Complementar de um Conjunto

O complementar de um conjunto B em relação a um conjunto A (com B ⊂ A) nada mais é do que a diferença entre os conjuntos A e B (A – B), isto é, tudo o que falta a B para se tornar A.

Resposta rápida Definição: se B ⊂ A, o complementar de B em relação a A é o conjunto A – B, formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Notação: CBA (B em cima, A embaixo). Quando há um universo U fixado, escrevemos Ac = U – A. Propriedades: A ∪ Ac = U, A ∩ Ac = ∅ e (Ac)c = A. Leis de De Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc e (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.

 

Olá, pessoal! Tudo tranquilo?

Vamos começar este texto com uma pergunta: o que significa “complementar” algo? Não parece, mas o significado dessa palavra pode nos ajudar a entender mais uma operação entre conjuntos. Depois da superdica que será apresentada daqui a pouco, eu garanto que vocês jamais esquecerão como obter o complementar de um conjunto em relação a outro!

Como o assunto costuma gerar dúvidas, vamos por partes: primeiro a definição e a notação, depois o cálculo na prática, o complementar em relação ao universo, as propriedades (incluindo as Leis de De Morgan) e, por fim, questões de prova resolvidas e exercícios propostos com gabarito.

Certo, pessoal? Então não nos resta outra opção senão iniciar o texto. Vem comigo!

Definição de complementar de um conjunto

Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de B em relação a A, o conjunto A – B.

O primeiro fato ao qual devemos ficar atentos nessa definição, é que existe uma condição para que um conjunto complementar a outro exista. São dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A. Em símbolos, isso significa que, necessariamente, para que haja o cálculo do conjunto complementar de B em relação a A, B deve estar contido em A, ou seja, B deve ser subconjunto de A. Então, pessoal, caso vocês se deparem com conjuntos disjuntos, ou ainda, com conjuntos que possuem apenas alguns elementos em comum, não será possível obter o conjunto complementar de um deles em relação ao outro. Esse é um conceito que diz respeito apenas a uma relação de conjunto e subconjunto!

Quem reparou no quadro apresentado logo acima no texto, percebeu que existe uma maneira curiosa de representar o conjunto complementar de B em relação a A. Não parece, mas a ordem em que B e A são representados junto ao símbolo importa. Se nos referirmos ao complementar de B em relação a A, então o B ficará acima do A no símbolo. Do contrário, ou seja, se o complementar de A em relação a B for representado, então é claro que A ficará acima de B no símbolo, e pronto. Lembrando, é claro, que para encontrarmos o complementar de A em relação a B, A deve ser subconjunto de B (A ⊂ B).

Atenção, pessoal: os dois quadros acima não descrevem situações simultâneas. Como o complementar de B em relação a A exige B ⊂ A, e o complementar de A em relação a B exige A ⊂ B, os dois só existiriam ao mesmo tempo se A = B — e, nesse caso, ambos seriam o conjunto vazio. Portanto, para cada par de conjuntos, a própria relação de inclusão já indica qual dos dois cálculos é possível.

Notação do complementar: como escrever e ler

Como vocês vão encontrar o complementar escrito de formas diferentes em livros, provas e videoaulas, vale conhecer as principais notações. Todas representam a mesma ideia: o que falta para completar o conjunto maior.

Notação	Como se lê	Quando aparece
CBA (B em cima, A embaixo)	Complementar de B em relação a A	Quando B ⊂ A. É a notação dos quadros deste texto.
Ac	Complementar de A (em relação ao universo U)	Quando existe um conjunto universo U definido. Nesse caso, Ac = U – A.
Ā ou A′	Complementar de A	Variações de Ac que aparecem em livros e questões de prova.

 

Portanto, A^c é simplesmente o caso em que o conjunto maior é o universo: A^c = C^A_U. Neste texto, usamos C^B_A nas primeiras seções e A^c quando falamos do universo e das propriedades.

Falamos da restrição, da representação, e agora, precisamos entender de fato como obter o complementar de um conjunto. Pela definição, e através dos quadros acima, sabemos que se trata de uma operação de diferença entre conjuntos. Vamos relembrar na sequência como resolvê-la. Sigam comigo!

