Como Determinar a Função do 1º Grau Conhecendo Dois Pontos

Para determinar uma função do 1º grau sem conhecer diretamente os coeficientes a e b, basta conhecer o valor dessa função em dois pontos distintos. Substituindo esses dois pontos na fórmula f(x) = ax + b, forma-se um sistema de duas equações, que pode ser resolvido pelo método da substituição ou pelo método da adição.

Olá, pessoal! Tudo bem? Então, se vocês ainda não sabem o que são os valores de uma função afim, ou como utilizá-los para determinar uma função do 1º grau, acompanhem esse texto, pois nós estudaremos tudo isso, passo a passo e com exemplos resolvidos! E olhem só que interessante: hoje nós também vamos revisar, na prática, como resolver sistemas de equações pelo método da adição e da substituição, algo extremamente importante para quem vai prestar as provas do ENEM e dos vestibulares logo mais!

Os conceitos da função afim são muito cobrados nas provas de matemática do ENEM e dos vestibulares, porque envolvem tudo aquilo que possui um comportamento linear. Assim, se o objetivo de vocês é estar bem preparado para ter um ótimo aproveitamento nessas provas, vale a pena conhecer a plataforma do Professor Ferretto, que reúne um curso de matemática completo e 100% online, com aulas gravadas para vocês estudarem na hora que desejarem.

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Feito isso, vamos relembrar a fórmula geral que representa a função do 1º grau, também chamada de função afim:

f(x) = ax + b

Essa expressão representa a função do primeiro grau, e já vimos, no texto Função Afim: o que é, fórmula e como identificar os coeficientes a e b, que dela é possível extrair uma série de informações — muitas das quais já estudamos aqui no blog, e que vocês podem acompanhar na categoria Função Afim. Mas hoje, apenas dois termos vão ganhar a nossa total atenção: os coeficientes a e b.

Na imagem acima, vemos um exemplo de função do 1º grau. Essa função possui um valor numérico para o coeficiente a, e outro para o coeficiente b, além, claro, de uma forma gráfica. Agora observem este outro exemplo abaixo com atenção:

Vejam que essa função possui valores diferentes para os coeficientes a e b, e também uma forma gráfica diferente do exemplo anterior. Então, se vocês ainda não mataram a charada, entendam o seguinte: os coeficientes a e b são quem determinam, ou quem definem, a função do primeiro grau! Cada função afim possui uma forma gráfica diferente, inteiramente determinada por seus coeficientes a e b.

É necessário conhecer os coeficientes a e b para determinar uma função do 1º grau.

Portanto, tem-se um problema quando o enunciado dos exercícios não informa os valores numéricos de a e b. Ops! Na verdade, não haverá problema algum, desde que sejam conhecidos pelo menos dois valores da função afim. Vocês vão aprender na sequência quem são esses valores, e como utilizá-los para determinar a função do primeiro grau. Vem comigo aqui!

O que é o valor de uma função afim?

O valor de uma função afim é o valor que a função assume para um determinado x.

Para compreendermos com clareza a definição acima, vamos utilizar um exemplo. Considerando a função f(x) = 3x + 1, determine:

a. f(1)

b. f(–2)

Para calcular f(1), basta substituirmos o valor de x na função por 1, vejam só:

f(x) = 3x + 1
f(1) = 3∙1 + 1
f(1) = 3 + 1
f(1) = 4

O mesmo deve ser feito no item b, ou seja, para calcular f(–2), basta substituir agora o valor de x na função por –2.

f(x) = 3x + 1
f(–2) = 3∙(–2) + 1
f(–2) = –6 + 1
f(–2) = –5

Nesses dois exemplos, vejam que a função f(x) = 3x + 1 assumiu valores diferentes para cada valor de x atribuído. Quando substituímos x por 1, a função assumiu o valor 4; já quando substituímos x por –2, a função assumiu o valor –5. Isso significa que 4 é o valor da função quando x é igual a 1, da mesma forma que –5 é o valor da função quando x é igual a –2.

Relacionando o valor da função aos pares ordenados (x, y)

Talvez fique ainda mais fácil associar a ideia de valor de uma função afim aos pontos, ou coordenadas cartesianas, que utilizamos para construir os gráficos da função do primeiro grau. Eles são dados sempre na forma de par ordenado (x, y). Assim, dizer que f(x) = y é o mesmo que dizer que o par ordenado (x, y) pertence ao gráfico da função — ou seja, o valor de uma função afim é igual ao valor de y encontrado quando um determinado x, o mesmo da coordenada, é atribuído a essa função.

