INEQUAÇÕES MODULARES – PARTE 2

As inequações modulares são todas as relações de desigualdade em que a incógnita se encontra dentro de módulos. Algumas destas inequações, incluindo as simultâneas, podem ser resolvidas rapidamente quando se conhece as consequências da definição de módulo.

 

Olá! Tudo bem com vocês?

Vocês sabiam que o módulo de qualquer número real jamais pode ser negativo ou menor do que zero? Pois bem, no texto de hoje, eu vou mostrar para vocês que esse conceito é a base para a resolução de qualquer inequação modular, da mais simples, a mais complexa! É claro que as consequências da definição de módulo que nós veremos aqui, também podem facilitar, e muito, o desenvolvimento deste tipo de inequação. Então, já deu pra perceber que este texto está cheinho de conteúdo interessante, não é mesmo?

Primeira parte

É, só existe uma coisa melhor do que saber tudo sobre as inequações modulares: conhecer toda a matemática do ensino médio! Depois que a geometria, a probabilidade, a análise combinatória, as funções, a trigonometria e tantos outros assuntos estão dominados, não há como ter erro nas provas do ENEM e dos vestibulares. E o mais legal de tudo, é que é bem fácil ter todo esse material em mãos: basta assinar a plataforma do Professor Ferretto! Lá tem exercícios resolvidos, planos de estudos, ranking por curso, e até aulas de física! Quem quiser conhecer todas as vantagens que o curso disponibiliza, não vai se arrepender: é rapidinho, basta acessar o site!

| x | ≥ 0

E agora, chegou a hora de começarmos nosso estudo! A expressão acima, define algebricamente aquilo que temos enfatizado desde o início do texto: o módulo de qualquer número real resultará sempre em um valor positivo ou igual a zero!

Tendo isso em vista, qual seria a solução para as inequações que apresento abaixo? Vem comigo!

 

1. | x | ≥ – 3

Essa expressão não está requisitando nada mais nada menos do que possíveis valores de x cujo módulo seja maior ou igual a –3. Ora, se o módulo de qualquer número real resulta sempre em valores maiores ou iguais a zero, parece lógico que qualquer valor real que substitua x gere como resultado valores maiores que –3, afinal, o zero em si já é um número maior que –3.

S = ℝ

Pronto! Nesse caso, qualquer valor real pode satisfazer a desigualdade. Viram como foi só uma questão de lógica? Então fiquem atentos ao próximo exemplo!

 

2. | x | ≤ – 3

Mas que coisa estranha! A expressão acima pede que nós busquemos valores de x cujo módulo seja menor ou igual a –3. Só que nós acabamos de aprender, que não existem valores de x nos quais o módulo seja menor que zero ou negativo. Assim, já que nenhum valor real consegue satisfazer a inequação, o seu conjunto solução será dado através do famoso conjunto vazio.

S = ø

 

3. | x | ≥ 0

Essa inequação representa justamente a definição de módulo, lembram? Por isso, podemos afirmar, com toda a certeza, que qualquer número real satisfaz a desigualdade: o módulo de qualquer número real é sempre um valor positivo ou igual a zero!

S = ℝ

 

4. | x | > 0

Opa! Esse exemplo se torna extremamente intrigante quando conseguimos enxergar com clareza a diferença dele em relação ao anterior: aqui, estão sendo questionados os valores de x cujo módulo resulte em valores maiores do que zero, e não maiores ou iguais a zero. Bom, se levarmos em conta que o único valor cujo módulo resulta em zero é o próprio zero, nós conseguiremos definir que qualquer outro valor real que não seja ele, produzirá um módulo positivo, como está sendo pedido. Essa conclusão dá origem a um conjunto solução interessante: o conjunto dos números reais quando o zero é excluído.

S = ℝ^*

Feito, pessoal? Antes de partirmos para o próximo exemplo, aí vai uma sugestão: caso vocês queiram conhecer melhor a representação dos conjuntos numéricos que excluem o número zero, ou mesmo os números positivos e negativos, é só dar uma olhada no texto Números Naturais e Inteiros! Lá vocês encontram informações sobre alguns subconjuntos notáveis bem inspiradores!

 

5. | x | < 0

Existe algum valor de x cujo módulo seja negativo ou menor do que zero? Não, né? Por isso, nosso amigo conjunto vazio deverá entrar em cena novamente.