Complementar de um conjunto na prática

O complementar de B em relação a A é o conjunto A – B. Isso porque, em termos de símbolo, para obtermos a operação de diferença que devemos realizar, é só manter o conjunto que está embaixo no símbolo, e descontar dele o conjunto que está em cima.

Se vocês quiserem praticar exclusivamente essa conta — passo a passo, com mais exemplos de A – B e B – A, inclusive quando os conjuntos são disjuntos — o artigo Diferença entre dois Conjuntos é o lugar certo. Aqui, a gente vai além: aprofunda o complementar em si, suas propriedades e como ele cai em prova.

Na prática, quando realizamos a operação A – B, obtemos como resultado um conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. Em outras palavras, o conjunto diferença entre A e B é formado por elementos que pertencem exclusivamente a A, quando comparados com os elementos de B.

Diferença × complementar: qual é a relação?

Como o complementar é calculado por meio da diferença, é comum confundir os dois conceitos. A tabela a seguir resume o que muda de um para o outro.

Aspecto	Diferença A – B	Complementar de B em relação a A
Quando existe	Para quaisquer conjuntos A e B	Somente quando B ⊂ A
Como se calcula	Retiramos de A os elementos que também pertencem a B	Do mesmo jeito: CBA = A – B
Notação	A – B	CBA (ou Bc, quando A é o universo U)
Ideia	“O que sobra de A depois de tirar B”	“O que falta a B para se tornar A”
Onde aprofundar	Diferença entre dois Conjuntos	Este texto

 

Portanto, todo complementar é uma diferença, mas nem toda diferença é um complementar. Dessa forma, quando B não está contido em A, só podemos falar em A – B; o complementar, nesse caso, simplesmente não existe.

Querem ver como funciona? Não há melhor maneira de entendermos o caso do que utilizando um exemplo resolvido. Vamos lá!

Entendendo o complementar de um conjunto com um exemplo

Sendo A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} e B = {5, 10}. Calcule o complementar de B em relação a A.

Obter o conjunto complementar de B em relação a A, ou a diferença entre A e B, é fácil, pessoal! Basta observar os elementos que pertencem a B, e descontá-los, tirá-los, ou riscá-los do conjunto A. Os elementos que restarem formarão o conjunto complementar que tanto buscamos.

Reparem que o resultado obtido acima, é um conjunto formado por elementos que pertencem apenas a A. É por isso que falamos anteriormente em elementos exclusivos de A. Caso vocês estejam confusos quanto à operação que realizamos, é só dar uma olhada no texto sobre a diferença entre dois conjuntos. Lá eu resolvo uma série de exemplos como esse, que tornam o conceito muito mais claro.

Pessoal, é aí que entra a dica que eu mencionei lá no início do texto. Sigam comigo até o próximo item!

Complementar de um conjunto: o significado da palavra explica tudo

Para quem ainda não foi lá no dicionário e descobriu o que significa complementar, chegou a tão esperada dica ninja de hoje! Complementar algo significa preencher o que falta a esse algo. Trazendo essa ideia para o contexto de conjuntos, o complementar de B em relação a A, é tudo o que falta para B se tornar A! Da mesma forma, o complementar de A em relação a B, é tudo que falta para A se tornar B. Aí a nomeação do conjunto faz todo o sentido!

As representações em forma de diagrama da imagem acima tornam o conceito muito mais claro, não é mesmo? Reparem no diagrama mais a esquerda, que representa o complementar de B em relação a A. Nele, fica evidente que B é subconjunto de A, e que a região destacada é aquela em que se localizam os elementos exclusivos de A. Se esses elementos também fizessem parte do conjunto B, B seria igual a A.

O mesmo pode ser observado no diagrama a direita, que representa o complementar de A em relação a B. Agora, A é subconjunto de B, e se todos os elementos exclusivos de B, que se localizam na região destacada, também fizessem parte de A, A seria igual a B.

