Notações Especiais de uma Progressão Aritmética (PA)

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Não há coisa melhor do que descobrir que existe um método mais fácil de resolver determinada situação, não é? Por isso, o texto de hoje trata das notações especiais da PA, que nada mais são do que formas diferentes de escrever uma progressão aritmética quando ela tem uma quantidade de termos definida, no caso, 3, 4 ou 5 termos. Assim, conhecer essas notações nos permite trabalhar com menos incógnitas, e isso pode ser o diferencial para garantir um acerto nas questões de PA dos vestibulares e até do ENEM!

Resposta rápida: as notações especiais da PA escrevem os termos de uma progressão aritmética usando apenas x e a razão r. Uma PA de 3 termos é escrita como (x – r, x, x + r); uma PA de 5 termos, como (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r); e uma PA de 4 termos, como (a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, a₁ + 3r) ou, na versão simétrica, (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y), em que a razão é r = 2y. Dessa forma, o exercício passa de 3, 4 ou 5 incógnitas para apenas 2.

E se vocês quiserem saber mais sobre as progressões aritméticas, ou sobre os demais conteúdos de matemática do ensino médio, vale conhecer a plataforma do Professor Ferretto: são aulas didáticas, uma infinidade de exercícios para resolver e questões resolvidas em vídeo. E, se quiserem começar sem gastar nada, é só se cadastrar nos Cursos Gratuitos de Matemática do Professor Ferretto!

Antes de começarmos, fica um alerta: se vocês ainda não conhecem a progressão aritmética, nem como seus termos são nomeados, ou não sabem obter a razão r que relaciona os termos da sequência, deem uma olhada primeiro no texto Progressão Aritmética (PA): o que é, classificação e fórmulas e, em seguida, no Termo Geral da PA. Dessa forma, o aproveitamento do assunto de hoje será ainda maior!

Caderno, lápis e caneta à mão? Então vamos ver cada notação em detalhes. Vem comigo!

Notação para uma PA de 3 Termos

 

Uma PA de 3 termos costuma ser definida da seguinte maneira:

PA (a₁, a₂, a₃)

Nesse caso, a₁ é o primeiro termo, a₂ é o segundo e a₃ é o terceiro termo da sequência. Como se trata de uma PA, sabemos que, conhecendo o valor de um dos termos e a razão r, chegamos ao valor de qualquer outro termo, como mostra a figura a seguir:

Reparem que, ao avançar na sequência, ou seja, ao ir para a direita, precisamos sempre somar uma razão ao termo antecessor para chegar ao sucessor. Já para voltar na sequência, isto é, ir para a esquerda, precisamos subtrair uma razão do sucessor para chegar ao antecessor. Ainda, é possível alcançar termos mais distantes contando quantos saltos a razão dá, seja para a direita, seja para a esquerda. Vejam alguns exemplos:

• a₄ = a₃ + r
• a₁ = a₂ – r
• a₈ = a₆ + 2r
• a₂ = a₅ – 3r

Viram como é fácil? É essa a lógica que usamos para escrever a notação especial de uma PA de 3 termos. Primeiramente, chamamos de x o termo central, ou seja, o a₂. Como a₁ está à esquerda de a₂, basta subtrair uma razão de a₂ para chegar ao seu valor. Por outro lado, como a₃ está à direita de a₂, basta adicionar uma razão a a₂. Assim, com a₂ substituído por x, a sequência fica x – r, x e x + r, como mostra a figura:

 

PA (x – r, x, x + r)

Captaram a ideia? Essa notação facilita a resolução de vários exercícios porque diminui o número de incógnitas. Inicialmente, precisávamos encontrar a₁, a₂ e a₃, ou seja, 3 incógnitas. Agora, reescrevendo a PA, precisamos apenas de x e da razão r: ficamos com 2 incógnitas. E o melhor: o número de termos não mudou, ainda temos uma PA de 3 termos!

Por que isso funciona? Porque, em três termos consecutivos de uma PA, o termo central é a média aritmética dos vizinhos, propriedade que vocês estudam no texto Termo Geral da PA. Além disso, ao somar os três termos, o –r e o +r se cancelam e, logo, a soma é sempre 3x.

Vocês verão, nas próximas notações, que conseguimos diminuir ainda mais o número de incógnitas sem alterar o número de termos da sequência. Vem comigo!

