Soma dos termos da PA: conheça a fórmula e resolva exercícios

O assunto de hoje é sobre progressões aritméticas, vamos ver, mais especificamente, a soma dos termos de uma progressão aritmética ou, simplesmente, PA. Este é um assunto muito importante em relação a PA, que pode ajudar muito a você que está estudando para o Enem e para o vestibular.

Antes de seguirmos, se você ainda não revisou os conceitos iniciais, vale a pena conferir primeiro o texto Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética (PA), que traz a base necessária para entender com clareza a fórmula que vamos apresentar agora.

O conteúdo completo de PA você encontra no site do Professor Ferretto. São videoaulas, exercícios resolvidos, simulados e muito mais, pra você que quer tirar uma nota boa em matemática no Enem e no vestibular. Acesse lá e confira!

Beleza? Então, vem comigo aqui!

Fórmula da Soma dos Termos de uma PA

A soma dos termos de uma PA finita, representada por S_n, é dada pela soma do primeiro termo (a₁) com o último termo (a_n), multiplicada pelo número de termos (n) e dividida por 2. Assim, a fórmula fica:

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Nessa fórmula, cada letra representa uma parte da progressão:

• S_n: soma dos n primeiros termos da PA;
• a₁: primeiro termo da PA;
• a_n: último termo (ou enésimo termo) considerado na soma;
• n: número de termos que estão sendo somados.

Repare que essa fórmula só vale para uma PA finita, ou seja, para quando existe um número determinado de termos. Não é possível, portanto, somar “todos os termos” de uma PA infinita, já que o resultado cresceria (ou decresceria) sem limite.

E se eu não souber o an? A fórmula da soma em função da razão

Em muitos exercícios, o enunciado não informa diretamente o último termo (a_n), mas dá a razão (r) da PA. Nesse caso, basta substituir a_n pela fórmula do termo geral (a_n = a₁ + (n − 1)·r) dentro da soma. Logo, a fórmula também pode ser escrita assim:

S_n = n/2 · [2a₁ + (n − 1)·r]

Essa versão é útil, por conseguinte, quando você já descobriu a razão da PA e o número de termos, mas ainda não calculou o último termo da sequência.

Quando usar	Fórmula
Você já sabe o primeiro e o último termo (a1 e an)	Sn = (a1 + an) · n / 2
Você sabe a razão (r), mas ainda não calculou o an	Sn = n/2 · [2a1 + (n − 1)·r]

Origem da Fórmula da Soma dos Termos de uma PA

Vou iniciar o assunto de soma dos termos de uma PA, contando pra vocês a história de Gauss. Pessoal, Carl Friedrich Gauss é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, sendo que ele atuou também na física e na astronomia. Conta-se que quando Gauss era um estudante de apenas 8 anos, seu professor, querendo manter a turma em silêncio, pediu aos alunos que somassem todos os números de 1 a 100. Depois de alguns minutos, Gauss disse ao professor que a soma de todos os números desta sequência era 5050. O professor muito surpreso, foi analisar como o menino tinha feito o cálculo, pois sua resposta estava correta. Vejam o raciocínio dele:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100

Ele percebeu que a soma do 1º com o último termo é igual à 101, que a soma do 2º com o penúltimo termo também é 101 e assim por diante, como mostra o esqueminha abaixo.

Como são 100 números que formam essa sequência, ele percebeu que eram formadas 50 parcelas de somas iguais, ou seja, 50 somas realizadas e cada soma valia 101. Então, Gauss concluiu que a soma total era 50 x 101, que resulta em 5050.

Desta forma, a soma dos termos de um conjunto de valores pode ser calculada pela soma de dois termos equidistantes, multiplicada pelo número de pares da sequência de valores, ou seja, por n/2:

Isso foi exatamente o que Gauss fez! Ele somou o primeiro com o último termo, e depois ele multiplicou pela metade dos termos existentes naquela sequência. Desta forma, Gauss contribui diretamente para a criação da fórmula da soma dos termos de uma PA. Essa é a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética finita.

Vamos fazer alguns exercícios para vocês aprenderem direitinho como calcular a soma dos termos de uma PA.

Exercícios Resolvidos sobre a Soma dos Termos da PA

Exercício 1

Calcule a soma dos termos dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, …).

