OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

01/11/2019

Assim como existem as 4 operações fundamentais da aritmética, também existem 4 operações que podem ser realizadas entre dois ou mais conjuntos. As operações com conjuntos são conhecidas como união, intersecção, diferença e complementar.

 

Olá, pessoal! Tudo tranquilo por aí?

Não há dúvidas de que as operações com conjuntos adoram aparecer nas provas do ENEM, dos vestibulares e até de alguns concursos públicos. Mas a partir de hoje isso não será mais um problema, porque nós vamos revisar os conceitos de união, intersecção, diferença e complementar resolvendo uma série de exercícios sobre esses assuntos. Quem quer garantir uma vaga no ensino superior, não pode perder este texto!

E falando em garantir uma vaga na universidade dos seus sonhos, sabiam que na plataforma do Professor Ferretto vocês encontram a preparação completa para as provas de matemática, física, química e biologia do ENEM e dos vestibulares? São videoaulas didáticas, listas de exercícios, questões do ENEM e dos vestibulares com resolução em vídeo, monitoria para que vocês tirem todas as dúvidas (no plano Premium), e mais uma série de vantagens. Quem é aluno do Professor Ferretto não tem dificuldade na área das exatas! Acessem o site para saber tudo sobre o curso!

Conheça o curso

Beleza, pessoal? Então, vamos estudar cada uma das operações com conjuntos. Vem comigo!

 

1. UNIÃO DE CONJUNTOS

representação em forma de diagrama da união de dois conjuntos A e B

Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ou a A ou a B.

O conjunto união de dois conjuntos A e B sempre será formado por todos os elementos que pertencem a esses dois conjuntos. No caso de A e B possuírem elementos em comum, não é necessário repeti-los, conforme mostram os exemplos.

 

Dados os conjuntos A = {a, b}, B = {c, d, e} e C = {b, c, d}. Determine:

A B = {a, b, c, d, e}
A C = {a, b, c, d}
B C = {b, c, d, e}

Observem que a união entre dois conjuntos é representada pelo símbolo “. Quando os conjuntos A, B e C são descritos na forma de diagrama, fica ainda mais fácil determinar a união entre eles. Basta destacar toda a região compreendida entre os diagramas, dessa forma:

A união B

A união C

B união C

Se você quer saber mais sobre a união entre dois conjuntos ou sobre as propriedades da união, pode clicar aqui e se aprofundar no assunto!

Agora, caso você deseje conhecer o número de elementos da união entre dois ou três conjuntos, saiba que existem fórmulas muito simples e interessantes que podem te ajudar nesses dois casos. Clique aqui para saber tudo sobre elas!

 

2. INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

representação em forma de diagrama da intersecção de dois conjuntos A e B

Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem A e a B.

O conjunto intersecção de dois conjuntos A e B sempre será formado pelos elementos que são comuns ou que pertencem a ambos os conjuntos. Caso A e B não possuam elementos em comum, a intersecção dos seus conjuntos será um conjunto vazio, conforme mostram seguintes exemplos.

 

Dados os conjuntos A = {a, b}, B = {c, d, e} e C = {b, c, d}. Determine:

A ∩ B = ø

A ∩ C = {b}

B ∩ C = {c, d}

Observem que a intersecção entre dois conjuntos é representada pelo símbolo “∩”. Como vimos no item anterior, quando os conjuntos A, B e C são descritos na forma de diagrama, fica ainda mais fácil determinar a intersecção entre eles. Basta destacar a região comum a ambos os diagramas, dessa maneira:

A intersecção B

A intersecção C

B intersecção C

E aí, entenderam tudo sobre a intersecção de dois conjuntos? Quem quiser saber mais sobre essa operação ou conhecer suas propriedades, pode clicar aqui.

 

3. DIFERENÇA ENTRE DOIS CONJUNTOS

representação em forma de diagrama do complementar de B em relação a A

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. 

Para calcular a diferença entre dois conjuntos A e B (A – B), basta retirar de A, todos os seus elementos que também são elementos de B. Já se a diferença entre os conjuntos B e A for calculada (B – A), então são retirados de B os elementos que também pertencem a A. Acompanhem os exemplos que deixarão o assunto mais claro.