Nessa lógica, os dois valores que acabamos de calcular também podem ser lidos como pontos: dizer que f(1) = 4 é o mesmo que afirmar que o ponto (1, 4) pertence ao gráfico da função f(x) = 3x + 1; da mesma forma, f(–2) = –5 nos dá o ponto (–2, –5).

Como determinar a função do 1º grau conhecendo dois pontos

É fato que, quando se conhece uma função do 1º grau, dois pontos são suficientes para determinar a sua forma gráfica. Então, por que o contrário não poderia ser verdadeiro? De posse de apenas dois pontos ou valores de uma função afim, é possível determinar essa função. O método consiste em substituir esses dois pontos ou valores dados na fórmula característica da função do 1º grau, f(x) = ax + b. Isso dará origem a duas equações, cada uma com duas incógnitas — a e b. Mas não há problema algum quanto a esse detalhe: basta montar um sistema e escolher o método de preferência para resolvê-lo. Assim, em poucos instantes chega-se ao valor de a e de b e, é claro, à função do primeiro grau formada por eles.

Bom, se você acabou de ler as informações acima, mas nenhuma luz brilhou no fim do túnel, acalme-se: vamos fazer um exemplo e tudo ficará literalmente mais claro. Vem comigo aqui!

Exemplo 1 — Determinando a função pelo método da substituição

Determine a função do 1º grau, sabendo que f(–1) = 3, e f(2) = 2.

De acordo com o que estudamos acima, dizer que f(–1) = 3 e que f(2) = 2 significa que 3 é o valor da função (ou o valor de y) quando x é igual a –1, da mesma forma que 2 é o valor da função (ou o valor de y) quando x também é igual a 2. Esses dados nos permitem substituir, respectivamente, os valores de x e de y da fórmula característica da função do 1º grau por –1 e 3, e também por 2 e 2, formando duas equações cujas incógnitas serão a e b:

y = ax + b
3 = a∙(–1) + b (1ª equação)
2 = a∙2 + b (2ª equação)

Organizando as equações, formamos o seguinte sistema:

–a + b = 3
2a + b = 2

Existem dois métodos muito simples que possibilitam a resolução de sistemas como esse: o método da substituição e o método da adição. Vamos utilizar este exemplo para compreendermos a resolução de um sistema através do método da substituição.

Em texto corrido, o caminho do infográfico acima é este: no 1º passo, escolhemos a 1ª equação e isolamos b, obtendo b = 3 + a. No 2º passo, substituímos esse valor algébrico de b na 2ª equação: 2a + (3 + a) = 2, o que dá 3a = –1 e, portanto, a = –1/3. No 3º passo, substituímos o valor numérico de a de volta em b = 3 + a, chegando a b = 3 – 1/3 = 8/3.

Desta forma, a função f(x) = ax + b pode finalmente ser determinada:

f(x) = –1/3 x + 8/3

Confira: substituindo x = –1 na função encontrada, f(–1) = –1/3∙(–1) + 8/3 = 1/3 + 8/3 = 9/3 = 3 — exatamente o valor de f(–1) que o enunciado informou. ✓

Tranquilo, não é mesmo? Vamos fazer mais um exemplo para consolidar o nosso aprendizado.

Exemplo 2 — Determinando a função pelo método da adição

Determine a função do 1º grau que passa pelos pontos A (1, 5) e B (–3, –7).

Vejam que, nesse caso, os dois pontos da função do primeiro grau que devemos determinar são dados na forma de pares ordenados, e não de valores. Mas nós já vimos neste texto que os dois modos são válidos, porque, desde que tenhamos em mãos dois valores de x e de y para substituir na expressão característica da função afim, nosso sistema estará garantido — o ponto A(1, 5) equivale a dizer que f(1) = 5, e o ponto B(–3, –7) equivale a dizer que f(–3) = –7. Então, sem mais delongas, vamos substituir esses valores na fórmula característica da função do 1º grau, formando duas equações cujas incógnitas serão a e b:

y = ax + b
5 = a∙1 + b (1ª equação)
–7 = a∙(–3) + b (2ª equação)

Organizando as equações:

a + b = 5
–3a + b = –7

Está aí o nosso sistema! Mas desta vez vamos resolvê-lo utilizando o método da adição. Esse método visa somar as duas equações do sistema, de forma a eliminar ou cancelar uma de suas incógnitas. Vejam como é simples somar as equações do sistema do nosso exemplo:

a + b = 5
–3a + b = –7
———————————
–2a + 2b = –2

Mas olhem que coisa engraçada: somamos as duas equações do sistema e, mesmo assim, não conseguimos eliminar nenhuma das incógnitas! Pois é, infelizmente, na maioria dos sistemas, somar as duas equações diretamente pode não ser o suficiente para eliminar uma das incógnitas. Nesses casos, é necessário utilizar alguns artifícios matemáticos que, em conjunto com a soma das equações, possibilitam o cancelamento de uma delas.

