Propriedades operatórias dos Logaritmos: produto, quociente, potência e mudança de base

As propriedades operatórias dos logaritmos são quatro regras que simplificam contas com logaritmos: logaritmo do produto, logaritmo do quociente, logaritmo da potência e mudança de base. Elas transformam multiplicações, divisões e potências dentro de um logaritmo em somas, subtrações e produtos — geralmente mais simples de calcular ou de manipular algebricamente.

Olá, pessoal! Tudo certo? É fato que a resolução da maioria dos logaritmos costuma ser complicada sem uma calculadora científica. Mas quando aquelas expressões repletas de logaritmos aparecem nas provas de matemática do ENEM e dos vestibulares, existem algumas cartas na manga: as consequências da definição dos logaritmos e as suas propriedades operatórias.

Neste texto, você vai aprender a reescrever logaritmos de produtos, quocientes e potências de uma forma mais simples — o que muitas vezes é decisivo para resolver uma questão rapidamente — e ainda vai treinar com exercícios resolvidos passo a passo, incluindo a propriedade de mudança de base.

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Recordando a Definição de Logaritmo

Antes de estudarmos as propriedades operatórias, vale relembrar rapidamente como um logaritmo é formado.

log_a b = x ⟺ a^x = b, com 0 < a ≠ 1 e b > 0

Nessa igualdade, a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o próprio logaritmo (ou resultado da operação). A logaritmação é a operação inversa da exponenciação, e isso justifica as restrições sobre a e b: a base a deve ser sempre positiva e diferente de 1, enquanto o logaritmando b deve ser sempre positivo.

Com esses três termos claros, fica mais fácil entender as quatro propriedades operatórias que vamos estudar a seguir.

1. Logaritmo do Produto

Numa mesma base a (a > 0 e a ≠ 1), o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual à soma dos logaritmos desses números.

log_a(b · c) = log_a b + log_a c, com b > 0 e c > 0

 

Quando o logaritmando de um único logaritmo é formado por um produto entre dois números b e c, esses números podem se separar em dois logaritmos distintos, mantendo a mesma base do logaritmo original. Ou seja, uma multiplicação dentro de um logaritmo se transforma em uma adição de dois logaritmos distintos.

As restrições continuam valendo: b e c precisam ser números reais positivos, já que o logaritmando de qualquer logaritmo deve ser sempre positivo.

Exemplos:

log₇(3 · 5) = log₇ 3 + log₇ 5

log₄(2 · 3 · 7) = log₄ 2 + log₄ 3 + log₄ 7

Note que essa propriedade não se limita ao produto de dois termos: ela vale para o produto de n termos, desde que cada multiplicação seja convertida na adição correspondente.

⚠ Atenção: log_a(b + c) ≠ log_a b · log_a c e log_a(b · c) ≠ log_a b · c. O caminho correto — e válido nos dois sentidos — é: log_a b + log_a c = log_a(b · c).

Fique atento ao uso dos parênteses: quando um valor numérico multiplica apenas o logaritmando, os parênteses são obrigatórios —

log_a(k · b)

Já quando esse valor multiplica o logaritmo inteiro, ele fica fora dos parênteses —

k · log_a b

As duas expressões representam operações diferentes e não podem ser confundidas.

2. Logaritmo do Quociente

Numa mesma base a (a > 0 e a ≠ 1), o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números.

log_a (b∕c) = log_a b − log_a c, com b > 0 e c > 0

Quando o logaritmando é formado por um quociente entre dois números b e c, eles podem se separar em dois logaritmos distintos de mesma base. Ou seja, uma divisão dentro de um logaritmo se transforma em uma subtração de dois logaritmos distintos — um jeito prático de lembrar é associar o sinal de divisão ao sinal de subtração.

Exemplos:

log₇ (2∕3) = log₇ 2 − log₇ 3

log₂ (9∕5) = log₂ 9 − log₂ 5

log (2 · 4∕7) = log(2 · 4) − log 7 = log 2 + log 4 − log 7

Repare que esse último logaritmo não apresenta base: isso significa que é um logaritmo decimal, cuja base vale 10 — e que, nesse caso, misturamos a propriedade do quociente com a do produto na mesma expressão.