Entendido? Antes dos exercícios, vamos conhecer a outra forma de enxergar o complementar, aquela em que o conjunto maior é o conjunto universo. Vem comigo aqui!

Complementar em relação ao conjunto universo

Até aqui, o conjunto maior era sempre um dos conjuntos do problema (o A). Só que, em muitas questões — principalmente de prova —, o conjunto maior é o conjunto universo U, isto é, o conjunto de todos os elementos considerados na situação. Nesse caso, falamos simplesmente em complementar de A e escrevemos A^c.

Pela definição, A^c = U – A: são os elementos de U que não pertencem a A. Dessa forma, nada muda em relação ao que vimos. O conjunto maior (U) fica embaixo e o complementar continua sendo “o que falta a A para se tornar U”.

Por exemplo, sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e A = {1, 2, 3, 4, 5}, temos:

A^c = U – A = {6, 7, 8, 9, 10}

Cuidado: o complementar depende do universo escolhido. Se A = {2, 4, 6}, então, com U = {1, 2, …, 6}, temos A^c = {1, 3, 5}; já com U = {1, 2, …, 9}, temos A^c = {1, 3, 5, 7, 8, 9}. Logo, antes de calcular, confirmem qual é o universo do enunciado. Quando ele não aparece de forma explícita, procurem no contexto, como em “todos os alunos da escola” ou “os números reais”.

Exercícios resolvidos sobre o complementar de um conjunto

Nos itens a e b, dados os conjuntos A e B, calcule o complementar daquele que for conveniente. No item c, o enunciado traz um universo U.

Exercício a) A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {0, 4, 8}

O primeiro passo para resolver essa questão, pessoal, consiste em verificar qual dos conjuntos é subconjunto do outro. Nesse sentido, é fato que todos os elementos de B também pertencem a A. Sendo B um subconjunto de A, está decidido: obteremos o complementar de B em relação a A!

Observando a resolução deste último exemplo, vocês conseguiram perceber que são justamente os elementos 2 e 6 que faltam ao conjunto B para que ele se torne o conjunto A? Por isso, o conjunto {2, 6} é o complementar de B em relação ao conjunto A! Abaixo, segue a representação em diagrama do caso.

Exercício b) A = ∅ e B = {1, 2, 3}

E agora, pessoal, qual dos conjuntos acima é subconjunto do outro? O símbolo “∅” representa um conjunto vazio, ou seja, que não possui nenhum elemento. Sabendo que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, podemos concluir que A é subconjunto de B, e, portanto, obteremos o complementar de A em relação a B.

Se A não possui nenhum elemento, é fato que faltam todos os elementos de B para que A possa ser igual a B. Por isso, nesse caso, o complementar de A em relação a B é o próprio conjunto B.

Exercício c) U = {1, 2, 3, …, 10} e A = conjunto dos números primos de U

Como o enunciado traz um universo, buscamos o complementar de A em relação a U, isto é, A^c = U – A. Primeiro, listamos os números primos de U: A = {2, 3, 5, 7}. Em seguida, retiramos esses elementos de U:

A^c = U – A = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

Reparem que o número 1 pertence ao complementar. Isso acontece porque ele não é primo e, por conseguinte, não está em A. Dessa forma, o complementar reúne tudo o que está em U e fora de A.

Propriedades do complementar de um conjunto (Leis de De Morgan)

Agora que vocês já sabem calcular o complementar na prática, chegou a hora de conhecer as propriedades que tornam essa operação tão útil — principalmente nas provas! Vamos ver as relações fundamentais, pessoal.

Complementar e o conjunto universo

A união de um conjunto com o seu próprio complementar sempre resulta no conjunto universo:

A ∪ A^c = U

Faz todo sentido, não é? Afinal, A^c é formado exatamente pelos elementos que faltam a A para ele se tornar U.