Notação para uma PA de 4 Termos

Uma PA de 4 termos pode ser definida como:

PA (a₁, a₂, a₃, a₄)

A notação especial de uma PA de 4 termos segue a mesma lógica, só que agora o nosso ponto de partida é o primeiro termo, o a₁. Assim, mantemos esse termo como está e definimos os demais com base nele e em quantos saltos a razão dá para a direita, como mostra a figura:

PA (a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, a₁ + 3r)

Observem que de a₁ para a₂ há apenas um salto da razão para a direita; de a₁ para a₃, dois saltos; e de a₁ para a₄, três saltos. Isso explica por que os termos a₂, a₃ e a₄ foram denominados a₁ + r, a₁ + 2r e a₁ + 3r, respectivamente.

Tranquilo, não é, pessoal? Nesse caso, de 4 incógnitas restaram apenas 2: o a₁ e a razão r.

Notação Simétrica para uma PA de 4 Termos

Existe, porém, uma segunda forma de escrever uma PA de 4 termos, muito usada quando o enunciado fornece a soma dos termos ou o produto dos extremos. Como uma PA de 4 termos não tem um termo central, usamos o ponto médio entre o segundo e o terceiro termo, que chamaremos de x. Além disso, chamaremos de y a metade da razão. Dessa forma, o segundo termo é x – y e o terceiro é x + y.

Mas por que y e não r? Porque a diferença entre a₃ e a₂ é justamente a razão: (x + y) – (x – y) = 2y, logo r = 2y. Como a₁ está uma razão antes de a₂, ele vale (x – y) – 2y = x – 3y; e, como a₄ está uma razão depois de a₃, vale (x + y) + 2y = x + 3y.

PA (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y) com razão r = 2y

Atenção: nessa notação, a razão da PA não é y, e sim 2y. Por conseguinte, se o enunciado pedir a razão, é preciso multiplicar o y encontrado por 2. Em compensação, ao somar os quatro termos, os y se cancelam e a soma vale sempre 4x.

Notação para uma PA de 5 Termos

Para uma PA de 5 termos, podemos utilizar a seguinte definição:

PA (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)

A notação especial de uma PA de 5 termos segue o mesmo raciocínio das anteriores e é incrivelmente parecida com a de 3 termos. A ideia é a mesma: o termo central, a₃, é substituído por x. Só que agora temos 2 termos à esquerda e 2 à direita de a₃, e não apenas 1. Por isso, observamos quantos saltos a razão r dá, para a direita e para a esquerda, até cada um dos termos, e os definimos a partir de x.

PA (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)

Observem que a₄ e a₅ estão à direita de a₃: a₄ está a uma razão de distância e a₅, a duas razões. Por isso, somamos r a x e, em seguida, 2r. Para a₂ e a₁, acontece o contrário: como estão à esquerda de a₃, a uma e duas razões de distância, respectivamente, descontamos r e 2r de x.

Que interessante, não é!? Neste último caso, das 5 incógnitas que tínhamos, restaram apenas 2: x e r. Além disso, a soma dos cinco termos é sempre 5x, pois os termos simétricos se cancelam.

Resumo das Notações Especiais da PA

A tabela a seguir reúne as notações que estudamos, a razão de cada uma, a soma dos termos e o melhor momento para usá-las:

Nº de termos	Notação	Razão	Soma dos termos	Quando usar
3 termos	PA (x – r, x, x + r)	r	3x	Soma ou produto dos termos dado no enunciado
4 termos (por saltos)	PA (a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r)	r	4a1 + 6r	Primeiro termo conhecido ou pedido
4 termos (simétrica)	PA (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y)	2y	4x	Soma dada ou produto dos extremos
5 termos	PA (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)	r	5x	Soma ou produto dos termos dado no enunciado

 

Regra prática: se a PA tem um número ímpar de termos, x é o termo central. Se tem um número par de termos, usamos a notação simétrica, em que x é a média dos dois termos centrais e a razão é 2y. Portanto, a notação (x – r, x, x + r) só serve para quantidades ímpares de termos.

Curiosidade: o padrão continua para mais termos. Uma PA de 7 termos fica (x – 3r, x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r, x + 3r), e uma PA de 6 termos fica (x – 5y, x – 3y, x – y, x + y, x + 3y, x + 5y), com razão 2y.