⚠ Atenção: log_a(b − c) ≠ log_a b ∕ log_a c. Essa igualdade não é válida em nenhuma situação — o caminho correto é log_a b − log_a c = log_a (b∕c).

3. Logaritmo da Potência

Numa mesma base a (a > 0 e a ≠ 1), o logaritmo da potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

log_a(b^c) = c · log_a b, com b > 0 e c ∈ ℝ

Quando o logaritmando de um logaritmo é composto por uma potência de base b e expoente c, o expoente c “pula” para a frente do logaritmo e passa a multiplicá-lo. A base a do logaritmo não sofre nenhuma alteração.

Como a base b da potência precisa ser positiva, o logaritmando nunca será negativo — por isso, ao contrário das outras propriedades, o expoente c pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou fracionário) sem comprometer a existência do logaritmo.

Exemplos:

log₇ 8³ = 3 · log₇ 8

log₅ ³√2 = log₅ 2^1∕3 = (1∕3) · log₅ 2

No último exemplo, o logaritmando era um radical — mas todo radical pode ser reescrito como potência de expoente fracionário, o que permite aplicar normalmente a propriedade do logaritmo da potência.

⚠ Atenção: log_a(b^c) ≠ (log_a b)^c — são operações diferentes: uma eleva o logaritmando a uma potência antes de aplicar o logaritmo; a outra eleva o resultado do logaritmo a uma potência.

4. Mudança de Base

Quando dois logaritmos têm bases diferentes, as três propriedades acima não podem ser aplicadas diretamente — antes é preciso igualar as bases. É exatamente para isso que serve a mudança de base.

log_a b = (log_c b) ∕ (log_c a), com a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 e c ≠ 1

Essa propriedade permite reescrever um logaritmo de base a em função de logaritmos de qualquer outra base c conveniente — geralmente a base 10 (para usar a calculadora) ou uma base que aproxime os logaritmos de uma mesma expressão.

Exemplo: para calcular log₄ 8 usando a base 2:

log₄ 8 = (log₂ 8) ∕ (log₂ 4) = 3∕2 = 1,5

Um caso particular útil: escolhendo c = b, a fórmula vira log_a b = (log_b b) ∕ (log_b a) = 1 ∕ log_b a. Ou seja, log_a b é sempre o inverso de log_b a — uma relação útil em vestibulares mais avançados.

Nota: vale citar também o cologaritmo — pouco cobrado no ENEM, mas presente em alguns vestibulares — definido como colog_a b = −log_a b = log_a (1∕b).

Resumo: Tabela das Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Uma referência rápida com as quatro propriedades lado a lado:

Propriedade	Fórmula	Condições
Logaritmo do produto	loga(b·c) = loga b + loga c	a>0, a≠1, b>0, c>0
Logaritmo do quociente	loga(b∕c) = loga b − loga c	a>0, a≠1, b>0, c>0
Logaritmo da potência	loga(bc) = c·loga b	a>0, a≠1, b>0, c∈ℝ
Mudança de base	loga b = logc b ∕ logc a	a,b,c>0; a≠1; c≠1

Erros Comuns ao Aplicar as Propriedades dos Logaritmos

Antes de praticar, vale reunir num só lugar os deslizes mais frequentes:

• log_a(b + c) ≠ log_a b + log_a c — não existe propriedade para o logaritmo de uma soma.
• log_a(b · c) ≠ log_a b · log_a c — o produto vira soma de logaritmos, não produto de logaritmos.
• log_a(b − c) ≠ log_a b ∕ log_a c — o quociente de logaritmos não representa uma subtração no logaritmando.
• log_a(b^c) ≠ (log_a b)^c — potência do logaritmando ≠ potência do resultado do logaritmo.
• Confundir k·log_a b (coeficiente multiplicando o logaritmo) com log_a(k·b) (coeficiente dentro do logaritmando) — o uso dos parênteses muda o resultado.

Exercícios Resolvidos: Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Chegou a hora de aplicar tudo o que vimos. A seguir, quatro exercícios resolvidos passo a passo — três com as propriedades clássicas e um com mudança de base.