Querem um exemplo do que isso significa? Pois bem: e se, antes de somarmos as equações do sistema, multiplicássemos toda a primeira equação por –1?

a + b = 5 ∙(–1)
–a – b = –5

Reparem só no que aconteceria ao somar novamente:

–a – b = –5
–3a + b = –7
———————————
–4a + 0b = –12

E não é que dessa maneira foi possível eliminar a incógnita b? Mas e se, ao invés disso, tivéssemos multiplicado toda a primeira equação por 3, o que aconteceria?

a + b = 5 ∙(3)
3a + 3b = 15

3a + 3b = 15
–3a + b = –7
———————————
0a + 4b = 8

Vejam que, desta forma, também conseguimos eliminar a incógnita a! Então, utilizar um artifício matemático aqui significa multiplicar ou dividir toda uma equação por um valor numérico apropriado, que torne possível o cancelamento de uma das incógnitas quando for realizada a soma das equações. É importante lembrar também que multiplicar ou dividir toda uma equação por um mesmo valor não altera a característica inicial do sistema, porque as proporções entre os valores se mantêm — só não se pode esquecer de fazer isso antes e depois da igualdade.

Tendo isso em vista, poderiam surgir outras maneiras de cancelar uma das incógnitas desse sistema. Tudo o que vocês devem observar é o valor numérico que acompanha a incógnita que desejam eliminar em uma das equações, e então trabalhar na outra equação para obter um valor numérico de mesmo módulo, mas de sinal oposto, como fizemos acima, onde tínhamos 1 e –1, e depois 3 e –3. Agora, acompanhem o esquema completo que leva à solução desse sistema pelo método da adição:

Em texto corrido: no 1º passo, multiplicamos a 1ª equação por –1, obtendo –a – b = –5. No 2º passo, somamos essa nova equação com a 2ª equação original, o que elimina b e resulta em –4a = –12, ou seja, a = 3. No 3º passo, substituímos a = 3 na 2ª equação inicial, –3a + b = –7, obtendo –9 + b = –7 e, portanto, b = 2.

Assim, é possível determinar a nova função do 1º grau:

f(x) = 3x + 2

Confira: substituindo x = 1, f(1) = 3∙1 + 2 = 5 — exatamente o valor do ponto A(1, 5) informado no enunciado. ✓

E aí, conseguiram entender a ideia? A grande verdade é que estudamos apenas dois métodos de resolução de sistemas de equações, mas cada um deles pode gerar inúmeras formas de resolução, porque tudo depende das decisões que o aluno toma ao simplificar, isolar, somar, substituir, e assim por diante. Deixo como tema de casa a seguinte tarefa: tentem resolver os sistemas destes exemplos utilizando estratégias diferentes — pode ser que as resoluções de vocês fiquem ainda mais simples!

Existe um atalho? O coeficiente angular por dois pontos

Sim! Além de montar o sistema, existe um atalho direto para encontrar o coeficiente a quando dois pontos são conhecidos:

a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

Depois de calcular a por essa fórmula, basta substituir um dos pontos conhecidos em y = ax + b para encontrar b — chegando exatamente ao mesmo resultado do sistema de equações. Conferindo nos dois exemplos que resolvemos: no Exemplo 1, a = (2 – 3)/(2 – (–1)) = –1/3; no Exemplo 2, a = (–7 – 5)/(–3 – 1) = 3. Os dois valores batem exatamente com os que encontramos pelo sistema. Esse valor de a é o próprio coeficiente angular da função, e o texto Coeficiente Angular da Função Afim traz as três formas diferentes de calculá-lo, com mais exemplos resolvidos.

Vale usar qual método, então? O sistema de equações funciona sempre e ajuda a entender de onde vêm os coeficientes; o atalho é mais rápido quando você só precisa do resultado final. Para praticar sistemas de equações com mais profundidade — inclusive com outros tipos de sistema, fora do contexto da função afim —, vale a pena conferir também Sistemas de Equações: Como Resolver? Método da Adição e Substituição.

