materiais de estudo, e acompanhem comigo todos os exemplos a seguir!

Como Aplicar a Fórmula da Soma da PG: Exercícios Resolvidos

Exemplo 1 – Encontrando o Número de Termos (n)

1. Dada a PG (–4, –12, –36, –108, …), determine o valor de n, para que Sn = –1456.

Observem que a sequência apresentada no enunciado (–4, –12, –36, –108, …), não possui um número finito de termos, afinal, temos a presença das conhecidas reticências, que nos dão ideia de continuidade, ou de algo que não termina. Mas a ideia nunca foi obter todos os termos dessa PG mesmo! Estamos procurando apenas pelo número n de primeiros termos necessários para que sua soma Sn seja igual ao valor –1456. Assim, se procuramos por n, e conhecemos o valor de Sn, nos resta obter os valores de a1, e de q, a razão da PG.

Parece que quanto ao primeiro termo da sequência não há mais problema, não é mesmo? E é claro que tendo em mãos mais alguns termos da progressão, também fica fácil de determinar a sua razão q. Segundo a definição de uma PG, q pode ser obtida através da divisão ou do quociente entre dois termos consecutivos, sempre o termo da direita dividido pelo termo da esquerda, ou melhor, o termo consequente dividido pelo termo antecedente, como mostra a fórmula abaixo:

Desta forma, podemos definir a razão da progressão apresentada no enunciado facilmente, e na sequência, já podemos partir para a fórmula da soma dos termos de uma PG finita!

Pois é pessoal, quando qualquer questão que aborda a soma dos termos de uma PG nos perguntar o valor de n, é provável que possamos cair em uma situação como essa: n está no expoente da razão q, o que pode dar origem a uma equação exponencial. Mas não se preocupem muito não: sempre que isso acontecer, vocês devem usar o conceito de igualdade de potências de mesma base. Uma vez que as bases das potências são iguais, é possível desconsiderá-las e apenas igualar seus expoentes.

Bem tranquilo, vocês não acham? É claro que quem está acostumado a resolver equações exponenciais, possivelmente sabe de cor que 729 é igual a 3 elevado na sexta potência. Mas não é necessário memorizar essas conversões: ao fatorar 729, vocês encontram facilmente o seu valor na forma de potência.

Bom, para concluirmos nosso primeiro exemplo com qualidade, nada melhor do que interpretarmos direitinho o que o resultado obtido quer nos dizer. Agora, sabemos que somando os 6 primeiros termos da progressão geométrica, nós obtemos –1456.

Entendido? Esse foi fácil, não é mesmo? Vamos ao próximo exemplo então!

Exemplo 2 – Usando Dois Termos Conhecidos para Encontrar a Razão

2. Se S3 = 21 e S4 = 45 são, respectivamente, as somas dos três e quatro primeiros termos de uma PG, cujo termo inicial é 3, determine a soma dos cinco primeiros termos da progressão.

Que enunciado mais confuso, vocês não acham? A princípio, a única coisa que está mais clara aí, é que o valor do termo inicial, ou do primeiro termo da PG, o a1 é igual a 3.

Outra informação que não podemos deixar passar, é que como está sendo questionada a soma dos 5 primeiros termos da PG, S5, então a quantidade de termos cuja soma será calculada, o n, deve ser igual a 5. Como a razão q da progressão não está aparente, nós precisaremos desvendar o que os dados das somas dos 3 e 4 primeiros termos da PG em questão podem nos mostrar:

E não é que essas informações nos levaram ao encontro do quarto termo da sequência? Pode não parecer, mas esse dado é muito valioso. Sempre que temos a nossa disposição o valor de quaisquer dois termos de uma progressão geométrica, nós podemos calcular a sua razão q através da conhecida fórmula do termo geral de uma PG, como mostra a imagem abaixo:

Feito, agora basta partirmos para a fórmula que deu origem ao texto de hoje, e chegaremos ao valor da soma dos 5 primeiros termos da sequência desejada:

Até aí tudo tranquilo? Agora, nós vamos partir para a uma aplicação um pouco mais prática do assunto. A verdade é que a progressão geométrica tem uma relação muito próxima com os conceitos de aumentos e descontos, que envolvem porcentagem. O nosso último exemplo lhes ajudará a interpretar questões que envolvem esses temas. Vem comigo aqui!