S = ø

 

6. | x | ≤ 0

Este é mais um daqueles exemplos que podem gerar uma grande confusão! Olhando rapidamente, poderíamos ter considerado o sinal de menor com um indício de que a solução não daria certo. Mas é justamente aí que mora o perigo! O sinal menor ou igual (≤), nos oferece duas opções: ou encontramos valores de x cujo módulo seja menor que zero, ou encontramos valores de x cujo módulo seja igual a zero. Quanto a primeira ideia, é claro que não tem jeito, mas sabemos que que a segunda possibilidade nos reserva uma saída: ao substituirmos x por zero, podemos gerar um resultado igual a zero! Isso significa que o nosso conjunto solução será um conjunto unitário, ou seja, um conjunto que possui apenas um único elemento, o zero:

S = {0}

E aí, pessoal, tudo claro até aqui? Vejam quantas soluções nós conseguimos definir só por questão de lógica, e claro, tendo em mente o conceito de módulo de um número real. Isso já nos ajuda bastante, mas o fato é que nem sempre ocorrerão casos em que solução possa ser dada simplesmente por todo o conjunto dos números reais, ou pelos conjuntos vazio e unitário. Por essa razão, apresento a vocês uma segunda alternativa. Vem comigo aqui!

Levando em consideração as consequências da definição de módulo descritas acima, fica fácil de resolver outras tantas inequações modulares que surgirem no nosso caminho! Reparem que o primeiro passo, consiste em observar se o valor numérico que se encontra a direita da desigualdade é mesmo maior que zero ou positivo. Se isso for confirmado, basta ver em qual dos casos a inequação se encaixa, e montar a reta real correspondente. Para ficar mais claro, vamos resolver os exemplos abaixo aplicando esta técnica, acompanhem comigo!

 

7. | x | < 3

Neste exercício, nós precisaremos encontrar os possíveis valores de x cujo módulo seja menor do que 3. 3 é um valor maior que zero, o que significa que podemos utilizar o método que acabamos de aprender, contudo, em qual dos 4 casos esta inequação se encaixa? Como está sendo utilizado o sinal de desigualdade menor (<) em relação ao módulo, podemos utilizar o primeiro caso para resolver a situação:

Agora é só fazer alguns testes! Se nós substituirmos x por algum valor que esteja na faixa entre –3 e 3, a desigualdade deve ser satisfeita. Do contrário, ou seja, se substituirmos x por um valor fora da faixa, a desigualdade não poderá ser satisfeita de nenhuma forma, ou nossa solução não estaria correta. Felizmente, as notícias serão boas, olhem só:

Viram como deu certo? Isso nos permite escrever o conjunto solução da questão:

S = {x ∈ ℝ| –3 < x < 3}

 

8. | x | ≥ 4

Da mesma forma que no exemplo anterior, o valor numérico que se encontra no lado direito da desigualdade é maior que zero, ou positivo! Hora de voltarmos a imagem mais acima para comprovarmos que essa inequação se encaixa no 4º e último caso.

Vou aproveitar esse exemplo para deixar uma tarefa de casa para vocês: tendo por base o exemplo anterior, façam o teste e comprovem a solução deste caso. Ao substituir x por um valor maior ou igual a 4, ou por um valor menor ou igual a –4, o módulo gerado deve necessariamente ser um valor maior ou igual a 4. Do contrário, ou seja, se um valor entre –4 e 4 for escolhido, o módulo resultante não deverá satisfazer a desigualdade!

S = {x ∈ ℝ| –4 ≤ x ≤ 4}

Um último detalhe importante a ser observado, é que ao contrário do exemplo anterior, os valores 4 e –4 entraram no conjunto solução. Isso aconteceu, porque temos um sinal de maior ou igual na inequação. Aí fica o alerta: se o sinal de igual aparecer, as bolinhas na reta real são fechadas, e os valores base da solução entram no conjunto!

Segunda parte

Na parte 1, acima, nós vimos que o conceito de módulo de um número real consegue, por si só, dar solução a algumas inequações modulares bem simples. Mas para a maioria destas inequações, o que funciona mesmo é a utilização das consequências da definição de módulo, as quais daremos maior ênfase por aqui! Quem acompanhar esse texto, vai aprender a resolver alguns dos modelos mais complexos de inequações modulares, e, portanto, estará preparado para prestar qualquer concurso que envolva essa parte da matemática do ensino médio, mesmo aqueles mais exigentes!