 

Dados os conjuntos A = {a, b}, B = {c, d, e} e C = {b, c, d}. Determine:

A – B = {a, b} = A

B – A = {c, d, e} = B

A – C = {a}

C – A = {c, d}

B – C = {e}

C – B = {b}

Incrível, não é? Talvez a representação em forma de diagrama dessas operações torne o assunto ainda mais claro. Para realizá-la, basta destacar os elementos que pertencem apenas ao primeiro conjunto descrito na operação de diferença. Por exemplo, se a operação é A – B, é só destacar os elementos que pertencem somente a A. Mas se a operação é B – A, é só destacar os elementos exclusivos de B, como vemos nas imagens seguintes.

A menos B e B menos A

A menos C e C menos A

B menos C e C menos B

É, a diferença entre conjuntos pode soar confusa até que entendamos direitinho o seu conceito. Perceberam, por exemplo, que quando se trata da diferença entre dois conjuntos disjuntos, ou seja, que não possuem elementos em comum, não é possível descontar nenhum elemento do primeiro conjunto descrito na operação de diferença? Pois então, existe um texto detalhado sobre a diferença entre conjuntos que explica melhor esse detalhe, e muitos outros. Clique aqui e resolva comigo mais uma série de exercícios sobre essa operação!

 

4. COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO

representação em forma de diagrama do complementar de B em relação a A

Dados dois conjuntos A e B, tais que B  A, chama-se complementar de B em relação a A, o conjunto A – B.

O complementar de um conjunto B em relação a um conjunto A é definido como a diferença entre os conjuntos A e B (A – B). Até aí nenhum mistério, afinal, acabamos de estudar a diferença entre dois conjuntos, não é? Contudo, reparem que a definição deixa bem claro que o complementar de B em relação a A só existe se B for subconjunto de A, ou seja, se B estiver contido em A (B A).

Bom, é chegada a hora dos famosos exemplos!

 

Dados os conjuntos A = {a, b}, B = {a, b c, d, e} e C = {b, c, d}. Determine:

símbolo do complementar de A em relação a B = B – A = {c, d, e}

símbolo do complementar de C em relação a B = B – C = {a, e}

Vocês sabiam que existe um macete para memorizar a representação do complementar de um conjunto e outro para não esquecer do seu significado? Ambos estão descritos aqui no blog! Clique aqui para conhecê-los!

A representação em forma de diagrama do complementar de um conjunto pode ser feita de maneira semelhante a representação da diferença entre dois conjuntos. Só que neste caso, um conjunto sempre será subconjunto do outro. Portanto, olhem só como ficam os diagramas: 

B menos A e B menos C

E aí, gostou do conteúdo, mas ainda não entendeu direitinho o complementar de um conjunto? Então não perde tempo, e acessa o texto do blog que trata do assunto de forma mais aprofundada. Te espero lá!

 

Finalizando com uma super dica!

ninja do Ferretto

Agora que já revisamos as 4 operações com conjuntos, podemos encerrar este texto com alegria! Espero que este apanhado geral sobre as operações com conjuntos tenha sido de grande valia para os estudos de vocês! Volto a ressaltar, que quem quiser se aprofundar nos temas, pode acessar os textos que tratam da união, intersecção, diferença e complementar com mais detalhes!

Mas antes de me despedir, aí vão algumas dicas importantes. A primeira delas é: na dúvida, desenhem os conjuntos na forma de diagrama. Fica muito fácil efetuar qualquer uma das operações com conjuntos destacando as regiões de interesse nos diagramas, não é mesmo?

E pra quem curtiu este texto, fica o convite: já pensou em receber conteúdos exclusivos aqui do Professor Ferretto? É só fazer parte da minha lista de Conteúdos Exclusivos! Clique no botão para se cadastrar (é grátis!).

Quero me cadastrar

Beleza, pessoal?! Agora sim, fico por aqui! Deixei para vocês, logo abaixo, alguns vídeos com diversas questões de vestibulares que envolvem a teoria e as operações com conjuntos. Tem questões de nível básico, intermediário e avançado. Assistam os vídeos para garantir a melhor preparação no assunto!

Um abraço a todos e até o próximo texto!