Já a interseção entre um conjunto e seu complementar é sempre vazia — os dois nunca têm elementos em comum:

A ∩ A^c = ∅

Complementar do complementar

Se tirarmos o complementar duas vezes seguidas, voltamos ao conjunto original:

(A^c)^c = A

Casos extremos

O complementar do conjunto vazio é o próprio universo, e o complementar do universo é o conjunto vazio:

∅^c = U e U^c = ∅

Complementar e inclusão

Se B é subconjunto de A, então o complementar de A é subconjunto do complementar de B:

Se B ⊂ A, então A^c ⊂ B^c

A ideia é intuitiva: quanto maior o conjunto, menos elementos sobram fora dele. Com U = {1, 2, …, 10}, B = {1, 2} e A = {1, 2, 3, 4}, temos B ⊂ A, A^c = {5, 6, 7, 8, 9, 10} e B^c = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. De fato, A^c ⊂ B^c.

Complementar e diferença

Retirar B de A é o mesmo que ficar com o que está em A e fora de B. Em símbolos:

A – B = A ∩ B^c

Com U = {1, 2, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos A – B = {1, 2, 3} e B^c = {1, 2, 3, 9, 10}. Logo, A ∩ B^c = {1, 2, 3}. Assim, a diferença também pode ser escrita com o complementar, o que ajuda a simplificar expressões.

Tabela-resumo das propriedades

Propriedade	Fórmula	Em palavras
União com o complementar	A ∪ Ac = U	Um conjunto e o seu complementar, juntos, formam o universo
Interseção com o complementar	A ∩ Ac = ∅	Um conjunto e o seu complementar não têm elementos em comum
Complementar do complementar	(Ac)c = A	Complementar duas vezes devolve o conjunto original
Casos extremos	∅c = U e Uc = ∅	Do vazio falta tudo; do universo não falta nada
Inclusão	Se B ⊂ A, então Ac ⊂ Bc	Quanto maior o conjunto, menor o seu complementar
Diferença	A – B = A ∩ Bc	Retirar B de A é ficar com o que está em A e fora de B
Número de elementos	n(Ac) = n(U) – n(A)	O complementar tem o que sobra do total
1ª Lei de De Morgan	(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc	O complementar da união é a interseção dos complementares
2ª Lei de De Morgan	(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc	O complementar da interseção é a união dos complementares

Leis de De Morgan

As leis levam o nome do matemático britânico Augustus De Morgan e aparecem escritas das duas formas: “Leis de De Morgan” ou “Leis de Morgan”.

Essa é uma parte muito útil nas provas, pessoal, porque ajuda a simplificar expressões e a conferir resultados! As Leis de De Morgan relacionam o complementar com a união e a interseção de dois conjuntos:

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Em palavras: o complementar da união é a interseção dos complementares, e o complementar da interseção é a união dos complementares. Parece trava-língua, mas fica simples com um exemplo!

Na imagem, o lado esquerdo destaca tudo o que está fora de A ∪ B. No lado direito, estão destacados o que está fora de A (rosa) e, ao mesmo tempo, o que está fora de B (azul). A região mais escura, que fica fora dos dois conjuntos, é exatamente a mesma do lado esquerdo.

Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, logo (A ∪ B)^c = {9, 10}.

Agora, calculando pelo outro caminho: A^c = {6, 7, 8, 9, 10} e B^c = {1, 2, 3, 9, 10}. A interseção entre eles, A^c ∩ B^c, é justamente {9, 10}. Bateu certinho com a lei de De Morgan!

Vamos conferir a segunda lei com os mesmos conjuntos. Como A ∩ B = {4, 5}, temos (A ∩ B)^c = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}. Pelo outro caminho, A^c ∪ B^c = {6, 7, 8, 9, 10} ∪ {1, 2, 3, 9, 10} = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}. Mais uma vez, os resultados coincidem.

Nesta segunda imagem, nos dois lados fica destacado tudo, exceto a região comum a A e B, ou seja, exceto a interseção.

Por que as Leis de De Morgan funcionam?

Pensem em um elemento x qualquer de U. Dizer que x está em (A ∪ B)^c significa que x não está em A ∪ B, isto é, x não está em A e também não está em B. Ora, isso é exatamente dizer que x está em A^c e em B^c, ou seja, em A^c ∩ B^c. A segunda lei segue o mesmo raciocínio: não estar em A ∩ B significa não estar em A ou não estar em B.