Eu sei, às vezes é complicado encontrar um material de qualidade que aprofunde, por exemplo, os conceitos mais complexos da matemática, como os da geometria de posição, ou mesmo do estudo das cônicas. Mas é claro que isso não acontece na plataforma do Professor Ferretto! Lá vocês encontram tudo o que precisam saber para prestar as provas do ENEM e dos maiores vestibulares do país, e não só em matemática, como em física também! São mais de 1000 exercícios destas provas resolvidos em vídeo, e com foco na interpretação das questões! E aí, tem coisa melhor que isso? Experimentem acessar o site, e conheçam todas as vantagens que o curso do Ferretto pode oferecer!

Beleza, pessoal? Já que estamos ansiosos para resolver várias inequações modulares interessantes, nada é melhor do que revisarmos logo todas as consequências da definição de módulo. Fiquem atentos a elas, afinal, essas afirmações irão reger nosso estudo de hoje!

Quem observou com cuidado a imagem acima, deve ter percebido uma espécie de padrão nestas consequências da definição de módulo. Sempre que o sinal de desigualdade é menor em relação ao módulo (<), vejam, a região de valores que representa a solução da inequação está dentro dos limites a e –a. Do contrário, ou seja, sempre que o sinal de desigualdade é maior em relação ao módulo (>), a região de valores que representa a solução da inequação está fora dos limites a e –a.

Outro detalhe importante a ser considerado, é a diferença entre os sinais de desigualdade < e >, e ≤ e ≥. Quando os sinais maior ou igual (≥), e menor ou igual (≤) estão presentes em uma inequação modular, significa que os limites a e –a farão parte da sua solução! Por isso, quando representamos casos como esses geometricamente, utilizamos a famosa bolinha fechada para descrever esses limites.

Conseguiram perceber a diferença? Então já podemos aplicar esses conceitos através de exercícios. Lembrem que o primeiro passo consiste em verificar se o tal limite a é mesmo positivo ou maior do que zero. Caso isso seja confirmado, basta observar em qual das consequências da definição de módulo a inequação se encaixa, e montar a reta real correspondente. Certo, pessoal? Então, venham comigo aqui!

 

1. | x + 2 | < 5

Mas que alegria! 5 é um valor positivo, portanto, podemos utilizar as consequências da definição de módulo para resolver esta inequação! Como temos um sinal de desigualdade menor em relação ao módulo (<), é fato que a nossa inequação se encaixa na primeira consequência: a sua solução só pode estar dentro dos limites a e –a.

Feito isso, e baseado na parte 1 deste texto, vocês poderiam pensar que já teríamos aí a solução para o caso: para valores de x que se situassem entre –5 e 5, a solução seria verdadeira! E seria mesmo, não fosse o seguinte detalhe:

Perceberam a diferença? Para que o módulo da expressão algébrica x + 2 resulte em valores menores do que 5, a expressão algébrica x + 2 como um todo deve resultar em valores que fiquem entre –5 e 5.

Essa é uma das maneiras de se resolver a inequação simultânea que precisou ser formada para o desenvolvimento da questão. Mas é claro que vocês poderiam ter separado a inequação em duas, resolvido cada uma delas, e na sequência, ter realizado a intersecção entre as duas soluções encontradas. Tentem fazer isso, vou deixar como tarefa de casa!

S = {x ∈ ℝ | –7 < x < 3}

Entenderam a ideia? Os únicos valores de x que satisfazem esta inequação são aqueles que se situam entre –7 e 3, sem incluí-los. No caso de uma inequação modular tal como a do exemplo | x | < 5, como o termo x já está “sozinho” dentro do módulo, só aplicando a consequência da definição mais adequada, nós conseguiríamos definir que o seu valor precisaria estar entre – 5 e 5 para que o seu módulo resultasse em valores menores do que 5. Por isso, sempre que a incógnita x estiver acompanhada, o processo que acabamos de fazer deve ser realizado. Vamos repetir tudo no próximo exemplo, olhem só!