Reparem o seguinte, nessa PA, nós temos que o primeiro termo vale 2 e o segundo vale 6. Dessa forma, nós já podemos descobrir a razão, que é diferença entre o segundo termo e o primeiro termo. Então:

r = 6 – 2 = 4

Veja que a razão dessa PA é exatamente igual 4! Então, para descobrir a soma dos 50 primeiros termos, precisamos descobrir quanto vale o a₅₀, ou seja, o quinquagésimo termo dessa PA, pois já conhecemos o a₁ e, também, o n.

Vamos calcular o a₅₀, como vimos no texto Termo geral de uma PA. Para isso, lembrem o seguinte: a₅₀ nada mais é do que o primeiro termo acrescido de 49 razões.

a₅₀ = a₁ + 49.r

a₅₀ = 2 + 49 ‧ 4

a₅₀ = 2 + 196

a₅₀ = 198

Como encontramos o nosso a₅₀, vamos calcular agora a soma dos termos desta PA, substituindo o a₅₀ na fórmula.

A soma dos 50 primeiros termos é igual a 5000. Vamos continuar com os exercícios, vejam o que diz a questão de número 2.

Exercício 2

A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1º termo dessa PA é 2, qual é a razão da PA?

Vamos começar extraindo as informações dadas no enunciado da questão:

S₁₀ = 200

a₁ = 2

Vamos pensar no seguinte: a fórmula da soma dos termos considera o primeiro e o último termo e ainda o número de termos dividido por 2. Vamos substituir os dados na soma dos 10 primeiros termos e descobrir quanto vale o décimo termo.

Então, nosso último termo é exatamente igual a 38. Mas, a questão está pedindo qual é a razão desta PA. Assim, sabemos que a₁₀ é exatamente igual ao a₁ acrescido de 9 razões:

a₁₀ = a₁ + 9.r

38 = 2 + 9r

38 – 2 = 9r

36/9 = r

r = 4

Tudo certo até aqui? Vamos fazer o terceiro exercício, que diz o seguinte.

Exercício 3

O 8º termo de uma PA é 89 e sua razão vale 11. Determine a soma de seus termos.

A questão traz as informações de que são 8 termos, e o nosso oitavo termo é 89. Como sabemos a razão, podemos descobrir o nosso a₁, e assim, na sequência, calcular a soma dos termos.

a8 = a₁ + 7.r

89 = a₁ + 7.11

89 = a₁ + 77

89 – 77 = a₁

a₁ = 12

Agora, basta usarmos a fórmula e encontrarmos a soma desses 8 termos:

Temos então que a soma dos termos dessa PA é 404. Agora pessoal, deem uma olhada nessa última questão aqui, uma questão clássica do assunto.

Exercício 4

Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais fileiras se compõem na mesma sequência. Quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas?

Então pessoal, nós temos aqui uma PA com a seguinte sequência:

PA (12, 14, 16, …)

Repare que a diferença entre os termos apresentados na sequência acima é sempre 2, de forma que a razão dessa progressão é 2. Mas nós queremos saber quantas fileiras, ou seja, quantos termos, existem nessa PA, para que a soma dessas poltronas seja exatamente igual a 620. Para isso, precisamos saber qual é o número de poltronas na última fileira, ou seja, qual é o valor de a_n, o enésimo termo da PA.

a_n = a1 + (n – 1) · r

a_n = 12 + (n – 1) · 2

a_n = 12 + 2n – 2

a_n = 2n + 10

Substituindo o a_n encontrado, na fórmula da soma dos termos de uma PA, nós vamos ter então:

Reparem que, na equação acima, todos os coeficientes são pares. Por isso podemos simplificar toda essa equação por 2, ficando com:

n² + 11n – 620 = 0

Encontramos uma equação do 2º grau, e assim nós podemos obter duas raízes, ou seja, n₁ e n₂, através do método da soma e produto. Vejam só:

Observem que o produto das duas raízes tem que resultar em –620. Podemos perceber que o 10 e o 62 não podem ser raízes, pois a soma nunca chegará a ser –11. Desta forma, podemos tentar com 20 e 31, ou seja, nós duplicamos o 10 e dividimos o 62 por 2.

