Um conjunto pode ser dito subconjunto de outro, quando todos os seus elementos também fazem parte deste outro conjunto. O conjunto das partes, por sua vez, é um conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto de referência.

 

Olá, pessoal! Tudo bem?

No texto de hoje, nós estudaremos mais dois conceitos muito importantes dentro da teoria de conjuntos: os subconjuntos e o conjunto das partes! Vamos aproveitar para falar também sobre os conjuntos iguais, os conjuntos disjuntos, e sobre as propriedades da inclusão. Se vocês não conhecem esses termos, ou não entenderam com clareza as definições acima, não deixem de acompanhar o texto com atenção! Tenho certeza de que este conteúdo os ajudará a resolver com facilidade as questões de conjuntos das provas do ENEM e dos vestibulares!

Preparados? Peguem seus materiais de estudo porque agora nós vamos começar!

 

1. SUBCONJUNTOS

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B.

Em outras palavras, podemos dizer que um certo conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se todos os elementos que pertencem à A, também pertencerem ao conjunto B. Vamos fazer um exemplo para entender bem essa ideia.

 

1.1 Exemplo resolvido

Dados os conjuntos C = {8, 9, 10, 11}, D = {9, 11}, e E = {6, 9, 12}.

a. D é subconjunto de C?

Sim, D é um subconjunto do conjunto C! Observem que todos os elementos do conjunto D também pertencem ao conjunto C.

No texto Introdução aos Conjuntos, nós aprendemos que também podemos representar os conjuntos através de diagramas. Olhem só como é realizada a representação em forma de diagrama dos conjuntos C e D:

E não é que nessa representação o conjunto D fica localizado dentro do conjunto C? Pessoal, sempre que o diagrama de um conjunto puder ser representado dentro do diagrama de outro, podem ter certeza que vocês estão diante de um subconjunto!

Bom, se D é subconjunto de C, também podemos dizer que D ⊂ C, ou que D está contido em C. Na verdade, esse símbolo matemático pode ser interpretado de 3 maneiras diferentes, como mostra a figura abaixo:

 

1.1.1 IMPORTANTE

Pessoal, o símbolo ⊂ significa “está contido”, mas se nós o invertermos horizontalmente, teremos o símbolo ⊃, que significa “contém”. Aí a ideia é exatamente oposta. Contém, no dicionário, é dito como “objeto que em seu interior possui alguma coisa”. É interessante percebermos, no diagrama que montamos lá em cima, que C possui em seu interior o conjunto D. Por isso, o correto, nesse caso, é dizer que C contém D.

Entendido? Vamos observar um contexto um pouquinho diferente na próxima questão.

 

b. E é subconjunto de C?

Neste caso, apenas um elemento do conjunto E também pertence ao conjunto C. Por isso, E não é subconjunto de C, sob hipótese alguma. Mas quando apenas alguns elementos são comuns a dois conjuntos, também é possível realizar uma representação do caso em forma de diagrama. 

 

1.1.2 Entrelaçando os diagramas

Percebam que para realizar a representação em forma de diagrama de dois conjuntos que possuem apenas alguns elementos em comum, basta entrelaçar os diagramas destes dois conjuntos. Assim, na parte central, que é comum aos dois diagramas, nós inserimos os elementos comuns a ambos os conjuntos. Vamos fazer isso para os conjuntos C e E.

Já que E não é subconjunto de C e que nem mesmo C é subconjunto de E, nós utilizamos o símbolo ⊄, para relatar que um conjunto “não está contido” no outro.

Bom, nós já estudamos até aqui duas situações interessantes. Na primeira delas, um conjunto é dito subconjunto de outro, enquanto que na segunda isso já não pode ser afirmado, apesar de alguns elementos ainda serem comuns entre dois conjuntos diferentes. Mas o fato é que também existem casos em que não há nenhum elemento comum entre dois conjuntos, ou ainda, onde todos os elementos de dois conjuntos diferentes são exatamente os mesmos! Abordaremos esses dois conceitos na sequência.

 

2. CONJUNTOS IGUAIS

Vamos supor agora uma situação diferente. Dados dois conjuntos A e B, diremos que B é subconjunto de A, ou seja, todos os seus elementos também pertencem ao conjunto A. Só que ao contrário do que vimos até então, adotaremos que A não tem outros elementos além daqueles que também pertencem a B. Isso significa que A também é subconjunto de B, ou que A está contido em B, assim como B está contido em A. Tudo isso nos leva a seguinte conclusão: A e B são conjuntos iguais!