Macete para memorizar as Leis de De Morgan

Para aplicar as leis, basta seguir dois passos: (1) colocar o complementar em cada conjunto; (2) trocar a união pela interseção, ou a interseção pela união. Por exemplo, (A ∪ B)^c vira A^c ∩ B^c. Assim, o erro mais comum é complementar só um dos lados sem trocar o símbolo, ou trocar o símbolo sem complementar os conjuntos.

As Leis de De Morgan também aparecem na lógica, com o mesmo espírito. Negar “o aluno joga futebol ou vôlei” é dizer que ele não joga futebol e não joga vôlei; já negar “joga futebol e vôlei” é dizer que ele não joga futebol ou não joga vôlei. Dessa forma, o “ou” vira “e”, e o “e” vira “ou”, exatamente como a união e a interseção nos conjuntos.

Guardem essas propriedades: elas voltam nos intervalos da reta real e nas questões de contagem e probabilidade que veremos a seguir.

Complementar de um intervalo na reta real

Quando o universo é o conjunto dos números reais (ℝ), o complementar de um intervalo é “o que sobra da reta”. O cuidado principal está nos extremos: se o extremo pertence ao intervalo, ele fica de fora do complementar; se não pertence, ele entra no complementar.

Por exemplo, para A = [–1, 3), o número –1 pertence a A (bolinha fechada) e o 3 não pertence (bolinha aberta). Logo, no complementar acontece o contrário: o –1 fica de fora e o 3 entra.

Assim, A^c = (–∞, –1) ∪ [3, +∞). Observem que o complementar de um intervalo limitado é a união de duas semirretas. A tabela a seguir reúne os casos mais comuns, com U = ℝ:

Intervalo A	Complementar de A em ℝ
[a, b]	(–∞, a) ∪ (b, +∞)
(a, b)	(–∞, a] ∪ [b, +∞)
[a, b)	(–∞, a) ∪ [b, +∞)
(a, b]	(–∞, a] ∪ (b, +∞)
[a, +∞)	(–∞, a)
(a, +∞)	(–∞, a]
(–∞, b]	(b, +∞)
(–∞, b)	[b, +∞)

 

Exemplo: sendo A = (–∞, 2] e B = (–1, 5), determine (A ∩ B)^c.

Primeiro, A ∩ B = (–1, 2]. Logo, (A ∩ B)^c = (–∞, –1] ∪ (2, +∞). Pela 2ª Lei de De Morgan, o resultado é o mesmo de A^c ∪ B^c: como A^c = (2, +∞) e B^c = (–∞, –1] ∪ [5, +∞), a união é (–∞, –1] ∪ (2, +∞). Conferiu!

Para revisar a notação de intervalos e as operações de união, interseção e diferença na reta real, acessem os textos Intervalos Reais e Operações com Intervalos.

Para que serve o complementar? Contagem e probabilidade

O complementar é um atalho poderoso sempre que a pergunta traz as palavras “nenhum”, “não” ou “pelo menos um”. Em vez de contar diretamente o que o enunciado pede, contamos o que ele não pede e subtraímos do total.

Contagem de elementos

Se U tem n(U) elementos e A tem n(A), o complementar de A tem n(A^c) = n(U) – n(A) elementos. Em problemas de pesquisa, “não praticam nenhum dos dois esportes”, por exemplo, corresponde ao complementar da união: n((A ∪ B)^c) = n(U) – n(A ∪ B). Para calcular n(A ∪ B), usem a fórmula do texto Número de Elementos da União.

Probabilidade

Na probabilidade, o evento complementar de A é “A não ocorre”, e vale P(A^c) = 1 – P(A). Por exemplo, a probabilidade de não sair 6 ao lançar um dado é 1 – 1/6 = 5/6. Já a probabilidade de sair pelo menos uma cara em três lançamentos de uma moeda é o complementar de “nenhuma cara”: 1 – (1/2)³ = 7/8.