Exercício Resolvido: PA de 3 Termos com Soma 24 e Produto 440

Agora que conhecemos as notações, vamos aplicar o que aprendemos!

Obtenha uma PA de três termos tais que a sua soma seja 24 e o seu produto seja 440.

Passo 1: Organizar os Dados do Enunciado

Vamos desvendar as informações do enunciado. Estamos falando de uma PA de 3 termos, então podemos defini-la assim:

PA (a₁, a₂, a₃)

A soma de todos os termos é 24 e o produto é 440. Assim, montamos duas equações:

a₁ + a₂ + a₃ = 24

a₁ · a₂ · a₃ = 440

Ou seja, temos 3 incógnitas e apenas 2 equações. Será que isso dá certo? Do jeito que está, certamente não. Agora, se substituirmos a₁, a₂ e a₃ pelos valores da notação especial, olhem só o que acontece!

Passo 2: Usar a Soma para Encontrar x

(x – r) + x + (x + r) = 24

3x = 24

x = 24 ÷ 3

x = 8

Vejam como a matemática pode ser fascinante! Observando a equação com cautela, percebemos que as razões –r e +r se cancelam. Assim, chegamos facilmente ao valor de x.

Passo 3: Usar o Produto para Encontrar a Razão r

Para encontrar a razão r, repetimos o procedimento na equação do produto e, por fim, substituímos x por 8. Lembram do produto notável? O produto da soma pela diferença resulta em (a + b) · (a – b) = a² – b², e é exatamente ele que aparece aqui. Se precisarem revisar, vale conferir o texto Produtos Notáveis.

(x – r) · x · (x + r) = 440

(x – r) · (x + r) · x = 440

(x² – r²) · x = 440

(8² – r²) · 8 = 440

64 – r² = 440 ÷ 8

64 – r² = 55

r² = 64 – 55 = 9

r = ± √9 = ± 3

Como r² = 9 é uma equação do 2º grau incompleta, as raízes são +3 e –3. Acabamos de encontrar a razão, mas será o valor negativo ou o positivo? A resposta é que os dois valores são válidos! Isso porque existem progressões aritméticas crescentes e decrescentes: a primeira tem razão positiva, enquanto a segunda tem razão negativa.

Passo 4: Montar as Duas Progressões

Assim, formamos duas sequências, uma crescente e outra decrescente:

PA crescente (r = 3)	PA decrescente (r = –3)
PA (x – r, x, x + r)	PA (x – r, x, x + r)
PA (8 – 3, 8, 8 + 3)	PA (8 – (–3), 8, 8 + (–3))
PA (5, 8, 11)	PA (11, 8, 5)

 

Confira: 5 + 8 + 11 = 24 e 5 · 8 · 11 = 440. Portanto, as duas progressões, (5, 8, 11) e (11, 8, 5), atendem ao enunciado.

Exercícios Propostos sobre Notações Especiais da PA

Agora é a vez de vocês! Tentem resolver cada exercício usando a notação mais adequada e, depois, confiram o gabarito comentado logo abaixo.

1) Três números estão em PA. A soma deles é 27 e o produto é 693. Determine a PA crescente formada por esses números.

2) Quatro números estão em PA crescente. A soma deles é 20 e o produto dos extremos é 16. Determine os quatro números.

3) Cinco números estão em PA decrescente. A soma deles é 45 e o produto dos extremos é 65. Determine os cinco números.

4) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA e o perímetro mede 36 cm. Quais são as medidas dos lados?

Gabarito Comentado dos Exercícios Propostos

Exercício 1 — PA (7, 9, 11). Com a notação (x – r, x, x + r), a soma dá 3x = 27, logo x = 9. Pelo produto, 9 · (9² – r²) = 693, ou seja, 81 – r² = 77 e r² = 4, o que resulta em r = ± 2. Como a PA é crescente, r = 2 e a sequência é (7, 9, 11). Conferindo: 7 + 9 + 11 = 27 e 7 · 9 · 11 = 693.

Exercício 2 — (2, 4, 6, 8). Como são 4 termos, usamos a notação simétrica (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y). A soma dá 4x = 20, logo x = 5. O produto dos extremos é (5 – 3y) · (5 + 3y) = 25 – 9y² = 16, então y² = 1. Como a PA é crescente, y = 1 e os termos são 2, 4, 6 e 8, com razão 2y = 2. Conferindo: 2 + 4 + 6 + 8 = 20 e 2 · 8 = 16.