Exercício 1

Determine o desenvolvimento logarítmico de:

log (a · √b ∕ c³)

O logaritmando é um quociente, cujo numerador é um produto e cujo denominador é uma potência. Aplicamos as três propriedades em sequência:

1º passo — logaritmo do quociente:

log(a · √b) − log(c³)

2º passo — logaritmo do produto:

log a + log √b − log c³

3º passo — o radical vira potência de expoente fracionário (√b = b^1∕2) e aplicamos o logaritmo da potência nos dois termos que restaram:

log a + (1∕2)·log b − 3·log c

Como a base não aparece em nenhum desses logaritmos, todos são decimais (base 10).

Exercício 2

Dados log_a b = 8 e log_a c = 6, determine o valor de log_a(b³·c²).

Aplicamos primeiro o logaritmo do produto e, em seguida, o da potência:

log_a(b³·c²) = log_a b³ + log_a c² = 3·log_a b + 2·log_a c

Substituindo os valores dados:

3·(8) + 2·(6) = 24 + 12 = 36

Resposta: 36.

Exercício 3

Se log 2 = a e log 3 = b, expresse log 144 em função de a e b.

O primeiro passo é decompor 144 em fatores primos:

144 = 2⁴ · 3²

Aplicando o logaritmo do produto e depois o da potência:

log 144 = log(2⁴·3²) = log 2⁴ + log 3² = 4·log 2 + 2·log 3

Substituindo log 2 = a e log 3 = b, e colocando 2 em evidência:

log 144 = 4a + 2b = 2(2a + b)

Resposta: log 144 = 2(2a + b).

Exercício 4 — usando a mudança de base

Determine o valor de log₄ 8, convertendo para a base 2.

Aplicamos diretamente a propriedade de mudança de base, escolhendo c = 2:

log₄ 8 = (log₂ 8) ∕ (log₂ 4)

Como log₂ 8 = 3 (pois 2³ = 8) e log₂ 4 = 2 (pois 2² = 4):

log₄ 8 = 3∕2 = 1,5

Resposta: 1,5.

Perguntas Frequentes sobre as Propriedades dos Logaritmos

Quais são as propriedades operatórias dos logaritmos?

São quatro: o logaritmo do produto (log_a(b·c) = log_a b + log_a c), o logaritmo do quociente (log_a(b∕c) = log_a b − log_a c), o logaritmo da potência (log_a(b^c) = c·log_a b) e a mudança de base (log_a b = log_c b ∕ log_c a).

O logaritmo de uma soma é igual à soma dos logaritmos?

Não. Essa é a confusão mais comum: log_a(b + c) ≠ log_a b + log_a c. A propriedade da soma só existe no sentido contrário do produto — log_a b + log_a c = log_a(b · c) — nunca para uma soma dentro do logaritmando.

Para que serve a mudança de base de um logaritmo?

Serve para reescrever um logaritmo em outra base — geralmente a base 10 ou a base de outro logaritmo da mesma expressão — permitindo comparar, somar ou calcular logaritmos que originalmente têm bases diferentes.

As propriedades dos logaritmos caem no ENEM?

Sim. Elas aparecem tanto em questões diretas de manipulação algébrica quanto em contextos aplicados — como escalas logarítmicas (pH, decibéis, escala Richter) e crescimento exponencial — dentro da área de Matemática e suas Tecnologias, além de aparecerem com frequência nos principais vestibulares.

Qual a diferença entre logaritmo do quociente e mudança de base?

O logaritmo do quociente separa o logaritmo de uma divisão dentro do logaritmando em uma subtração de dois logaritmos de mesma base. Já a mudança de base resolve o problema oposto: permite operar logaritmos que estão em bases diferentes, reescrevendo-os em uma base comum.

Conclusão

Essas quatro propriedades — produto, quociente, potência e mudança de base — realmente são muito importantes dentro do estudo dos logaritmos. Domine-as, treine com os exercícios resolvidos acima e você vai ganhar tempo precioso nas provas do ENEM e dos vestibulares.

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Um abração! Voltamos a nos ver em breve!