Complementar de um conjunto no Enem e em vestibulares – exercícios comentados

Chegou a hora de ver como esse conteúdo aparece de verdade nas provas, pessoal. Vamos resolver duas questões reais.

Questão do Enem 2013: complementar da união e probabilidade

Fonte: Enem 2013, 2º dia, caderno azul, questão 150 (Inep).

Uma escola com 1.200 alunos pesquisou o conhecimento de inglês e espanhol entre os estudantes. O levantamento apontou 600 alunos que falam inglês, 500 que falam espanhol e 300 que não falam nenhum dos dois idiomas. Escolhendo um aluno ao acaso, sabendo que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que ele fale espanhol?

(A) 1/2 (B) 5/8 (C) 1/4 (D) 5/6 (E) 5/14

Resolução:

Os 300 alunos que não falam nenhum idioma formam o complementar da união (inglês ∪ espanhol) em relação ao universo de 1.200 alunos. Então:

n(inglês ∪ espanhol) = 1.200 – 300 = 900

Pela propriedade da união, n(inglês ∪ espanhol) = n(inglês) + n(espanhol) – n(inglês ∩ espanhol):

900 = 600 + 500 – n(inglês ∩ espanhol) → n(inglês ∩ espanhol) = 200

Os alunos que não falam inglês são o complementar de inglês: 1.200 – 600 = 600.

Dentro desse grupo, quem fala espanhol são os que falam só espanhol: 500 – 200 = 300.

Probabilidade = 300/600 = 50%, ou seja, alternativa A.

Para conferir, observem como os 1.200 alunos se distribuem pelas regiões do diagrama:

Região do diagrama	Alunos
Só inglês (600 – 200)	400
Inglês e espanhol (interseção)	200
Só espanhol (500 – 200)	300
Nenhum idioma (complementar da união)	300
Total	1.200

Questão da PUC-PR: complementar da união de três conjuntos

Uma pesquisa com 120 empregados de uma firma constatou: 38 têm casa própria, 42 têm curso superior, 70 têm plano de saúde, 34 têm casa própria e plano de saúde, 17 têm casa própria e curso superior, 24 têm curso superior e plano de saúde, e 15 têm as três coisas. Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadra em nenhuma dessas situações?

Resolução:

Sejam A = casa própria, B = curso superior e C = plano de saúde. Usando o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos:

n(A∪B∪C) = 38 + 42 + 70 – 17 – 34 – 24 + 15 = 150 – 75 + 15 = 90

Os que não se enquadram em nenhuma situação formam o complementar dessa união:

120 – 90 = 30 empregados

Porcentagem: 30/120 = 25%

Erros comuns ao calcular o complementar de um conjunto

Antes de partir para os exercícios propostos, vejam os deslizes que mais aparecem quando o assunto é complementar. Assim, vocês já sabem o que evitar:

1. Calcular o complementar sem checar a inclusão. O complementar de B em relação a A só existe se B ⊂ A. Caso contrário, só é possível calcular a diferença A – B.
2. Inverter A e B no símbolo. O conjunto maior fica embaixo e o menor, em cima. Trocar a ordem muda o conjunto que será subtraído.
3. Esquecer o universo. O complementar A^c depende de U: se o universo muda, o complementar também muda.
4. Aplicar De Morgan pela metade. O complementar da união não é a união dos complementares. É preciso complementar cada conjunto e trocar a união pela interseção (e vice-versa).
5. Confundir A ∪ A^c com A ∩ A^c. A união de um conjunto com o seu complementar é o universo U; a interseção é o conjunto vazio.
6. Errar os extremos dos intervalos. Se o extremo pertence ao intervalo, ele não pertence ao complementar — e vice-versa.

Exercícios propostos sobre o complementar de um conjunto (com gabarito)

Os exercícios a seguir foram elaborados para este texto, no estilo do Enem e dos vestibulares. Tentem resolver sozinhos antes de conferir o gabarito comentado.