Exercício 3 — (13, 11, 9, 7, 5). Com a notação (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r), a soma dá 5x = 45, logo x = 9. O produto dos extremos é (9 – 2r) · (9 + 2r) = 81 – 4r² = 65, então r² = 4. Como a PA é decrescente, r = –2, e os termos são 13, 11, 9, 7 e 5. Conferindo: 13 + 11 + 9 + 7 + 5 = 45 e 13 · 5 = 65.

Exercício 4 — lados 9 cm, 12 cm e 15 cm. Escrevemos os lados como (x – r, x, x + r), com r > 0. O perímetro dá 3x = 36, logo x = 12. A hipotenusa é o maior lado, então, pelo Teorema de Pitágoras, (12 + r)² = 12² + (12 – r)². Desenvolvendo, 144 + 24r + r² = 144 + 144 – 24r + r², o que leva a 48r = 144 e r = 3. Portanto, os lados medem 9, 12 e 15 cm. Conferindo: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15².

Erros Comuns ao Usar as Notações Especiais

• Usar (x – r, x, x + r) com um número par de termos. Nesse caso não existe termo central, então a notação correta é a simétrica, com y.
• Chamar a razão de y na notação simétrica. Lembrem-se: a razão é 2y. Portanto, se o exercício pedir a razão, dobrem o valor de y.
• Esquecer o sinal negativo da razão. Quando aparece r², existem duas soluções, ±r. Logo, é preciso conferir no enunciado se a PA é crescente ou decrescente.
• Não conferir o resultado. Assim que encontrarem a PA, somem e multipliquem os termos para verificar se atendem ao enunciado.

Videoaula sobre as Notações Especiais da PA

E hoje ficamos por aqui! Espero que o estudo das notações especiais de uma PA tenha sido proveitoso para vocês e que, de alguma forma, ajude a atingir os seus objetivos. Assista à videoaula abaixo: nela, há exercícios resolvidos sobre todas as notações que aprendemos hoje. Além disso, vocês podem acompanhar mais conteúdos de matemática no canal do Professor Ferretto no YouTube e no Instagram @professorferretto.

Perguntas Frequentes sobre as Notações Especiais da PA

O que são as notações especiais da PA?

São formas de escrever os termos de uma progressão aritmética finita, com 3, 4 ou 5 termos, usando apenas um termo de referência (x) e a razão (r). Dessa forma, o problema passa a ter apenas 2 incógnitas, o que simplifica os exercícios de soma e produto.

Como representar uma PA de 3 termos?

Uma PA de 3 termos é representada por (x – r, x, x + r), em que x é o termo central e r é a razão. Como o –r e o +r se cancelam, a soma dos três termos é sempre 3x.

Como representar uma PA de 4 termos?

Existem duas formas: (a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r), a partir do primeiro termo, ou a notação simétrica (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y), em que a razão é r = 2y e a soma dos termos é 4x.

Como representar uma PA de 5 termos?

Uma PA de 5 termos é representada por (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r), em que x é o termo central. A soma dos cinco termos é sempre 5x.

Posso usar as notações especiais em qualquer PA?

Sim, desde que os termos sejam consecutivos e em pequena quantidade: o enunciado pode falar de 3, 4 ou 5 termos consecutivos de uma PA maior. Quando os termos estão distantes ou são muitos, o caminho é usar a fórmula do termo geral da PA ou a da soma dos termos da PA.

Qual é a diferença entre as notações especiais, o termo geral e a interpolação de meios aritméticos?

As notações especiais escrevem poucos termos consecutivos com menos incógnitas. O termo geral calcula qualquer termo da PA a partir de a1, r e n. Já a interpolação de meios aritméticos insere termos entre dois números dados.

Leia também

• Progressão Aritmética (PA): o que é, classificação e fórmulas
• Termo Geral da PA (Progressão Aritmética): Fórmula e Propriedades
• Soma dos Termos da PA: conheça a fórmula e resolva exercícios
• Interpolação de Meios Aritméticos
• Notações Especiais de uma Progressão Geométrica (PG)

Um abração! Bons estudos e até logo mais!

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