 

2. | x – 1 | ≥ 4

Novamente, podemos seguir tranquilos com o método que temos utilizado: 4 é um valor maior que zero ou positivo! Contudo, observando o sinal de desigualdade, notamos uma diferença em relação ao caso anterior: agora ele é maior ou igual em relação ao módulo (≥). Isso significa que essa inequação se encaixa na quarta consequência da definição de módulo: sua solução só pode estar além dos limites a e –a.

Através da imagem acima, podemos observar que o valor x– 1, que está dentro do módulo, poderá pertencer tanto a região anterior ao –4 quanto a região superior a 4.

Quando a região de valores que representa a solução para a inequação se encontra fora dos limites –a e a, parece mais lógico resolvermos, logo de uma vez, as duas inequações formadas separadamente, principalmente para não nos perdermos quanto ao sentido correto do sinal de desigualdade. Mas é claro que vocês poderiam ter solucionado o caso do mesmo jeito que fizemos antes, sem problema algum.

S = {x ∈ ℝ| x ≤ –3 ou x ≥ 5}

Neste caso, qualquer valor menor que –3 ou maior que 5, satisfaz a desigualdade, incluindo os próprios –3 e 5, certo? Sendo assim, já podemos partir para o próximo caso. Vem comigo aqui!

 

3. | 3x – 2 | ≤ –1

Vish! Parece que chegamos a um exemplo em que não podemos aplicar o método que temos estudado. Vejam, o valor numérico que se encontra do lado direito da desigualdade é menor que zero, ou negativo! Como já sabemos de cor, o módulo de qualquer número real jamais pode ser negativo. Portanto, não existe nenhum valor de x que possa satisfazer essa inequação, e a solução para o exemplo só pode ser dada através do conjunto vazio.

S = ø

 

4. 4 < | x + 1 | < 6

E pra quem estava achando que ia escapar de uma inequação modular simultânea, eu já aviso: não vai ter jeito! Pessoal, resolver duas inequações modulares ao mesmo tempo é simples, desde que separemos a expressão acima em duas, como estamos acostumados a fazer com as inequações do 1º, 2º grau, e exponenciais, que se apresentam desta maneira. Feito isso, é só desenvolver todo o método que temos utilizado para cada uma das inequações resultantes, e no final, realizar a intersecção entre os dois conjuntos solução encontrados. Fiquem tranquilos que isso é moleza, olhem só!

De posse destas duas inequações, resta-nos resolver cada uma separadamente. Felizmente, em ambos os casos, o valor numérico que se encontra do lado direito da desigualdade é positivo, o que nos mostra que podemos aplicar as consequências da definição de módulo nas duas inequações. Olhando o sinal de desigualdade de cada uma delas, podemos perceber que o da primeira é maior em relação ao módulo (>), enquanto que o da segunda é menor em relação ao módulo (<). Isso só pode significar que, respectivamente, elas se encaixam na terceira e na primeira consequência que estamos estudando.

Feito isso, sabemos que cada uma dessas inequações formará outras duas inequações. No primeiro caso, é fato que a expressão x + 1 poderá pertencer tanto a região anterior ao –4 quanto a região superior a 4.

Já no segundo caso, temos que a expressão x + 1 só poderá pertencer a região que se localiza entre –6 e 6.

Calma, pessoal, agora falta pouco! Nós já temos a representação geométrica do resultado de cada uma das nossas inequações modulares. Assim, resta-nos representa-las uma embaixo da outra, e na sequência, realizar a intersecção dos dois conjuntos solução. Lembrem que só farão parte da intersecção entre os dois conjuntos, as regiões de valores de x que forem comuns as duas soluções simultaneamente.

Vejam na imagem acima, que somente os valores de x que se situam entre –7 e –5, e também entre 3 e 5, sem incluí-los, podem satisfazer a inequação simultânea 4 < | x + 1 | < 6.

S = {x ∈ ℝ | –7 < x < –5 ou 3 < x < 5}

E aí, o que acharam de todos esses exemplos? Parece mais complicado do que realmente é, não é mesmo? Tenham sempre em mente as consequências da definição de módulo, e vocês jamais terão problemas com as inequações modulares! Dada a dica, chegou a hora de me despedir! O texto de hoje termina por aqui, mas é claro que aí embaixo tem aquele vídeo que complementa todos os conceitos que vimos. Não deixem de dar uma olhada nele, e em todos os textos do blog que vocês ainda não viram, afinal, a matemática pode ser fascinante quando a compreendemos bem!

Um abração a todos!