1) Considere o universo U = {1, 2, 3, …, 12}, o conjunto A dos números pares de U e o conjunto B dos múltiplos de 3 de U. Determine: a) A^c; b) (A ∩ B)^c; c) A^c ∪ B^c. O que você observa?

2) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e B = {2, 3, 5, 7}. a) Determine o complementar de B em relação a A. b) Existe o complementar de A em relação a B? Justifique. c) Qual é o complementar de B em relação ao próprio B?

3) Sendo U = ℝ, A = [0, 4) e B = (2, 7], determine A^c, B^c e (A ∩ B)^c.

4) Em uma turma de 60 alunos, 34 estudam inglês, 25 estudam espanhol e 9 estudam os dois idiomas. a) Quantos alunos não estudam nenhum dos dois idiomas? b) Sorteando um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ele não estudar inglês? c) Qual a probabilidade de ele estudar pelo menos um dos dois idiomas?

5) Simplifique a expressão (A^c ∩ B^c)^c usando as Leis de De Morgan.

6) Julgue cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F), considerando conjuntos A e B de um universo U: a) (A^c)^c = A; b) A ∩ A^c = U; c) (A ∪ B)^c = A^c ∪ B^c; d) se B ⊂ A, então A^c ⊂ B^c.

Gabarito comentado

1) Temos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e B = {3, 6, 9, 12}. a) A^c = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. b) Como A ∩ B = {6, 12}, temos (A ∩ B)^c = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11}. c) Como B^c = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}, temos A^c ∪ B^c = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11}. Os itens b e c têm o mesmo resultado, o que confirma a 2ª Lei de De Morgan.

2) a) Todos os elementos de B pertencem a A, logo B ⊂ A e o complementar existe: C^B_A = A – B = {1, 4, 6, 8}. b) Não. Para existir, seria necessário A ⊂ B, mas isso é falso: o elemento 1 pertence a A e não pertence a B. c) B – B = ∅.

3) A^c = (–∞, 0) ∪ [4, +∞) e B^c = (–∞, 2] ∪ (7, +∞). Como A ∩ B = (2, 4), temos (A ∩ B)^c = (–∞, 2] ∪ [4, +∞), que coincide com A^c ∪ B^c.

4) a) n(inglês ∪ espanhol) = 34 + 25 – 9 = 50. Logo, 60 – 50 = 10 alunos não estudam nenhum dos dois idiomas. b) Não estudam inglês 60 – 34 = 26 alunos, então a probabilidade é 26/60 = 13/30 (aproximadamente 43,3%). c) Pelo menos um dos idiomas: 50/60 = 5/6 (aproximadamente 83,3%), ou, pelo complementar, 1 – 10/60 = 5/6.

5) Pela 1ª Lei de De Morgan, (A^c ∩ B^c)^c = (A^c)^c ∪ (B^c)^c. Como o complementar do complementar devolve o conjunto original, o resultado é A ∪ B.

6) a) Verdadeira. O complementar do complementar devolve A. b) Falsa. A ∩ A^c = ∅; é a união que resulta em U. c) Falsa. O correto é (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c. d) Verdadeira. Se B ⊂ A, então o complementar de A cabe dentro do complementar de B.

Quer treinar mais? Cadastre-se nos cursos gratuitos de matemática do Professor Ferretto e reforce a base para o Enem e os vestibulares, sem custo.

Perguntas frequentes sobre o complementar de um conjunto

O que é o complementar de um conjunto?

É o conjunto dos elementos que faltam a um conjunto B para se tornar um conjunto maior A que o contém. Em símbolos, se B ⊂ A, o complementar de B em relação a A é A – B. Quando há um universo U fixado, o complementar de A é A^c = U – A.

Como se escreve o símbolo do complementar?

Para o complementar de B em relação a A, escreve-se a letra C com B em cima e A embaixo. Com um universo definido, usa-se A^c, e também é comum ver Ā ou A′. Todas as notações expressam a mesma ideia.

Quando o complementar de um conjunto não existe?