Exemplo 3 – Aplicação com Aumento Percentual

3. Em uma fábrica de calçados, entre os anos de 2011 e 2015, a produção aumentou 10% ao ano. Sabendo que a produção em 2011 foi de 20 000 calçados, determine a quantidade total de calçados produzidos nesses cinco anos.

E aí, o que acharam desse novo contexto? A princípio, eu sei, parece complicado entender quais dessas informações tem relação com a soma dos termos Sn, com a quantidade de termos n, com a razão q, ou mesmo com o primeiro termo a1 de uma determinada progressão geométrica. Mas não se preocupem, vamos esmiuçar todos os detalhes importantes deste exemplo até chegarmos na fórmula que temos utilizado, fiquem atentos!

O enunciado pede que determinemos a quantidade total de calçados produzidos durante 5 anos. Para obter esse valor, nada mais justo do que somar a produção de calçados de 2011, 2012, 2013, 2014 e 2015, não é mesmo? Assim, podemos concluir que a quantidade de calçados produzida a cada ano representa cada um dos termos da PG, e que estamos procurando por Sn, ou melhor, por S5, afinal, 5 anos de produção serão analisados.

Ano	2011	2012	2013	2014	2015
Termo da PG	a1	a2	a3	a4	a5
Produção	20 000	?	?	?	?

 

Temos o valor de n, de a1, procuramos por Sn, mas cadê a razão q da progressão? Pois é pessoal, é aí que entra a questão da porcentagem. Diz-se no enunciado, que a produção aumentou 10% ao ano entre 2011 e 2015. Assim, para sabermos quantos calçados foram produzidos em 2012, 2013, 2014 e 2015, basta multiplicarmos a produção de cada ano por 1,1.

A imagem acima não deixa dúvidas de que 1,1 é a razão q desta PG. Portanto, já podemos encontrar a produção total de calçados da fábrica ao final de 5 anos através da fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita.

E aí pessoal, tudo entendido? Logo abaixo, na seção de videoaula, vocês vão encontrar mais alguns exemplos resolvidos, e vão aprofundar um pouquinho esse conceito de aumentos e descontos que acabamos de ver.

Soma dos Termos de uma PG Infinita

Até agora, vocês viram como somar uma quantidade determinada, ou finita, de termos de uma PG. Mas o que acontece quando a progressão geométrica tem infinitos termos? Pois é, pessoal: em alguns casos específicos, é possível sim somar infinitos termos de uma PG e chegar a um resultado finito — e essa é uma das ideias mais bonitas da matemática do ensino médio!

Isso só é possível, contudo, quando a razão q da PG está entre –1 e 1 (ou seja, −1 < q < 1, com q diferente de zero). Nesse caso, dizemos que a PG é infinita convergente. Repare no que acontece com qⁿ conforme n cresce: se q = 1/2, por exemplo, temos q² = 1/4, q³ = 1/8, q⁴ = 1/16, e assim por diante — o valor de qⁿ vai ficando cada vez mais próximo de zero, à medida que n aumenta. Substituindo qⁿ por 0 na fórmula que vocês já conhecem, Sn = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1), chegamos à fórmula da soma dos termos de uma PG infinita:

S∞ = a1 / (1 − q), válida para −1 < q < 1

Vamos ver como isso funciona na prática? Considere a PG (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …), cujo primeiro termo é a1 = 1 e cuja razão é q = 1/2. Como a razão está entre –1 e 1, podemos aplicar a fórmula da soma infinita:

S∞ = 1 / (1 − 1/2) = 1 / (1/2) = 2

Ou seja, mesmo somando infinitos termos dessa PG, o resultado é um número finito: 2! Reparem que isso faz todo sentido: cada termo é sempre a metade do anterior, então, por mais que a soma continue crescendo, ela vai se aproximando cada vez mais de 2, sem nunca ultrapassar esse valor.

Essa mesma ideia, por sinal, é o que está por trás da demonstração da fração geratriz das dízimas periódicas — afinal, uma dízima como 0,333… nada mais é do que a soma dos infinitos termos de uma PG de razão 1/10, com primeiro termo 3/10. Se vocês quiserem entender essa demonstração com calma, vale a pena conferir o texto Dízima Periódica.