Como o produto das duas raízes é –620, uma delas deve ser negativa. Outra percepção é que, como a soma tem que ser –11, a maior raiz deve ser negativa, ou seja, o 31. Assim, podemos perceber que essas duas raízes, 20 e -31 são a solução para a equação do 2º grau encontrada.

No entanto, apenas uma delas pode representar a quantidade de fileiras nesse teatro e, no caso, será a raiz positiva n = 20, ou seja, deve haver um total de 20 fileiras para que o teatro tenha 620 poltronas.

Exercícios Propostos sobre a Soma dos Termos da PA

Agora que você já viu a fórmula e acompanhou os exercícios resolvidos, tente resolver estes três exercícios propostos antes de conferir a resolução comentada.

Exercício proposto 1

Calcule a soma dos 30 primeiros termos da PA (5, 9, 13, …).

Resolução comentada: a razão é r = 9 – 5 = 4. Assim, a₃₀ = 5 + 29·4 = 5 + 116 = 121. Logo, S₃₀ = (5 + 121)·30/2 = 126·15 = 1890.

Exercício proposto 2

Em um teatro, a primeira fila tem 18 poltronas e cada fila seguinte tem 3 poltronas a mais que a anterior. Quantas poltronas há, ao todo, nas 25 primeiras filas?

Resolução comentada: aqui a1 = 18 e r = 3. Portanto, a₂₅ = 18 + 24·3 = 18 + 72 = 90, e S₂₅ = (18 + 90)·25/2 = 108·12,5 = 1350 poltronas.

Exercício proposto 3

Determine a soma dos 12 primeiros termos de uma PA cujo primeiro termo é 7 e a razão é 5, usando a fórmula da soma em função da razão.

Resolução comentada: como o enunciado já dá a razão, dá pra aplicar direto Sn = n/2 · [2a1 + (n − 1)·r]: S₁₂ = 12/2 · [2·7 + 11·5] = 6 · [14 + 55] = 6·69 = 414. Dessa forma, não é preciso calcular o a₁₂ separadamente.

Perguntas Frequentes sobre a Soma dos Termos de uma PA

Para que serve a fórmula da soma dos termos de uma PA?

Ela serve para descobrir rapidamente o resultado da soma de vários termos de uma progressão aritmética, sem que seja necessário somar termo por termo. Assim, em vez de somar manualmente uma sequência com 50, 100 ou mais números, basta aplicar a fórmula S_n = (a₁ + a_n)·n/2.

É possível calcular a soma dos termos de uma PA sem saber o último termo?

Sim. Quando você não conhece o a_n, mas sabe a razão (r) da PA, pode usar a fórmula S_n = n/2 · [2a₁ + (n − 1)·r], que chega ao mesmo resultado sem exigir que o último termo seja calculado antes.

A fórmula da soma dos termos funciona para uma PA infinita?

Não. A fórmula S_n = (a₁ + a_n)·n/2 vale apenas para uma progressão aritmética finita, ou seja, com um número determinado de termos. Em uma PA infinita, a soma dos termos cresce (ou decresce) indefinidamente e, portanto, não existe um valor finito para essa soma — diferente do que acontece em algumas progressões geométricas infinitas.

Qual a diferença entre a soma dos termos de uma PA e de uma PG?

Na PA, os termos crescem (ou diminuem) sempre somando a mesma razão, e a soma é calculada por S_n = (a₁ + a_n)·n/2. Já na PG, os termos crescem multiplicando pela razão, e a fórmula da soma é outra, com um cálculo próprio para PG finita e para PG infinita. Para entender esse cálculo em detalhes, veja o texto Soma dos Termos de uma PG Finita.

O que fazer quando o exercício não dá o a1, o an nem a razão diretamente?

Nesses casos, geralmente é preciso primeiro identificar esses valores a partir do contexto do problema (como fizemos no Exercício 4) ou calcular o termo desconhecido usando a fórmula do termo geral de uma PA, e só depois aplicar a fórmula da soma.

Chegamos ao final de mais um texto e eu espero que tenha sido muito proveitoso e que ajude muito nos seus estudos! Em anexo está o vídeo sobre o conteúdo aprendido hoje. Além disso, há outros exercícios para você que quer se aprofundar mais no assunto.

Leia também

• Termo Geral de uma Progressão Aritmética
• Notações Especiais de uma Progressão Aritmética (PA)
• Soma dos Termos de uma PG Finita
• Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética (PA)

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