Quando B não está contido em A. Nesse caso, só é possível calcular a diferença A – B. Por exemplo, com A = {1, 2} e B = {2, 3}, existe A – B = {1}, mas não existe o complementar de B em relação a A.

Qual é o complementar do conjunto vazio e do conjunto universo?

Em relação ao universo U, o complementar do vazio é o próprio U, e o complementar de U é o vazio. Do conjunto vazio falta tudo; do universo, não falta nada.

Quais são as Leis de De Morgan?

São duas: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c e (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c. Ou seja, o complementar da união é a interseção dos complementares, e o complementar da interseção é a união dos complementares.

O complementar muda quando o universo muda?

Sim. Com A = {2, 4, 6}, se U = {1, 2, …, 6}, então A^c = {1, 3, 5}; se U = {1, 2, …, 9}, então A^c = {1, 3, 5, 7, 8, 9}. Por isso, é sempre importante confirmar o universo do enunciado.

O complementar de um conjunto cai no Enem?

Sim, principalmente em problemas de contagem e probabilidade, sempre que o enunciado fala em “nenhum”, “não” ou “pelo menos um”, como na questão do Enem 2013 resolvida neste texto. Para ver a incidência de cada tema nas últimas provas, consulte o ENEM’s Anatomy.

Videoaula: revise o complementar e a diferença entre conjuntos

E aí, pessoal, gostaram do texto de hoje? Vamos encerrá-lo por aqui, mas não há motivos para se lamentar. Em anexo, deixo um vídeo para que vocês revisem a diferença entre os conjuntos, e também a operação que acabamos de aprender. No mais, desejo muito sucesso a todos! Com empenho e dedicação podemos chegar aonde desejarmos!

E, se quiserem mais resoluções e dicas rápidas, inscrevam-se no canal do Professor Ferretto no YouTube e acompanhem o Instagram @professorferretto.

Continue aprendendo sobre conjuntos

Para aprofundar cada assunto, estes textos do blog são os próximos passos:

• Operações com Conjuntos: união, intersecção, diferença e complementar: a visão geral das quatro operações.
• Diferença entre dois Conjuntos: A – B, B – A e exercícios propostos com gabarito.
• União e Intersecção de Conjuntos: definições, propriedades e exercícios resolvidos.
• Número de Elementos da União: fórmulas para dois e três conjuntos.
• Subconjuntos e Conjunto das Partes: a relação de inclusão (B ⊂ A) e os conjuntos disjuntos.
• Teoria dos Conjuntos: o que é, símbolos, tipos e exercícios: o ponto de partida do conteúdo.
• Intervalos Reais e Operações com Intervalos: o complementar na reta real.

Resumo e dica final

• O complementar de B em relação a A só existe quando B ⊂ A e é igual a A – B: o que falta a B para se tornar A.
• Com um universo U, A^c = U – A; além disso, A ∪ A^c = U e A ∩ A^c = ∅.
• Nas Leis de De Morgan, complementamos cada conjunto e trocamos a união pela interseção (e vice-versa).
• As palavras “nenhum” e “não” nos enunciados costumam indicar um complementar.
• Nos intervalos, o extremo que pertence ao conjunto não pertence ao complementar, e vice-versa.

Portanto, a dica final é simples: na dúvida, desenhem o diagrama e pintem a região que falta. Dessa forma, o complementar deixa de ser mistério e vira uma conta rápida.

Gostou deste conteúdo? Então continue seus estudos com os Cursos Gratuitos de Matemática do Professor Ferretto. É a oportunidade de reforçar a base de conjuntos e de todo o conteúdo que o Enem e os vestibulares cobram, sem custo.

Quer saber exatamente quais assuntos mais caem no Enem? Conheça o ENEM’s Anatomy, um material gratuito que reúne a incidência de cada tema nas últimas provas. Baixe o ENEM’s Anatomy aqui e organize seus estudos com ainda mais estratégia.

Deseja ter uma preparação completa em matemática e ciências da natureza? Então conheça os planos e cursos da Plataforma do Professor Ferretto e vem com a gente garantir a sua vaga no ensino superior!

Bons estudos a todos! Até mais!