Para resumir a diferença entre os dois casos:

Tipo de PG	Fórmula da soma	Condição
Finita	Sn = a1 · (qn − 1) / (q − 1)	n é um número finito de termos; q diferente de 1
Infinita convergente	S∞ = a1 / (1 − q)	−1 < q < 1 (q diferente de 0)
Infinita não convergente	Não existe soma finita	q ≤ −1 ou q ≥ 1

Exercícios Propostos sobre Soma dos Termos de uma PG (com Gabarito)

Agora que vocês já dominam tanto a soma finita quanto a soma infinita, que tal colocar esse conhecimento à prova? Resolvam os exercícios a seguir e confiram as respostas no gabarito comentado.

1. Determine a soma dos 8 primeiros termos da PG (2, 6, 18, …).

2. Uma cultura de bactérias começa com 50 indivíduos e triplica a cada hora. Considerando o valor inicial como o primeiro termo, qual é o total de bactérias somando-se os 5 primeiros termos dessa progressão?

3. Calcule a soma dos infinitos termos da PG (6, 3, 3/2, 3/4, …).

Gabarito Comentado

1. a1 = 2, q = 3, n = 8. Logo, S₈ = 2 · (3⁸ − 1) / (3 − 1) = 2 · 6560 / 2 = 6560

2. a1 = 50, q = 3, n = 5. Logo, S₅ = 50 · (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 50 · 242 / 2 = 6050 bactérias.

3. a1 = 6, q = 1/2. Como −1 < q < 1, a PG é infinita convergente. Logo, S∞ = 6 / (1 − 1/2) = 6 / (1/2) = 12

Videoaula sobre Soma dos Termos de uma PG

Para reforçar tudo o que vimos neste texto, o Professor Ferretto preparou uma videoaula completa sobre o assunto, com mais alguns exemplos resolvidos, incluindo aplicações envolvendo aumentos e descontos:

Assista à videoaula sobre soma dos termos de uma PG no YouTube

Além do YouTube, vocês também encontram dicas rápidas e resumos visuais sobre progressão geométrica no Instagram do Professor Ferretto (@professorferretto) — vale a pena seguir para não perder nenhuma novidade!

Perguntas Frequentes sobre a Soma dos Termos de uma PG

Qual é a fórmula da soma dos termos de uma PG finita?

A soma dos n primeiros termos de uma PG finita é dada por Sn = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), sendo a1 o primeiro termo, q a razão e n a quantidade de termos somados. Essa fórmula vale sempre que q for diferente de 1.

O que acontece com a fórmula quando a razão é igual a 1?

Quando q = 1, todos os termos da PG são iguais entre si, e a fórmula Sn = a₁(qⁿ−1)/(q−1) deixa de valer, pois haveria uma divisão por zero. Nesse caso específico, a soma passa a ser simplesmente Sn = n · a1.

Como calcular a soma dos termos de uma PG infinita?

Quando a razão q está entre −1 e 1 (−1 < q < 1), a soma dos infinitos termos converge para um valor finito, dado pela fórmula S∞ = a1 / (1 − q).

É possível somar os termos de uma PG sem conhecer todos eles?

Sim! Essa é justamente a vantagem da fórmula da soma: basta conhecer o primeiro termo (a1), a razão (q) e a quantidade de termos (n) para calcular Sn, sem precisar somar termo a termo.

Como saber se devo usar a fórmula da soma finita ou da soma infinita?

Se o exercício pedir a soma de uma quantidade determinada de termos (por exemplo, os 10 primeiros termos), use a fórmula da soma finita. Já se o exercício pedir a soma de todos os infinitos termos de uma PG — e a razão estiver entre −1 e 1 —, use a fórmula da soma infinita.

Gostaram do conteúdo de hoje? Continuem os estudos com os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto e turbinem sua preparação para o ENEM e os vestibulares!

Querem descobrir quais assuntos de matemática mais caem nas provas que vocês vão prestar? Conheçam a Análise de Incidência Enem’s Anatomy e estudem com direcionamento total!

Desejam uma preparação completa em matemática e ciências da natureza? Conheçam os planos e cursos da Plataforma do Professor Ferretto e venham com a gente garantir sua vaga no ensino superior!

Leia Também: Continue Estudando Progressão Geométrica

• Progressão Geométrica (PG): O Que É, Classificação e Fórmulas
• Termo Geral da PG: Conheça a Fórmula e suas Propriedades!
• Interpolação de Meios Geométricos
• Notações Especiais de uma Progressão Geométrica (PG)
• Dízima Periódica

Um abração a todos! Tenham muito sucesso nos estudos!