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

Acompanhem os exemplos com atenção:

A = {1, 2}

B = {1, 2}

Aqui não resta dúvida de que A e B são conjuntos iguais. Assim, sabemos que A está contido em B assim como B está contido em A.

C = {a, b, c}

D = {c, b, a}

Observem que nesse caso, apenas a ordem dos elementos foi alterada, mas isso pouco importa. Os conjuntos C e D possuem exatamente os mesmos elementos, a, b e c, e por isso, são conjuntos iguais. 

E = {1, 2}

F = {1, 2, 2, 2}

O conjunto F possui elementos repetidos, mas isso também não é um problema, afinal, de qualquer forma, ambos os conjuntos possuem apenas os elementos 1 e 2. Por isso, E e F são, sem sombra de dúvida, conjuntos iguais.

 

3. CONJUNTOS DISJUNTOS

Dados dois conjuntos A e B, sabe-se que o conjunto A possui alguns elementos, assim como o conjunto B. Só que nesse caso, nenhum elemento de A também pertence ao conjunto B, da mesma forma que nenhum elemento de B também pertence ao conjunto A. Isso significa que nem ao menos podemos entrelaçar os diagramas dos dois conjuntos, porque não há nada em comum ou igual entre eles. Quando isso acontece, os conjuntos são ditos disjuntos.

Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem elementos em comum.

Dados os conjuntos G = {1, 2} e o conjunto unitário H = {3}, podemos perceber que eles não possuem elemento algum em comum. G e H são conjuntos disjuntos, e a sua representação em forma de diagrama pode ser vista na imagem abaixo.

 

4. CONJUNTO DAS PARTES

Seja um conjunto A, o conjunto das partes de A, representado por P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Vejam que o conjunto das partes é um conjunto formado pelas “partes” de um conjunto de referência. Se essa referência for um certo conjunto A, por exemplo, então, teremos o conjunto das partes de A, P(A). Mas que partes são essas? Os elementos de um conjunto das partes, são, na verdade, outros conjuntos, e mais precisamente são todos os subconjuntos que podem ser formados a partir dos elementos do conjunto de referência.

Isso soa bem confuso, não é? Por isso, vamos ver através de um exemplo, como obter todos os subconjuntos que podem ser formados a partir dos elementos de um determinado conjunto referência. Vem comigo!

 

Dado o conjunto A = {1, 2}. Aponte todos os subconjuntos que podem ser formados a partir dos elementos de A.

Poderíamos apontar aqui, logo de cara, dois subconjuntos formados pelos elementos do conjunto A: os conjuntos unitários {1} e {2}. Mas será que só conseguimos montar subconjuntos a partir de combinações diferentes dos elementos de um certo conjunto? É quase isso! Existem duas propriedades que nos mostram que além dessas combinações, todo conjunto sempre tem dois subconjuntos definidos: são as propriedades da inclusão.

 

4.1 Propriedades da Inclusão

Através das propriedades que acabamos de conhecer, podemos concluir que além dos dois subconjuntos do conjunto A que já encontramos, também são subconjuntos de A, o conjunto vazio, e o próprio conjunto A.

Portanto, podemos representar o conjunto das partes de A da seguinte maneira:

P(A) = {{1}, {2}, {1, 2}, ∅}

Se um conjunto A possui n elementos, então o número de subconjuntos de A é igual 2ⁿ.

Isso explica porque acabamos de encontrar 4 subconjuntos para o conjunto A, afinal 2² = 4. Vamos descobrir agora, quantos e quais são os subconjuntos do conjunto dado abaixo:

B = {a, b, c}

São 3 elementos. Portanto teremos 2³ subconjuntos de B, ou seja, a partir do conjunto B podem ser formados 8 subconjuntos. Nós já conhecemos, devido as propriedades da inclusão, 2 destes subconjuntos: o conjunto vazio e o próprio conjunto B. Vamos combinar os elementos a, b e c de forma a encontrar os 6 demais subconjuntos de B.

 

Finalizando com dicas especiais! 

Agora que já sabemos tudo sobre os subconjuntos e o conjunto das partes, podemos concluir este texto! Espero que vocês tenham entendido direitinho todos os conceitos que estudamos. Em anexo, é claro, disponibilizo um vídeo que complementa a abordagem desse texto, com outros exemplos resolvidos. Dar uma olhadinha nele só tem a contribuir para o conhecimento de vocês!

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Fica aqui o meu abraço e meu desejo de que vocês tenham muito sucesso nos estudos! Até mais!