Resumo: como determinar a função do 1º grau em 3 passos

Passo	O que fazer
1	Substituir os dois pontos ou valores conhecidos na fórmula f(x) = ax + b, formando duas equações com incógnitas a e b.
2	Resolver o sistema de duas equações pelo método da substituição ou da adição (ou usar o atalho a = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)).
3	Escrever a função do 1º grau já com os valores numéricos de a e b encontrados, e conferir substituindo um dos pontos.

Método	Quando compensa usar
Substituição	Quando é fácil isolar uma incógnita com coeficiente 1, como no Exemplo 1 (–a + b = 3).
Adição	Quando as duas equações já têm (ou podem ganhar) coeficientes opostos numa incógnita, como no Exemplo 2.
Atalho (coeficiente angular)	Quando você só precisa do resultado final e já está familiarizado com a fórmula.

Exercícios propostos

Exercício 1. Determine a função do 1º grau sabendo que f(0) = 5 e f(4) = 13.

Resolução: como um dos pontos tem x = 0, já sabemos direto que b = 5 (afinal, f(0) = a∙0 + b = b). Substituindo o outro ponto: f(4) = 4a + 5 = 13, logo 4a = 8 e a = 2.

Resposta: f(x) = 2x + 5

Exercício 2. Determine a função do 1º grau que passa pelos pontos A (2, –1) e B (–2, 7).

Resolução: substituindo os pontos em y = ax + b, formamos o sistema 2a + b = –1 e –2a + b = 7. Somando as duas equações, o termo em a já se cancela: 2b = 6, logo b = 3. Substituindo de volta em 2a + b = –1: 2a + 3 = –1, logo a = –2.

Resposta: f(x) = –2x + 3

Perguntas frequentes sobre como determinar a função do 1º grau

Como descobrir os coeficientes a e b de uma função do 1º grau tendo dois pontos?

Basta substituir cada ponto (x, y) na fórmula y = ax + b, formando um sistema de duas equações e duas incógnitas. Resolvendo esse sistema pelo método da substituição ou da adição, chega-se aos valores de a e de b.

É possível determinar uma função afim com apenas um ponto?

Não, um único ponto gera apenas uma equação com duas incógnitas (a e b), o que não é suficiente para resolver o sistema — é preciso de pelo menos dois pontos, ou de um ponto somado ao valor de um dos coeficientes já conhecido.

Qual a diferença entre o método da substituição e o método da adição?

No método da substituição, isola-se uma incógnita em uma das equações e substitui-se seu valor algébrico na outra equação. No método da adição, somam-se as duas equações do sistema, eventualmente multiplicando uma delas por um valor numérico, até que uma das incógnitas seja eliminada. Os dois métodos sempre levam ao mesmo resultado.

O que fazer quando somar as equações não elimina nenhuma incógnita?

Nesse caso, é preciso aplicar um artifício matemático: multiplicar (ou dividir) toda uma das equações por um valor numérico que faça o coeficiente de uma das incógnitas ficar com o mesmo módulo, mas sinal oposto ao da outra equação. Depois disso, a soma das equações elimina essa incógnita normalmente.

Existe uma fórmula direta para encontrar a e b sem montar um sistema?

Sim, o coeficiente a pode ser calculado diretamente por a = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁), e depois basta substituir um dos pontos na função para encontrar b. O texto Coeficiente Angular da Função Afim traz essa fórmula em detalhes, com mais exemplos.

Como determinar a função do 1º grau a partir do gráfico?

Se o gráfico já estiver desenhado, basta ler as coordenadas de dois pontos por onde a reta passa e aplicar o mesmo processo deste texto: montar o sistema (ou usar o atalho do coeficiente angular) a partir desses dois pontos. O texto Gráfico da Função do 1º Grau mostra o caminho inverso: como construir o gráfico já sabendo a função.

Assista também

Para fixar tudo o que vimos aqui, vale a pena assistir à videoaula que resolve, em vídeo, a determinação da função do 1º grau conhecendo dois pontos:

E aí, pessoal, ficou tudo claro sobre como determinar a função do 1º grau conhecendo dois pontos? Espero que esse assunto tenha contribuído bastante para o conhecimento de vocês, e que possa ajudá-los a desenvolver o raciocínio lógico da matemática! Abração! Tenham ótimos estudos aí e até breve!

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